文档内容
北京市延庆区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题
阅卷人
一、单选题
得分
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列曲线中，表示y是x的函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中，下列各点在第四象限的是（ ）
A．(2，−1) B．(−2，3) C．(0，5) D．(3，0)
4．下列各点中，在直线y=2x+1上的点是（ ）
A．(−2，1) B．(1，3) C．(−3，2) D．(3，3)
5．下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A． B．
1 / 23C． D．
6．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近10次训练成绩（单位：cm）的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数 181 183 183 181
方差 1.6 3.4 1.6 3.4
要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．矩形和菱形都一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线长度相等 D．对角线平分一组对角
8．某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农
业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．48(1+x) 2=36 B．48(1−x) 2=36
C．36(1+x) 2=48 D．36(1−x) 2=48
阅卷人
二、填空题
得分
1
9．函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
x−2
10．方程x2−2x=0的解为 ．
11．如图，在平行四边形ABCD中，BC=10，DE=4，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则AB的长为
．
12．如图，A，B两点被池塘隔开，在直线AB外选一点C，连接AC和BC分别取AC，BC的中点D，E，
测得D，E两点间的距离为10 m，则A，B两点间的距离为 m．
2 / 2313．请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式 ．
14．关于x 的一元二次方程x2+2x−m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
15．如果点A(1，m)与点B(3，n)都在直线y=−2x+1上，那么m n（填“＞”、“＜”或
“=”）．
16．平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与y=mx+n相交于点M(2，4)，下列结论中正确的是
（填写序号）．
{y=kx+b {x=2
①关于x，y的方程组 的解是 ；
y=mx+n y=4
②关于x的不等式kx+b2；
③k+b<0．
阅卷人
三、解答题
得分
17．解方程：
（1）x2−4x+3=0；
（2）3x2+2x−2=0．
18．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC，DF⊥AC，求证：BE＝DF.
3 / 2319．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．
求作：矩形ABCD．
小明的思考过程是：
①由于求作矩形，回顾了矩形的定义和判定：
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；
矩形判定1：对角线相等的平行四边形是矩形；
矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形．
②条件给出了∠ABC=90°，可以选矩形的定义或者矩形判定2；经过思考，小明选择了
“矩形定义”．
③小明决定通过作线段AC的垂直平分线，作出线段AC的中点O，再倍长线段BO，从而确
定点D的位置．
小明的作法如下：
1
作法：①分别以点A，C为圆心，大于 AC的同样长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；
2
③作直线EF，直线EF交AC于点O；
③作射线BO，在BO上截取OD，使得OD=OB；
④连接AD，CD．
∴ 四边形ABCD就是所求作的矩形．
请你根据小明同学设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，依作法在图1中补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵直线EF是AC的垂直平分线，
∴AO=OC，
∵BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形（ ① ）（填推理的依据）．
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形（ ② ）（填推理的依据）．
4 / 23（3）参考小明的作图思路，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成．
（温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明）
20．已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图像经过点A(4，−1)和点B(1，2)，与y轴交于点C．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）在坐标系中画出该一次函数的图象；
（3）求△AOC的面积．
21．已知关于x的一元二次方程x2−(m+2)x+m+1=0．
（1）如果该方程有两个相等的实数根，求m的值；
（2）如果该方程有一个根小于0，求m的取值范围．
22．如图，要在墙边围一个矩形花圃．花圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用篱笆围成．如果矩
形花圃的面积为50平方米，篱笆长20米，求矩形花圃的长和宽各是多少米？
23．某通信公司推出A，B，C三种上网收费方式，每月收取的费用y ，y ，y 与月上网时间x的对应
A B C
关系如图所示．
5 / 23（1）对于上网方式A，若月上网时间在25小时以内，月收费为 元；
（2）如果月上网时间超过35小时且不足55小时，选择方式 最省钱？
（3）对于上网方式B，若月上网时间超过60小时，超出的时间每小时收费 元；
（4）根据图象，写出一个其他的推断．
24．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE∥BD，BE∥AC．
（1）求证：四边形AEBO是菱形；
（2）若AB=OB=4，求四边形AEBO的面积．
25．2022年2月20日晚，北京冬奥会圆满落幕．伴随着北京冬奥会的举行，全国各地掀起了参与冰雪运
动、了解冬奥知识的热潮．为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，某校进行了相关测试，获得了他们
的成绩（单位：分），并随机抽取了50名学生的成绩，对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面
给出了相关信息：
a.50名学生的测试分数（百分制）如下：
77 79 80 60 85 66 86 87 68 89
91 82 68 85 65 82 57 66 86 87
69 67 79 79 86 79 87 89 90 89
81 80 72 82 84 82 65 76 76 97
98 55 89 70 71 78 59 52 70 60
b．按如下分组整理、描述样本数据：
成绩x（单位：分） 频数 频率
50⩽x⩽59 4 0.08
60⩽x⩽69 a 0.20
70⩽x⩽79 12 b
6 / 2380⩽x⩽89 20 0.40
90⩽x⩽100 4 0.08
合计 50 1.00
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）在频数分布表中，a= ，b= ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）该校有1000名学生，请你估计该校学生成绩不低于80分的人数．
26．在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与y=x平行，且过点A(2，1)，过点A作y轴的
垂线，垂足为点B．
（1）求k，b的值；
（2）点C在y轴上，点D(2，m)，四边形ABCD是矩形．
①如果矩形ABCD的面积小于6，求m的取值范围；
②直线y=kx+b（k≠0）与直线CD交于点E，CE=2AD，直接写出点E的坐标．
27．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的点，连接AE，∠BAE=α，过点D作DF⊥AE，
垂足为F，延长DF到点G，使FG=FD，连接AG，BG，延长GB交AE的延长线于点H．
（1）依题意补全图形；
（2）用含α的式子表示∠ABG；
（3）直接写出∠AHB的度数；
（4）用等式表示线段AH，BH，GH之间的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：y=kx+b（k≠0）与图形M给出如下定义：若直线l与图形
M有两个交点P，Q，则线段PQ的长度称为直线l关于图形M的“截距”．如图，矩形ABCD的其中三
7 / 23个顶点的坐标为A(1，0)，B(3，0)，D(1，3)．
（1）点C的坐标是 ．
（2）直线y=x关于矩形ABCD的“截距”是 ；
直线y=x+m关于矩形ABCD的“截距”是√2，求m的值．
（3）如果直线y=kx+b（k≠0）经过点E(2，3)，且关于矩形ABCD的“截距”的最小值是√5，求
k的取值范围．
8 / 23答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、平行四边形是中心对称图形，故A不符合题意；
B、矩形是中心对称图形，故B不符合题意；
C、菱形是中心对称图形，故C不符合题意；
D、等边三角形不是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可。
2．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】 对于两个变量x和y，如果每给定x的一个值，y都有唯一一个确定的值与其对应，那么我们就
说y是x的函数 。根据函数的定义求解即可。
3．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：因为2＞0，-1＜0，所以(2，−1)在第四象限，故本选项符合题意；
B、因为-2＜0，3＞0，所以(−2，3)在第二象限，故本选项不符合题意；
C、因为0=0，5＞0，所以(0，5)在y轴上，故本选项不符合题意；
D、因为3＞0，0=0，所以(3，0)在x轴上，故本选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据第四象限点坐标的特征逐项判断即可。
4．【答案】B
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：当x=-2时，y=2×（-2）+1=-3≠1
∴点A(−2，1)不在直线y=2x+1上；
9 / 23当x=1时，y=2×1+1=3
∴点B(1，3)在直线y=2x+1上；
当x=-3时，y=2×（-3）+1=−5≠2
∴点C(−3，2)不在直线y=2x+1上；
当x=3时，y=2×3+1=7≠3
∴点D(3，3)不在直线y=2x+1上．
故答案为：B．
【分析】将各选项的点坐标分别代入y=2x+1判断即可。
5．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设所求多边形的边数为n，根据题意得：
（n-2）•180°=360°，
解得n=4．
故答案为：B．
【分析】先求出（n-2）•180°=360°，再解方程即可。
6．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵x =x ＜x =x
甲 丁 乙 丙
∴从乙和丙中选一个，
∵1.6＜3.4，
∴丙的成绩方差最小，
∴应该选择丙．
故答案为：C．
【分析】利用方差的性质：方差越大，数据波动越大求解即可。
7．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直平分，而矩形的对角线互相平分且相等，所以A选项不
符合题意；
B、菱形和矩形的对角线都互相平分，所以B选项符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直平分，而矩形的对角线互相平分且相等，所以C选项不符合题意；
D、菱形的对角线互相垂直平分且平分每组对角，而矩形的对角线互相平分且相等，所以D选项不符合
10 / 23题意．
故答案为：B．
【分析】利用矩形和菱形的性质求解即可。
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】依题意，得：36(1+x) 2=48．
故答案为：C．
【分析】根据题意直接列出方程36(1+x) 2=48即可。
9．【答案】x≠2
【知识点】分式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为
0．
10．【答案】x =0，x =2
1 2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2−2x=x(x−2)=0，
解得x =0，x =2，
1 2
故答案为：x =0，x =2．
1 2
【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可。
11．【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=10．
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
11 / 23∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=BC−DE=10−4=6，
故答案是：6．
【分析】根据平行四边形和角平分线的性质可得∠ABE=∠AEB，因此AB=AE=BC−DE=10−4=6。
12．【答案】20
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E分别为AC，BC的中点，DE＝10m，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝20m，
故答案为：20．
【分析】利用三角形中位线的性质可得AB＝2DE＝20m。
13．【答案】y=x（答案不唯一）
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
∵此正比例函数的图象经过一、三象限，
∴k＞0，
∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=x（答案不唯一）．
故答案为：y=x（答案不唯一）．
【分析】先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过一、三象限确定出k的符号，再
写出符合条件的正比例函数即可．
14．【答案】m>−1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题可知，
Δ=b2−4ac=22−4×1×(−m)＞0，
解得m>−1，
故答案为：m>−1．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
15．【答案】＞
【知识点】一次函数的性质
12 / 23【解析】【解答】解：∵k=-2<0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（1，m）与点B（3，n）都在直线y=-2x+1上，且1<3，
∴m>n．
故答案为：>．
【分析】利用一次函数的性质求解即可。
16．【答案】①②或②①
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数与二元一次方程（组）的综合应用；一次函数图
象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵直线y=kx+b与y=mx+n相交于点M(2，4)，
{y=kx+b {x=2
∴关于x，y的方程组 的解是 ，
y=mx+n y=4
故①的结论符合题意；
由图知：当x>2时，函数y=kx+b对应的点都在函数y=mx+n下方，
因此关于x的不等式kx+b2，
故②的结论符合题意；
由图知：当x=1时，函数y=kx+b图象对应的点在x轴的上方，
因此k+b>0，
故③的结论不符合题意；
故答案为：①②．
【分析】利用一次函数的图象、性质图系数的关系，一次函数与不等式的关系及一次函数与二元一次方
程组的关系逐项判断即可。
17．【答案】（1）解：x2−4x+4=−3+4(x−2) 2=1x−2=±1所以，原方程的解为x =1，x =3
1 2
（2）解：a=3，b=2，c=−2b2−4ac=22−4×3×(−2)=28∴
−b±√b2−4ac −2±√28 −1±√7 −1+√7 −1−√7
x= = = ∴原方程的解为x = ，x = ．
2a 2×3 3 1 3 2 3
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）利用公式法求解一元二次方程即可。
13 / 2318．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
在△ABE和△CDF中 ，
{∠BAE＝∠DCF
∠AEB＝∠CFD ，
AB=CD
∴△ABE≌△CDF（AAS）.
∴BE＝DF.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用平行四边形的对边平行且相等，可证得AB＝CD，AB∥CD，利用平行线的性质可
推出∠BAC＝∠DCA，利用垂直的定义可得到∠AEB＝∠DFC，再利用AAS证明△ABE≌△CDF，利用全
等三角形的性质可证得结论.
19．【答案】（1）解：如图：
（2）解：补充后的证明过程如下：证明：∵直线EF是AC的垂直平分线，
∴AO=OC，∵BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）．
（3）解：作图如下：
作图方法：以C点为圆心，AB长为半径作弧，以A点为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于D点，连接
AD，CD即可；证明：由作图方法可知，CD=AB，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
14 / 23∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）利用矩形的判定方法求解即可；
（3）利用矩形的判定方法求解即可。
{4k+b=−1
20．【答案】（1）解：将点A(4，−1)和点B(1，2)代入一次函数y=kx+b（k≠0）得， ，
k+b=2
{k=−1
解得 ，∴一次函数的表达式为y=−x+3；
b=3
（2）解：在平面直角坐标系中描出点A(4，−1)和点B(1，2)，连接两点并延长便得到图像，如图所
示，
（3）解：过A点作AD⊥y轴于D点，如图所示，
15 / 23∵一次函数y=−x+3中，当x=0时，y=3，∴C(0，3)∴OC=3∵A(4，−1)∴AD=4∴
1 1
S = OC⋅AD= ×3×4=6．
△AOC 2 2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解一次函数解析式即可；
（2）利用描点法作出函数图象即可；
（3）先求出点A、C的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可。
21．【答案】（1）解：依题意，得：Δ=[−(m+2)] 2−4(m+1)=m2 ，∵方程有两个相等的实数根，∴
m2=0，∴m=0．
（2）解：x2−(m+2)x+m+1=(x−1)[x−(m+1)]=0解得x =m+1，x =1 ，∵方程有一个根小于0，
1 2
∴m+1<0，∴m<−1．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出方程求解即可；
（2）先求出方程的根，再根据题意列出不等式求解即可。
22．【答案】解：设围成的矩形花圃的宽为x米，则长为(20−2x)米．
根据题意列方程：x(20−2x)=50
解得：x =x =5
1 2
则20−2x=10．
答：矩形花圃的长10米、宽5米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设围成的矩形花圃的宽为x米，则长为(20−2x)米，根据题意列出方程
x(20−2x)=50求解即可。
23．【答案】（1）30
（2）B
（3）3
（4）解：当上网时间超过80小时，选择那种方式最省钱？当x>80时，y >y >80= y ，∴选择方式C
A B C
最省钱．
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（1）解：由图可知：当0≤x≤25时，y =30，∴对于上网方式A，若月上网时间
A
在25小时以内，月收费为30元，故答案为：30．
（2）由图可知：当35
