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专题 20 规律探索与逻辑推理
考点 1 规律探索与逻辑推理
一、单选题
1．（2023年吉林省长春市中考数学真题）下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多
面体的底面是面③，则多面体的上面是（ ）
A．面① B．面② C．面⑤ D．面⑥
2．（2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左
视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（2023年江苏省徐州市中考数学真题） 的值介于（ ）
A．25与30之间 B．30与35之间 C．35与40之间 D．40与45之间
4．（2023年山东省济宁市中考数学真题）已知一列均不为1的数 满足如下关系：
， ，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．2
5．（2023年山东省烟台市中考数学真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单
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位长度，以点P为位似中心作正方形 ，正方形 ，按此规律作下去，所作正方形的顶点均
在格点上，其中正方形 的顶点坐标分别为 ， ，则顶点 的
坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023年山东省日照市中考数学真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王
子”，据传，他在计算 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到
．人们借助于这样的方法，得到 （n是正整
数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点 ，其中 ，且 是
整数．记 ，如 ，即 ，即 ，即 ，以此类推．则下列结
论正确的是（ ）
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A． B． C． D．
7．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图
案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，
……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ）
A．39 B．44 C．49 D．54
8．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个
圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排
列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）
A．14 B．20 C．23 D．26
9．（2023年四川省达州市中考数学真题）如图，四边形 是边长为 的正方形，曲线
是由多段 的圆心角的圆心为 ，半径为 ； 的圆心为 ，半径为 的
圆心依次为 循环，则 的长是（ ）
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A． B． C． D．
10．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，在直线 和 轴之间由小到大依次
画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在 轴上，另一条直角边与 轴垂
直，则第 个等腰直角三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·四川内江·统考中考真题）如图，在边长为 的等边 中，分别取 三边的中点 ， ，
，得△ ；再分别取△ 三边的中点 ， ， ，得△ ；这样依次下去 ，经过第
2021次操作后得△ ，则△ 的面积为（ ）
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A． B． C． D．
12．（2020·广西贺州·统考中考真题）我国宋代数学家杨辉发现了 （ ，1，2，3，…）展开式
系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律， 展开式的系数和是（ ）
A．64 B．128 C．256 D．612
13．（2019·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 、 、 … 在 轴上， 、
、 … 在直线 上，若 ，且 、 … 都是等边三角形，从左到右
的小三角形(阴影部分)的面积分别记为 、 、 … ．则 可表示为( )
A． B． C． D．
14．（2019·山东·统考中考真题）如图，在单位为1的方格纸上，△ ，△ ，△ ， ，都
是斜边在 轴上，斜边长分别为2，4，6， 的等腰直角三角形，若△ 的顶点坐标分别为 ，
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， ，则依图中所示规律， 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
15．（2023年北京市中考数学真题）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品
加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成
后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 分钟；若由两名
学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 分钟．
16．（2023年山西省中考数学真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个
图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有
10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）
17．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在 轴上，点B在
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轴上， ，连接 ，过点O作 于点 ，过点 作 轴于点 ；过点 作
于点 ，过点 作 轴于点 ；过点 作 于点 ，过点 作 轴于点
；…；按照如此规律操作下去，则点 的坐标为 ．
18．（2023年黑龙江龙东地区中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点A在直线
上，顶点B在x轴上， 垂直 轴，且 ，顶点 在直线 上， ；过
点 作直线 的垂线，垂足为 ，交x轴于 ，过点 作 垂直x轴，交 于点 ，连接 ，得到第
一个 ；过点 作直线 的垂线，垂足为 ，交x轴于 ，过点 作 垂直x轴，交 于点 ，
连接 ，得到第二个 ；如此下去，……，则 的面积是 ．
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19．（2023年黑龙江省绥化市中考数学真题）在求 的值时，发现： ，
，从而得到 ．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个
三角形，记作 ；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作 ；再分别连
接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作 ；按此方法继续下去，则
．（结果用含n的代数式表示）
20．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图，在反比例函数 的图象上有 等
点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分
的面积从左到右依次为 ，则 ．
21．（2023年山东省东营市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l： 与x轴交于
点 ，以 为边作正方形 点 在y轴上，延长 交直线l于点 ，以 为边作正方形
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，点 在y轴上，以同样的方式依次作正方形 ，…，正方形 ，则点
的横坐标是 ．
22．（2023年山东省临沂市中考数学真题）观察下列式子
；
；
；
……
按照上述规律， ．
23．（2023年山东省聊城市中考数学真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3
开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对： ； ； ； ；
…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出
第n个数对： ．
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24．（2023年湖北省十堰市中考数学真题）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形
围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第n个
图案需要火柴棍的根数为 （用含n的式子表示）．
25．（2023年湖北省随州市中考数学真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：
设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，
每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人
把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所
有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终
状态为“亮”
的灯共有多少盏？
几位同学对该问题展开了讨论：
甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：
乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和
第3个人共按了2次，……
丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．
根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏．
26．（2023年湖北省恩施州中考数学真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
，4， ，16， ，64，……①
0，7， ，21， ，71，……②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的
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和为 ．
27．（2023年四川省广元市中考真题数学试题）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261
年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律
第八行从左到右第三个数为 ．
28．（2023年四川省广安市中考数学真题）在平面直角坐标系中，点 在 轴的正半轴上，
点 在直线 上，若点 的坐标为 ，且 均为
等边三角形．则点 的纵坐标为 ．
29．（2022·江苏南京·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点案如下规律依
序排列： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，…按这个规律，则 是第 个点．
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30．（2021·贵州黔西·中考真题）如图，在 中， ， ， ，作正方形
A B C D
1 1 1 1
，使顶点 ， 分别在 ， 上，边 在 上；类似地，在 △ 中，作正方形
；在 △ 中，作正方形 ； ；依次作下去，则第 个正方形 的边长是
．
31．（2020·四川广安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OA B C 的两边在坐标
1 1 1
轴上，以它的对角钱OB 为边作正方形OB B C ，再以正方形OB B C 的对角线OB 为边作正方形
1 1 2 2 1 2 2 2
OB B C ……以此类推，则正方形OB B C 的顶点B 的坐标是 ．
2 3 3 2020 2021 2021 2021
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32．（2019·青海·统考中考真题）根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是1时，则输出的y值
等于 ．
33．（2019·青海·统考中考真题）如图，将图 中的菱形剪开得到图，图 中共有 个菱形；将图 中的一
个菱形剪开得到图 ，图中共有 个菱形；如此剪下去，第 图中共有 个菱形……，第 个图中共有
个菱形．
三、解答题
34．（2023年安徽中考数学真题）【观察思考】
【规律发现】
请用含 的式子填空：
(1)第 个图案中“ ”的个数为 ；
(2)第 个图案中“★”的个数可表示为 ，第 个图案中“★”的个数可表示为 ，第 个图案中
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“★”的个数可表示为 ，第 个图案中“★”的个数可表示为 ，……，第 个图案中“★”的个
数可表示为______________．
【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数 ，使得连续的正整数之和 等于第
个图案中“ ”的个数的 倍．
35．（2023·广东东莞·统考三模）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为 ，以CD为斜边作等腰
直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，…按照此规律继续
下去，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
36．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考三模）把黑色围棋子按如图所示的规律拼图案．其中第①个图案有1
颗棋子，第②个图案有4颗棋子，第③个图案有7颗棋子，第④个图案有10颗棋子，…按此规律排列下去，
则第⑨个图案棋子的颗数为（ ）
A．28 B．25 C．22 D．19
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37．（2023·安徽六安·校考三模）有一列数，记为 ， ，…， ，记其前n项和为 ，
定义 为这列数的“亚运和”，现有99个数 ， ，…， ，其“亚运和”为1000，
则1， ， ，…， 这100个数的“亚运和”为（ ）
A．791 B．891 C．991 D．1001
38．（2023·广东揭阳·统考二模）任意写下一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数
字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数
字．在上面每次相乘的过程中，如果积大于9，则将积的个位数字与十位数字相加，若和仍大于9，则继续
相加直到得出一位数．
重复这个过程……
例如，以832开始，运用以上的规则依次可以得到；766，669，999，999……如果，以123开始，运用以
上的规则依次可以得到： ， ， ……
39．（2023·安徽六安·校考三模）填空： ；
；
；
……
(1) __________；
(2)猜想： __________；（其中 为正整数，且 ）
(3)利用（2）中的猜想的结论计算： ．
40．（福建省三明市泰宁县2019-2020学年八年级上学期期中数学试题）估计 的值应在 （）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之
41．（2023·河南周口·校考三模）如图是由6块完全相同的小正方体搭成的几何体，如果在这个几何体上
再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，则最多可以添加小正方体的块数为（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
42．（2023·河南焦作·统考三模）如图是由5个立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该
位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
43．（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆
成下列图形．第1幅图形中“•”的个数为 ，第2幅图形中“•”的个数为 ，第3幅图形中“•”的个数
为 ，…，以此类推，则 的值为 ．
44．（2023·山东泰安·校考三模）在平面直角坐标系中，等边 如图放置，点 的坐标为 ，每
一次将 绕着点 顺时针方向转 ，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到 ，第二
次旋转后得到 ，…，依次类推，则点 的坐标为 ．
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45．（2023·河北承德·统考二模）我们把满足 的三个正整数a，b，c称为“勾股数”．若
是一组勾股数，n为正整数：
(1)当 ， 时，请用含 的代数式表示 ，并直接写出n取何值时，a为满足题意的最小整数；
(2)当 ， 时，用含n的代数式表示 ，再完成下列勾股数表．
9 40
60 61
46．（2023·黑龙江绥化·统考三模）古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列
成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数；
图形 …
五边形数 1 5 12 22 35 51 …
将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表；
1 第一行
5 12 第二行
22 35 51 第三行
… … … … …
观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为 ．
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47．（2023·河北保定·统考模拟预测）按照如图所示的程序，进行计算．
(1)如果输入 ，求输出结果；
(2)若在图1基础上增加一个计算程序“ ”，如图2，重新输入 ，第一次运算得到 ，求输出结果．
48．（2023·山东青岛·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ， ， ，都
是菱形，点 ， ， ，…，都在x轴上，点 ， ， ，…都在直线 上，且
， 则点 的坐标是 ．
49．（2023·甘肃平凉·校考三模）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2
幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝ ．
50．（2023·辽宁鞍山·校考三模）如图，O为坐标原点，点 在y轴的正半轴上，点
在函数 位于第一象限的图象上，若 ， ， ，…，
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都是等边三角形，则线段 的长是 ．
51．（2023·甘肃平凉·校考三模）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是1，可发现第一次
输出的结果是4，第二次输出的结果是2，……，请你探索第2023次输出的结果是 ．
52．（2023·吉林松原·校联考三模）如图1，菱形卡片 菱形卡片 的边长均为2．
．卡片中的扇形半径均为2．如图2是交替摆放这两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共
用两种卡片 张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为 ．(结果保留 )
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53．（2023·山东泰安·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点 ，以
为边长作等边三角形 ，过点 作 平行于x轴，交直线l于点 ，以 为边长作等边三角形
，过点 作 平行于x轴，交直线l于点 ，以 为边长作等边三角形 ，…，则
的长度为 ．
54．（2023·四川宜宾·统考三模）如图，平面直角坐标系中，在直线 和 轴之间由小到大依次画出
若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在 轴上，另一条直角边与 轴垂直，
则第 个等腰直角三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
55．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考二模）下列图形都是由同样大小的★按照一定规律组成的，其
中第①个图形中共有 个★，第②个图形中共有 个★，第③个图形中共有 个★，…，按此规律排列下去，
第⑥个图形中的★个数为（ ）
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A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
56．（2023·云南昆明·昆明八中校考三模）按一定规律排列的单项式： ， ， ， ， ，…，
第 个单项式是（ ）
A． B． C． D．
57．（2023·江苏徐州·校考三模）如图，在x轴的正半轴上依次截取 ，过点 ，
分别作x轴的垂线与反比例函数 的图象相交于点 ，得 ， ， ，
并设其面积分别为 ，以此类推，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
58．（2023·山东济南·统考三模）在直角坐标系中，点A 从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置
1
的坐标依次为：A（1，0），A（1，1），A（﹣1，1），A（﹣1，﹣1），A（2，﹣1），A（2，
2 3 4 5 6 7
2），…．若到达终点A（506，﹣505），则n的值为 ．
n
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59．（2023·安徽六安·校考模拟预测）正六边形是由边长相等的等边三角形构成的，我们把每个等边三角
形叫做基本图形的特征三角形．基本图形是由边长为1的特征三角形按一定规律排列的．
(1)观察图形，完成表格：
图
图形编号 图1 图2 图3 …
n
基本图形的特性三角形个数 6 10 14 …
图形的周长 6 8 …
图形的面积 …
(2)已知上述某一图形中共有202个特征三角形，则这一图形的周长是_______，面积是________．
60．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考三模）观察下列等式的规律，解答下列问题：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
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第3个等式： ，
第4个等式： ．
……
(1)根据以上等式规律： ______， ______；
(2)写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示），并证明．
23
