文档内容
北京二中教育集团 2021—2022 学年度第一学期
初三数学期中考试试卷
一、选择题
1. 随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学
等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个
图形叫做中心对称图形，据此依次判断即可.
【详解】∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这
个图形叫做中心对称图形，
∴A、C、D不符合，不是中心对称图形，B选项为中心对称图形.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解题关键.
2. 函数y=(x+1)2－2的最小值是（ ）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
【答案】D
【解析】
【分析】抛物线y=(x+1)2－2开口向上，有最小值，顶点坐标为(－1，－2)，顶点的纵坐标－2即为函数的
最小值．
【详解】解：根据二次函数的性质，当x=－1时，二次函数y=(x+1)2－2的最小值是－2．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，关键是把解析式配方成顶点式．
3. 将抛物线 向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.【答案】A
【解析】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律平移求解即可．
【详解】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，将抛物线 向左平移1个单位，再向下平移
2个单位，所得抛物线解析式为
故选A
【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握函数的平移规律是解题的关键．
4. 关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a值为（ ）
A. 2或-2 B. 2 C. -2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知 ，将 代入方程，求解 即可．
【详解】解：由题意可知： ，即
将 代入方程得 ，解得
∴
故选C
【点睛】此题考查了一元二次方程的根与概念，解题的关键是理解一元二次方程根的意义，易错点是容易
忽略二次项系数不能为0．
5. 方程x22x3=0的一个实数根为m，则2022m2+2m的值是( )
A. 2022 B. 2021 C. 2020 D. 2019
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2−2m＝3，然后利用整体代入的方法计算2022m2+2m的值．
【详解】解：∵方程x22x3=0的一个实数根为m，
∴m2−2m-3=0，
∴m2−2m＝3，
∴2022m2+2m＝2022-3＝2019．故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操
作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先由 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作 与
的垂线，两垂线的交点即为 的外心．
【详解】解： 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
作图得：
与 的交点 即为所求的 的外心，
的外心坐标是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形外心的知识，解题的关键是注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．
7. 如图，直线 和抛物线 ，当 时， 的取值范围是（ ）
A. B. 或 C. 或 D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出两个函数图象的交点坐标，当 确定直线y 的图象在抛物线y 的上方，由此得到答
1 2
案．
【详解】解：由 ，解得 或 ，
两函数图象交点坐标为 ， ，
由图可知， 时， 的取值范围是 或 ．
故选： ．
【点睛】此题考查求两个函数图象的交点坐标，根据函数图象确定自变量x的取值范围，正确解出交点坐
标及正确理解函数图象是解题的关键．
8. 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，
BC的长y米，菜园的面积为S(单位：平方米) ．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则
y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系C. 一次函数关系，反比例函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求得y和S与x的函数关系式，然后由函数关系式可直接进行判别即可．
【详解】解：由题意可知： ，
，则 ，即 ，y与x满足一次函数关系
菜园的面积： ，S与x满足二次函数的关系
故选A
【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键．
二、填空题
9. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式
可以是______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据抛物线开口方向得出a的符号，进而得出c的值，即可得出二次函数表达式.
【详解】解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，2），
∴a＜0，c=2，
为
∴二次函数表达式 ：y=-x2+2（答案不唯一）．
故答案为y=-x2+2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的图像特征及性质，掌握二次函数的图像特征及性质是解题的关键.
10. 如图，在 中，点 是 的中点， ，则 等于________．
【答案】
【解析】【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据等腰三角形性质得出∠BOC＝
∠AOB，代入求出即可．
【详解】解：∵ ，
∴
∴ ，
∵点 是 的中点，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或
等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．
11. 若关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范围是______．
【答案】 且
【解析】
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式 ，即可得出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出
结论．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有实数根，
∴
解得： 且 ．
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式 ，找出关于 的一元一次不等式组是解题的关键．
12. 近年来某县加大了对教育经费的投入，2014年投入了2500万元，2016年投入了3500万元，假设该县
投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意可列方程为_____．
【答案】2500（1+x）2=3500
【解析】
【详解】分析：首先根据题意可得2016年教育经费的投入=2015年教育经费的投入×（1+增长率），2015
年教育经费的投入=2014年教育经费的投入×（1+增长率），由此可得方程2500（1+x）2=3500．
详解：设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得：
2500（1+x）2=3500．
故答案为2500（1+x）2=3500．
点睛：本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：若变
化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=3，点D在AC上，且AD=2，将点D绕着点A顺时针方
向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为________，CE的长为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由题意可知 为等腰直角三角形， ，旋转的性质可得 ， ，
根据勾股定理即可求解．
【详解】解：由题意可知 为等腰直角三角形，
由旋转的性质可得， 为旋转角， ，旋转角的度数为
连接 ，如下图：则 ，
由勾股定理可得：
故答案为 ，
【点睛】此题考查了旋转的性质，涉及了勾股定理，掌握旋转的有关性质以及勾股定理是解题的关键．
14. 在半径为2的⊙O中，弦AB为2，则弦AB所对的圆周角的度数为 ___．
【答案】30°或150°
【解析】
【分析】弦所对的弧有优弧和劣弧，故弦所对的圆周角也有两个，它们的关系是互补关系；弦长等于半径
时，弦所对的圆心角为60°，进而即可求解．
【详解】解：如图，弦AB所对的圆周角为∠C，∠D，
连接OA、OB，
为
因 AB＝OA＝OB＝2，
所以，∠AOB＝60°，
根据圆周角定理知，∠C＝ ∠AOB＝30°，
根据圆内接四边形的性质可知，∠D＝180°−∠C＝150°，
所以，弦AB所对的圆周角的度数30°或150°．
故答案是：30°或150°．
【点睛】若圆中的一条弦等于圆的半径，则此弦和两条半径构成了等边三角形；在圆中，弦所对的圆周角有两个，不要漏解．
的
15. 已知二次函数 ，当 时，函数值y 取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】求得二次函数的对称轴，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解： 的对称轴为 ， ，开口向上
又∵
∴当 时， 最小为 ， 时， 最大为
∴
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
16. 如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， 为平面内的动点，且满足 ，
为直线 上的动点，则线段 长的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】由直径所对的圆周角为直角可知，动点 轨迹为以 中点 为圆心， 长为直径的圆，求得
圆心 到直线的距离，即可求得答案．
【详解】∵ ，
∴动点 轨迹为：以 中点 为圆心， 长为直径的圆，∵ ， ，
∴点M的坐标为： ，半径为1，
过点M作直线 垂线，垂足为D，交⊙D于C点，如图：
此时 取得最小值，
∵直线的解析式为： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了点的轨迹，圆周角定理，圆心到直线的距离，正确理解点到直线的距离垂线段最短是
正确解答本题的关键．
三、解答题
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊三角函数值，零次幂、绝对值以及二次根式的运算求解即可．
【详解】解：【点睛】本题主要考查特殊三角函数值、零次幂、绝对值及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、
零次幂、绝对值及二次根式的运算是解题的关键．
18. 解方程： ．
【答案】x=- ，x=1
1 2
【解析】
【分析】先将方程整理为一般形式，再运用因式分解法求解；
【详解】解：（1）5x2-3x=x+1
整理，得5x2-4x-1=0，
（5x+1）（x-1）=0，
∴5x+1=0或x-1=0，
x=- ，x=1；
1 2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，
因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
的
19. 下面是小东设计 “作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程．
已知：⊙O
求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于⊙O，且其对角线AC，BD的夹角为60°．
作法：如图
①作⊙O的直径AC；
②以点A为圆心，AO长为半径画弧，交直线AC上方的圆弧于点B；
③连接BO并延长交⊙O于点D；
所以四边形ABCD就是所求作的矩形．
根据小东设计 的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．证明：∵点A，C都在⊙O上，
∴OA＝OC
同理OB＝OD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°（ ）（填推理的依据）
∴四边形ABCD是矩形
∵AB＝ ＝BO，
∴四边形ABCD四所求作的矩形．
【答案】（1）见解析；（2）直径所对圆周角是直角，AO
【解析】
【分析】（1）根据要求作图即可得；
（2）根据圆周角定理推论及圆的性质求解可得．
【详解】解：（1）如图所示，矩形ABCD即为所求；
（2）证明：∵点A，C都在⊙O上，
∴OA＝OC
同理OB＝OD∴四边形ABCD是平行四边形
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°（直径所对圆周角是直角）
∴四边形ABCD是矩形
∵AB＝AO＝BO，
∴四边形ABCD即为所求作的矩形，
故答案为：直径所对圆周角是直角，AO．
【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，涉及到等边三角形的判定与性质、圆周角定理、矩形的性质与判定
等知识，解题的关键是掌握圆周角定理．
20. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图 ，点 表示筒车的
一个盛水桶．如图 ，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心 为圆心， 为半径的圆，且圆心在
水面上方．若圆被水面截得的弦 长为 ，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
【答案】最大深度为
【解析】
【分析】根据题意作 于 ，交 于点 ，再利用勾股定理得出OE，即可解答.
【详解】解：作 于 ，交 于点在 中，
筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为
【点睛】此题考查垂径定理，解题关键在于作辅助线利用勾股定理进行计算.
21. 已知二次函数 ．
（1）将二次函数化成 的形式；
（2）在平面直角坐标系中画出 的图象；
（3）结合函数图象，直接写出 时x的取值范围．
【答案】（1）y=（x＋1）2-4；（2）图见解析（3）x＜−3或x＞1．
【解析】
【分析】（1）利用配方法可把抛物线解析式化顶点式；（2）先解方程 ＝0得抛物线与x轴的交点坐标为（−3，0），（1，0），再根据抛物线的顶点坐
标画二次函数图象；
（3）结合函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：（1）
＝x2＋2x＋1−4
＝（x＋1）2-4；
（2）抛物线的顶点坐标为（−1，-4），
当y＝0时， ＝0，解得x＝1，x＝−3，则抛物线与x轴的交点坐标为（−3，0），（1，0）；
1 2
如图， 的图象如下：
（3）结合函数图象， 时x的取值范围为x＜−3或x＞1．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴
的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
22. 在刚刚结束的校运动会的实心球比赛中，小宇在决赛中，实心球所经过的路线是如图所示的抛物线的
一部分．已知实心球出手处A距离地面的高度是 米，当实心球运行的水平距离为4米时，达到最大高度
5米的B处．小宇此次投掷的成绩是多少米？
【答案】9米．【解析】
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，运用顶点式求函数的解析式，令y=0得到有意义的x值即为成
绩．
【详解】以水平直线为x轴，以过点A的铅直直线为y轴，交点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A
（0， ），B（4，5），
设解析式为y=a ，
根据题意，得 = ，
解得a= ，
∴y= ，
令y=0得： =0，
解得 （舍去）
∴小宇此次投掷的成绩是9米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握顶点式确定抛物线的解析式是解题的关键．
23. 已知关于x的方程mx2+(3﹣m)x﹣3=0(m为实数，m≠0)．
(1) 试说明：此方程总有两个实数根．
(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值.
【答案】(1)见解析；(2)m=-1,-3.【解析】
【分析】（1）先计算判别式得到 =（m-3）2-4m•（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到 ≥0，然后根
据判别式的意义即可得到结论； △ △
（2）利用公式法可求出x= ，x=-1，然后利用整除性即可得到m的值．
1 2
【详解】解: （1）∵m≠0，
∴方程mx2+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程，
∴△=（m-3）2-4m×（-3）=（m+3）2，
∵（m+3）2≥0，即 ≥0，
∴方程总有两个实数△根；
（2）∵x= ，
∴x=- ，x=1，
1 2
∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴m=-1或-3．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式 =b2-4ac：当 ＞0，方程有两个不相
等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 ＜0，方程没有△实数根．也考△查了解一元二次方程．
△ △
24. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数 的图象向下平移2个单位
长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞4时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m
的取值范围．【答案】(1) y= x-2;(2) ≤m≤1．
【解析】
【分析】（1）根据平移的规律即可求得．
（2）根据点（-4，-4）,结合图象即可求得．
【详解】解：（1）函数y= x的图象向下平移2个单位长度得到y= x-2，
∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由函数y= x的图象向下平移2个单位长度得到，
∴这个一次函数的表达式为y= x-2．
（2）把x=-4代入y= x-2，求得y=-4，
∴函数y=mx（m≠0）与一次函数y= x-2的交点为（-4，-4），
把点（-4，-4）代入y=mx，
求得m=1，
如图:当x＞-4时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值大于一次函数y= x-2的值，
∴ ≤m≤1．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
25. 如图，AB是⊙O直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CG，过点B作CG的垂线，垂足为
点D，交⊙O于点E，连接CB．
（1）求证：CB平分∠ABD；
（2）若BC=5，BD=3，求AB长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）连接OC，得到∠OCB=∠OBC，再由切线得到∠OCD=90°，结合BD⊥CG得到OC∥BD，
然后得到∠OCB=∠DBC，最后得到∠OBC=∠DBC，然后得证结果；
（2）过点B作BH⊥OC于点H，先通过BD=3，BC=5，求得CD=BH=4，CH=BD=3，然后设半径为r，进
而表示出OH、OB的长，再利用勾股定理列出关于r的方程求解r的值，最后得到AB的长度．
【小问1详解】
证明：如图1，连接OC，则OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵CG是⊙O的切线，BD⊥CG，
∴∠OCD=∠BDC=90°，
∴OC∥BD，
∴∠OCB=∠DBC，
∴∠OBC=∠DBC，
∴BC平分∠OBD；
【小问2详解】
解：∵BD=3，BC=5，∠BDC=90°，
∴CD=4，
过点B作BH⊥OC于点H，则四边形BDCH为矩形，
∴CH=BD=3，BH=CD=4，设OC=OB=r，则OH=OC-CH=r-3，
在Rt△OHB中，OH2+BH2=OB2，
∴（r-3）2+42=r2，
解得：r= ，
∴AB=2r=2× = ．
【点睛】本题考查了圆的切线、勾股定理、角平分线的定义，解题的关键是将切线的条件转化为直角条件
应用．
26. 已知二次函数 ，其对称轴为直线x=t．
（1）当a=1，b=4时，t=________；
（2）当a<0时，若点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m
