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初二年级数学学科练习
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 2022年，北京中轴线申遗进入加速阶段，北京中轴线北起钟鼓楼，南至永定门，贯穿老城南北，直线距
离长约7.8公里，是我国现存最完整、最古老的中轴线．这条中轴线一路向北延伸，鸟巢、冰立方为这条
古老的中轴线注入了新的生命力，它正向世界述说着这座千年古都的时代新貌，下列关于中轴线建筑的简
笔画，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可得出答案．
【详解】解：根据轴对称图形的定义，四个选项中，只有A选项中的图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
分能够完全重合，B，C，D选项均不符合，
因此只有A选项中的图形是轴对称图形．
故选A．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义：在平面内，如果一个图形沿
一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
2. 若x=-1，则下列分式值为0的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．
【详解】解：A、当 时，原式= ，故A不选；B、当x=-1时，原分式无意义，故B不选；
C、当x=-1时，原式= ，故C不选；
D、当x=-1时，原式= ，故选D.
故选：D.
【点睛】本题考查分式的值为0的条件，解题的关键是熟练运用分式的运算，本题属于基础题型．
3. 由图中所表示的已知角的度数，可知∠α的度数为 （ ）
A. 80° B. 70° C. 60° D. 50°
【答案】D
【解析】
【详解】∵多边形的外角和为360°，且已知三个外角的度数分别是120°、70°、120°，
∴∠α＝（360－120－70－120）°＝50°；
故选D．
4. 如图所示，点O是 内一点， 平分 于点D，连接 ，若 ，
，则 的面积是（ ）
A. 20 B. 30 C. 50 D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：过O作OE⊥AB于点E，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积＝ ，
故选：C．
【点睛】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出OE＝OD解答．
5. 如图，∠EAF＝18°， ，则∠ECD等于（ ）
A. 36° B. 54° C. 72° D. 108°
【答案】B
【解析】
【分析】根据等边对等角求出∠BCA，∠BDC，再利用外角性质求出∠ECD．
【详解】解：∵∠EAF＝18°，AB=BC，
∴∠BCA=∠EAF＝18°,
∴∠CBD=∠A+∠BCA=36°，
∵CB=CD，
∴∠BDC=∠CBD=36°，
∴∠ECD=∠A+∠BDC=54°，
故选：B．
【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形外角的性质，熟记等腰三角形等边对等角的性
质是解题的关键．
6. 下列因式分解正确的是（ ）
A. B.C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据提公因式法、完全平方公式和平方差公式，对选项进行分解因式，即可得出答案．
【详解】解：A、 ，故该因式分解错误，不符合题意；
B、 ，故该因式分解错误，不符合题意；
C、 ，故该因式分解错误，不符合题意；
D、 ，故该因式分解正确，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握利用提公因式法和公式法分解因式．
7. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，可得
答案．
【详解】解：A、分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，
故A错误；
B、分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，故B错误；
C、分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，故C错误；
D、分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整
式，分式的值不变．
8. 一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖
部分的面积是（ ）A. 2ab B. ab C. a2﹣4b2 D. （a﹣2b）2
【答案】B
【解析】
【分析】设小正方形的边长为x，大正方形的边长为y，列方程求解，用大正方形的面积减去4个小正方形
的面积即可．
【详解】解：设小正方形的边长为x，大正方形的边长为y，
则： ，
解得： ，
∴阴影面积=（ ）2﹣4×（ ）2 ＝ab．
故选B
【点睛】本题考查了整式的混合运算，求得大正方形的边长和小正方形的边长是解题的关键．
二、填空题（每小题2分，共16分）
9. 使分式 有意义 的x的取值范围是_________．
【答案】x≠1
【解析】
【详解】根据题意得：x-1≠0，即x≠1.
故答案为：x≠1．
10. 在数学课上，小明计算 时，已正确得出结果，但课后不小心将第二个括号中的常数染黑
了，若结果中不含有一次项，则被染黑的常数为__________．【答案】2
【解析】
【分析】设被染黑的常数为a，利用乘法公式展开 ，根据一次项系数为0即可求出a的值．
【详解】解：设被染黑的常数为a，
则 ，
∵结果中不含有一次项，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算法则，本题也可以通过
平方差公式快速求解．
11. 若 ， ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据完全平方公式，得出 ，进而整理得出 ，再把 代
入，计算即可得出结果．
【详解】解：∵ ，
整理，可得： ，
又∵ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，完全平方公式的应用，解本题的关键在熟练掌握完全
平方公式．
12. 如图， 中 ， 分别是 的高和角平分线，若 ， ，则
_____°．【答案】
【解析】
【分析】根据 ， 分别是 的高和角平分线，得 ， ；根据三角
形的外角，得 ， ，即可．
【详解】∵ ， 分别是 的高和角平分线，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的知识，三角形的外角和定理，角平分线的定义，高线的定义，解题的关键是
掌握三角形的外角和定理，三角形角平分线和高线的性质．
13. 如图，在 中， 是 的垂直平分线，若 ， 的周长是 ，则的周长是__________cm．
【答案】
【解析】
【分析】 的周长是 ， ，所以求 的周长其实就是求 ，
由此即可求出答案．
【详解】解：∵ 是 的垂直平分线，且 ，
∴ ， ，即 ，
∵ 的周长是 ，即 ，
∴ ，
∵ 的周长是 ， ，
∴ 的周长是 ，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查的是垂直平分线的性质，解题的关键是通过垂直平分线的性质将所求线段转化为已
知线段的关系．
14. 如图，在 ABC中，∠ACB=90°，∠B =30°，CD是高．若AD=2，则BD=____．
△
【答案】6
【解析】
【分析】求出∠A，求出∠ACD，根据含30度角的直角三角形性质求出AC＝2AD，AB＝2AC，求出AB即可．
【详解】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝90°−∠B＝60°，
∴∠ACD＝90°−∠A＝30°，
∵AD＝2，
∴AC＝2AD＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∴BD＝AB−AD＝8−2＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查的是含 角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出AC＝
2AD，AB＝2AC．
15. 如图所示，已知P是 上的一点， ，请再添加一个条件：___________，使得
．
【答案】 或 或
【解析】
【分析】利用全等三角形的判定定理解决问题即可.
【详解】若添加∠BAP=∠CAP，且∠ABP=∠ACP，AP=AP，由“AAS”可证△ABP≌△ACP；
若添加∠APB=∠APC，且∠ABP=∠ACP，AP=AP，由“AAS”可证△ABP≌△ACP；
若添加∠DPB=∠DPC，可得∠APB=∠APC，且∠ABP=∠ACP，AP=AP，由“AAS”可证△ABP≌△ACP；
故答案为：∠BAP=∠CAP或∠APB=∠APC或∠DPB=∠DPC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键.16. 如果 ，则：
（1） 的值为______；
（2） 的值为______．
【答案】 ①. ## ## ②.
【解析】
【分析】（1）根据 可得 ，即有 ，
，将 去括号，再代入计算即可；
（2） 变形为 ，将 ， 代入计算即可求解．
【详解】（1）
即： ， ，
，
故答案为： ；（2）根据（1）中可知： ， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式法则，根据等式的恒等性得出 ，
是解题的关键．
三．解答题（共60分，17、18每小题8分，19-21，23、24每小题5分，22题4分，25题8
分，26题7分）．
17. （1）计算：
（2）因式分解：
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据有理数的乘方、零指数幂、积的乘方、单项式的乘法计算和化简各数或式，然后合并
即可；
（2）根据提公因式法和完全平方公式分解因式即可．【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了有理数的乘方、零指数幂、积的乘方、单项式的乘法、因式分解，解本题的关键在熟
练掌握相关的运算法则和因式分解的方法．
18. （1）运用乘法公式简算：
（2）化简：
【答案】（1） ，（2）
【解析】
【分析】（1）运用平方差公式计算即可；
（2）运用平方差公式化简即可．
【详解】（1）
；
（2）．
【点睛】本题主要考查了运用平方差公式进行计算的知识，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．
19. 化简： ．
【答案】
【解析】
【分析】首先计算积的乘方运算，再把除法转化为乘法，然后再根据分式乘法计算化简，即可得出答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了分式的乘除法，解本题的关键在熟练掌握积的乘方运算和分式的乘除法法则．
20. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】 ，
【解析】【分析】根据 得出 ，然后根据分式的混合运算法则将原式化简，代入求值即
可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，代数式求值等知识点，熟练掌握分式的混合运算法则是解本题的关
键．
在
21. 如图，点 ， ， ， 一条直线上， ， ， ，求证：
．
【答案】见详解
【解析】
【分析】先证明 ，可得 ，进而可得 ，问题得证．【详解】∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ， ， ， 在一条直线上，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，掌握全等三角形的判定与性质
是解答本题的关键．
22. 尺规作图：
如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P在A区内，且到铁路 和公路 的
距离相等，到两通讯站C和D的距离也相等．如果你是红方的指挥员，请你在下图中标出蓝方指挥部点P
的位置．（保留作图痕迹，不必写作法）
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】作线段CD的垂直平分线MN，作∠CBF的角平分线BE交MN于点P，点P即为所求作.
【详解】如图，点P即为所求作．
【点睛】本题考查作图的应用与设计，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵
活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23. 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 、 、 三点在格点上．
（1）作出 关于 轴对称的 ，并写出点 的坐标；
（2）在 轴上求作点 ，使得 最小，直接写出 点坐标；
（3）若 为等腰三角形，且点 在 轴上，则满足题意的点 的个数有______个．
【答案】（1）图形见详解， 的坐标为：
（2） 点坐标
（3）3
【解析】
【分析】（1）根据对称的性质作图即可，再根据图形即可写出点 的坐标；
（2）作B点关于y轴的对称点 ，连接 ，交y轴于点D，问题随之得解；
（3）以B为圆心， 为半径画圆，交y轴于点 ， ，作 的垂直平分线交y轴于点 ，即点P在
， ， 时可以使得 为等腰三角形，问题得解．
【小问1详解】
作图如下：即为所求，点 的坐标为： ．
【小问2详解】
作B点关于y轴的对称点 ，连接 ，交y轴于点D，如图，
由图可知D点坐标为： ．
证明：根据B点关于y轴的对称为点 ，则有： ，
即 ，
显然：当A、D、 三点共线时 最小，最小为 ，即D点即为所求；
【小问3详解】
以B为圆心，BC为半径画圆，交y轴于点 ， ，作 的垂直平分线交y轴于点 ，即点P在 ， ，时可以使得 为等腰三角形，如图，
即满足要求的点有3个．
证明：根据作图可知： ， ， ，
即 ， ， 是等腰三角形，即满足要求的P点有3个．
【点睛】本题考查了作图−轴对称变换，最短路径问题以及等腰三角形的定义等知识，掌握轴对称的性质
是解答本题的关键．
24. 如图：在 中， ，D为 边的中点，过点D作 于点E， 于点
F．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的周长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，可得 平分 ，再根据 证明 ，即可得到结果；（2）根据已知条件证明 为等边三角形，再根据直角三角形的性质得到 ，即可得到结果；
【小问1详解】
证明：连接 ，
∵ ， 为 边的中点，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解： ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
，
∴ ，∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为 ．
【点睛】本题主要考查了三线合一，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，含30度角的直
角三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
25. 如图，在 中， ， ， 为 的中点， 为 延长线上一点，连接 ，
过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ．作点 关于直线 的对称点 ，连接 ．
（1）依题意补全图形；
（2）若 ，求 的度数（用含 的式子表示）；
（3）请判断以线段 ， ， 为边的三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）作图见解析
（2）
（3）直角三角形，过程见解析
【解析】
【分析】对于（1），根据题意画出图形解答即可；
对于（2），先分别表示 ， ，再根据轴对称的性质解答即可；对于（3），根据（2）中的结论得出 ，再结合“ ”证明 ≌ ，即可得出
，再根据 ，结合三角形外角的性质说明 是直角三角形，即可得出答案．
【小问1详解】
如图所示．
【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵点B，点N关于直线 对称，
∴ ；【小问3详解】
直角三角形．
理由如下：连接 ， ，由（2）得 ，根据轴对称可知 ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ≌ ，
∴ ， ．
∵ 是 的外角，
∴ ，
.
∴
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
所以以线段 ， ， 为边的三角形是直角三角形．【点睛】本题主要考查了作图能力，轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，直角
三角形的判定等，构造全等三角形是解题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 经过点 ，且平行于 轴．给出如下定义：点
先关于 轴对称得点 ，再将点 关于直线 对称得点 ，则称点 是点 关于 轴和直线 的
二次反射点．
（1）已知 ， ， ，则它们关于 轴和直线 的二次反射点 ， ， 的坐标
分别是______；
（2）若点 的坐标是 ，其中 ，点 关于 轴和直线 的二次反射点是点 ，求线段 的长；
（3）已知点 ，点 ，以线段 为边在 轴上方作正方形 ，若点 ，关于 轴和直线 的二次反射点分别为 ， ，且线段 与正方形 的边有公共点，
求 的取值范围．
【答案】（1） ； ；
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案；
（2）根据二次反射点的定义得出 ，则可得出答案；
（3）根据二次反射点的定义得出 ， ，由题意分两种情况列出不等式组，解不等式
组可得出答案．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴点 关于 轴对称点的坐标为 ，
∵ 关于直线 对称的点 ，
∴ 关于 轴和直线 的二次反射点 的坐标 ，
∵ ，
∴点 关于 轴对称点的坐标为 ，
∵ 关于直线 对称的点 ，
∴ 关于 轴和直线 的二次反射点 的坐标 ，
∵ ，
∴点 关于 轴对称点的坐标为 ，∵ 关于直线 对称的点 ，
∴ 关于 轴和直线 的二次反射点 的坐标 ；
故答案为： ； ；
【小问2详解】
解：∵点 的坐标是 ，其中 ，
∴点 关于 轴对称点的坐标为 ，
∴ 关于直线 对称的点 ，
∴ ；
【小问3详解】
解：∵点 ， ，
∴点 、 关于 轴和直线 的二次反射点分别为 ， ，如图，
当 与 有公共点时，
，
解得： ，当 与 有公共点时，
，
解得： ，
综上所述， 的取值范围为： 或 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、轴对称性质、动点问题、新定义二次反射点的理解和运用，解题关键
是对新定义二次反射点的正确理解．
