文档内容
2022-2023 学年度第一学期期中练习题
考生须知：
1．本试卷共6页，共三道大题28道小题．满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题纸上准确填写班级、姓名和学号．
3．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效．
4．考试结束后，试卷和答题纸一律上交．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原
来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是利用轴对称图形和中心对称图形的
定义进行判断．
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可；
【详解】解：A、 是二元二次方程；不符合题意；B、 是分式方程；不符合题意；
C、 是一元二次方程；符合题意；
D、 是一元一次方程；不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义；能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一
次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
3. 已知点A(-1，a)，点B(b，2)关于原点对称，则a＋b的值是（ ）
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：∵点A（﹣1，a），点B（b，2）关于原点对称，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴a+b＝﹣2+1＝﹣1，
故选：A．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相
反数得出a，b的值是解题关键．
4. 一元二次方程 的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据判别式的值确定根的情况即可．
【详解】解： ，
∴有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查判别式与根的关系，能够熟练计算判别式并判断根的情况是解题关键．
5. 将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）A. y=（x+1）2+4 B. y=（x﹣1）2+4
C. y=（x+1）2+2 D. y=（x﹣1）2+2
【答案】D
【解析】
【详解】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完
全平方式即可得：y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2．
故选：D．
6. 已知关于x的一元二次方程 有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程二次项系数不为零，一元二次方程有实数根根的判别式大于等于零，建立不等
式组求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
解①得， ，
解②得，
∴ 且 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了根据一元二次方程的根确定字母系数的取值，熟练掌握一元二次方程的定义，一元二
次方程的根与根的判别式的关系，解不等式组，是解题的关键．
7. 若 ， ， 为二次函数 的图象上的三点，则 ， ， 的
大小关系是（ ）
A. B. C. D.【答案】B
【解析】
【分析】把三个点的横坐标代入函数解析式，求出对应函数值，比较大小即可．
【详解】解：把 ， ， 分别代入 得，
； ； ；
则 ， ， 的大小关系是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数比较函数值大小，准确求出二次函数对应函数值是解题关键．
8. 四位同学在研究二次函数 时，甲同学发现函数的最小值为 ；乙同学发现当
时， ；丙同学发现 是一元二次方程 的一个根；丁同学发现函数图
象的对称轴是直线 ；已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式，依次假设不对时，其它三个条件是否同时成立．
【详解】解：函数的最小值为 时， ①，
当 时， 时， ②，
是一元二次方程 的一个根时， ③，
对称轴是直线 时， ④，
当甲不对时，由②和③联立，得 不满足④，故不成立．
当乙不对时，由③和④联立，得 满足①，故成立．
当丙不对时，由①和④联立，得 不满足②，故不成立．当丁不对时，由②和③联立，得 不满足①，故不成立．
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象及性质，能够熟练掌握二次函数的性质，假设分析结论是解
此题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若方程 是关于x的一元二次方程，则m的值为______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵方程 是关于x的一元二次方程，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟知一元二次方程的定义是解题的关键：
一般地，形如 ，a、b、c都是常数的方程叫做一元二次方程．
10. 写出一个二次函数，使其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点(0，−2)，这个二次函数的解析式可
以是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质可得出a＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-2，取a=-1，b=0
即可得出结论．
【详解】解：设二次函数的解析式为 ．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，-2），
∴c=-2．取a=-1，b=0时，二次函数的解析式为 ．
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数
图象上点的坐标特征，找出a＜0，c=-2是解题的关键．
11. 若关于x的一元二次方程 有一个根是4，则方程的另一个根为______________．
【答案】
【解析】
【分析】设方程的另一个根为m，根据一元二次方程根与系数的关系得到 ，据此求解即可．
【详解】解：设方程的另一个根为m，
∵关于x的一元二次方程 有一个根是4，另一个根为m，
∴ ，
∴ ，
∴方程的另一个根为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若 是一元二次方程
的两实数根，则 ．
12. 如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转，得到 ，连接 ．若
△
，则 ______ ．
【答案】50
【解析】
【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=65°，则∠AC′C=∠ACC′=65°，再根据三角形内角和计算
出∠CAC′=50°，所以∠B′AB=50°．
【详解】解： 绕点 逆时针旋转到 的位置，
△
， ，
，
// ，
，
，
，
，
故答案为50．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．
的
13. 将抛物线 向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线 解析
式是______________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出抛物线 的顶点坐标为 ，把 向左平移2个单位长度，再向下平移
4个单位长度，得到的点坐标为 ，然后利用顶点式写出所得新抛物线的解析式即可．
【详解】解：由题意得抛物线 的顶点坐标为 ，先把 向左平移2个单位长度，再
向下平移4个单位长度，得到的点坐标为 ，
∴所得新抛物线的解析式为： ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次函数图像与几何变换，掌握抛物线平移后的形状不变，会利用顶点平移求解析
式是解题的关键．
14. 一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，若设个位数字为x，列
出方程为______________．
【答案】
【解析】
【分析】设个位数字为x，则十位数字为 ，再由个位数字与十位数字的乘积等于72列出方程即可．
【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为 ，
由题意得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了列一元二次方程，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键．
15. 如图，将含有 角的直角三角板放置在平面直角坐标系中， 在x轴上，若 ，将三角板绕
原点O旋转 得到 ，则点A的对应点 的坐标为______________．
【答案】 或
【解析】
【分析】分类讨论：①当三角板绕原点O旋转逆时针旋转 时，过点 作 轴于点C．根据旋转的性质，含 角的直角三角形的性质和勾股定理即可求出点 的坐标；②当三角板绕原点O旋转顺时
针旋转 时，根据旋转的性质可证明此时点 在y轴上，即得出点 的坐标．
【详解】解：①当三角板绕原点O旋转逆时针旋转 时，如图，过点 作 轴于点C，
由旋转可知 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当三角板绕原点O旋转顺时针旋转 时，如图．
由旋转可知 ， ，
∵ ，∴ ，
∴点 在y轴上，
∴ ．
综上可知点A的对应点 的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化—旋转，含 角的直角三角形的性质和勾股定理．利用分类讨论和
数形结合的思想是解题关键．
16. 如图，在 中， 轴，已知点C的纵坐标是3，将 绕点A旋转 得
到 ，使点C恰好落在y轴负半轴点E处，若点C和点D关于原点O成中心对称，则点A的坐标
______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据旋转可得 ，设C点坐标为 ，根据点C和点D关于原点成中心对称，可
得D点坐标为 ，得 ，所以B点坐标为 ，A点坐标为 ，根据
列出方程即可求出a的值，进而可得结果．
【详解】解：∵ 绕点A旋转 ，
∴ ，
∴ ，∵ 轴，
∴ 轴，
设C点坐标为 ，
∵点C和点D关于原点成中心对称，
∴D点坐标为 ，
∴ ，
∴B点坐标为 ，
A点坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴点A的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
三、解答题（本题共68分，17题6分，18-23题每题5分，24-26题每题6分，27、28题每题
7分）
17. 解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1） ， ；（2） ，
【解析】
【分析】（1）运用配方法，即通过配成完全平方形式来解一元二次方程，进行解答即可得；
（2）将系数化为1，再用配方法进行解答即可得．【详解】解：（1）
， ；
（2）
， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法，解题的关键是掌握配方法．
18. 已知：如图是抛物线 的图像的一部分，图像经过点 ，且对称轴是直线
，
（1）由图像可知，a______________0（用“>”或“<”填空），抛物线与x轴的另一个交点的坐标是______________，当x______________时，y随x的增大而减小；
（2）若点 在该抛物线的图像上，且 ，则
______________ ， ______________0（用“>”或“<”填空）．
【答案】（1） ； ；
（2） ；
【解析】
【分析】（1）根据二次函数图像的性质求解即可；
（2）根据抛物线的对称性和增减性求解即可.
【小问1详解】
解：∵抛物线开口向下
∴
∵点 关于直线 的对称点为
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是
由图像可知：当 时，y随x的增大而减小；
【小问2详解】
解：设点 与点 关于直线 对称；
则点 在抛物线 的图像上；
由 可得：
∴
∵当 时，y随x的增大而减小；
∴
∵抛物线与x轴的另一个交点的坐标是∴当 时，
∴
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，熟练运用二次函数的对称性和增减性是解题的关键．
19. 在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．在 中， ，点A，B，
C均在格点上．
（1）把 绕点A顺时针方向旋转 ，画出旋转后的 ；
（2）若点B的坐标为 ，在图中建立平面直角坐标系，画出与 关于点 对称的 ，
并写出点 的坐标．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析，
【解析】
【分析】（1）分别找到B、C的对应点 ，然后顺次连接 即可；
（2）根据点B的坐标，向下数5格即为x轴所在直线，向右数3格即为y轴所在的直线，由此建立坐标系，
再由对称性可知点 是 的中点，据此求出 的坐标，同理求出 的坐标，再顺次连接即可；
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
由题意得【点睛】本题主要考查了旋转作图，作关于非原点对称的对称图形，坐标与图形等，熟知相关知识是解题
的关键．
20. 已知关于x的方程 ．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）若方程有两个实数根且都是整数，求整数m的值．
【答案】（1）见解析 （2） 或
【解析】
【分析】（1）分 和 两种情况进行判断即可；
（2）先利用求根公式得到 ，然后利用有理数的整除性确定整数m的值．
【小问1详解】
证明：当 时，关于x的方程 为 ，
此时，方程有一个实数根；
当 时，方程为一元二次方程，
∴ ，
∴此方程总有两个不相等的实数根；
综上，关于x的方程 总有实数根；
【小问2详解】
∵方程有两个实数根
∴方程为一元二次方程，
∴
∴ ，
∵方程的两个实数根都是整数，且m是整数，
∴ 或 ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：
当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实
数根．
21. 已知：如图，在 ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边三角形BCD，把 ABD绕着点D按
顺时针方向旋转60°后△得到 ECD，且A、C、E三点共线，若AB=3，AC=2，求∠BAD的△度数与AD的长．
△
【答案】∠BAD=60°，AD的长为5．
【解析】
【分析】由旋转的性质可得出∠ADE=60°、DA=DE，进而可得出 ADE为等边三角形以及∠DAE=60°，由
点A、C、E在一条直线上可得出∠BAD=∠BAC-∠DAE=60°；由点△A、C、E在一条直线上可得出
AE=AC+CE，根据旋转的性质可得出CE=AB，结合AB=3、AC=2可得出AE的长度，再根据等边三角形的
性质即可得出AD的长度．
【详解】解：∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到 ECD，
∴∠ADE=60°，DA=DE， △
∴△ADE为等边三角形，
∴∠DAE=60°．
∵点A、C、E在一条直线上，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°．
∵点A、C、E在一条直线上，
∴AE=AC+CE．
∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到 ECD，
∴CE=AB， △
∴AE=AC+AB=2+3=5．
∵△ADE为等边三角形，∴AD=AE=5．
【点睛】本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质结合旋转角度为60°找出
ADE为等边三角形是解题的关键．
△
22. 下表是二次函数 图象上部分点的自变量x和函数值y．
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 8 3 0 0 m 8 …
（1）观察表格， ______________；
（2）求此二次函数的表达式，并画出该函数的图象；
（3）该二次函数的图象与直线 有两个交点A，B，若 ，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）3 （2） ，图象见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由表格可求出该抛物线的对称轴，从而即可求出m的值；
（2）根据表格结合（1）可知其顶点坐标为 ，故可设该抛物线解析式为 ．再将
， 代入，即可求出a的值，即得出其解析式，最后描点画图即可；
（3）根据该二次函数的图象与直线 有两个交点A，B，结合图象可知 ．再根据抛物线的对称性
可知点A和点B关于直线 对称，即点A到直线 的距离和点B到直线 的距离相等．最后根据，得出点B到直线 的距离 ，即 时，满足 ，结合表格即可知 ．
【小问1详解】
由表格可知当 时， ；当 时， ，
∴该抛物线的对称轴为直线 ．
∴当 时的函数值与 时的函数值相等．
∵当 时， ，
∴当 时， ，即 ．
故答案为：3；
【
小问2详解】
由（1）知该抛物线的对称轴为直线 ，
∴该抛物线的顶点坐标为 ，
∴可设该抛物线解析式为 ．
∵当 时， ，
∴ ，
解得： ，
∴该抛物线解析式为 ．
该二次函数的图象如图，小问3详解】
【
∵该二次函数的图象与直线 有两个交点A，B，
∴ ．
由二次函数的对称性可知点A和点B关于直线 对称，即点A到直线 的距离和点B到直线 的
距离相等．
∵ ，
∴点B到直线 的距离 ．
∴当 ，即 时，满足 ．
∴ ．
综上可知 ．
【点睛】本题考查二次函数图象的对称性，利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．
利用数形结合的思想是解题关键．
23. 某宾馆有若干间标准房，经市场调查表明，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）之间满足一次函数关系．当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间；当标准房的价格为210元
时，每天入住的房间数为55间．该馆规定每间标准房的价格不低于170元，且不高于240元．
（1）求房间数y（间）与标准房的价格x（元）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）设客房的日营业额为w（元）．若不考虑其他因素，宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业
额最大？最大为多少元？
【答案】（1） ，
（2）当宾馆标准房的价格定为170元时，客房的日营业额最大，最大为12750元
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据营业额 单价 数量，建立w与x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设房间数y（间）与标准房的价格x（元）的函数关系式为 ，
由题意得 ，
∴ ，
∴房间数y（间）与标准房的价格x（元）的函数关系式为 ；
【小问2详解】
解：由题意得 ，
∵ ，
∴当 时， 随x增大而减小，
∴当 时，w最大，最大为 ，
∴当宾馆标准房的价格定为170元时，客房的日营业额最大，最大为12750元．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，理解题意，正确列出对应的关系式
是解题的关键．
24. 将矩形 绕点A顺时针旋转 ，得到矩形 ．
（1）如图1，连接 ，当点E在 上时，求证： ；
（2）当 时， ______________．
【答案】（1）证明见解析
（2）当 时， 或
【解析】
【分析】（1）只需要利用 证明 ，即可证明 ；
（2）当 时，点G在 的垂直平分线上，据此分两种情形：①当点G在 右侧时，取 的
中点H，连接 交 于M，证明 是等边三角形，得到 ，则旋转角 ；当
点G在 左侧时，同理可得 是等边三角形，可得 ．
【小问1详解】
解：∵将矩形 绕点A顺时针旋转，得到矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；【小问2详解】
解：当 时，点G在 的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在 右侧时，取 的中点H，连接 交 于M，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴旋转角 ；
②当点G在 左侧时，同理可得 是等边三角形，
∴ ，∴旋转角 ．
综上所述，当 时， 或
【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质的运用，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，
解题关键是掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质的运用．
25. 材料1：昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称
如图1所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的
吊索，与桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合地物线．
材料2：如图2，某一同类型悬索桥，两桥塔 ，间距 为 ，桥面 水平，主索最
低点为点P，点P距离桥面为 ．
（1）建立适当的平面直角坐标系，并求出主索抛物线的解析式；
（2）若距离点P水平距离为 处有两条吊索需要更换，求这两条吊索的总长度．
【答案】（1） （答案不唯一）
（2）这两条吊索的总长度为 ．
【解析】
【分析】（1）以点A为坐标原点，直线 为x轴， 为y轴建立平面直角坐标系．由题意可知点P为该抛物线顶点，且其坐标为 ， ，即可设该抛物线解析式为 ，再将
代入，求出a的值，即得出该抛物线解析式．（建立不同的坐标系所求解析式不同，故答案不唯
一）；
（2）根据求出的抛物线解析式，将 和 代入解析式中，即可求得两根吊索的长度，从而可以求
得两根吊索总长度．
【小问1详解】
如图，以点A为坐标原点，直线 为x轴， 为y轴建立平面直角坐标系．
为
∵两桥塔 ，间距 ，桥面 水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为
，
∴点P为该抛物线顶点，且其坐标为 ，
∴可设该抛物线解析式为 ．
将 代入 ，得： ，
解得： ，
∴该抛物线解析式为 ；
【小问2详解】
距离点P水平距离为 处有两条吊索需要更换，
∴所需更换的点的横坐标为 或 ．将 代入 ，得 ．
代入 ，得 ．
∴这两条吊索的总长度为 ．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．正确的建立平面直角坐标系并利用待定系数法求出函数解析式是
解题关键
26. 如图，已知点 在二次函数 的图像上，且 ．
（1）若二次函数的图像经过点 ．
①求这个二次函数的表达式；
②若 ，求顶点到 的距离；
（2）当 时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
【答案】（1）① ；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①将点 代入 中即可求出二次函数表达式；
②当 时，此时 为平行x轴的直线，将 代入二次函数解析式中求出，再由 求出直线 为 ，最后根据二次函数顶点坐标即可求解；
（2）分两种情形：若M，N在对称轴的异侧， ；若M、N在对称轴的异侧， ，x<2，分别
1
求解即可．
【小问1详解】
解：①将点 代入 中，
∴ ，解得 ，
∴二次函数的表达式为： ；
②当 时，此时 为平行x轴的直线，
将 代入二次函数中得到： ，
将 代入二次函数中得到： ，
∵ ，
∴ = ，
整理得到： ，
又∵ ，代入上式得到： ，解出 ，
∴ ，即直线 为： ，
又 二次函数的顶点坐标为(2，-1)，
∴顶点(2,-1)到 的距离为 ；
【
小问2详解】
解：若M，N在对称轴的异侧， ，∴x+3>2，
1
∴x>-1，
1
∵
∴ ，
∴-1< ，
∵函数的最大值为y=a（x-2）2-1，最小值为-1，
1 1
∴y-（-1）=1，
∴a= ，
∴ ，
∴ ；
若M、N在对称轴的异侧， ，x<2，
1
∵ ，
∴ ，
∵函数的最大值为y=a（x-2）2-1，最小值为-1，
2
∴y-（-1）=1，
∴a= ，
∴ ，∴ ，
综上所述，a的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像与性质及二次函数的最值等问题：当
开口向上(向下)时，自变量的取值离对称轴越远，其对应的函数值就越大(越小) ．
27. 已知，正方形 ，等腰 ，其中 ．连接 ，点G为 的中点，
连接 ．
（1）如图1，若 ，当E，F，D三点共线时， ，则 ______________；
（2）如图2，若点E在 的延长线上，
①补全图形；
②判断 与 的数量和位置关系，并证明；
（3）将图2中的 绕点B逆时针旋转至图3所示位置，在（2）中所得的结论是否仍然成立？若成
立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①见解析② ， ；证明见解析
（3）成立；证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理可得 的长度，然后证明 是等腰直角三角形即可得出结果；（2）①根据题意画图即可；②延长 ，相交于点 ；证明 是等腰直角三角形，即可得出
结论；
（3）延长 至点 ，使 ，连接 ；作 交 于点 ；通过证明
，得出 是等腰直角三角形，即可得出结论；
【小问1详解】
解：如图，连接 ；
在正方形 中，
在 中，
∵
∴
∵点G为 的中点
∴
∴
在 中，
∴∴
【小问2详解】
解：①图形如下：
② 且
证明：如图，延长 ，相交于点 ；
∵
∴
∴
∵点G为 的中点
∴
在 和 中∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴ 是等腰直角三角形
∵
∴ ，
【小问3详解】
解：成立；理由如下：
如图，延长 至点 ，使 ，连接 ；作 交 于点 ；
∵点G为 的中点
∴
在 和 中
∴∴ ，
∵
∴
∵ ，
∴
∴
∴
即：
在四边形 中，
∴
∵
∴
∴
在 和 中
∴
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形
∵∴ ，
【点睛】本题考查了正方形和等腰直角三角形的性质；根据中点构造全等三角形是解题的关键．
28. 定义：在平面直角坐标系 中，点 是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的
部分关于直线 的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新函数的图
象，则这个新函数叫做原函数关于点 的“派生函数”．
例如：图1是函数 的图象，则它关于点 的“派生函数”的图象如图2所示，且它的“派生函
数”的解析式为 ．
（1）在图3中画出函数 关于点 的“派生函数”的图象；
（2）点M是函数 的图象上的一点，设点M的横坐标为m， 是函数H关于点M的
“派生函数”．
①当 时，若函数值 的范围是 ，求此时自变量x的取值范围；
②直接写出以点 为顶点的正方形 与函数 的图象只有
两个公共点时，m的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）① ；② 或 ．
【解析】
【分析】（1）根据“派生函数”的定义在 的部分任取一点 关于直线x=1的对称点为 ，再
运用待定系数法求出对称部分的函数解析式，即可画出其图象；（2）①根据“派生函数”的定义求出函数 的解析式为 ，画出其图象即得出
答案；②根据“派生函数”的定义求出函数 的解析式为 ，即函数
中 的部分只是由 左右平移而来．画出图象，再分类讨论即可得出
结果．
【小问1详解】
函数 在 的部分任取一点 ，其关于直线 的对称点为 ，
设函数 图象关于 对称的部分的图象解析式为 ，
将 代入解析式，得： ，
解得： ，
∴“派生函数”的解析式为 ，
∴其图象如图所示，
【小问2详解】
①∵函数 ，
∴其顶点坐标为 ．
∵点 关于直线 的对称点坐标为 ，∴函数 关于直线 对称的图象的解析式为： ，
∴ 的解析式为 ，
∴其图象如图．
令 ，则 ，
解得： ．
∵ ，
∴结合图象可知此时 ；
②函数 的顶点坐标为 ，
点 关于 对称的点的坐标为 ，
∴函数 关于 对称的函数解析式为 ，
∴ 的解析式为 ，
∴函数 中 的部分只是由 左右平移而来．
分类讨论：当函数 中 经过点D时，如图，此时正方形 与函数 的图象
有1个公共点，即再往左移动即有2个公共点．将 代入 ，得 ，
解得： ，
∵此时 ，
∴ ，
∴ ；
当函数 中 的图象移动到如图所示的位置时，恰有3个交点，即到达此位置之前
都为2个交点，此时 ．
将 代入 ，即
解得： （舍），∴ ，
再将 代入 ，得：
解得： ．
∵此时 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，正方形 与函数 的图象有2个公共点；
当函数 中 的图象继续移动到经过C点时，此时有3个交点，再继续运动有2个
交点．
∴将 代入 ，得 ，
解得： ， ．
∵此时 ，∴ ，
∴ ，
∴当 时，正方形 与函数 的图象有2个公共点；
综上可知正方形 与函数 的图象只有两个公共点时，m的取值范围是 或
．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，为压轴题．理解并运用新定义“派生函数”，能够将图象的对称
转化为点的对称，再借助图象解题是关键．
