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专题 03 二次函数应用分类汇编
【题型01 ：抛物线问题】
【题型02 ：拱桥问题】
【题型03：面积问题】
【题型04：每每问题】
【题型05：利润问题】
【题型06：分配问题】
【题型07：分段函数】
【题型01 ：抛物线问题】
1．如图，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有h=20t-5t2的函数
关系，下列解释正确的是（ ）
A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升
C．小球从飞出到落地要用4s
D．小球的飞行高度可以达到25m
2．如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的
飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间满足函数关系h=20t-5t2．则小球从飞出到达
到最高点瞬间所需要的时间为 秒．
3．某种型号的小型飞行器着陆后滑行的距离S(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数解析式是S=10t-0.25t2，此飞行器滑行的最大距离是 米．
4．如图，一位篮球运动员在与篮圈水平距离为4m处起跳投篮时，球运行的高度y(m)与运
行的水平距离x(m)之间满足关系式y=ax2+x+c，当球运行的水平距离为1.5m球离地面高
度为3.3m，球在空中达到最大高度后，准确落入篮框内．已知篮框中心与地面的距离为
3.05m．当球运行的水平距离为多少时，球在空中达到最大高度？最大高度为多少？
5．足球作为一项重要的体育运动，越来越受到广大体育爱好者的喜欢，校园足球更是同学
们的最爱．在一次足球训练中，小王从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈
抛物线形．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点D，此时球离地面4米．已知球
门BC的高为2.44米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，请通过计算说明当时
20
小王应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过B点正上方 米处入门？
96．如图是篮球运动员甲在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时．分别以水平地面为x轴，
出手点整直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运行的路线可看成抛物线，甲投出的篮
球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度
为3.05米，离原点的水平距离为4米．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计）
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若防守队员乙在原点右侧且距原点1米处竖直起跳，其最大能摸高3.2米，问乙能否碰到
篮球？并说明理由．
(3)在（2）的情况下．若甲临时改变投篮方式，采取后仰跳投，后仰起跳后出手点距原点
的水平距离为0.5米，垂直距离为2.75米（后仰跳投时的出手点位于第二象限），此时乙碰
不到球．已知篮球运行所在抛物线的形状和（1）一致，并且当篮球运行到乙的正上方时，
乙的最大摸高点距离篮球还有0.4米，问篮球有没有入框？请说明理由．
7．阅读以下材料，完成课题研究任务：
【研究课题】设计公园喷水池【素材1】某公园计划修建一个图1所示的喷水池，水池中心O处立着一个高为2m的实心石
柱OA，水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并
在石柱顶点A处汇合.为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱0.5m处能达到最大高度，
且离池面的高度为2.25m．
【素材2】距离池面1.25米的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水
流．
【任务解决】
(1)小张同学设计的水池半径为2m，请你结合已学知识，判断他设计的水池是否符合要求．
(2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少米？
8．露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷
（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．
【建立模型】如图2，A款帐篷搭建时张开的宽度AB=3m，顶部高度h=1.8m．请在图2
中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式．
【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子
摆入A款帐篷后的简易视图，椅子高度EC=1m，宽度CD=0.6m，若在帐篷内沿AB方向
摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量．
【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高
宽分别为1m和0.6m的椅子．设其拋物线型支架的形状值为a(a<0)，请写出a的最小值．【题型02 ：拱桥问题】
9．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷
出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到A最高点C，高度为3m，水柱落地
点D离池中心A处3m，则水管AB的长为 m．
10．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关
7
于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y=- x2+14x(0≤x≤4)．水珠可以达
2
到的最大高度是 米．
1
11．如图所示是某抛物线形的隧道示意图．已知抛物线的函数解式为y=- x2+8，为增
10
加照明度，在该抛物线上距地面AB高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水
平距离EF是 米．（可用含根号的式子表示）
12．如图，图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 l时，拱顶（拱桥洞的最
高点）离水面2m，水面宽4m，如图（2）建立平面直角坐标系，当水面下降0.5m时，水面
宽增加 m．13．如图是某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为
6米，宽OP为12米．以点O为原点，OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数解析式；（不需写自变量的取值范围）
(2)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”ABCD，使点A，D在抛物
线上，点B，C在OP上，求所需的三根“光带”AB，AD，DC的长度之和的最大值．
14．2023年3月15日新晋高速全线通车，它把山西往河南路程由2小时缩短为1小时前期规
划开挖一条双向四车道隧道时，王师傅想把入口设计成抛物线形状（如图），入口底宽
AB为16cm，入口最高处OC为12.8米．
(1)求抛物线解析式；
(2)王师傅实地考察后，发现施工难度大，有人建议抛物线的形状不变，将隧道入口往左平
移2m，最高处降为9.8米，求平移后的抛物线解析式；
(3)双向四车道的地面宽至少要15米，则（2）中的建议是否符合要求？15．赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行
一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意
图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，桥拱上的点到水面的
竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系
，据调查，龙舟最高处距离水面 ，为保障安全，通过拱桥时龙舟
y=-0.01(x-30) 2+9 2m
最高处到桥拱的竖直距离至少3m．
(1)水面的宽度OA=_______m；
(2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m，求最多可设计龙舟赛道的
数量．
【题型03：面积问题】
16．如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD（含隔离栏EF），菜园
的一面靠墙MN (39m)（篱笆的宽度忽略不计）
(1)菜园面积可能为252m2吗？若可能，求边长AB的长，若不可能，请说明理由；
(2)因场地限制，菜园的宽度AB不能超过8m，求该菜园面积的最大值．
17．如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙，另三边除大门外用篱笆围
成．已知篱笆总长为30m，门宽是2m，若设这块场地的宽为xm．
(1)求场地的面积y( m2 )与x(m)之间的函数关系式；(2)写出自变量x的取值范围．
18．某农场要建一个矩形养殖场：养殖场的一边靠墙（AB长10米），另外三边用围栏围
成，围栏总长20米，设养殖场的边CD的长为xm，矩形面积为ym2．
(1)当矩形养殖场面积为48m2时，求边CD的长；
(2)能否围成面积为52m2矩形养殖场？请说明理由；
(3)求矩形养殖场面积的最大值．
19．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将
四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）
(1)若长方体底面面积为12dm2，裁掉的正方形边长多少？
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，求制作的长方体容器的底面面积的
最小值？
(3)在（2）的条件下，由于实际需要，将容器内侧和内底面进行防锈处理，侧面每平方分
米的需要的费用为0.5元，底面每平方分米需要的费用为2元，当裁掉的正方形边长多少时，
总费用最低，最低为多少？【题型04：每每问题】
20．某超市销售一种商品，进价为40元/千克，经市场调查，当售价为50元/千克时，每天
可销售220千克；如果该商品每千克上涨1元，则每天可少卖10千克，规定每千克售价不
能高于65元，且不能低于50元．设每千克商品的售价上涨x元，每天的销售利润为w元．
(1)设每天的销售量为y千克，请写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求出w与x之间的函数关系式，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？并
求出此时的最大利润；
(3)若该超市销售该商品所获利润不低于2310元，请直接写出x的取值范围．
21．某玩具批发商销售每件进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每件50元的价格销
售，平均每天销售90件，单价每提高1元，平均每天就少销售3件．
(1)平均每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式为______；
(2)求该批发商平均每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
(3)物价部门规定每件售价不得高于55元，当每件玩具的销售价为多少元时，可以获得最大
利润？最大利润是多少元？
22．某水果店出售一种水果，该水果的进价为8元/千克，经过往年销售经验可知：以12
元/千克出售，每天可售出60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降
价0.5元，每天要多卖2千克，但售价不低于进价．设该水果的销售单价为x元/千克（
x≥8），每天售出水果的总重量为y千克．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)设水果店每天的销售利润为w元，试求出w与x(x≥8)的函数关系式，并求出当x为何
值时，利润W最大，最大利润是多少？
23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利50元，为了扩大销售，
增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出20件．
(1)若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？
(2)怎样定价能获得最大利润，最大利润是多少？
24．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满：
当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需
对每个房间每天支出20元的各种费用．
(1)求房价是多少元时，宾馆的利润为6890元；
(2)求房价定为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润是多少？
【题型05：利润问题】
25．网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售
板栗．已知板栗的成本价为6元/ kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/ kg）满足一
次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/
kg．设公司销售板栗的日获利为w（元）．
x（元/ kg
7 8 9
）
y（kg） 4300 4200 4100
(1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值
范围）
(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
(3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？
26．某商城销售一种进价为10元1件的饰品，经调查发现，该饰品的销售量y（件）与销
售单价x（元）满足函数y=-2x+100，设销售这种饰品每天的利润为W（元）．
(1)求W与x之间的函数表达式；
(2)当销售单价定为多少元时，该商城获利最大？最大利润为多少？(3)在确保顾客得到优惠的前提下，该商城还要通过销售这种饰品每天获利750元，该商城
应将销售单价定为多少？
27．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y
（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x≥8且x为整数）．当每件消毒
用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为12元时，每天的销售
量为90件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若该商店销售这种消毒用品每天想获得425元的利润，为让消费者获得更多实惠，则每
件消毒用品的售价为多少元？
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每
天的销售利润最大？最大利润是多少元？
28．南宁市某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/吨，加工过
程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（吨）之间的关系为
m=50+0.2x，销售价y（万元/吨）与原料的质量x（吨）之间的关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)在进价不超过248万元的情况下，原料的质量x为多少吨时，销售收入为300万元；
(3)原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润
=销售收入-总支出）
29．某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）
是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如表：
售价x（元/件） 55 65
销售量y
90 70
（件/天）
(1)求出y关于售价x的函数关系式；
(2)设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出当
销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？
30．网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，某市市长亲自在网
络平台上进行直播销售板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000
元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y(kg)与销
售单价x（元/kg）满足关系式：y=-100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．设板栗公司销售该板栗的日获利为w（元）．
(1)请求出日获利w与销售单价x之间的函数关系式；
(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
【题型06：分配问题】
31．某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：
信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如
图所示．
信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系
y=0.3x．根据以上信息，解答下列问题；
(1)求二次函数的表达式；
(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品
获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？
32．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进
价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购
买3件A类特产和5件B类特产需540元．
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天
可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该
店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降
价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）
33．空气净化器越来越被人们认可，某商场购进A、B两种型号的空气净化器，如果销售5
台A型和10台B型空气净化器的销售总价为20000元，销售10台A型和5台B型空气净
化器的销售总价为17500元．
（1）求每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售单价；
（2）该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量
不超过A型空气净化器的2倍，设购进A型空气净化器m台，这100台空气净化器的销售
总价为y元．
①求y关于m的函数关系式；
②当销售总价最大时，该公司购进A型、B型空气净化器各多少台？
（3）在（2）的条件下，若A型空气净化器每台的进价为800元，B型空气净化器每台的
进价z（元）满足z=-10m+700的关系式，则销售完这批空气净化器能获取的最大利润是多
少元？
34．某工厂生产A，B两种型号的环保产品，A产品每件利润200元，B产品每件利润500
元，该工厂按计划每天生产两种产品共50件，其中A产品的总利润比B产品少4000元．
(1)求该厂每天生产A产品和B产品各多少件；
(2)据市场调查，B产品的需求量较大，该厂决定在日总产量不变的前提下增加B产品的生
产，但B产品相比原计划每多生产一件，每件利润便降低10元．设该厂实际生产B产品的
数量比原计划多x件，每天生产A，B产品获得的总利润为w．
①当x为何值时，每天生产A，B产品获得的总利润恰好为16240元？
②若实际生产B产品的数量不少于A产品数量的1.2倍，求总利润w的最大值．35．宿迁某生鲜超市购进一批黄瓜和蒜苔，进价都为2元/千克．
(1)当黄瓜售出300千克，蒜苔售出400千克时，两种蔬菜的总销售额为3200元；当黄瓜售
出400千克，蒜苔售出600千克时，两种蔬菜的总销售额为4600元，求出两种蔬菜的售价
各是多少？
(2)若以（1）中的售价销售两种蔬菜，黄瓜每天可卖出500千克，蒜苔每天可卖出800千克．
经市场调查发现：黄瓜售价每降0.1元，每天可多卖出10千克，蒜苔售价每提高0.1元，
可少卖出10千克．如果黄瓜售价减少的钱和蒜苔售价增加的钱相同，请求出一天的利润最
大为多少元？
【题型07：分段函数】
36．牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔付费选
择甲或乙快递公司送货上门的销售方式．甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克
共需运费42元；甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元．
(1)求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元；
(2)假设生产的奶食品当日全部售出，且选择运费低的快递公司运送．若该种奶食品每千克
的生产成本y 元（不含运费），销售价y 元与生产量x千克之间的函数关系式为：y =¿，
1 2 1
．
y =-6x+120(0
