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专题 05 最短路径的三种考法
类型一、坐标系的最值问题（和最小，差最大问题）
例．在平面直角坐标系中，B(2，2 )，以OB为一边作等边 OAB（点A在x轴正半轴上）．
△
（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边 ACD．
①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；
△
②若 ABD是等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM
△
的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．
【变式训练1】如图所示，点 ， ，且a，b满足 ．若P为x
轴上异于原点O和点A的一个动点，连接 ，以线段 为边构造等腰直角 （P为顶
点），连接 ．
(1)如图1所示，直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
(2)如图2所示，当点P在点O，A之间运动时，则 、 之间的位置关系为 ；并加以
证明；
(3)如图3所示，点P在x轴上运动过程中，若 所在直线与y轴交于点F，请直接写出F
点的坐标为 ，当 的值最小时，请直接写出此时 与 之间的数量关系 ．
【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，2 )，以OB为一边作等边 OAB（点A在x轴
△正半轴上）．
（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边 ACD．
①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；
△
②若 ABD是等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM
△
的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．
类型二、几何图形中的最短路径问题
例1．如图，已知 ， 平分 ， ， 在 上， 在 上， 在
上．当 取最小值时，此时 的度数为（ ）
A． B． C． D．
例2．如图，在三角形 中， ， ， 于D，M，N分别是
线段 ， 上的动点， ，当 最小时， ．
【变式训练1】如图，在等腰 中， ， ， 是等边三角形，P是 的平分线上一动点，连接 ， ，则 的最小值为 ．
【变式训练2】如图，等腰三角形 的底边 的长为4，面积为24，腰 的垂直平分
线 分别交边 ， 于点 ， ，若 为 边的中点， 为线段 上一动点，则
的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【变式训练3】如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，
在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【变式训练4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点D是BC上一动点，
以BD为边在BC的右侧作等边△BDE，F是DE的中点，连结AF，CF，则AF+CF的最小值是
.
类型三、最短路径问题的实际应用例1.如图1，直线 表示一条河的两岸，且 现在要在这条河上建一座桥，桥的长度
等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄 经桥过河到村庄 现在由小明、小红两位同学在图
2设计两种：
小明：作 ，交 于点 ，点 ．在 处建桥．路径是 ．
小红：作 ，交 于点 ，点 ；把 平移至BE，连AE，交 于 ，作
于 ．在 处建桥．路径是 ．
（1）在图2中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由．
（2）假设新桥就按小红的设计在 处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10点某小船
从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流
方向与桥保持垂直船在静水每小时14千米，水流每小时2千米，第二天早上6点时小明发
现船在两桥之间（未到两桥）且离旧桥40千米处行驶求这两桥之间的距离．
例2．如图a，圆柱的底面半径为 ，圆柱高 为 ， 是底面直径，求一只蚂蚁
从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：
路线1：高线 ＋底面直径 ，如图a所示，设长度为 ．
路线2：侧面展开图中的线段 ，如图b所示，设长度为 ．
(1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由；
(2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为 ，高 为
”继续按前面的路线进行计算．（结果保留 ）
①此时，路线1的长度 ，路线2的长度 ；
②所以选择哪条路线较短？试说明理由．
【变式训练】阅读下列材料，解决提出的问题：
最短路径问题:如图（1），点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可
知这个交点即为所求．
如图（2），如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个
点到点A、点B的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B，
这时对于直线l上的任一点C，都保持CB＝CB，从而把问题（2）变为问题（1）．因此，
线段AB与直线l的交点C的位置即为所求．
为了说明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，
B′C′．因为AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最小．
任务：
数学思考
（1）材料中划线部分的依据是 ．
（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是 ．（填字母代号即可）
A．转化思想 B．分类讨论思想 C．整体思想
迁移应用
（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，点P为AC边上的动点，点D为AB
边上的动点，若AB＝8cm，则BP+DP的最小值为 cm．
课后训练
1．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当
BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝ °．2．如图，在 中， ，点P、Q分别是边 上的动
点，则 的最小值等于（ ）
A．4 B． C．5 D．
3．如图，在五边形 中， ， ， ， ，在
、 上分别找到一点 M、N，使得 的周长最小，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
4．如图， 中， 垂直 于点 ，且 ，在直线 上方有一动点 满足
，则点 到 两点距离之和最小时， 度．
5．如图，在锐角 中， ， ， 平分 ， 、 分别是和 上 的动点，则 的最小值是 ．
6．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的
最小值为 ．
7．如图1，已知直线 的同侧有两个点 、 ，在直线 上找一点 ，使 点到 、 两点
的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线 的对称点，
对称点与另一点的连线与直线 的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题.
（1）如图2，在平面直角坐标系内，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，动点 在
轴上，求 的最小值；
（2）如图3，在锐角三角形 中， ， ， 的角平分线交 于点
， 、 分别是 和 上的动点，则 的最小值为______.
（3）如图4， ， ， ，点 ， 分别是射线 ， 上的动点，
则 的最小值为__________.
8．如图，在 中， ， ， ， 平分 ，交边于点 ，点 是边 的中点．点 为边 上的一个动点．
(1) ______， ______度；
(2)当四边形 为轴对称图形时，求 的长；
(3)若 是等腰三角形，求 的度数；
(4)若点 在线段 上，连接 、 ，直接写出 的值最小时 的长度．
