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耀正优!"#"$届高三%"月阶段检测联考!数学
参考答案"提示及评分细则
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当3*(!时(:8#3$’#!*3$@3*)(即:#3$’3@3在#(A((!$上单调递减!所以:#3$’3@3在3’(!
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处有最小值:#(!$’( (故1项正确-当3*)时( " "@3’3"@3!令.#3$’3"@3(.8#3$’
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减-当3*("时(.8#3$’3#"*3$@3")(即.#3$’3"@3在#(A(("$上单调递增!所以.#3$’3"@3在
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*/"(-#("/’)整理为##("$"*#/(!$"’/(则圆心为#"(!$(半径;’槡/(又直线"#*/*.’)与圆
-*!*.
相切(则圆心#"(!$到直线"#*/*.’)的距离为 ’槡/(解得.’)或.’(!)(则直线方程为
槡""*!"
"#*/’)或"#*/(!)’)!
!/!"-#$分$!-2#"分$!由图可知(分数在")分以下的比例为)!))!3")’)!)"(在-)分以下的比例为
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!#!/(槡"!将已知直线#.*!$#*/(-.(#’)化为.##(-$*#*/(#’)(当
#’-时/’"(可确定直线过定点#-("$(记为9点!因为过点*做直线#.*!$#
*/(-.(#’)的垂线(垂足为<(所以*<,9<(1*<9’2)<(故<点在以
*9为直径的圆上(半径;’槡"(其圆心为*9的中点(记为点=(所以=#$(!$(
因为&在抛物线(./"’0#上(其准线为#’("(所以 &* 等于&到准线的距
离!过&作准线的垂线(垂足为>!要使3&*3*3&<3取到最小(即3&>3*
3&<3最小(此时>(&(<三点共线(且三点连线后直线><过圆心=!如图所示(
此时#3&>3*3&<3$
=,5
’3=>3(;’/(槡"!
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又4’-(所以+’"(
+"*4"(5" ""*-"(5" !!
由余弦定理得674(’ ’ ’ (解得5’$!…………………………………………/分
"+4 "3"3- !#
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!高三!"月阶段检测联考"数学参考答案!第!!!!$页#共#页$% "$$"#$%$槡!/
所以4,5(’槡!(674"(’ (…………………………………………………………………………#分
!#
! ! $槡!/ $槡!/
所以+"$(的面积-’ +44,5(’ 3"3-3 ’ !……………………………………….分
" " !# -
! "- 槡!/
设+"$(内切圆的半径为;(则-’ #+*4*5$";(所以;’ ’ ( ………………………2分
" +*4*5 #
/
所以内切圆的面积为#;"’ #!……………………………………………………………………………!)分
!"
!0!解.#!$因为+" *"+ +(-+ ’$+"*!"+(
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所以#+ (+$#+ *$+$’-#+ *$+$(……………………………………………………………"分
,*! , ,*! , ,*! ,
因为&+
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’各项均为正数(+
,*!
*$+ ,")(
所以+ (+’-(……………………………………………………………………………………………-分
,*! ,
所以数列&+’是首项为-(公差为-的等差数列(…………………………………………………………/分
,
+’-*#,(!$3-’-,!……………………………………………………………………………………#分
,
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#"$ ’ ’ 3 ’ ( (…………………………………………0分
++ -,3-#,*"$ !# ,#,*"$ $" , ,*"
,,*"
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, $" $ " - $ / ,(! ,*! , ,*"
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’ !* ( ( ’ ( * (…………………………………………………!)分
$" " ,*! ,*" #- $",*! ,*"
! !
因为,)’7(故 * ")(
,*! ,*"
$ !
所以- ,* #- (又+ ,")(所以- ,%- ! ’ -0 ( ………………………………………………………………!!分
*! $$
所以- 的取值范围为 ( !…………………………………………………………………………!"分
, -0#-
!2!解.#!$由题意可知中年人亚健康且平均每天锻炼时间不足半小时的人数为!/(
!/ $
故&#"$$’ ’ -………………………………………………………………………………………"分
!)) ")
中年人中平均每天锻炼时间超过半小时的人数为.)(其中无亚健康的人数为$"*"0’#)(
故&#"83$9$’ #) ’ # !………………………………………………………………………………………/分
.) .
#"$列联表如下.
平均每天锻炼时间 不足!小时 !小时及以上 合计
亚健康 "$ " "/
无亚健康 -. "0 ./
合计 .) $) !))
…………………………………………………………………………………………………………………0分
零假设为=.亚健康与锻炼时间没有关联(
)
!))3#"$3"0(-.3"$" -0-
%"’
"/3./3.)3$)
’
#$
:.!#0$"#!#$/’#
)!)!
(……………………………………………!)分
依据小概率值#’)!)!的%"独立性检验(我们推断=
)
不成立(可以认为亚健康与锻炼时间有关联(该推断
犯错误的概率不超过)!)!!…………………………………………………………………………………!"分
")!解.#!$设"(2$)’6("(
!
的中点为<(连结&<(6<("<(显然<为长方体"$() "
!
$
!
(
!
)
!
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球心(且6<,平面"$()(…………………………………………………………………………………!分
槡" 槡# 槡"
由题意知(6"’ (6<’!("<’槡6""*6<"’ (&<’ ("&’槡"(
" " "
所以&<"*"<"’"&"(所以"<,&<(……………………………………………………………………$分
! ! 槡#
设<到直线"&的距离为?(则 "&"?’ &<""<(解得?’ ( …………………………………-分
" " -
! 槡# $槡"
因为外接球的半径>’
"
$)
!
’
"
(所以直线"&被此外接球截得的弦长为"槡>"(?"’
"
!……#分
!高三!"月阶段检测联考"数学参考答案!第!!!!-页#共#页$% "$$"#$%#"$以)为原点(建立空间直角坐标系#如图$(
则)#)()()$("#!()()$((#)(!()$()#)()("$((#)(!("$(&#)()(!$!
! !
………………………………………………………………………………….分
设平面&"(的一个法向量#’##(/(%$(
((’ ((’
因为"(’#(!(!()$("&’#(!()(!$(
((’
&#""(’)( &(#*/’)( &/’#(
则由 ((’ 得 得 所以#’#!(!(!$- …………2分
#""&’)( (#*%’)( %’#!
((’
又"(’#(!(!("$(
!
设直线"(
!
与平面&"(所成的角为&(
((’
所以4,5&’ 674/" (( ( ’ ! (#0’ " " (( ( ’ ( ! "# # ’ #(!(! 槡 (" # $ 3 " 槡$ #!(!(!$ ’ 槡 $ " (
!
槡"
所以直线"( 与平面&"(所成角的正弦值为 !………………………………………………………!"分
! $
"!!#!$解.因为 &* ( &* ’"槡"(
! "
所以"+’"槡"(解得+’槡"(…………………………………………………………………………………!分
槡#
设双曲线(的半焦距为5(因为离心率为 (
"
5 槡#
所以 ’ (解得5’槡$(……………………………………………………………………………………"分
+ "
则4’槡5"(+"’!( …………………………………………………………………………………………$分
#"
所以双曲线(的标准方程为 (/"’!!……………………………………………………………………-分
"
!(.
#"$证明.设9#)(.$(则@#)((.$(&##
!
(/! $(<##
"
(/" $(3
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’
"
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直线"&的方程为/’3
"9
#*.’
"
#*.(
!*.
直线"<的方程为/’3
"@
#(.’
"
#(.!…………………………/分
5 /’ !(. #*.( * #!(.$"+
联立方程4 " 消去/并整理得 !( #"*".
"
6#"("/"’"(
#.(!$#("."("’)(
5!(
#!(.$"
/)( 5./!*槡"(
"
显然4
* #!(.$"+
即4./!(槡"(
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"
")( 6./(!(
"."*" "."*" !(. #.*!$"("
"#
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(………………………….分
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"
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联立方程4 " 消去/并整理得 !( #"*".#.*!$#("."("’)(
"
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#
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#.*!$"("
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"
#
"
(.’(
#.*!$"("
(……………………………………………………2分
即当./?!(./?槡"*!(./?槡"(!时(直线&<的方程为/(/! ’
#
/" (
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/
#
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$(…………!)分
" !
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将上面求得的#
!
(#
"
(/! (/" 的解析式代入得/*
#.(!$"("
’(
."*!
#(
#.(!$"("
(
."(!
整理得/’( #*!(…………………………………………………………………………………!!分
."*!
所以直线A过定点#)(!$!…………………………………………………………………………………!"分
""!解.#!$函数1##$’#:5#$"*+:5#*+的定义域为#)(*A$(
":5#*+
则18##$’ ( ………………………………………………………………………………………!分
#
令18##$’)(得#’@(+
"
(
当#变化时(1##$(18##$的变化情况如下.
# #)(@(+ "$ @(+ " #@(+ " (*A$
18##$ ( ) *
+"
1##$ 单调递减 ( *+ 单调递增
-
…………………………………………………………………………………………………………………$分
因此(当#’@(+ "时(1##$有极小值(并且极小值为( +" *+(无极大值!…………………………………-分
-
#"$因为#1##$*"@"%)等价于#*#:5#$"*+:5#*++%("@"(
令:##$’#*#:5#$"*+:5#*++(#)#)(*A$(则
#":5# +$
:8##$’#:5#$"*+:5#*+*# * ’#:5#*"$#:5#*+$(…………………………………/分
# #
#$$若+)*)(-+(对于函数/’#:5#$"*+:5#*+(有’’+"(-+#)(
所以#:5#$"*+:5#*+%)恒成立(
故当+)*)(-+时(不等式#*#:5#$"*+:5#*++%("@"恒成立-……………………………………#分
#%$若+)#-(*A$(
当#)#)(@(++时(#:5#$"*+:5#*+’:5##:5#*+$*+")(所以#*#:5#$"*+:5#*++")(
故不等式#*#:5#$"*+:5#*++%("@"恒成立- ……………………………………………………….分
现探究当#)#@(+(*A$时的情况.
当#)#@(+(@("$时(:8##$*)-当#)#@("(*A$时(:8##$")(
所以:##$在#@(+(@("$上单调递减(在#@("(*A$上单调递增(
所以#’@("是:##$的极小值点( …………………………………………………………………………0分
要使不等式#*#:5#$"*+:5#*++%("@"成立(只需:#@("$’@("#-("+*+$%("@"(
解得+#-*"@-(
故当-*+#-*"@-时(不等式#*#:5#$"*+:5#*++%("@"恒成立-…………………………………2分
#&$若+)#(A()$(
当#)#)(@("+时(#:5#$"*+:5#*+’#:5#$"*+#:5#*!$")(所以#*#:5#$"*+:5#*++")(
故不等式#*#:5#$"*+:5#*++%("@"恒成立-
现探究当#)#@("(*A$时的情况.
当#)#@("(@(+$时(:8##$*)(当#)#@(+(*A$时(:8##$")(
所以:##$在#@("(@(+$上单调递减(在#@(+(*A$上单调递增(
所以#’@(+是:##$的极小值点(…………………………………………………………………………!)分
要使不等式#*#:5#$"*+:5#*++%("@"成立(只需:#@(+$’@(+#+"(+"*+$%("@"(
即+@(+%("@"!
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设.##$’ ##*)$(则+@(+%("@"化为.#+$%.#("$(…………………………………………!!分
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因为.8##$’ ")(所以.##$在#(A()$上为增函数(
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于是(由.#+$%.#("$及+*)(得("#+*)(
故当("#+*)时(不等式#*#:5#$"*+:5#*++%("@"恒成立!
综上(实数+的取值范围为*("(-*"@-+!………………………………………………………………!"分
!高三!"月阶段检测联考"数学参考答案!第!!!!#页#共#页$% "$$"#$%
