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专题 12.2 三角形全等的判定方法之六大考点
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目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【考点一 用SSS证明两三角形全等】.............................................................................................................1
【考点二 用SAS证明两三角形全等】............................................................................................................3
【考点三 用ASA证明两三角形全等】............................................................................................................6
【考点四 用AAS证明两三角形全等】............................................................................................................8
【考点五 用HL证明两直角三角形全等】....................................................................................................11
【考点六 添一个条件使两三角形全等】......................................................................................................13
【过关检测】...................................................................................................................................................16
【典型例题】
【考点一 用SSS证明两三角形全等】
例题:（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点 在一条直线上， ，
求证： ．
【答案】见解析
【分析】根据题意，运用“边边边”的方法证明三角形全等．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中∴ ．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·云南·统考中考真题）如图， 是 的中点， ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】根据 是 的中点，得到 ，再利用 证明两个三角形全等．
【详解】证明： 是 的中点，
，
在 和 中，
，
【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知 ，点 分别在 上， ，
．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）直接根据 证明即可．
（2）根据（1）得 ，然后证明 即可．
【详解】（1）解： 证明：在 和 中，
∴ ．
（2）解：由（1）知 ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的性质与判定是解题关键．
【考点二 用SAS证明两三角形全等】
例题：（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，点D在线段 上， ， ， ．
和 全等吗？为什么？
【答案】 ，理由见解析
【分析】先根据平行线的性质得到 ，再利用 证明 即可得到结论．【详解】解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知边角边证明三角形全等是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级期末）如图，在 中，D是 延长线上一点，满足 ，过点C作
，且 ，连接 并延长，分别交 ， 于点F，G．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据 证明 即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
2．（2023春·七年级课时练习）如图，点E在 上， ，且 ，连接 并延长，
交 的延长线于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由 得到 ，证明 即可；
（2）推导 ，即 解题即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键．
【考点三 用ASA证明两三角形全等】
例题：（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图， ，点 ，点 在 上， ，
求证： ．
【答案】见解析
【分析】首先根据平行线的性质可得 ，利用等式的性质可得 ，然后再利用 判
定 即可．
【详解】证明：∵ ，
，
，
，
即 ，
在 和 中， ，
∴ ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应
相等时，角必须是两边的夹角．
【变式训练】
1．（2023·校联考一模）如图，点A、 、 、 在同一条直线上，若 ， ，
求证： ．
【答案】见解析
【分析】由 知 ，结合 ， ，依据“ ”可判定 ≌ ，
依据两三角形全等对应边相等可得 ．
【详解】证明： ，
，即 ，
在 和 中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，在 和 中， ，点B
为 中点， ．(1)求证： ．
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)4，见解析
【分析】（1）根据 判定即可；
（2）根据 和点B为 中点即可求出．
【详解】（1）证明：∵ ， ， ，
∴
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵点B为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定条件是解答本题的关键．
【考点四 用AAS证明两三角形全等】
例题：（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）如图，点E在 边 上， ，
， ．求证：【答案】证明见解析
【分析】根据平行线的性质，得到 ，再根据三角形外角的性质，得出 ，即可利用
“ ”证明 ．
【详解】证明： ，
，
， ， ，
，
在 和 中，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定
定理是解题关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江温州·统考二模）如图， ， ， ．
(1)求证： ．
(2)当 ， 时，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)40°【分析】（1）根据平行线的性质，利用三角形全等的判定定理即可证明；
（2）根据三角形全等的性质和平行线的性质即可求解
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握各知识点，利用好数形结合的思
想是解本题的关键．
2．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点 是线段 上一点， ， ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由 得 ，即 ，从而即可证得
；
（2）由 可得 ， ，即可得到 ，从而即可得证．
【详解】（1）证明： ，
，
，在 和 中，
，
；
（2）解： ，
， ，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【考点五 用HL证明两直角三角形全等】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，在 和 中， 于A， 于D，
， 与 相交于点O．求证： ．
【答案】见解析
【分析】由 即可证明 ．
【详解】证明：∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·广东河源·八年级统考期中）如图，点A，D，B，E在同一直线上，．
(1)求证： ；
(2) ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先说明 ，再根据 即可证明结论；
（2）由（1）可知 ，再利用平角的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判断与
性质是解题的关键．
2．（2023春·七年级单元测试）如图，已知 相交于点O， ， 于点M，
于点N， ．
(1)求证： ；(2)试猜想 与 的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【分析】（1）根据 可证明 ；
（2）根据 证明 可得结论．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【考点六 添一个条件使两三角形全等】
例题：（2023春·山西临汾·七年级统考期末）如图，B，F，E，D四点共线， ， ．若要
使 ，则需要添加的条件是_______（只需添加一个你认为合适的条件即可）．【答案】 （答案不唯一）
【分析】由题意知，添加的条件为 ，可证 ．
【详解】解：由题意知，添加的条件为 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定．解题的关键在于确定判定三角形全等的条件．
【变式训练】
1．（2023春·广东·七年级统考期末）如图，已知 ，要判定 ，则需要补充
的一个条件为______（只需补充一个）．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】添加条件为 ， ，根据 即可推出两三角形全等．
【详解】解：添加条件为 ，
理由是：∵在 和 中， ，
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有 ， ，， ．
2．（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，已知： ， ，现要证明
，若要以“ASA”为依据，还缺条件______，若要以“AAS”为依据，还缺条件______．
【答案】
【分析】由于已知一组对应角相等，一组对应边相等，若利用ASA证全等，则所需的另一角是以已知边为
边的另一个角相等；若利用AAS证全等，所需的另一角是已知边的对角相等．
【详解】解：已知： ， ，
若要以ASA为依据，还缺条件 ；
若要以AAS为依据，还缺条件 ．
故答案为： ， ．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、
ASA、AAS、HL．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形
全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再
去证什么条件．
3．（2023春·广东茂名·七年级统考期末）如图，点D，E分别在线段 上， 相交于点O，
，要使 ，需添加一个条件是____________________________（只需填一个即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据三角形全等的判定定理求解即可．
【详解】∵ ，
∴当添加的条件为 时，∴ ．
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形
全等的方法有： ， ， ， ， (直角三角形)．
4．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知 ，要使用“ ”证明 ，应添加
条件：_______________；要使用“ ”证明 ，应添加条件：_______________________．
【答案】 （或 ） （或 ）
【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使 ，已知 ，
，添加的条件是直角边相等即可；要使用“ ”，需要添加角相等即可．
【详解】解：已知 ， ，
要使用“ ”， 添加的条件是直角边相等，
故答案为： （或 ）；
要使用“ ”，需要添加角相等，添加的条件为：
（或 ）．
故答案为： （或 ）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定．本题的关键是，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，
取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必
须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对
应邻边．【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·江苏·七年级统考期末）按下列给出的各条件，能画出大小、形状固定的 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定定理，三角形的三边关系进行分析即可．
【详解】解：A、 ，不能构成三角形，故A不符合题意；
B、 ，不符合三角形全等的条件，所以不能画出形状、大小确定的三角形，故B
不符合题意；
C、 ，符合 ，能画出形状、大小确定的三角形，故 符合题意；
D、 ， ， ，不符合三角形全等的条件，所以不能画出形状、大小确定的三角形，
故 不符合题意；
故选： ．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，三角形的三边关系，解答的关键是熟练全等三角形的判定定理．
2．（2023·全国·八年级假期作业）在 和 中， ， ，再补充下列哪个条件可
以根据“ ”判断 和 全等（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 判定三角形全等是两边及这两边的夹角对应相等进行求解即可
【详解】解：在 和 中， ， ，
∴要想利用“ ”判断 和 全等，则需要添加的条件是 ，故选C．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟知 判定全等三角形是解题的关键．
3．（2023春·河北保定·七年级校考阶段练习）如图，点 ， ， ， 在同一直线上， ，
，添加一个条件，不能得到 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定方法逐个进行分析判断．
【详解】解：∵ ，
∴
A.由 ， ， ，利用AAS定理可判定 ，故此选项不符合题意；
B.∵ ，
∴ ，即 ，
由 ， ， ，利用SAS定理可判定 ，故此选项不符合题意；
C.由 ， ， ，利用ASA定理可判定 ，故此选项不符合题意；
D.由 ， ， ，SSA定理不能判定 ，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
4．（2023·浙江·八年级假期作业）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、
2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（ ）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去
【答案】B
【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【详解】解：①、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第②块有完整的两角及夹边，符合 ，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角
形全等的一般方法有： 、 、 、 ．
5．（2023春·广东深圳·八年级校联考期中）如图，在 和 中， ．在以下条件：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ 中，再选一个条件，
就能使 ，共有（ ）选择．
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】C
【分析】先得到 ，若添加 ，则可根据“ ”判断 ；若添加
，则可根据“ ”判断 ；于是 ，然后利用前面的结论可得到
；若添加 ，则 ，于是可利用“ ”判断 ；若添
加 ，则可直接利用“ ”判断 ．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，所以（1）正确；
∵ ， ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，所以（2）正确；
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，所以（4）正确；
在 和 中，
，
∴ ，所以（3）正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
二、填空题
6．（2023春·江苏·七年级统考期末）如图， ，要使 ，只需添加一个条件，
则这个条件可以是_________．
【答案】 （答案不唯一）【分析】直接根据 添加一个条件即可得到答案．
【详解】解： ，
理由是：在 和 中，
，
，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，全等三角形的判定定理有： ， ， ， ，
，此题是一道开放性的题目，选择合适的定理添加条件即可得到答案．
7．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）如图， 是任意一个角，在 边上分别
取 ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线 便是
平分线，此作法依据全等三角形的判定方法是______．
【答案】
【分析】证角相等，常常通过把角放到两个三角形中，寻找这两个三角形全等的条件，利用全等三角形的
性质，对应角相等．
【详解】解：由题意可知 ，
∴在 和 中，，
∴
∴ ，
即 平分 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法；解答本题的关键是把要证明相等的两个角放到两个三角形中，
证明这两个三角形全等，借助两个三角形全等的性质．
8．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，已知B，D，C，F在同一条直线上， ，
， ，若 ， ，则 _____．
【答案】3
【分析】根据平行线的性质得到 ， ，证明 ，可得 ，
再利用线段的和差计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，，
，
．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得 是解决问题的关键．
9．（2023·全国·八年级假期作业）如图，已知 ， 垂足分别为 、 ， 、 交于点
，且 ，则图中的全等三角形共有__对．
【答案】4
【分析】根据垂直定义得出 ，根据全等三角形的判定定理 推出 ，根
据全等三角形的性质得出 ， ，根据垂直定义得出 ，根据全等三角形
的判定定理 推出 ，根据全等三角形的性质得出 ， ，求出 ，
根据全等三角形的判定定理 推出 和 即可．
【详解】解： ， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
在 和 中，，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
在 和 中，
，
，
即全等三角形共4对，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和垂直的定义，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，
注意：全等三角形的判定定理有 ， ， ， ，两直角三角形全等还有 等．
10．（2023春·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）如图， 中， ，
， ．点P从A点出发沿 路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿
路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都
要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作 于E、作 于F，当点P运动
______秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．【答案】1或 或12
【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出 ，代入得出关于t的方程，解方程
即可．
【详解】解：设点 运动 秒时，以 、 、 为顶点的三角形和以 、 、 为顶点的三角形全等，分
为五种情况：
①如图1，P在 上，Q在 上，则 ， ，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
即 ，
；
②如图2，P在 上，Q在 上，则 ， ，由①知： ，
，
；
因为此时 ，所以此种情况不符合题意；
③当P、Q都在 上时，如图3，
，
；
④当Q到A点停止，P在 上时，如图4， ， 时，解得 ．
，符合题意；
⑤因为P的速度是每秒1，Q的速度是每秒3， P和Q都在 上的情况不存在；综上，点P运动1或 或12秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以Q、F、C为顶点的三角形全等．
故答案为：1或 或12．
【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方
程是解此题的关键．
三、解答题
11．（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，已知 ，
， ，试说明： ．
【答案】见解析
【分析】利用ASA定理证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质分析求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、
ASA、AAS、HL．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形
全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再
去证什么条件．
12．（2023春·河南平顶山·七年级统考期末）如图， ， ， 与 相交于
点 ．(1)图中有几对全等的三角形，请你选择一对全等三角形，并说明理由；
(2)连接 ，判断 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)2对，见解析
(2) ，见解析
【分析】（1）利用 证明 ，得到 ，再利用 证明 ；
（2）如图，根据 得到 ， ，推出 ，即可得证．
【详解】（1）解：有2对全等的三角形
①选择 ，
理由如下：
在 和 中， ，
．
②选择 ，
理由如下：
在 和 中， ，
．
，
为等腰三角形，
，
在 和 中， ，．
（2） ；理由如下：如图：
由（1）可知， ，
所以 ， ，
即 ， ，
又因为 ，所以 ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题
的关键．
13．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，在 中， 垂直平分 ，分别交 于点
平分 ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 垂直平分 ，根据全等三角形判定（ ），证得 与 是全等三角形，
进而证得 ，根据三角形内角和为 ，即可求出 的度数．
（2）根据全等三角形的判定（ ），证得 与 是全等三角形，即可求出 的长．【详解】（1）解： 垂直平分 ，
， ，
又 为 和 的公共边，
，
，
又 平分 ，
，
．
（2）解：由（1）得 ， ，
为 和 的公共边，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、角平分线和线段垂直平分线的
定义，熟知并灵活运用全等三角形的判定与性质是解题关键．
14．（2023春·广东茂名·七年级统考期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上， ，
， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求三角形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据 得 ，根据 得 ，即 ，根据即可证明 ；
（2）在 中，以 为底作 为高，则 ， ，根据
得 ， ，即可得．
【详解】（1）证明：∵ ，
，
∵ ，
，
在 和 中，
，
；
（2）解：如图所示，在 中，以 为底作 为高，
， ，
∵ ，
， ，
．
【点睛】本题考查了三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
15．（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）已知：如图，在 中， ，过点C作，垂足为D．在射线 上截取 ，过点E作 ，交 的延长线于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）首先根据垂直判定 ，得到 ，再利用 证明即可；
（2）根据全等三角形的性质可得 ， ，再利用线段的和差计算即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是找准条件，证明三角
形全等．
16．（2023春·广东佛山·八年级校联考阶段练习）如图， ， ， ，
与 交于点O．(1)求证： ．
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)60°
【分析】（1）直接利用 证明即可；
（2）首先根据三角形内角和定理和全等三角形的性质求出 ，然后根据直角三角形两锐角互余求
解即可．
【详解】（1）证明：在 和 中，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴
∵
∴ ．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知
识点．
17．（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）如图，在 中， ， 是过点 的直线，
于点 ， 于点 ．(1)若 ， 在直线 的同侧（如图①所示），且 ，求证：
① ；
② ．
(2)若 ， 在直线 的两侧（如图②所示），且 ，其他条件不变， 与 垂直吗？若垂直，
请给出证明；若不垂直，请说明理由．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2) ，证明见解析
【分析】（1）①由已知条件，证明 ，再利用角与角之间的关系求证
，即可证明 ；②利用全等三角形的性质解决问题即可；
（2）同（1），先证 再利用角与角之间的关系求证 ，即可证
明 ．
【详解】（1）证明： ， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
．
，
；
， ，
；
（2）解：结论： ．
理由： ， ，
，在 和 中，
，
，
．
，
，
即 ，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解
决问题．
18．（2022秋·安徽六安·八年级统考期末）（1）如图1，已知 ， 为 的平分线上一点．连
接 ， ，在不作辅助线的情况下，能作为 的依据是_______（从 ， ， ，
中选择一个填入）．
（2）如图2，已知 ， ， 为 的平分线上两点连接 ， ， ， ；全等三角形的
对数是_______；
（3）如图3，已知 ， ， ， 为 的平分线上三点，连接 ， ， ， ， ，
；全等三角形的对数是_______；
（4）依此规律，第 个图形中有全等三角形的对数是_______．
【答案】（1）SAS；（2）3；（3）6；（4）
【分析】（1）利用SAS判定 ABD≌ ACD即可；
（2）由（1）知 ABD≌ ACD△，利用△SAS证 ABE≌ ACE，从而得到BD=CD，BE=CE，则可利用SSS证
BDE≌ CDE，△即可得出△答案； △ △
△（3）由△（2）知 ABD≌ ACD， ABE≌ ACE， BDE≌ CDE，再利用SAS证 ABF≌ ACF，利用SSS证
△ △ △ △ △ △ △ △BDF≌ CDF， BEF≌ CEF，即可得出答案；
△（4）由△（1）（2△）（3）△总结出规律即可求解．
【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在 ABD和 ACD中，
△ △
，
∴ ABD≌ ACD（SAS），
故△答案为：△SAS；
（2）由（1）知 ABD≌ ACD，
∴BD=CD， △ △
在 ABE和 ACE中，
△ △
，
∴ ABE≌ ACE，
∴△BE=CE，△
在 BDE和 CDE中，
△ △
，
∴ BDE≌ CDE，
∴△全等三角△形共有3个，
故答案为：3；
（3）同理可得 ABD≌ ACD， ABE≌ ACE， BDE≌ CDE， ABF≌ ACF， BDF≌ CDF，
BEF≌ CEF，△共有6△对全等三△角形，△ △ △ △ △ △ △
△故答案为△：6；
（4）第1个图有1对全等三角形，
第2个图有3= 对全等三角形，第3个图有6= 对全等三角形，
…
第x个图有 对全等三角形，
故答案为： ．
【点睛】本题词考查全等三角形的判定，图形找规律，熟练掌握全等三角形的判定理是解题的关键．
