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专题21.17 实际问题与一元二次方程（分层练习）（基础练）
一、单选题
1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（
）个人．
A．8 B．9 C．10 D．11
2．粮食是人类赖以生存的重要物质基础．某农业基地现有杂交水稻种植面积 公顷，计划两年后将
杂交水稻种植面积增至 公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为 ，根据题意列
出方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，某小区居民休闲娱乐中心是建在一块长方形（长30米，宽20米）场地，被 条宽度相等的
绿化带划分为总面积为480平方米的6块活动场所．如果想求绿化带的宽度 米，可列出的方程为
（ ）
A. B．
C． D．
4．两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．将进货价格为38元的商品按单价45元售出时，能卖出300个．已知该商品单价每上涨1元，其销
售量就减少5个．设这种商品的售价上涨 元时，获得的利润为2300元，则下列关系式正确的是
（ ）A． B．
C． D．
6．如图，在 中， ， ， ．动点 ， 分别从点 ， 同时开始移
动，点 的速度为 秒，点 的速度为 秒，点 移动到点 后停止，点 也随之停止运动．
下列时间瞬间中，能使 面积为 的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
7．如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，
乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过( )小时，甲、乙两人相距6千米？
A． B． C．1.5 D．
8．某市举行篮球联赛，每两支球队之间只进行一场比赛，一共比赛了45场，设有 支球队参加比赛，
可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去90张贺卡，则该学习小组成员的人数是 ．
10．张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，
从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 ．11．用一段长为 的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，若菜园的面积为 ，墙的长度为 ．设
垂直于墙的一边长为 ，则x的值为 ．
12．两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数为 ，可得方程 ．
13．某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场
决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，
每件应降价 元．
14．如图， ， ， ，一个小球从点 出发沿着 方向滚向点 ，另
一小球立即从点 出发，沿 匀速前进拦截小球，恰好在点 处截住了小球．若两个小球滚动的
速度相等，则另一个小球滚动的路程 是 ．
15．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北
与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速
度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走
了多少步？”请问甲走的步数是 ．
16．如图，在宽为 ，长为 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪
的面积为 ，求道路的宽若设道路宽为 ，则根据题意可列方程为
三、解答题
17．春节过后，甲型流感病毒（以下简称：甲流）开始悄然传播，某办公室最初有三人同时患上甲流，
经过两轮传播后，办公室现有 人确诊甲流，请问在两轮传染过程中，平均一人会传染给几个人？18．为助力实现“双碳”目标，安徽大力发展光伏零部件制造，合肥某公司 年第一季度生产A型
零件的成本是 万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度的生产成本为 万
元，若该公司每个季度的平均下降率都相同．
(1) 求该公司每个季度的平均下降率是多少．
(2) 按照这个平均下降率，预计 年第一季度生产A型零件的成本是多少元?
19．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段 ，再砌三面墙，围成一个矩形花园 （围墙
最长可利用 ），现在已备足可以砌 长的墙的材料．
(1) 当 长度是多少时，矩形花园的面积为 米 ；
(2) 能否围成矩形花园面积为 米 ，为什么？20．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），
圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数：若不能请说明理由．
21．某书店销售一本科普读物，进价为每本16元，若按每本30元销售，平均每月能卖出200本．经
市场调研发现，在不亏本的情况下，为减少库存，若每本售价降低1元，则平均每月可多卖出20本．
设每本科普读物的售价降低 元．
(1) 小宇说：“既然降价销售，薄利多销，那么就有可能卖出600本．”请判断小宇的说法是否正确，
并说明理由；
(2) 若该书店销售此科普读物想平均每月的销售利润为2860元，销售经理甲说：“在原售价的基础上
降低3元，可以完成任务”，销售经理乙说：“在原售价的基础上降低1元即可”，请判断甲、乙两人的说法是否正确并指出应采取谁的意见．
22．如图，在 中， ， ， ，点 从点 开始沿 边向点 移动，
速度为 ；点 从点 开始沿 边向点 移动，速度为 ，点 分别从点 同时出发，
当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．
(1) 几秒后， 的长度为 ；
(2) 几秒后， 的面积为 ；
(3) 的面积能否为 ？请说明理由．
23．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工
程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，
大型设备每小时铺设路面60米．
(1) 由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多 ，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？
(2) 通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米
多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了
18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时
间增加了 小时，求m的值．
24． 年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出
件，每件盈利 元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的
销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．
(1) 若降价 元后，则平均每天销售数量为 件（用含 的代数式表示）；
(2) 若该经销商每天获得利润 元，则每件商品应降价多少元？参考答案
1．C
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传
染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是 人，则传染 人，依题意列方程：
，解方程即可求解．
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
依题意得： ，即 ，
解方程得 (舍去)，
即每轮传染中平均一个人传染了10个人；
故选：C．
【点拨】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题目，从实际问题中抽象出方程模型，设
出未知数，找出等量关系，列方程求解．
2．B
【分析】设年平均增长率为x，根据划两年后将杂交水稻种植面积增至 公顷，即可得出关于x的
一元二次方程；
解：设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，
依题意，得 ，故选：B
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．C
【分析】由绿化带的宽度，可得出六块活动场所可合成长为 米，宽为 米的长方形，结
合活动场所的总面积为480平方米，可得出关于 的一元二次方程，此题得解．
解： 绿化带的宽度为 米，
6块活动场所可合成长为 米，宽为 米的长方形．
根据题意得： ．
故选：C．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
4．B
【分析】根据连续两个奇数相差2，得到较大的一个奇数为 ，由此列得方程．
解：设其中较小的一个奇数为x，则较大的一个奇数为 ，
则 ，
故选：B．
【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意表示出较大的一个奇数是解题的关键．
5．D
【分析】根据总利润=销售量×每个利润．设涨价x元能赚得 的利润，即售价定为每个 元，
销售量为 个，结合获得的利润为 元，可列方程．
解：根据题意可得： ，
即：
故选：D．
【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意列出方程．
6．B
【分析】设出动点 ， 运动 秒，能使 的面积为 ，用 分别表示出 和 的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
解：设动点 ， 运动 秒后，能使 的面积为 ，
则 为 ， 为 ，由三角形的面积计算公式列方程得，
，
解得 ， （当 时， ，不合题意，舍去）．
动点 ， 运动3秒时，能使 的面积为 ．
故选：B．
【点拨】此题考查一元二次方程的应用，图形中的动点问题，根据题意，列出方程是关键．
7．A
【分析】根据题意表示出BC，DC的长，进而利用勾股定理求出答案
解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6km，根据题意可得：
BC＝（10﹣16x）km，DC＝12xkm，
因为BC2+DC2＝BD2，
则（10﹣16x）2+（12x）2＝62，
解得：x ＝x ＝0.4．
1 2
答：最快经过0.4小时，甲、乙两人相距6km．
故选A．
【点拨】此题主要考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
8．B
【分析】设有 支球队参加比赛，每支球队都要和其他 支球队比赛一场，并且两队之间的比赛
只能算作一场，由此列出不等式即可．
解：设有 支球队参加比赛，
由题意得， ，
故选B．
【点拨】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关
键．
9．10【分析】设该学习小组有x名成员，则小组内每名成员需送出 张贺卡，由该小组互赠新年贺卡
共90张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设该学习小组有x名成员，则小组内每名成员需送出 张贺卡，
根据题意得： ，
解得： （不合题意，舍去），
即该学习小组有10名成员．
故答案为：10．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．
【分析】设该超市的月平均增长率为x，根据等量关系：三月份盈利额 五月份的盈利额列出
方程求解即可．
解：设每月盈利平均增长率为x，
根据题意得： ．
解得： ， （不符合题意，舍去），
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量
后来的量，其中增长用＋，减少用−，难度一般．
11．10
【分析】设垂直于墙的一边长为 ，则平行于墙的一边长为 ，根据菜园的面积为 ，
列出一元二次方程，解之得出 的值，再结合墙的长度为 ，即可确定 的值．
解：设垂直于墙的一边长为 ，则平行于墙的一边长为 ，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
当 时， ，不合题意，舍去；当 时， ，符合题意；
即 的值为10，
故答案为：10．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12． 或
【分析】已知设其中的一个奇数为 ，且设其中的一个奇数为 ，分两种情况讨论：若 为较小的奇
数，则另一个奇数为 ，即可列出方程 ；若 为较大的奇数，则另一个奇数为 ，
即可列出方程 ，即可正确解答．
解：①若 为较小的奇数，则另一个奇数为 ，
∵两个连续奇数的积为323，
∴ ；
②若 为较大的奇数，则另一个奇数为 ，
∴ ；
故答案为： 或
【点拨】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确的理解题意，找出题目中的等量关系是
解题的关键．
13．10
【分析】设每件降价 元则每件的盈利为 元，每天可出售 件，由总利润 每件的盈
利 日销量，进而列出方程，求出结果要结合尽快减少库存，即可得解．
解：设每件降价 元，则每件的销售利润为 元，每天可售出 件，
根据题意得： ，
解得： ， ．
要尽快减少库存，
．
故每件应降价10元．故答案为：10．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．
【分析】根据题意设 ，则 ，在 中，用含 的式子表示出 ，根据两个小
球的速度相等，时间相等，即可求解．
解： ， ， ，设 ，则 ，
在 中， ，
∵两个小球滚动的速度相等，设速度为 ，根据题意可知，一个小球从点 出发，另一小球立即从点
出发，恰好在点 处截住，则运动时间相等，
∴ ，则 ，
∴ ，解得， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查动点、方程与直角三角形的综合，掌握直角三角形的勾股定理，根据数量关系
列方程，解方程是解题的关键．
15．
【分析】设甲、乙两人相遇的时间为 ，则乙走了 步，甲斜向北偏东方向走了 步，利用勾股
定理即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出 值，将其正值代入 中即可求出结论．
解：设甲、乙两人相遇的时间为 ，则乙走了 步，甲斜向北偏东方向走了 步，则
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
，即甲走的步数是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．
【分析】利用平移可把草坪把为一个长为 ，宽为 的矩形，从而根据题中的等量关
系即可得出方程．
解：利用平移，原图可转化为，如图所示，
设小路宽为x米，
根据题意得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．
17．在两轮传染过程中，平均一人会传染给 个人
【分析】设在两轮传染过程中，平均一人会传染给 个人，则第一轮传染中有 人被传染，第二轮传
染中有 人被传染，根据题意列一元二次方程，求解即可得出结论．
解：设在两轮传染过程中，平均一人会传染给 个人，则第一轮传染中有 人被传染，第二轮传染中
有 人被传染，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， 不符合题意，舍去 ．
答：在两轮传染过程中，平均一人会传染给 个人．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．(1) ；(2)【分析】（1）设该公司每个季度的下降率是x，根据该公司第一季度及第三季度的生产成本，即可得
出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）由（1）知x的值，代入 计算即可得知 年第一季度生产A型零件的成本．
（1）解：设该公司每个季度的下降率是x，由题意可得
， （不合题意，故舍去）
答：该公司每个季度的平均下降率是 ；
（2）解： 年第三季度的生产成本为 万元，由（1）知x的值为 ，
那么 （万元），
答：按照这个平均下降率，预计 年第一季度生产A型零件的成本是 元．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
19．(1) 米；(2)不能，理由见分析
【分析】（1）设 ，则 ，根据矩形花园的面积为 ，即可得出关于 的
一元二次方程，解之即可得出 的值，再结合围墙 最长可利用 ，即可确定结论；
（2）设 ，则 ，根据矩形花园的面积为 ，即可得出关于 的一元二次
方程，由根的判别式 ，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为 的矩形花
园．
（1）解：设 ，则 ，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
当 时， ，不合题意，舍去；
当 时， ，符合题意．
答：当 长度是 时，矩形花园的面积为 ．
（2）不能，理由如下：设 ，则 ，
依题意得： ，
整理得： ．
，
该方程无实数根，
不能围成面积为 的矩形花园．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正
确列出一元二次方程；（2）牢记“ 当 时，方程无实数根”．
20．最小的数是5，理由见分析
【分析】设这个最小数为x，则最大数为(x+8)，根据最小数与最大数的乘积为65或33，即可得出关于
x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设最小的数为x，则最大数为(x+8)，
由题意得x(x+8)=33，
解得x=-11，x=3．由表格知不符合实际舍去；
1 2
由题意得x(x+8)=65，
解得x=-13（舍去），x=5，
1 2
所以当最大数与最小数乘积为65时，最小的数是5．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．(1)不正确，理由见分析；(2)甲、乙两人的说法都正确，应采取销售经理甲的意见
【分析】（1）根据题意卖出600本得到销售价格，发现低于成本则不能获利，故不正确；
（2）据题意列出一元二次方程，解出结果后得出结论．
（1）解：小宇的说法不正确，
理由是：根据小宇的说法可列方程 ，
解得 ，
∵售价为 ，
∴此时亏本销售，与题意不符，
∴小宇的说法不正确．（2）解：由题意得
解得 ， ，
∴两人的说法都正确．
∵由于增加销售量可以减少库存，
∴应采取销售经理甲的意见．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用和一元二次方程的应用，其中根据题意找到等量关系列出方
程是解题的关键．
22．(1) 后， 的长度为 ；(2) 或 后， 的面积等于 ；(3) 的面积不可能
等于 ，见分析
【分析】（1）设点 运动的时间为 ，用含 的式子表示 的长，根据勾股定理即可求解；
（2）根据 的面积公式即可求解；
（3）根据 的面积公式列式，根据根的判别式即可确定．
（1）解：设点 运动的时间为 ，则 ， ， ，
根据勾股定理，得 ，
即 ，解得t＝3或 （舍去），
故 后， 的长度为 ．
（2）解：由 ，得 ，解得 或 ，
故 或 后， 的面积等于 ．
（3）解：不能，理由如下：
当 时，即 ，
，整理，得 ，∵ ，
∴方程没有实数根，
∴ 的面积不可能等于 ．
【点拨】本题主要考查动点与三角形，一元二次方程的综合，掌握动点的运动规律，直角三角形中勾
股定理的运用，一元二次方程中根的判别式的运用是解题的关键．
23．(1)300；(2)5
【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为 小时，根据题
意列出方程，即可求解；
（2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为 小时，根据题意可得小型设备的使用时间
为 小时，大型设备铺设公路每小时为 米，大型设备的使用时间为 小时，根
据题意列出方程，即可求解．
（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为 小时，根据题意得：
，
解得： ，
答：小型设备的使用时间为300小时；
（2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为 小时，
根据题意得：小型设备的使用时间为 小时，大型设备铺设公路每小时为 米，大型
设备的使用时间为 小时，
∴ ，
整理得： ，解得： （舍去）．
即m的值为5．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系
是解题的关键．
24．(1) ；(2)每件商品应降价 元
【分析】（1）根据题意得，降价 元后，则平均每天销售数量为 件；
（2）根据题意得，降价 元后，每件衬衫的利润为 元，每天销售数量为 件，即可得
，进行计算得 ， ，因为要尽快减少库存、增加盈利，所以 ，即
可得．
（1）解：根据题意得，降价 元后，则平均每天销售数量为 件，
故答案为： ，
（2）解：根据题意得，降价 元后，每件衬衫的利润为 元，每天销售数量为 件，
， ，
∵要尽快减少库存、增加盈利，
∴ ，
即每件商品应降价 元．
【点拨】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方
程．
