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第十九章 一次函数
第1课时19.2.3一次函数与方程、不等式
一、温故知新（导）
1.解方程:3x-6=0
解：3x=6
x=2
2.解不等式:3x-6<0
解：3x<6
x<2
3.画出直线y=3x-6的图象.
解：如图
方程、不等式与函数之间有什么联系呢？这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习
目标和重难点。
学习目标
1、 理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系.
2、能根据一次函数的图象求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，进一步发展数形结合的意识.
学习重难点
重点：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系；难点：会根据图象解答一元一次方程、不等式的有关问题.
二、自我挑战（思）
1、思考1：
下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对这3个方程进行解释吗？
（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1.
共同点：方程左边都是 2x+ 1 ；
不同点：等号的右边分别是3、0、-1.
从函数角度看，解这3个方程相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为 3 、 0 、 - 1 时，求自变
量x的值.或者说在直线y=2x+1上，取纵坐标分别为3，0，-1的点，看它们的横坐标分别为多少？
（图19.2-6）
图19.2-6
2、思考2：
下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对这3个不等式进行解释吗？
（1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1.
共同点：不等式左边都是 3x+ 2 ；
不同点：不等号及不等号右边不同.
从函数角度看，解这3个不等式相当于在一次函数y=3x+2的函数值分别大于 2 、小于 0 、小
于-1时，求自变量x的取值范围.或者说，在直线y=3x+2上取纵坐标分别大于2、小于0、小于-1的
点，看它们的横坐标分别满足什么条件（图19.2-7）图19.2-7
三、互动质疑（议、展）
1、因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0（a≠0）的形式，所以解一元一
次方程相当于在某一个一次函数 y=ax+ b 的函数值为 0 时，求自变量x的值.
2、因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b＞0或ax+b＜0（a≠0）的形式，
所以解一元一次不等式相当于在某一个一次函数 y=ax+ b 的函数值大于 0 或小于 0 时，求
自变量x的值.
3、实例：
3
例 在如图所示的平面直角坐标系中画出函数 y＝− x+3的图象，并利用图象解决下列问题：
2
3
（1）求方程− x+3＝0的解；
2
3
（2）求不等式− x+3＜0的解集；
2
（3）若-2≤x≤4，求y的取值范围．3
解：（1）函数y＝− x+3的图象为：
2
3
方程− x+3＝0的解是x=2；
2
3
（2）不等式− x+3＜0的解集是x＞2；
2
（3）从图象可知：当-2≤x≤4时，则-3≤y≤6．
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、如图，直线y=ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程ax+b=0的解为（
）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
1、解：∵直线y=ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标为1，
∴关于x的方程ax+b=0的解为x=1．
故选：A．
2、如图是一次函数y=3x+n的图象，则关于x的一次方程3x+n=0的解是（ ）
3 2
A．x=-2 B．x=-3 C．x＝ D．x＝−
2 3
2、解：从图象可知：一次函数 y=3x+n与y轴的交点坐标是（0，2），代入函数解析式得：2=0+n,
解得：n=2，
即y=3x+2，
当y=0时，3x+2=0，
2
解得：x=- ，
3
2
即关于x的一次方程3x+n=0的解是x=- ，
3
故选：D．
3、如图，在平面直角坐标系中，直线 y=kx+b与两坐标轴交点分别为（2，0），（0，3），
则不等式kx+b＞0的解为（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3
3、解：∵直线y=kx+b与两坐标轴交点分别为（2，0），（0，3），且y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b＞0的解集是x＜2．
故选：B．
4、已知一次函数y=ax+b（a,b是常数），x与y的部分对应值如下表：
x -3 -2 -1 0 1 2
y -4 -2 0 2 4 6
则关于x的方程ax+b=4的解是 ．
4、解：根据图表可得：当x=1时，y=4，即x=1时，ax+b=4，
因而方程ax+b=4的解是x=1．
故答案为：x=1．
5、一次函数y=kx+b的图象如图所示，当0＜kx+b＜3时，x的取值范围为 ．
5、解：由一次函数y=kx+b的图象可知，
当0＜y＜3时，-4＜x＜0，
故答案为：-4＜x＜0．6、在平面直角坐标系中作出函数 y=x+2的图象，根据图象回答下列问题：
（1）方程x+2=0的解为 ；
（2）y＞0时，x的取值范围是 ．
6、解：y=x+2
列表如下：
图象如下图所示：
（1）由图形可得，方程x+2=0的解是x=-2，
故答案为：x=-2；
（2）由图象可得，y＞0时，x的取值范围是x＞-2，
故答案为：x＞-2.六、用
（一）必做题
1、关于x的一元一次方程kx+b=0的解是x=1，则直线y=kx+b的图象与x轴的交点坐标是（
）
A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（-1，0）
1、解：∵关于x的一元一次方程kx+b=0的解是x=1，
∴当x=1时y=kx+b=0，
∴直线y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为（1，0），
故选：A．
2、如图，已知直线y=ax+b,则方程ax+b=-1的解x等于（ ）
A．0 B．2 C．4 D．1
2、解：根据图形知，当y=-1时，x=0，即ax+b=-1时，x=0．
∴方程ax+b=-1的解x=0，
故选：A．
3、如图，若一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，-1），B（1，
1），则不等式kx+b＜1的解集为（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞0 D．x＜0
3、解：如图所示：不等式kx+b＜1的解为：x＜1．
故选：B．
4、如图，直线y=2x与y=kx+b相交于点P（m,2），则关于x的方程kx+b=2的解是 ．
4、解：∵直线y=2x与y=kx+b相交于点P（m,2），
∴2=2m,
∴m=1，
∴P（1，2），
∴当x=1时，y=kx+b=2，
∴关于x的方程kx+b=2的解是x=1，
故答案为：x=1．
5、在平面直角坐标系中，一次函数 y =ax+b（a≠0）与y =mx+n（m≠0）的图象如图所示，则
1 2
关于x的不等式ax+b＞mx+n的解集为 ．
5、解：由图象可知，关于x的不等式ax+b＞mx+n的解集为x＞3，
故答案为：x＞3．
6、如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A，B两点．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出关于 x的不等式kx+b＞4的解集．6、解：（1）将点A（3，4），B（0，-2）的坐标分别代入y=kx+b中，
{3k+b＝4
得 ，
b＝−2
{ k＝2
解得 ，故一次函数的解析式y=2x-2；
b＝−2
（2）观察图象可知：关于x的不等式kx+b＞4的解集为x＞3．
（二）选做题
7、如图，一次函数y =kx-2和y =-3x+b的图象相交于点A（2，-1）．
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（1）求k,b的值；
（2）利用图象直接写出：当x取何值时，y ＞y ；
1 2
（3）求出：当x取何值时，y ≥0．
1
1
7、解：（1）将A（2，-1）代入y =kx-2，得：2k-2=-1，即k= ；
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将A（2，-1）代入y =-3x+b,得：-6+b=-1，即b=5；
2
（2）从图象可以看出：当x＞2时，y ＞y ；
1 2
1
（3）直线y = x-2与x轴的交点为（4，0），
1 2
从图象可知：当x≥4时，y ≥0．
1
8、如图，一次函数 l ：y=2x-2的图象与x轴交于点D，一次函数 l ：y=kx+b的图象与x轴交
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于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m,2）．
（1）求m的值和一次函数l ：y=kx+b的解析式；
2
（2）根据图象，直接写出kx+b＜2x-2的解集．8、解：（1）∵两函数图象交于点C（m,2），
∴把点C的坐标代入y=2x-2得：2=2m-2，
解得：m=2，
即C（2，2），
∵函数y=kx+b经过点B（3，1），点C（2，2），
{1＝3k+b
∴ ，
2＝2k+b
解得：k=-1，b=4，
即y=-x+4，
所以m=2，一次函数l ：y=kx+b的解析式是y=-x+4；
2
（2）由图象可知不等式kx+b＜2x-2的解集是x＞2．
