文档内容
专题 09 几何旋转综合问题
类型一、三角形中的旋转问题
例．如图，已知等边 中，点D、E、F分别为边 、 、 的中点，M为直线 上一动点，
为等边三角形（点M的位置改变时， 也随之整体移动）．
（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你连结 ，并判断 与 有怎样的数量关系？点F是否在直
线 上？请写出结论，并说明理由；
（2）如图2，当点M在 上时，其它条件不变，（1）的结论中 与 的数量关系是否仍然成立？若
成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若点M在点C右侧时，请你判断（1）的结论中 与 的数量关系是否仍然成立？若成
立，请直接写出结论：若不成立，请说明理由．
【答案】（1）相等，在，理由见解析；（2）成立，证明见解析；（3）成立．
【详解】解：（1）EN=MF，点F在直线NE上，理由如下：如图1，连接DE、DF、EF，NF，
∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC， ，
又∵点D、E、F分别为边 、 、 的中点，
∴DE、DF、EF为等边△ABC的中位线， ，
∴DE=DF=EF，∴∠FDE=∠DFE=60°
∵D、F分别是AB、BC的中点，∴ ，∴△DBF是等边三角形，
∴∠BDF=60°，∵△DMN是等边三角形，∴∠MDN=60°，DM=DN，∴∠MDN=∠BDF=60°，DB=DF，
∴∠MDN-∠BDN=∠BDF-∠BDN，即∠MDB=∠NDF，
在△DMB和△DNF中，∵DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF，∴△DMB≌△DNF，∴∠DBM=∠DFN，
∵∠ABC=60°，∴∠DBM=120°，∴∠NFD=120°，∴∠NFD+∠DFE=120°+60°=180°，
∴N、F、E三点共线，∴F在直线NE上；
∵△DMN是等边三角形，∴∠MDN=60°，DM=DN，∴∠FDE+∠NDF=∠MDN+∠NDF，
∴∠MDF=∠NDE，
在△DMF和△DNE中，∵DF=DE，∠MDF=∠NDE，DM=DN，∴△DMF ≌△DNE，∴MF=NE，
（2）成立，理由如下：如图2，连接DF，NF，EF，
∵△ABC是等边三角形且D、F分别是AB、BC的中点，
∴ ， ，∴△DBF是等边三角形，∴∠BDF=∠DBF=60°，
∵△DMN是等边三角形，∴∠MDN=60°，DM=DN，∴∠MDN=∠BDF=60°，DB=DF，
∴∠MDN-∠FDM=∠BDF-∠FDM，即∠MDB=∠NDF，
在△DMB和△DNF中，∵DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF，
∴△DMB≌△DNF，∴∠DBM=∠DFN=60°，BM=FN，∴∠DFN=∠FDB=60°，∴NF∥BD，
∵E，F分别为边AC，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线， ，
∴EF∥BD， ，∴F在直线NE上，BF=EF，∴MF=EN；
（3）MF与EN相等的结论仍然成立，理由如下：如图3，连接DF、DE，EF，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，
又∵点D、E、F分别为边 、 、 的中点，
∴DE、DF、EF为等边△ABC的中位线，
，∴DE=DF=EF，
∴△DEF是等边三角形，∴∠FDE=60°，
∵△DMN是等边三角形，∴∠MDN=∠FDE=60°，DM=DN，
∴∠EDM+∠NDE=∠EDM+∠FDM，∴∠NDE=∠FDM，
在△DNE和△DMF中，∵DE=DF，∠NDE=∠FDM，DN=DM，△DNE≌△DMF，∴MF=NE．
【变式训练1】如图1，在等腰直角三角形 中， ．点 ， 分别为 ， 的中点，
为线段 上一动点（不与点 ， 重合），将线段 绕点 逆时针方向旋转 得到 ，连接 ，
．
（1）证明： ；
（2）如图2，连接 ， ， 交 于点 ．
①证明：在点 的运动过程中，总有 ；
②若 ，当 的长度为多少时， 为等腰三角形？
【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②当 的长度为2或 时， 为等腰三角形
【详解】解：（1）∵线段 绕点A逆时针方向旋转 得到 ，∴AH=AG，∠HAG=90°，
∵在等腰直角三角形 中， ，AB=AC，∴∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG，
∴ ；
（2）①∵在等腰直角三角形 中，AB=AC，点 ， 分别为 ， 的中点，
∴AE=AF， 是等腰直角三角形，∵AH=AG，∠BAH =∠CAG，∴ ，∴∠AEH=∠AFG=45°，
∴∠HFG=∠AFG+∠AFE=45°+45°=90°，即： ；
②∵ ，点 ， 分别为 ， 的中点，∴AE=AF=2，
∵∠AGH=45°， 为等腰三角形，分3种情况：
（a）当∠QAG=∠QGA=45°时，如图，则∠HAF=90°-45°=45°，∴AH平分∠EAF，
∴点H是EF的中点，∴EH= ；
（b）当∠GAQ=∠GQA=（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则∠EAH=∠GAQ=67.5°，
∴∠EHA=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠EHA=∠EAH，∴EH=EA=2；
（c）当∠AQG=∠AGQ=45°时，点H与点F重合，不符合题意，舍去，
综上所述：当 的长度为2或 时， 为等腰三角形．【变式训练2】如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定
△ABC，将△DEC绕点C旋转．
（1）当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．
①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为 ；
②当∠B=∠E=α时，此时旋转角的大小为 (用含a的式子表示)．
（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，
试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．
【答案】（1）①60°；②2α；（2）小杨同学猜想是正确的．证明见解析．
【详解】解：（1）①∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠CAD=90°﹣30°=60°．
∵CA=CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴旋转角为60°．故答案为：60°．
②如图2中，作CH⊥AD于H．
∵CA=CD，CH⊥AD，∴∠ACH=∠DCH．
∵∠ACH+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，∴∠ACH=∠B，∴∠ACD=2∠ACH=2∠B=2α，∴旋转角为2α．故答案为：2α．
（2）小杨同学猜想是正确的．证明如下：过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，
∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．
∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，∴∠BNC=∠EMC=90°．
∵△ACB≌△DCE，∴BC=EC，
在△CBN和△CEM中，∠BNC=∠EMC，∠1=∠3，BC=EC，∴△CBN≌△CEM(AAS)，∴BN=EM．
∵S BDC •CD•BN，S ACE •AC•EM．
△ △
∵CD=AC，∴S BDC=S ACE．
△ △
【变式训练3】如图1，已知∠DAC=90°， ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不
重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针△旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．
（1）如图1，猜想∠QEP= °；
（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证
明；
（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．
【答案】（1）∠QEP=60°；（2）∠QEP=60°，证明详见解析；（3）
【详解】解：(1)∠QEP=60°；
证明：连接PQ，如图1，由题意得：PC=CQ，且∠PCQ=60°，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠PCA=∠QCB，则在△CPA和△CQB中， ，∴△CQB≌△CPA(SAS)，∴∠CQB=∠CPA，
又因为△PEM和△CQM中，∠EMP=∠CMQ，∴∠QEP=∠QCP=60°.故答案为60；
(2)∠QEP=60°.以∠DAC是锐角为例.
证明：如图2，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，
∴CP=CQ，∠PCQ=60°，∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，即∠ACP=∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中， ，∴△ACP≌△BCQ(SAS)，∴∠APC=∠Q，
∵∠1=∠2，∴∠QEP=∠PCQ=60°；
(3)连结CQ，作CH⊥AD于H，如图3，
与(2)一样可证明△ACP≌△BCQ，∴AP=BQ，
∵∠DAC=135°，∠ACP=15°，∴∠APC=30°，∠CAH=45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，∴AH=CH= AC= ×4= ，
在Rt△PHC中，PH= CH= ，∴PA=PH−AH= － ，∴BQ= − .
【变式训练4】两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，
H是AE的中点，G是BD的中点．
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为
______和位置关系为______；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）
中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接
写出结论，不用证明．
【答案】（1）相等，垂直．（2）成立，证明见解析；（3）成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．
【详解】解：（1）∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，∴BE=AD，
∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，∴FH= AD，FH∥AD，FG= BE，FG∥BE，
∴FH=FG，∵AD⊥BE，∴FH⊥FG，故答案为相等，垂直．
（2）答：成立，证明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，
∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，
由（1）知：FH= AD，FH∥AD，FG= BE，FG∥BE，∴FH=FG，FH⊥FG，
∴（1）中的猜想还成立．（3）答：成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．连接AD，BE，两线交于Z，AD交BC于X，
同（1）可证，∴FH= AD，FH∥AD，FG= BE，FG∥BE，
∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，
∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中 ，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，
∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB，
∴∠DXB+∠EBC=90°，∴∠EZA=180°﹣90°=90°，即AD⊥BE，
∵FH∥AD，FG∥BE，∴FH⊥FG，即FH=FG，FH⊥FG，结论是FH=FG，FH⊥FG.
【变式训练5】在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为 ，且
，连接AD、BD．
（1）如图1，当∠BAC=100°， 时，∠CBD 的大小为_________；
（2）如图2，当∠BAC=100°， 时，求∠CBD的大小；
（3）已知∠BAC的大小为m（ ），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出 的
大小．
【答案】（1）30°；（2）30°；（3） 为 或 或 ．
【详解】解：（1）解（1）∵ ， ，∴ ，
∵ ， ，∴ 为等边三角形，∴ ．又∵ ，∴ 为等腰三角形， ，∴
．
（2）方法1：如图作等边 ，连接 、 ．
， ．
， ， ．
， ． ．①
， ， ．②
，③； 由①②③，得 ， ， ．
， ， ．
， ， ． ． ．④
， ， ．⑤
，⑥； 由④⑤⑥，得 ． ．
． ． ．
方法2 如下图所示，构造等边三角形ADE，连接CE．
∵在等腰三角形ACD中， ，∴ ，
∵ ，∴ ．可证 ．
结合角度，可得 ， ．
在 和 中， ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ．方法3 如下图所示，平移CD至AE，连接ED，EB，则四边形ACDE是平行四边形．
∵ ，∴四边形ACDE是菱形，
∴ ， ．∴ ，∴ ，
∴ 是等边三角形， 是等腰三角形，∴ ， ，
∴ ．∴ ．
（3）由（1）知道，若 ， 时，则 ；
①由（1）可知，设 时可得 ， ，
， ．
②由（2）可知，翻折 到△ ，则此时 ， ，
，
③以 为圆心 为半径画圆弧交 的延长线于点 ，连接 ，
， ， ．
综上所述， 为 或 或 时， ．
类型二、四边形中的旋转问题
例．如图1，在 ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右
侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线
段CF、BD的数量关系为 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？并说明理由；
（2）如图4，如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．
【答案】（1）①垂直，相等；②成立，理由见解析；（2）45°，理由见解析
【详解】解：（1）①CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等，理由是：
如图2，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∴∠DAC+∠CAF＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝90°，且∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠CAF＝∠BAD，∴△BAD≌△CAF，∴BD＝CF，∠B＝∠ACF＝45°，
∴∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即∠BCF＝90°，∴BC⊥CF，
即BD⊥CF；
故答案为：垂直，相等；
②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立，理由是：
如图3，由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAF＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠FAC，
又∵AB＝AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，
∠ACF＝∠ABD，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ACF＝∠ABC＝45°
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
即CF⊥BD；
（2）当∠BCA＝45°时，CF⊥BD，理由是：
如图4，过点A作AQ⊥AC，交BC于点Q，
∵∠BCA＝45°，∴∠AQC＝45°，
∴∠AQC＝∠BCA，
∴AC＝AQ，
∵AD＝AF，∠QAC＝∠DAF＝90°，∴∠QAC﹣∠DAC＝∠DAF﹣∠DAC，
∴∠QAD＝∠CAF，∴△QAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AQD＝45°，
∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．
【变式训练1】在正方形 的边 上任取一点 ，作 交 于点 ，取 的中点 ，连接
、 ，如图 ，易证 且 ．
将 绕点 逆时针旋转 ，如图 ，则线段 和 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写
出你的猜想．
将 绕点 逆时针旋转 ，如图 ，则线段 和 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出
你的猜想，并加以证明．
【答案】 ， ； ， ．
【详解】解： ， ．
， ．证明：延长 交 延长线于 ，连 ．∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形．∴ ， ，
由图 可知，∵ 平分 ， ，∴ ，
又∵ ，∴ 为等腰直角三角形，∴ ， ．∴ ．
∵ ， ，∴ ．
∵ ， ，∴ ．
∵ ，∴ ，
又∵ ， ，∴ ．
∵在 与 中， ，∴ ．
∴ ， ．
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，即 ，∴ ．
【变式训练2】如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点. 分别延长OD到点G，OC到点E，使
OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．
(1)求证：DE⊥AG；
(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转 角(0°< <360°)得到正方形 ，如图
2．
①在旋转过程中，当∠ 是直角时，求 的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求 长的最大值和此时 的度数，直接写出结果不必说
明理由．
【答案】（1）DE⊥AG （2）①当∠ 为直角时，α=30°或150°.②315°
【详解】 如图1，延长ED交AG于点H，
点O是正方形ABCD两对角线的交点， ，
，在 和 中，
， ≌ ， ，
， ， ，即 ；
在旋转过程中， 成为直角有两种情况：
Ⅰ 由 增大到 过程中，当 时，， 在 中，sin∠AGO= ， ，
， ， ，即 ；
Ⅱ 由 增大到 过程中，当 时，
同理可求 ， ．
综上所述，当 时， 或 ．
如图3，
当旋转到A、O、 在一条直线上时， 的长最大，
正方形ABCD的边长为1，
，
， ， ，
，
， 此时 ．
【变式训练3】在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°
（1）将△ADF绕点A顺时针旋转90 °，得到△ABG（如图1），求证：BE+DF=EF；
（2）若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M、N（如图2），求证：
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变（如图3），直接写出线段EF、BE、DF之间的数
量关系．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） =2 ．
【详解】（1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，
∴AF=AG，∠FAG=90°，
∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，
在△AGE与△AFE中， ，∴△AGE≌△AFE（SAS）；
（2）证明：设正方形ABCD的边长为a．
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．
则△ADF≌△ABG，DF=BG．
由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．
∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，
∴CE=CF，BE=BM，NF= DF，∴a-BE=a-DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，
∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG= BM= DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；
（3）解：EF2=2BE2+2DF2．
如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．
由（1）知△AEH≌△AEF，
则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，
即（GH+BE）2+（BM-GM）2=EH2
又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE-GH）2=EF2，
即2（DF2+BE2）=EF2
【变式训练4】在
▱
ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．
【答案】(1)见解析；(2)45°；(3)见解析
【详解】（1）证明：如图1，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD BC，AB CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．∴CE=CF．
（2）解：连接GC、BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形，
∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，
∵∠DCB=90°， ，∴∠DFA=45°，∠ECF=90°∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，
∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，
∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°
在△BEG与△DCG中，∵ ，∴△BEG≌△DCG，∴BG=DG，
∵CG⊥EF，∴∠DGC+∠DGA=90°，
又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGA+∠DGA=90°，∴△DGB为等腰直角三角形，
∴∠BDG=45°．
（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．
∵AD GF，AB DF，∴四边形AHFD为平行四边形
∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD
∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°
∴△DAF为等腰三角形∴AD=DF，
∴CE=CF，
∴平行四边形AHFD为菱形
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°
∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，
∴BH=GF
在△BHD与△GFD中，
∵ ，
∴△BHD≌△GFD，
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.
