跟踪训练03函数的奇偶性、周期性、对称性（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_第二章基本初等函数

跟踪训练 03 函数的奇偶性、周期性、对称性 一．选择题（共15小题） 1．函数 的奇偶性为 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【解答】解：根据题意，函数 ，有 ，解可得 ，其定义 域为 ， ，不关于原点对称； 故 是非奇非偶函数． 故选： ． 2．已知函数 ，则 A． 是偶函数且是增函数 B． 是偶函数且是减函数 C． 是奇函数且是增函数 D． 是奇函数且是减函数 【解答】解：根据题意，函数 ，其定义域为 ， ，则有 ，故函数 为奇函数； 设 ， 则 ， 由于 ，则 ，则有 ，函数 为增函数． 故选： ． 3．若 是奇函数，则A． B． C． D． 【解答】解：由 ，可得 ， 又因为 ，所以 ， 即函数的定义域为： ， ， ， ， 又因为 是奇函数， 所以 ， 所以 ． 故选： ． 4．下列函数在其定义域内既是严格增函数，又是奇函数的是 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 ， ，是正弦函数，不是增函数，不符合题意； 对于 ， ，是对数函数，不是奇函数，不符合题意； 对于 ，设 ，其定义域为 ，有 ，不是奇函数， 不符合题意； 对于 ，设 ，其定义域为 ，有 ，是奇函数， 且 ，在 上是增函数，符合题意． 故选： ． 5．下列函数既是奇函数又在 上是增函数的是 A． B． C． D．【解答】解： ； 在 上单调递增； 在 上是减函数， 该选项错误； ．反比例函数 在 上没有单调性， 该选项错误． ； 该函数定义域为 ； 函数 在 上单调递减，且 单调递增； 复合函数 在 上为减函数， 该选项错误； ． 的定义域为 ，且 ； 该函数为奇函数； 且 为增函数， 为减函数， 为增函数； 在 上为增函数， 该选项正确． 故选： ． 6．已知偶函数 在 ， 上单调递增，则 （1）的解集是 A． B． C． D． 【解答】解：因为偶函数 在 ， 上单调递增， 故函数在 上单调递减， 由 （1）可得 ， 解得 ． 故选： ．7．函数 A．奇函数，且最小值为0 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为2 D．偶函数，且最小值为0 【解答】解：函数 的定义域为 ， 又 ， 则 ，即函数 为偶函数， ， 均错误； 因为 ， ， ，则 ， ， 所以 ， ， 所以函数 的最小值为0，无最大值，故 错误， 正确． 故选： ． 8．函数 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增， （1） ，则不等式 的解集为 A． ， B． ， ， C． ， ， D． ， ， 【解答】解：根据题意知， 在 上单调递增， ，且 在 上单 调递增， （1） ， 由 得， 或 ， 解得 或 ， 的解集为 ， ， ． 故选： ．9．已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则 A． B． C． D． 【解答】解：因为 ， 所以 ，且 ， 由题意可得 ， 所以 ， 故函数 为周期函数，且周期为4， 所以 ． 故选： ． 10．已知函数 ，下列结论正确的是 A． 是偶函数 B． 在 上单调递增 C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象与 轴围成的三角形面积为2 【解答】解： 选项， ， 画出其函数图象，如下：故 不是偶函数， 错误； 选项， 在 上单调递减，故 错误； 选项， 的图象关于直线 对称， 正确； 选项， 的图象与 轴围成的三角形面积为 ， 错误． 故选： ． 11．已知函数 为奇函数，且当 时， ，则 A．1 B． C．2 D． 【解答】解：已知函数 为奇函数，且当 时， ， 则 （1） ． 故选： ． 12．设 是定义域为 的偶函数，且 ，则 A． B． C． D． 【解答】解：因为 是定义域为 的偶函数， 所 ， 所以 的周期为2， 所以 ． 故选： ．13．已知函数 ，则对任意非零实数 ，有 A． B． C． D． 【解答】解：函数 ， ， 则 ， 显然 ，且 ， 错误； ， 正确， 错误． 故选： ． 14．已知 是定义在 上的奇函数，若 为偶函数且 （1） ，则 A．3 B． C． D．6 【解答】解：因为 是定义在 上的奇函数， 且 ， 所以 ， 由 为偶函数可得： ， 故有 ， ， 即 ， ，故 ， 所以 周期 ， 故 （1） ． 故选： ．15．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 ， ，则不等式 的解集是 A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ， 【解答】解：由题意可知 在 上单调递增， （1） ，且 ， 又函数 是定义在 上的奇函数， ，则有 在 ， 上单调递增， 则 是在 上的增函数， ， 则不等式 等价于 或 解得 或 ． 故选： ． 二．多选题（共5小题） 16．已知函数 的图象关于直线 对称，关于 对称，则下列说法正确的是 A． B． C． D． 【解答】解：由题意得 ， ， 故 ， ， 正确， 错误， 正确； 所以 ， 正确． 故选： ． 17．已知函数 ，则下列说法正确的是A．函数 的图象关于 轴对称 B．函数 在区间 上单调递增 C． D． 【解答】解：由函数的定义可知，函数 的图象不关于 轴对称，故 错误； 因为函数 与 都是 上的增函数， 则 是 上的增函数，所以函数 在区间 上单调递增，故 正确； ，故 正确； ， ，故 错误． 故选： ． 18．已知 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函数，且 ， 在 ， 单调递减，则 A． （1） （2） B． （1） （2） C． （1） （2） D． （1） （2） 【解答】解： 是定义在 上的偶函数， 在 ， 单调递减，所以 在 上是增函数， 是定义在 上的奇函数， 在 ， 单调递减，所以 在 上是减函数， 所以 在 上是减函数，所以 （1） （2）， ， （1） （2），但是不能判定两个的正负，所以 不正确； （1） （2），可得 （1） （2） ，所以 正确； （1） （2） ，所以 不正确； （1） （2） ，所以 正确； 故选： ． 19．已知函数 与 的定义域均为 ，且 ， ， 为偶函数，则 A．函数 的图像关于直线 对称 B． C．函数 的图像关于点 对称 D． 【解答】解：因为 为偶函数，所以 ，故函数 的图 像关于直线 对称，故 正确； 因为 ，所以 ，即 ①． 因为 ②，所以 ③． ① ③，得 ，故函数 的图像关于点 对称，故 正确， 错误； 因为函数 的图像关于直线 对称，所以 ．① ②，得 ，所以 ． 所以 ，即函数 的周期为 ． 所以 ． 在 中，令 ，可得 ④， 在 中，令 ，可得 ，即 ⑤． ⑤ ④，得 ，故 ，故 正确． 故选： ． 20．已知函数 为奇函数，则 A． B． 为 上的增函数 C． 的解集为 D． 的值域为 【解答】解：因为函数 为奇函数， 所以 ，即 ，解得 ， 此时 ，则 ，符合题意， 故 ，即 正确； 因为 在定义域上单调递增，且 ，又 在 上单调递减， 所以 在定义域 上单调递减，故 错误； 由 ，即 ，所以 ，即 ，即 ，解得 ， 所以不等式 的解集为 ，故 正确； 因为 ，所以 ，所以 ，即 的值域为 ，故错误； 故选： ． 三．填空题（共5小题） 21．已知函数 ， ，若 ，则 2023 ． 【解答】解：函数 ， ， 可得 ， 则 ． 故答案为：2023． 22．已知函数 为偶函数，则函数 的值域为 ， ． 【解答】解：函数的定义域为 ， 因为 为偶函数，所以 （1） ，即 ，解得 （舍负）， 所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立， 又 ，所以 的值域为 ， ． 故答案为： ， ． 23．若周期为2的函数 ，在其定义域内是偶函数，则函数 的一个解析式 为 （答案不唯一） ． 【解答】解： 为偶函数，若其最小正周期为2，则 ，一个满足题意的解析式为 ． 故答案为： （答案不唯一）． 24．已知函数 的图象关于坐标原点对称，则 ． 【解答】解：依题意函数 是一个奇函数， 又 ，所以 ， 所以 定义域为 ， 因为 的图象关于坐标原点对称，所以 ， 解得 ， 又 ，所以 ， 所以 ，即 ， 所以 ，所以 ． 故答案为： ． 25．已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若函数 为偶函数，函数 为偶函数，则下列说法正确的序号有 ①③④ ． ①函数 关于 轴对称； ②函数 关于 中心对称； ③若 ， （5） ，则 ； ④若当 时， ，则当 时， ． 【解答】解：由于函数 为偶函数，则 ，则函数 关于轴对称，①正确； 进而函数 关于点 中心对称， 由于函数 为偶函数，则 ，则函数 关于 轴对称， 进而函数 关于 ， 中心对称，②错误； 由题可得函数 的周期为 ， 的周期为 ， 故 （2） ， （4） ， 由中心对称性 （5） ， 所以 ， 所以 ，故 ，③正确； 当 时， ， ，④正 确． 故答案为：①③④． 四．解答题（共3小题） 26．已知函数 且 ． （1）判断函数 的奇偶性，并证明； （2）若 求实数 的取值范围． 【解答】解：（1）令 得 ，故函数 的定义域为 ， 对于 ， ， ，且 ， 是奇函数；（2）由 ， 可化为 ， 若 ，则 ， ， 若 ，则 ， ， ， 综上， 的取值范围是 ． 27．已知函数 且 ． （1）求函数的定义域； （2）判断 的奇偶性并证明； （3）已知函数 ，求 的取值范围． 【解答】解：（1）要使函数有意义，则 ， 即 ，即函数的定义域为 ． （2）函数的定义域关于原点对称， 则 ， 即函数 是奇函数； （3）若 ，则 ， 即 ， 若 ，则 ，解得 ，若 ，则 ，得 ， 即当 时，不等式的解集为 ， ， 当 时，不等式的解集为 ，0． 28．已知函数 是奇函数． （1）求 的值，判断 的单调性并说明理由； （2）若对任意的 ， ，不等式 成立，求实数 的取值范 围． 【解答】解：（1）函数 的定义域为 ，且 是奇函数， 所以 ，即 ，解得 ，即 ， 此时 ，满足题意． ， 则 是 上的单调递增函数，理由如下： 任取 、 ，且 ，则 ， 则 ， 所以 ，即 ， 所以 是定义域 上的单调递增函数．（2） 是奇函数且在 上单调递增，则不等式 等价于 ， 所以 ，即 ， 即对任意的 ， ，不等式 恒成立，即 在 ， 上恒 成立， 由 ， ，可得 ， ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 ， 即实数 的取值范围是 ， ．