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第 19 章 一次函数 章节复习卷（24 个知识点+50 题
练习）
知识点
知识点1．常量与变量
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方
面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如 是常量．
知识点2．函数的概念 π
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯
一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值
的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，
即单对应．
知识点3．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自
变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9
就表示x是y的函数．
知识点4．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际
问题有意义．
知识点5．函数值
函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．
注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函
数值时，求相应的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是
多个．
知识点6．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标
平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对
x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法
是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在
函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
知识点7．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活
中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
知识点8．函数的表示方法
函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非
常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取
值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．
知识点9．一次函数的定义
（1）一次函数的定义：
一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
（2）注意：①又一次函数的定义可知：函数为一次函数 其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）
的形式． ⇔
②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．
④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．
知识点10．正比例函数的定义
（1）正比例函数的定义：
一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是
常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
（2）正比例函数图象的性质
正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．
当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k
＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，
k≠0）的图象．
知识点11．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣ ，0）或（1，k+b）作直线y＝
kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，
所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不
平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x
＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位
而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
知识点12．正比例函数的图象正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是
k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条
过原点的直线．
知识点13．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到
右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴
交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
知识点14．正比例函数的性质
单调性
当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），
为增函数；[1]
当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），
为减函数．
对称性
对称点：关于原点成中心对称．[1]
对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线．
知识点15．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴
交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
知识点16．一次⇔函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是
（﹣ ，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
知识点17．一次函数图象与几何变换直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
知识点18．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的
方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函
数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
知识点19．待定系数法求正比例函数解析式
步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系
数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式．
知识点20．一次函数与一元一次方程
一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数
函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标．
知识点21．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范
围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标
所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣ ，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞ ，不等式kx+b＜0的解为：x＜ ；当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜ ，不等式kx+b＜0的解为：x＞ ．
知识点22．根据实际问题列一次函数关系式
根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题
需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函
数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握
数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用
几何知识建立量与量的等式．
知识点23．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要
科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后
根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
知识点24．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到 x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在
前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
练习卷
一．常量与变量（共2小题）1．（2023春•永定区期末）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所
晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是
A．太阳光强弱 B．水的温度 C．所晒时间 D．热水器
【分析】函数的定义：设在某变化过程中有两个变量 、 ，如果对于 在某一范围内的
每一个确定的值， 都有唯一的值与它对应，那么称 是 的函数， 叫自变量．函数关
系式中，某特定的数会随另一个（或另几个）会变动的数的变动而变动，就称为因变量．
【解答】解：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水温是因变
量，所晒时间为自变量．
故选： ．
【点评】本题主要考查常量与变量的知识，解题的关键是对函数的定义以及对自变量和因
变量的认识和理解，难度不大．
2．（2023春•梅县区期中）谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一
个变化过程，在该变化过程中因变量是 冰的厚度 ．
【分析】根据变量与常量的定义进行判定即可得出答案．
【解答】解：谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，
在该变化过程中因变量是冰的厚度．
故答案为：冰的厚度．
【点评】本题主要考查了变量与常量，熟练掌握变量与常量的定义进行求解是解决本题
的关键．
二．函数的概念（共2小题）
3．（2023•肥西县期末）如图，下列各曲线中能够表示 是 的函数的
A． B．C． D．
【分析】设在一个变化过程中有两个变量 与 ，对于 的每一个确定的值， 都有唯一
的值与其对应，那么就说 是 的函数， 是自变量．函数的意义反映在图象上简单的判
断方法是：作垂直 轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【解答】解： 、作垂直 轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，
故 符合题意；
、作垂直 轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点，故 不符合题
意；
、作垂直 轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点，故 不符合题
意；
、作垂直 轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点，故 不符合题
意；
故选： ．
【点评】主要考查了函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量 ， ，对于 的每一
个取值， 都有唯一确定的值与之对应，则 是 的函数， 叫自变量．
4．（2023春•栾城区校级期中）下列四个选项中， 不是 的函数的是
A． B． C． D．
【分析】利用函数的定义：给定一个自变量的值，都有唯一确定的函数值与其对应可得答
案．
【解答】解： 、 ， 是 的函数，故此选项不合题意；
、 ， 是 的函数，故此选项不合题意；
、 ， 是 的函数，故此选项不合题意；
、 ，给定一个自变量 的值，有两个函数值与之对应， 不是 的函数，故此选项符合题意；
故选： ．
【点评】此题主要考查了函数的概念，对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量
的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数
值有且只有一个值与之对应，即单对应．
三．函数关系式（共2小题）
5．（2022•城关区校级期末）正方形的边长为4，若边长增加 ，那么面积增加 ，则 关
于 的函数表达式为
A． B． C． D．
【分析】增加的面积 新正方形的面积 原正方形的面积，把相关数值代入化简即可．
【解答】解： 新正方形边长是 ，原正方形边长是4，
新正方形面积是 ，原正方形面积是16，
增加的面积
即
故选： ．
【点评】本题考查列二次函数解析式，根据题意列出增加面积的等量关系是解决本题的关
键．
6．（2024春•重庆期中）如图，是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条，已
知每个铁环长4厘，铁环粗0.5厘米，米，铁环间处于最大限度的拉伸状态．设 个铁环长
为 厘米，则 与 之间的关系式为 ．
【分析】根据铁环与环长之间的关系进而得出 与 之间的关系式．
【解答】解：由题意得： ，
故答案为： ．【点评】此题主要考查了函数关系式，利用链条结构得出链条长的变化规律是解题的关键．
四．函数自变量的取值范围（共2小题）
7．（2024•齐齐哈尔一模）在函数 中，自变量 的取值范围是
且 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到
答案．
【解答】解：由题意得： 且 ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数
分母不为零是解题的关键．
8．求下列函数中自变量的取值范围．
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
【分析】根据当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数，当函数表达式是分式时，考
虑分式的分母不能为0，当函数表达式是二次根式时，被开方数非负进行解答．
【解答】解：（1） 的取值范围为全体实数；
（2）解不等式 ，得 ，故 的取值范围为 ；
（3）解不等式 ，得 ，故 的取值范围为 ；
（4）解不等式 ，得 ，故 的取值范围为 ；
（5）解不等式组 得 ，故 的取值范围为 ．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，函数自变量的范围一般从三个方面
考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式
时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
五．函数值（共2小题）
9．（2024春•威远县校级期中）根据如图所示的程序计算函数 的值，若输入的 的值为
4时，输出的 的值为5．若输入 的值为2时，则输出 的值为
A． B．6 C． D．3
【分析】根据数值转换机当输入的数为4时，求出 的值，再输入2进行计算即可．
【解答】解：当输入 的值为4时，输出的 的值为5，即 ，
所以 ， 当 时， ，
当 时， ，
故选： ．
【点评】本题考查函数值，理解数值转换机的运算程序是解决问题的前提，求出 的值是
正确解答的关键．
10．（2023春•昌黎县期中）已知一个长方形的长为 ，宽为 ，周长为40．
（1）求出 关于 的函数解析式（不用写出自变量 的取值范围）；
（2）当 时，求 的值；
（3）当 时，该长方形的面积是多少？
【分析】（1）根据长方形的周长公式化简即可得出答案；
（2）把 代入函数解析式即可；
（3）把 代入函数解析式求出 ，再求长方形的面积即可．
【解答】解：（1） 长方形的周长为40，，
；
（2）当 时，
；
（3）当 时， ，
，
长方形的面积 ．
【点评】本题考查了函数关系式，函数值，根据长方形的周长公式化简得到 关于 的函
数解析式是解题的关键．
六．函数的图象（共3小题）
11．（2023•黄冈模拟）游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一
次到达左侧最高点 点时开始计时，摆锤相对地面的高度 随时间 变化的图象如图3所示．
摆锤从 点出发再次回到 点需要 秒．
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据函数的图象的横坐标表示时间，纵坐标表示摆锤相对地面的高度，可得答案．
【解答】解：由题意可知，从最高点 运动到另一侧的最高点需要4秒，
所以从另一侧的最高点返回点 也需要4秒，
所以锤从 点出发再次回到 点需要8秒．
故选： ．
【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象的横坐标得出时间；观察函数图象的纵坐标
得出摆锤相对地面的高度，利用数形结合的思想方法是解答本题的关键．12．（2023春•蒸湘区校级期中）弹簧的长度 与所挂物体的质量 的关系是一次
函数，图象如图所示，则弹簧不挂物体时的长度是 9 ．
【分析】如图所示， 时， ； 时， ；设直线的函数式为 ，
然后，把 ， 代入到函数式，即可推出 ， ，求出直线表达式，最后把
代入到函数式，即可推出 的值．
【解答】解：设直线的函数表达式为 ，
时， ； 时， ；
① ②得： ，
把 代入到①得： ，
，
当 时， ，
故答案为9．
【点评】本题主要考查一次函数的图象，关键在于根据题意推出直线上两点的坐标，求出
一次函数表达式．
13．（2023春•馆陶县期中）小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段
路后，突然想起要买文具，于是又折回到刚经过的某文具店，买到文具后继续骑车去学校
如图是他本次上学所用的时间与离家的距离之间的关系图，根据图中提供的信息回答下列
问题：
（1）小明家到学校的距离是 150 0 米，文具店到学校的距离是 米；（2）小明在文具店停留了 分钟，本次上学途中，小明一共行驶了 米；
（3）在整个上学途中，哪个时间段小明骑车速度最快？最快的速度是多少？
（4）如图小明不买文具，以往常的速度去学校，需要花费多长时间？
【分析】（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；
（2）根据函数图象的横坐标，可得到达文具店时间，离开文具店时间，根据有理数的减法，
可得答案，根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案；
（3）根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与
时间的关系，可得速度；
（4）根据路程、速度，即可得到时间．
【解答】解：（1）由题意可知，小明家到学校的距离是1500米，
（米 ．
即文具店到学校的距离是900米．
故答案为：1500；900；
（2） （分钟）．
故小明在文具店停留了4分钟．
（米 ．
故本次上学途中，小明一共行驶了2700米，
故答案为：4；2700；
（3）根据题中图象，可知第12分钟至第14分钟这一时间段的线段最陡，所以小明在第12
分钟至第14分钟这一时间段的骑车速度最快，
此时速度为 （米 分）．
答：在整个上学途中，第12分钟至第14分钟这一时间段的骑车速度最快，最快速度为450
米 分；（4）小明往常的速度为 （米 分），
去学校需要花费的时间为 （分钟）．
答：小明不买文具，以往常的速度去学校，需要花费7.5分钟．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义
理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
七．动点问题的函数图象（共3小题）
14．（2023•武昌区模拟）如图1，四边形 中， ， ，点 从点
出发，以每秒1个单位长度的速度，按 的顺序在边上匀速运动，设 点
的运动时间为 ， 的面积为 ， 关于 的函数图象如图2所示．当点 运动到
的中点时， 的面积为
A．7 B．7.5 C．8 D．8.6
【分析】首先结合图形和函数图象判断出 的长和 的长，进而可得 的长，从而可
得 点坐标，然后再计算出当 时直线解析式，然后再代入 的值计算出 即可．
【解答】解：根据题意得：四边形 是梯形，
当点 从 运动到 处需要2秒，则 ， 面积为4，
则 ，
根据图象可得当点 运动到 点时， 面积为10，
则 ，则运动时间为5秒，
，
设当 时，函数解析式为 ，
，解得 ，
当 时，函数解析式为 ，
当 运动到 中点时时间 ，
则 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象、三角形面积公式，利用数形结合的思想方
法是解决问题的关键．
15．（2024•西宁一模）如图①，在 中， ，动点 以每秒2个单位长度的
速度从 点出发，沿折线 运动（到 点停止）， 的长 随运动时间 变化
的函数图象如图②所示，则 的长是 8 ．
【分析】根据图象求出 的长度，再求出动点 到达点 所需时间，再根据路程 速度
时间求出 ．
【解答】解：由图②可知， ，
动点 的速度为每秒2个单位长度，
动点 到达点 所需时间为 ，
的长度为 ，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是根据函数的图象求线段
的长度．
16．（2023春•泊头市期中）如图，长方形 中，点 沿着四边按 方
向运动，开始以每秒 个单位匀速运动， 秒后变为每秒2个单位匀速运动， 秒后恢复原速匀速运动．在运动过程中， 的面积 与运动时间 的函数关系如图所示．
（1）求长方形的长和宽；
（2）求 、 、 的值；
（3）当 点运动到 中点时，有一动点 从点 出发，以每秒 1 个单位的速度沿
运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点 运动的时间为 秒，
的面积为 ，求 与 之间的关系式．
【分析】（1）由图象可知， 的长度，当 时， ，求出 的长；
（2）当 时， ，则点 此时在 的中点处，从而得出 和 的值，当
时， ，从而求得 的值；
（3）分 ， ， ， 四种情况讨论．
【解答】解：（1）从图象可知，当 时， 面积不变，
即 时，点 从点 运动到点 ，且这时速度为每秒2个单位，
，
，
当 时（点 运动到点 ，
，，
，
长方形的长为8，宽为4．
（2）当 时， ，
即点 此时在 的中点处，
，
，
，
，
，
当 时， ，
， ，
；
（3）当 时， ；
当 时， ；
时， ；
当 时 ， 点 的 速 度 为 每 秒 1 个 单 位 ， 点 、 都 在 上 运 动 ， 即
，
时， ，．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了学生观察图象的能力，用待定系数法求一次函
数的解析式．
八．函数的表示方法（共2小题）
17．（2023春•濮阳县校级月考）向阳书店里某种书的定价 元，如果购买 本以上，超过
本的部分打 折．购书数量与付款金额之间的函数关系如下表所示：
购书 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
数量
（本
应付 10 20 30 40 50 60 70 80 88 96 104
金额
（元
则付款金额 （元 关于购书数量 （本 之间的函数关系用解析式表示是
．
【分析】根据单价乘以数量等于总价，可得函数关系式；
【解答】解：购书数量用 （本 表示，付款金额用 （元 表示，则 与 之间的关系式
为
当 时，
；
当 时，
；
故答案为： ．【点评】本题考查了函数关系式，利用了函数的定义列出方程组是解题的关键．
18．（2023春•临汾月考）某商场在春节期间大力促销，通过降低售价，增加销售量的方
法来提高利润，某商品原价为60元，随着不同幅度的降价，日销量（单位：件）发生的变
化如表所示（其中
降低金额 1 2 3 4 5 6 7
元
780 810 840 870 900 930 960
日销量
件
（1）表中反映了 2 个变量之间的关系， 是自变量， 是因变量．
（2）从表中可以看出，每降价1元，日销售量增加 件，如果售价为50元，那么日销
量为多少件？
【分析】（1）根据函数的定义即可解答；
（2）从表中可以看出每降价1元，日销量增加30件，进而列出日销量与降价之间的关系，
当售价为50元时，降价金额为10元，将 代入函数关系式求解即可．
【解答】解：（1）由表格信息可知：日销量随降价金额的改变而改变，则降价金额是自变
量，日销量是因变量．
故答案为2，降价金额，日销量．
（2）从表中可以看出每降价 1元，日销量增加30件，则日销量与降价之间的关系为：
，
当售价为50元时，降价金额为10元，
令 ，则 （件 ．
【点评】本题主要考查了函数的定义、求函数解析式、求函数值等知识点，正确理解函数
的定义成为解答本题的关键．
九．一次函数的定义（共2小题）
19．（2023春•青川县期末）若函数 是一次函数，则 的值是 ．
【分析】根据一次函数的定义即可列方程求解．
【解答】解： 函数 是一次函数，，且 ，
，且 ，
．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义条件：一次函
数 的定义条件是： 、 为常数， ，自变量次数为1．
20．（2023•龙川县校级开学）函数 是一次函数吗？如果是，请写出 ， 的值；
如果不是，试说明理由．
【分析】根据一次函数的定义解答．
【解答】解：函数 是一次函数．
理由： ，
属于一次函数，其中 ， ．
【点评】本题考查了一次函数的定义．一般地，形如 ， 、 是常数）的函
数，叫做一次函数．
一十．正比例函数的定义（共2小题）
21．（2023春•金州区期中）下列函数中，是正比例函数的是
A． B． C． D．
【分析】根据正比例函数 定义来判断即可．
【解答】解： 、 ，是一次函数，但不是正比例函数，不符合题意；
、 ，是正比例函数，符合题意；
、 ，不是正比例函数，不符合题意；、 ，不是正比例函数，不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数是常数是 0的一次函数是解题的
关键．
22．（2023春•岳阳楼区校级期末）已知函数 ．
（1）当 为何值时， 是 的一次函数？
（2）当 为何值时， 是 的正比例函数？
【分析】（1）利用一次函数定义进行解答即可；
（2）利用正比例函数定义进行解答．
【解答】解：（1）由题意得： ，
解得： ；
（2）由题意得： ，且 ，
解得： ．
【点评】此题主要考查了正比例函数定义和一次函数定义，关键是掌握形如 是常
数， 的函数叫做正比例函数．
一十一．一次函数的图象（共2小题）
23．（2023春•蒸湘区校级期末）如图：根据图象回答问题：当 时， ．
【分析】根据图象，得出该函数的增减性，即可进行解答．
【解答】解：由图可知，该函数经过 ， 随 的增大而减小，
当 时， ，
故答案为： ．【点评】本题主要考查了一次函数和不等式，解题的关键是根据图形，得出自变量的取值
范围．
24．（2023春•长沙期末）填表，并在如图的平面直角坐标系中画出一次函数 的
图象．
（1）列表：
0
1
（2）描点、连线：
【分析】（1）根据 的值求出 的值即可；
（2）描点、连线即可作出一次函数 的图象．
【解答】解：（1）列表：
0
1 2
（2）描点、连线：
【点评】本题考查了一次函数的图象，使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面
的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．
一十二．正比例函数的图象（共2小题）25．（2023春•如东县月考）如图，一次函数 与正比例函数 的图象如图所示，
则 的值为 2 ．
【分析】将点 的横坐标代入 可得其纵坐标的值，再将所得点 坐标代入
可得 ．
【解答】解：设 ．
把 代入 得： ，
把 代入 得 ，解得 ．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查两条直线相交或平行问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函
数解析式．
26．（2023春•盐山县期末）在同一直角坐标系中，一次函数 与正比例函数
的图象可能是
A． B．
C． D．【分析】根据正比例函数图象所在的象限判定 的符号，根据 的符号来判定一次函数图
象所经过的象限．
【解答】解： 、正比例函数 与一次函数 的自变量系数都是 ，则两直线
相互平行．故选项 不符合题意；
、正比例函数图象经过第一、三象限，则 ，则一次函数 的图象应该经过
第一、二、三象限．故本选项不符合题意；
、正比例函数图象经过第二、四象限，则 ，则一次函数 的图象应该经过
第二、三、四象限．故本选项不符合题意；
、正比例函数图象经过第二、四象限，则 ，则一次函数 的图象应该经过
第二、三、四象限．故本选项符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答．
一十三．一次函数的性质（共2小题）
27．（2023春•锦江区校级期中）已知关于 的一元一次不等式 有解，则直线
不经过第 三 象限．
【分析】根据关于 的一元一次不等式 有解，可以得到 ，然后即可得
到 的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到直线 不经过哪个象限．
【解答】解： 关于 的一元一次不等式 有解，
，
解得 ，
直线 经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故答案为：三．
【点评】本题考查一次函数的性质、不等式的解集，熟练掌握运算法则和一次函数的性质
是解答本题的关键．
28．（2023春•栾城区期中）某同学根据学习函数的经验，对函数 的图象与
性质进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完整：
（1）填表
0 1 2 3 4
0 1 3
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数 的图象．
（3）结合函数图象，请写出该函数的一条性质．
【分析】（1）分别将自变量代入函数表达式，求出函数值；然后填表即可；
（2）根据（1）的结果描点画图即可；
（3）根据图象描述该函数的一条性质即可；
【解答】（1）解：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
填表如下：0 1 2 3 4
0 1 2 3
（2）解：函数 的图象如下：
（3）解：答案不唯一；如：
①当 时，函数值 随 的增大而增大； 时，函数 的值为 ；
②当 时，该函数的函数值大于0；
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，掌握待定系数法，根据图象确定性
质是解题关键．
一十四．正比例函数的性质（共2小题）
29．（2022•崂山区校级期末）已知正比例函数 的函数值随 值的增大而增大，
则一次函数 在平面直角坐标系内的图象大致是
A． B．
C． D．【分析】由于正比例函数 函数值随 的增大而增大，可得 ， ，然
后，判断一次函数 的图象经过象限即可．
【解答】解： 正比例函数 函数值随 的增大而增大，
，
，
一次函数 的图象经过一、二、四象限；
故选： ．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数 ，当 ， 时，
图象过一、二、三象限；当 ， 时，图象过一、三、四象限； ， 时，图
象过一、二、四象限； ， 时，图象过二、三、四象限．
30．（2023春•青云谱区校级期末）已知 关于 的函数 ，且该函数是
正比例函数．
（1）求 的值；
（2）若点 ， 在该函数的图象上，请直接写出 ， 的大小关系．
【分析】（1）利用正比例函数的定义，可得出关于 的一元一次不等式及一元一次方程，
解之即可求出 的值；
（2）由 ，可得出 ，利用正比例函数的性质，可得出 随 的增大
而增大，再结合 ，即可得出 ．
【解答】解：（1） 函数 是正比例函数，
，
解得： ，
的值为3；
（2） ，，
随 的增大而增大，
又 点 ， 在该函数的图象上，且 ，
．
【点评】本题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，解题的关键是：（1）牢记
“一般地，形如 是常数， 的函数叫做正比例函数，其中 叫做比例系数”；
（2）牢记“ ， 随 的增大而增大； ， 随 的增大而减小”．
一十五．一次函数图象与系数的关系（共2小题）
31．（2023春•铜仁市期末）已知一次函数 ， 的值随 的增大而减小，则
点 所在象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数的性质求出 的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断 点所
处的象限即可．
【解答】解： 一次函数 的值随 的增大而减小，
，
解得： ，
， ，
在第四象限，
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解
此题的关键．
32．（2024春•南岸区校级期中）已知一次函数 经过第一、二、三象限，且关于 的不等式组 有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数 的值的和
为 9 ．
【分析】根据一次函数的图象及性质可知 ，再解一元一次不等式组，结合不等式
组解的情况可得 ，求出符合条件的 的值即可求解．
【解答】解： 一次函数 经过第一、二、三象限，
，
，
的解集为 ，
不等式组有4个整数解，
，
，
的整数值为4，5，
所有满足条件的整数 的值的和为9，
故答案为：9．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，一元一次不
等式组的解法是解题的关键．
一十六．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题）
33．（2023春•合阳县期末）若点 在一次函数 的图象上，则 的值为
A． B． C．1 D．2
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出 ，变形后即可得出 ．
【解答】解： 点 在函数 的图象上，
，．
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函
数关系式 是解题的关键．
34．（2023春•久治县期末）已知点 ，点 都在直线 的图象
上，则 （填“ ”、“ ”或“ ” ．
【分析】由直线解析式可确定其 的值随 的增大而增大，再结合题意即可确定 ．
【解答】解： ，
直线 ， 的值随 的增大而增大．
点 ，点 都在直线 的图象上，且 ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查一次函数的图象和性质．对于一次函数 ，当 时，
的值随 的增大而增大．当 时， 的值随 的增大而减小．
一十七．一次函数图象与几何变换（共2小题）
35．（2023春•海淀区校级期末）将直线 沿 轴向上平移5个单位，可得直线的
解析式 ．
【分析】直接根据“上加下减”的法则进行解答即可．
【解答】解：将直线 向上平移 5 个单位长度后，所得直线解析式为
，即 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键．
36．（2023•石景山区一模）在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象
由函数 的图象平移得到，且经过点 ．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的
值，直接写出 的取值范围．
【分析】（1）先根据直线平移时 的值不变得出 ，再将点 代入 ，求出
的值，即可得到一次函数的解析式；
（2）根据图象即可求得．
【解答】解：（1） 一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，
，
又 一次函数 的图象过点 ，
，
，
这个一次函数的表达式为 ；
（2） 当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于一次函数 的
值，
．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题
的关键．
一十八．待定系数法求一次函数解析式（共2小题）
37．（2023春•大名县期末）一次函数 的图象经过点 ，且 随 的增大而
减小，则这个函数的表达式是
A． B． C． D．
【分析】根据题意和一次函数的性质，可以解答本题．
【解答】解： 一次函数 的图象经过点 ，且 随 的增大而减小，
， ，
，
函数的表达式是 ，
故选： ．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，解答本题的关键是
明确题意，利用一次函数的性质解答，注意题目的要求是这个函数的表达式可能是．38．（2023春•平桥区期末）表格中的两组对应值满足一次函数 ．现画出了它的
图象为直线 ，如图．数学兴趣小组为观察 、 对图象的影响，将上面函数中的 、 交
换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线 ．
0
1
（1）求直线 的解析式．
（2）请在图中画出直线 （不要求列表计算），并求出直线 和 的交点坐标．
（3）求出直线 和 与 轴围成的三角形的面积．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）首先写出直线 的解析式，再根据一次函数的性质画出直线 ，将两个函数的解析式
联立组成方程组，求出方程组的解即可得到两直线的交点坐标；
（3）根据三角形的面积公式列式计算即可．
【解答】解：（1） 直线 中，当 时， ；当 时， ，
，解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）依题意可得直线 的解析式为 ，
图象如图所示，由 ，解得 ，
所以直线 和 的交点坐标为 ；
（3）直线 和 与 轴围成的三角形的面积是 ．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，两直线相
交问题，三角形的面积，求出直线 的解析式是解题的关键．
一十九．待定系数法求正比例函数解析式（共2小题）
39．（2023春•青龙县期末）函数 的图象经过点 ，则这个函数的解析式
是
A． B． C． D．
【分析】把点 的坐标代入函数解析式求出 值即可得解．
【解答】解： 正比例函数 的图象经过点 ，
，
解得 ，
正比例函数的解析式为 ．
故选： ．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，把点的坐标代入函数解析式计算即
可，比较简单．
40．（2023春•海港区期末）已知 与 成正比例，当 时， ，则 与 之间的函
数关系式为 ，将这个函数的图象向下平移3个单位长度，得到的新图象的函
数关系式为 ．
【分析】设出正比例函数解析式 ，将 时， 可得 值及解析式，向下平移3
个单位长度就是函数值减3即可．
【解答】解：设正比例函数解析式为： ，
将 时， 代入得： ， ，
正比例函数解析式为： ，
函数 向下平移3个单位长度，新解析式为： ．
故答案为： ； ．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，图象上下平移就是一次函数
中 值的加减问题，遵照“上加下减”原则．
二十．一次函数与一元一次方程（共2小题）
41．（2023春•汕尾期末）已知一次函数 的图象与 轴相交于点 ，与 轴
相交于点 ，则关于 的方程 的解是 ．【分析】根据一次函数与 轴交点坐标可得出答案．
【解答】解：由题意可得：当 时， ，
即 时， ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意
即可．
42．（2023春•洪江市期末）如图，已知一次函数 ， 为常数， 的图象经
过点 ， ．
（1）由图可知，关于 的一元一次方程 的解是 ；
（2）求该一次函数的表达式．
【分析】（1）根据图象即可求得；
（2）待定系数法求解析式即可．【解答】解：（1） 一次函数 ， 为常数， 的图象经过点 ，
关于 的一元一次方程 的解是 ．
故答案为： ；
（2） 一次函数 ， 为常数， 的图象经过点 ， ，
，
解得 ，
这个一次函数的解析式为 ；
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数
图象上点的坐标特征是解题的关键．
二十一．一次函数与一元一次不等式（共2小题）
43．（2024•昭阳区模拟）如图，直线 过点 ， ，则不等式
的解集是
A． B． C． D．
【分析】由题意知，不等式 的解集为一次函数图象在 轴上方部分所对应的 的
取值范围，结合图象作答即可．
【解答】解：由题意知，不等式 的解集为一次函数图象在 轴上方部分所对应的
的取值范围，
由图象可知，不等式 的解集为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数与不等式．数形结合是解题的关键．44．（2023春•顺德区校级期中）已知一次函数 ， ．
（1）若关于 的方程 的解为负数，求 的取值范围；
（2）若关于 的不等式组 的解集为 ，求 的值；
（3）在（2）的条件下，若等腰三角形的两边分别为 和 ，求该三角形的面积．
【分析】（1）把 代入方程 ，求出方程的解，列出关于 的不等式，
解答即可；
（2） ， 代入不等式组，先求出不等式组的解集，再求出 ， 的
值，代入计算即可；
（3）分两种情况讨论，求出等腰三角形底边上的高，利用三角形的面积公式进行计算．
【解答】解：（1） ，
，
，
，
，
关于 的方程 的解为负数，
，
，
，
；
（2） ， ，
，由①得： ，
由②得： ，
，
，
，
解之得： ， ，
；
（3）分两种情况：① 是腰， 是底，
，
能构成三角形，
如图所示： ， ， ，
过点 作 ，
， ，
， ，
由勾股定理得：
，
等腰三角形的面积为： ，
：① 是腰， 是底，能构成三角形，
如图所示： ， ， ，
过点 作 ，
， ，
， ，
由勾股定理得：
，
等腰三角形的面积为： ，
综上可知：等腰三角形的面积为12或 ．
【点评】本题主要考查了一次函数与代数与几何的综合应用，解题关键是熟练掌握解字
母参数方程和一元一次不等式组．
二十二．根据实际问题列一次函数关系式（共2小题）
45．（2023春•迁安市期末）平行四边形的周长为240，两邻边长为 、 ，则 与 之间
的关系是
A． B．C． D．
【分析】直接利用平行四边形的性质结合其对边相等进而得出 与 之间的关系．
【解答】解： 平行四边形的周长为240，两邻边长为 、 ，
，
则 ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，正确掌握平行四边形的性质是
解题关键．
46．（2023春•沙坪坝区校级期中）某汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定重量的行
李，如果超过规定的重量，则需要购买行李票，行李票费用 （元 与行李重量 （千克）
之间函数关系的图象如图所示．
（1）求 与 之间的函数关系．
（2）旅客最多可以免费携带多少千克的行李？
【分析】（1）由图，已知两点，可根据待定系数法列方程，求函数关系式；
（2）旅客可免费携带行李，即 ，代入由（1）求得的函数关系式，即可知质量为多少．
【解答】解：（1）设一次函数 ，
当 时， ，当 时， ，
解之，得 ，
所求函数关系式为 ；（2）当 时， ，所以 ，
故旅客最多可免费携带 行李．
【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，
具备在直角坐标系中的读图能力．注意自变量的取值范围不能遗漏．
二十三．一次函数的应用（共2小题）
47．（2023春•宝丰县期中）甲、乙两辆摩托车分别从 、 两地出发相向而行，图中 、
分别表示两辆摩托车与 地的距离 与行驶时间 之间的函数关系，则下列说法：
① 、 两地相距 ；
②甲车比乙车行完全程多用了0.1小时；
③甲车的速度比乙车慢 ；
④两车出发后，经过0.3小时，两车相遇
其中正确的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据纵坐标判断①正确，根据横轴计算判断出②正确，根据速度 路程 时间计
算出甲乙两车的速度，判断出③正确，根据相遇问题的等量关系列式求解即可判断出④错
误．
【解答】解：① 时， ，所以 、 两地相距24千米，故①正确；
②甲车比乙车行完全程多用了 小时，故②正确；
③甲的速度为： 千米 小时，
乙的速度为： 千米 小时，
千米 小时，所以，甲车的速度比乙车慢8千米 小时错误，故③正确；
④ 小时，
所以，两车出发后，经过 小时相遇，故④错误；
综上所述，正确的有①②③共3个正确，
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，准
确识图获取必要的信息是解题的关键．
48．（2023•渭滨区一模）随着“一带一路”的进一步推进，我国瓷器更被一带一路沿线人
们所推崇，某商户看准这一商机，准备经销瓷器茶具，计划购进青瓷茶具和白瓷茶具共 60
套．已知青瓷茶具每套250元，白瓷茶具每套200元，设购进 套青瓷茶具，购进青瓷茶
具和白瓷茶具的总费用为 元．
（1）求出 与 之间的函数关系式；
（2）该商户想要用不多于13500元的资金购进这两种茶具，则青瓷茶具最多能购进多少套？
【分析】（1）分别表示出购进两种茶具的费用进而得出函数关系式；
（2）利用总费用不多于13500元，得出关于 的不等式，求出 ，即可得出结论．
【解答】解：（1）购进 套青瓷茶具，则购进 套白瓷茶具，
根据题意得： ，
与 之间的函数关系式为 ；
（2）根据题意可得： ，
解得： ，
青瓷茶具最多能购进30套．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出函数关系
式是解题关键．
二十四．一次函数综合题（共2小题）
49．（2023春•武胜县校级期末）直线 与两坐标轴围成的三角形周长为6，则．
【分析】因为直线为 ，所以与 轴的交点坐标为 ， ，与 轴的交点坐标为
，两直角边的长为 ，1，从而根据勾股定理可表示出斜边的长，根据周长可列出
方程求解．
【解答】解：直线与 轴的交点坐标为 ， ，与 轴的交点坐标为 ，
斜边长为： ．
，
，
解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查一次函数的综合运用，通过找到函数与 ， 的交点坐标，求出直角边
的长，表示出斜边，根据周长求出解．
50．（2023•新昌县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴和 轴分别
交于点 ， ，与直线 相交于点 ．
（1）求点 的坐标及 的面积．
（2）在线段 上有一动点 ，过点 作平行于 轴的直线与直线 交于点 ，问在
轴上是否存在点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满
足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点 作 轴的垂线 ，垂足为 ，在 轴上找点 ，使 ，请直接
写出点 的坐标．【分析】（1）解由两条直线解析式组成的方程组，即可得到点 的坐标，把 代入
中，求得点 的坐标，根据三角形的面积公式即可得到 的面积；
（ 2 ） 设 ， 则 ， 则 ， ， 由 等 腰 得 到
，即 ，求解即可解答；
（3）分两种情况：①若点 在点 的下方．过点 作 与 的延长线交于点 ．
证明 是等腰直角三角形，得到 ．过点 作 轴于点 ，过点 作
轴于点 ．易证 ，得到 ， ，进而得
到 ．通过待定系数法求出直线 的解析式，令 ，即可取得点 的坐标．
②若点 在点 的上方，根据对称性即可求解．
【解答】解（1）解方程组 ，得 ．
点 的坐标为 ．
把 代入 得 ，
解得： ，
点 的坐标为 ，，
；
（2）存在．
如图，
设 ，则 ．
．
轴．
．
是以 为直角顶点的等腰直角三角形．
．
．
．
．
（3） 或 ．
分两种情况：
①若点 在点 的下方，
如图，过点 作 与 的延长线交于点 ．， 轴，
， ，
，
．
．
，
，
，
，
．
过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ．
，
，
，
，
，
，
．
， ．
， ．
， ．．
．
设直线 解析式为 ，
直线 经过点 ， ，
，解得： ，
直线 解析式为 ，
令 ，得 ．
点 的坐标为 ．
②若点 在点 的上方，
如图，
由对称性可知 ．
综上所述： 或 ．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，掌握等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性
质是解题的关键．
