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第一次月考复习易错题
范围：第16-17章
一．无理数整数部分的有关计算
1．（2021·广东·中考真题）设 的整数部分为a，小数部分为b，则 的
6−❑√10 (2a+❑√10)b
值是（ ）
A．6 B．2❑√10 C．12 D．9❑√10
2．（2022·四川泸州·中考真题）与2+❑√15最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2024八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知a是❑√10的整数部分，b是它的小数部分，
则2a+b−❑√10= ．
二.二次根式有意义的条件
4．（2022·北京·中考真题）若❑√x−8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是
．
5．（2024八年级上·河北秦皇岛·期末）已知实数m、n满足❑√m−3+|n−12)=0，则
❑√m+❑√n= ．
6．（2024八年级上·四川成都·期末）如果y=❑√10−x+❑√x−10+2，那么xy的值是 ．
7．（2024八年级上·福建泉州·期末）已知x，y都是实数，且y=❑√x−3+❑√3−x+4，则
y= ．
三．复合二次根式的化简
√1
8．（2024九年级上·安徽芜湖·期中）把a❑ 根号外的因式移入根号内的结果是（ ）
a
A．❑√−a B．﹣❑√−a C．❑√a D．﹣❑√a
√ 1
9．（2024八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把(m−1)❑ 中根号前的（m－1）移到根号内
1−m
得 （ ）
A．❑√m−1 B．❑√1−m C．−❑√m−1 D．−❑√1−m
四．同类二次根式
10．（2023·山东烟台·中考真题）下列二次根式中，与❑√2是同类二次根式的是（ ）A．❑√4 B．❑√6 C．❑√8 D．❑√12
五．利用二次根式的性质化简
11．（2024九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）若 ，则x的取值范围是
❑√(x−2) 2=2−x
（ ）
A．x=2 B．x≤−2 C．x≥2 D．x≤2
12．（2024八年级上·上海浦东新·阶段练习）若 ，则 等于
2”“<”或“=”填空）；
❑√6−2 ❑√5−❑√3
2 2 2 2
(2)计算： + + +⋅⋅⋅+ ；
3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 99❑√97+97❑√99
(3)设实数x，y满足 ，求 的值．
(x+❑√x2+2023)(y+❑√y2+2023)=2023 x+ y+2023
七.二次根式的混合运算
√5 3 √5 1
18．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算：3❑ ÷ ❑ × ❑√8．
4 4 2 2
19．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)❑√48÷❑√6
(2) ( 3 √3)
−❑√27÷ ❑
10 8
20．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）计算：
(1)3 ( 1 ) √ 2；
❑√20× − ❑√48 ÷❑2
2 3 3(2)❑√3a (√ b √ 1 )．
⋅ ❑ ÷2❑
2b 2a 3b
21．（23-24九年级上·海南儋州·期中）计算：
(1)❑√9+3❑√2−❑√4+❑√8；
(2) ．
(❑√2−3) 2 −❑√2(❑√8−2)
八．以弦图为背景的证明与运算
22．（2024八年级·全国·专题练习）如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼
成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边
为a，较短直角边为b，则 ab的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
23．（2023八年级下·全国·专题练习）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，
它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6,BC=4，将四个直角三角形中边长
为4的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围
周长是（ ）
A．56 B．24 C．64 D．32
24．（2024八年级上·江苏泰州·期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形
如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定
理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．
1 1
证明：∵S ❑ =S +S = b2+ ab，
四边形 ADCB △ACD △ABC 2 2
1 1
又S四边形∴S ❑ =S +S = c2+ a(b−a)，
四边形 ADCB △ADB △DCB 2 2
1 1 1 1
∴ b2+ ab= c2+ a(b−a),∴a2+b2=c2．
2 2 2 2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．
九．勾股定理与折叠问题
25．（2024八年级上·山东德州·阶段练习）如图，长方形ABCD中，AB=3cm，
AD=9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为
（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
25．（2024八年级上·全国·课后作业）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在
AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（ ）A．4 B．3❑√2 C．4.5 D．5
十.勾股定理与无理数
27．（2024八年级上·江苏南通·期末）如图，长方形ABCD的顶点A，B在数轴上，点A表
示－1，AB=3，AD=1．若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正半轴于点
M，则点M所表示的数为（ ）
A．❑√10−1 B．❑√10 C．❑√10+1 D．❑√10+2
28．（2024八年级下·天津河西·期末）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值
为（ ）
A．−❑√5 B．1−❑√5 C．−1−❑√5 D．−3
十一.勾股定理的证明方法
29．（2024八年级·山西朔州·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，
不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
十二.用勾股定理解三角形
30．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，
在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形
OABC．若OC=❑√5，BC=1，∠AOB=30°，则OA的值为（ ）3
A．❑√3 B． C．❑√2 D．1
2
31．（2023·江苏·中考真题）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落
（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座
脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为
（精确到个位，参考数据：❑√21≈4.58）．
十三.以直角三角形三边为边长的图形面积
32．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径
的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S 和S ．若AC=6，BC=8，则阴影
1 2
部分面积S +S 是（ ）
1 2A．9π B．12.5π C．14 D．24
33．（2024七年级下·陕西西安·期末）如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、
E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D的面积之和为（ ）
A．11 B．14 C．17 D．20
34．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，分别以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，
斜边AB=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
35．（2024八年级上·全国·单元测试）如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直
角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为7，18，30，则正方形B的面积为 ．
十四．求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
36．（2024八年级上·全国·单元测试）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折
断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（ ）
A．10m B．15m C．26m D．30m十五. 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
37．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适
与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC=5，DC=1，
BD=BA，则BC=（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
38．（2024八年级下·全国·课后作业）如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，
高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是 ℎcm，则h的取值范围是
．
十五．求旗杆高度(勾股定理的应用)
39．（2024八年级下·安徽合肥·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度
DE=0.5m，将它往前推送2m(水平距离BC=2m)时，秋千踏板离地的垂直高度BF=1.5m，
秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD长为 m．十七.求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
40．（2024八年级上·广东深圳·期中）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底
端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
十八.判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
41．（2024八年级下·全国·单元测试）如图所示，在甲村至乙村的公路AB旁有一块山地正
在开发，现需要在C处进行爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公
路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB．为了安全起见，爆破点C周围半
径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB是否有危险而需要封锁？如果需要，
请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
42．（2024八年级下·贵州六盘水·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然
灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．
如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当
AC⊥BC时，A点到B，C两点的距离分别为500km和300km，以台风中心为圆心周
围250km以内为受影响区域．
(1)求BC；(2)海港C受台风影响吗？为什么？
(3)若台风的速度为35km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？
十九. 用勾股定理构造图形解决问题
43．（2024八年级上·四川成都·期末）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：
今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图
1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距
离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是 寸．
44．（2024八年级上·全国·单元测试）如图，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4
km，又往北走1.5 km，遇到障碍后又往西走2 km，再折回向北走到4.5 km处往东一拐，
仅走0.5 km就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？
二十.勾股定理逆定理的实际应用45．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）小明将要组织策划社区龙年春节联欢活动，活动需
要准备一块会场背景板，形状如图所示．具体要求如下：在四边形ABCD中，连接
AC，∠ACB=90°，AB=13米，BC=12米，CD=3米，AD=4米．
(1)求线段AC的长；
(2)若该背景板制作成本为10元/平方米，制作这样一块背景板需花费多少元？
二十一.求最短路径(勾股定理的应用)
46．（2024九年级·全国·专题练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B
离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的
最短距离是（ ）
A．5❑√21 B．25 C．10❑√5+5 D．35
47．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方
体的木块．已知AD=6米，AB=4米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为
2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（ ）A．8m B．10m C．2❑√13m D．2❑√34m
48．（2024八年级上·广东广州·期中）如图，圆柱体的底面圆周长为16cm，高AB为4cm，
BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最
短路程为 ．
49．（23-24七年级上·山东济南·期末）如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是
20cm、长是50cm、宽是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B，其爬行的最短
线路的长度是 ．
50．（2024七年级上·山东东营·期末）如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，
在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，
离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m．
二十二.垂美四边形
51．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现
有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AD=3，
BC=8，则AB2+CD2= ．
