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第十四章 整式的乘法与因式分解
(时间：100分钟，分值：150分)
一．选择题（共12小题，每小题4分，共48分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．x4+x4＝x8 B．x6÷x2＝x3 C．x•x4＝x5 D．（x2）3＝x5
【解答】解：A、x4+x4＝2x4，故A不符合题意；
B、x6÷x2＝x4，故B不符合题意；
C、x•x4＝x5，故C符合题意；
D、（x2）3＝x6，故D不符合题意；
故选：C．
2．计算﹣（﹣2x3y2）4的结果是（ ）
A．16x7y6 B．﹣16x7y6 C．16x12y8 D．﹣16x12y8
【解答】解：﹣（﹣2x3y2）4＝﹣16x12y8，
故选：D．
3．多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是（ ）
A．3x2y2z B．x2y2 C．3x2y2 D．3x3y2z
【解答】解：多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是3x2y2，
故选：C．
4．下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（﹣b﹣a） B．（﹣a+b）（﹣b﹣a）
C．（a+b）（b+a） D．（﹣a+b）（b﹣a）
【解答】解：能用平方差公式计算的是（﹣a+b）（﹣b﹣a），其它的不能用平方差公式计算．
故选：B．
5．下列各式中，正确的因式分解是（ ）
A．a2﹣b2+2ab﹣c2＝（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）
B．﹣（x﹣y）2﹣（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y+1）
C．2（a﹣b）+3a（b﹣a）＝（2+3a）（a﹣b）
D．2x2+4x+2﹣2y2＝（2x+2+2y）（x+1﹣y）
【解答】解：A．a2﹣b2+2ab﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），故此选项不合题意；
B．﹣（x﹣y）2﹣（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y+1），故此选项符合题意；C．2（a﹣b）+3a（b﹣a）＝（2﹣3a）（a﹣b）），故此选项不合题意；
D．2x2+4x+2﹣2y2＝2（x+1+2y）（x+1﹣y），故此选项不合题意；
故选：B．
6．若2x2+m与2x2+3的乘积中不含x的二次项，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
【解答】解：（2x2+m）（2x2+3）
＝4x4+6x2+2mx2+3m，
∵2x2+m与2x2+3的乘积中不含x的二次项，
∴6+2m＝0，
∴m＝﹣3．
故选：A．
2 3
7．计算（− ）2021×（ ）2021的结果是（ ）
3 2
2 3
A．﹣1 B．1 C． D．
3 2
2 3
【解答】解：（− ）2021×（ ）2021
3 2
2 3
＝[（− ）× ]2021
3 2
＝（﹣1）2021
＝﹣1，
故选：A．
8．若（2x﹣1）0有意义，则x的取值范围是（ ）
1 1
A．x＝﹣2 B．x≠0 C．x≠ D．x=
2 2
【解答】解：（2x﹣1）0有意义，则2x﹣1≠0，
1
解得：x≠ ．
2
故选：C．
9．若x2﹣mx+16是完全平方式，则m的值等于（ ）
A．2 B．4或﹣4 C．2或﹣2 D．8或﹣8
【解答】解：∵x2﹣mx+16＝x2﹣mx+42，
∴﹣mx＝±2•x•4，解得m＝8或﹣8．
故选：D．
10．已知a＝817，b＝279，c＝913，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a
【解答】解：∵a＝817，b＝279，c＝913，
∴a＝（34）7＝328，b＝（33）9＝327，c＝（32）13＝326．
又∵328＞327＞326，
∴a＞b＞c．
故选：A．
11．若（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，则a的值为（ ）
1
A．0 B．2 C． D．﹣2
2
【解答】解：（x2+ax+2）（2x﹣4）
＝2x3+2ax2+4x﹣4x2﹣4ax﹣8
＝2x3+（﹣4+2a）x2+（﹣4a+4）x﹣8，
∵（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，
∴﹣4+2a＝0，
解得：a＝2．
故选：B．
12．如图所示的是4个全等的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为64，
小正方形的面积为16，若分别为x，y（x＞y）表示为小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是
（ ）
A．x+y＝8 B．xy＝24 C．x2﹣y2＝32 D．4xy+16＝64
【解答】解：由题意得：（x+y）2＝64且（x﹣y）2＝16．（x＞y＞0）．
{x+ y=8，
∴
x−y=4．{x=6．
解得：
y=2．
∴x+y＝8，xy＝12，x2﹣y2＝32，4xy+16＝64．
故选：B．
二．填空题（共4小题）
13．计算：6m3÷2m＝ 3 m 2 ．
【解答】解：原式＝6÷2•m3﹣1
＝3m2，
故答案为：3m2．
14．若am＝2，an＝5，则a2m+2n＝ 10 0 ．
【解答】解：∵am＝2，an＝5，
∴a2m+2n
＝a2m•a2n
＝（am）2•（an）2
＝22×52
＝4×25
＝100，
故答案为：100．
15．计算：20212﹣2020×2022＝ 1 ．
【解答】解：20212﹣2020×2022
＝20212﹣（2021﹣1）（2021+1）
＝20212﹣（20212﹣12）
＝20212﹣20212+1
＝1．
16．小丽在计算3×（4+1）×（42+1）时，把3写成（4﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．
1 1 1 1 1
用类似方法计算：（1+ ）×（1+ ）×（1+ ）×（1+ ）+ = 2 ．
2 22 24 28 215
1 1 1 1 1
【解答】解：（1+ ）×（1+ ）×（1+ ）×（1+ ）+
2 22 24 28 215
1 1 1 1 1 1
=2×(1− )×(1+ )×(1+ )×(1+ )×(1+ )+
2 2 22 24 28 2151 1 1 1 1
=2×(1− )(1+ )×(1+ )×(1+ )+
22 22 24 28 215
1 1 1 1
=2×(1− )(1+ )×(1+ )+
24 24 28 215
1 1 1
=2×(1− )×(1+ )+
28 28 215
1 1
=2×(1− )+
216 215
1 1
=2− +
215 215
＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共14小题）
17．（1）计算；√9−|﹣3|+（ ﹣3.14）0﹣（﹣1）；
（2）199×201 π
【解答】解：（1）原式＝3﹣3+1+1
＝2；
（2）解：199×201
＝（200﹣1）×（200+1）
＝2002﹣1
＝39999．
18．计算：（1）（4a2b+6a2b2﹣ab2）÷2ab；（2）（2x-3y）2
【解答】解：（1）（4a2b+6a2b2﹣ab2）÷2ab
＝4a2b÷2ab+6a2b2÷2ab﹣ab2÷2ab
1
＝2a+3ab− b．
2
（2）（2x-3y）2
＝4x2﹣12xy+9y2
19．计算：
（1）（x+y﹣2z）（x﹣y+2z）．
（2）（x﹣y）（2x+y）﹣（x+y）（x﹣y）．【解答】（1）解：（x+y﹣2z）（x﹣y+2z）
＝[x+（y﹣2z）][x﹣（y﹣2z）]
＝x2﹣（y﹣2z）2
＝x2﹣（y2+4z2﹣4yz）
＝x2﹣y2﹣4z2+4yz．
（2）解：原式＝2x2﹣xy﹣y2﹣x2+y2＝x2﹣xy．
20．因式分解：
（1）﹣3a3b2+6ab3 （2） 4x2﹣9．
（3）2m2﹣12m+18． （4）（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2
【解答】
（1）解：﹣3a3b2+6ab3 =﹣3ab2(a2﹣2b)
（2）解：4x2﹣9＝（2x+3）（2x﹣3）．
（3）解：2m2﹣12m+18
＝2（m2﹣6m+9）
＝2（m﹣3）2．
（4）解：（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2
＝（a﹣2b+3a﹣2b）（a﹣2b﹣3a+2b）
＝（4a﹣4b）•（﹣2a）
＝﹣8a（a﹣b）．
21．解方程或不等式：
（1）（x﹣3）（x﹣2）+18＝（x+9）（x+1）
（2）x（3x﹣2）＜3（x﹣2）（x+1）
【解答】解：（1）（x﹣3）（x﹣2）+18＝（x+9）（x+1），
x2﹣2x﹣3x+6+18＝x2+x+9x+9，
x2﹣5x﹣10x﹣x2＝9﹣6﹣18，
﹣15x＝﹣15，
x＝1；
（2）x（3x﹣2）＜3（x﹣2）（x+1），
3x2﹣2x＜3x2+3x﹣6x﹣6，3x2﹣2x﹣3x2﹣3x+6x＜﹣6，
x＜﹣6．
22．在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12．
（1）求出a的值；
（2）在（1）的条件下，且b＝﹣3时，计算（x+a）（x+b）的结果．
【解答】解：（1）∵（x+a）（x+6）
＝x2+6x+ax+6a
＝x2+（6+a）x+6a，
∴x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12，
∴6+a＝8，6a＝12，
解得a＝2；
（2）当a＝2，b＝﹣3时，
（x+a）（x+b）
＝（x+2）（x﹣3）
＝x2﹣3x+2x﹣6
＝x2﹣x﹣6．
23．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长
方形拼成一个“回形“正方形（如图2）．
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 （ a + b ） 2 ＝（ a ﹣ b ） 2 + 4 a b ；
9
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，xy= ，则（x﹣y）2＝ 1 6 ；
4
（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝7，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．
【解答】解：（1）由题意可得，图2的面积为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）由（1）题结论（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
可得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
9
∴x+y＝5，xy= 时，
4
（x﹣y）2
＝（x+y）2﹣4xy
9
＝52﹣4×
4
＝25﹣9＝16，
故答案为：16；
（3）由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，
(a+b) 2−(a2+b2 )
可得ab= ，
2
∴当（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝7时，
（2019﹣m）（m﹣2020）
[(2019−m)+(m−2020)] 2−[(2019−m) 2+(m−2020) 2 ]
=
2
(−1) 2−7
=
2
−6
=
2
＝﹣3．
24．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
（1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同
的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 a 2 + b 2 ＝（ a + b ） 2 ﹣ 2 a b ；
（2）如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）
和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究 a、b、c之间满足怎样的等
量关系；
（3）利用（1）（2）的结论，如果直角三角形两直角边满足a+b＝17，ab＝60，求斜边c的值．【解答】解（1）方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即a2+b2；
方法二：阴影部分也可以看作边长为（a+b）的面积，减去两个长为 a，宽为b的长方形面积，即
（a+b）2﹣2ab，
由两种方法看出a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（2）中间正方形的边长为c，因此面积为c2，
也可以看作从边长为（a+b）的面积减去四个两条直角边分别a、b的面积，即c2＝（a+b）2﹣2ab，
也就是c2＝a2+b2，
所以c2＝a2+b2；
（3）∵a+b＝17，ab＝60，
∴c2＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝172﹣2×60
＝169，
∴c＝13，
答：斜边的长为13．
