文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考II 卷专用）
黄金卷06
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合A=¿，B=¿，则A∩B=（ ）
A．(0,2] B．[2,4] C．[0,4] D．(0,4]
【答案】D
【分析】先求出集合A,B，进而结合交集的定义求解即可.
【详解】因为A=¿，B=¿，
所以A∩B=(0,4].
故选：D.
2．已知复数z满足|z−i|=|z|，则|z|的最小值为（ ）
1 1 3
A． B． C． D．1
4 2 4
【答案】B
1
【分析】设z=x+ yi(x,y∈R)，化简已知等式可求得y= ，由复数模长运算可求得结果.
2
【详解】设z=x+ yi(x,y∈R)，
由|z−i|=|z|得：|x+(y−1)i|=|x+ yi|，∴x2+(y−1) 2=x2+ y2，
1 1
整理可得：y= ，∴z=x+ i，
2 2
√ 1 1 1
∴|z|= x2+ ≥ （当且仅当x=0时取等号），∴|z|的最小值为 .
4 2 2
故选：B.
3．已知数列{a }满足：对任意的n∈N∗，总存在m∈N∗，使得S =a ，则称{a }为“回旋数列”．以下
n n m n
结论中正确的个数是（ ）
①若a =2023n，则{a }为“回旋数列”；
n n②设{a }为等比数列，且公比q为有理数，则{a }为“回旋数列”；
n n
③设{a }为等差数列，当a =1，d<0时，若{a }为“回旋数列”，则d=−1；
n 1 n
④若{a }为“回旋数列”，则对任意n∈N∗，总存在m∈N∗，使得a =S ．
n n m
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，结合题意中的“回旋数列”，对每项进行验证
或者举特例即可
n(n+1)
【详解】①由a =2023n可得S =2023(1+2+3+⋯+n)=2023× ，
n n 2
n(n+1) n(n+1)
由S =a 可得2023× =2023m，取m= 即可，则{a }为“回旋数列”，故①正确；
n m 2 2 n
②当q=1时，S =na ，a =a ，
n 1 m 1
由S =a 可得na =a ，故当n=2时，很明显na =a 不成立，故{a }不是“回旋数列，②错误”；
n m 1 1 1 1 n
n(n−1)
③{a }是等差数列，故a =1+(m−1)d，S =n+ d，
n m n 2
n(n−1) n−1 n(n−1)
因为数列{a }是“回旋数列”，所以1+(m−1)d=n+ d，即m= + +1，
n 2 d 2
n(n−1) n−1
其中 为非负整数，所以要保证 恒为整数，
2 d
故d为所有非负整数的公约数，且d<0，所以d=−1，故③正确；
④由①可得当a =2023n时，{a }为“回旋数列”，
n n
m(m+1)
取a =2023×2，S =2023× ，显然不存在m,使得S =a =2023×2，故④错误
2 m 2 m 2
故选：B
4．已知平面向量⃗a，⃗b，⃗c满足⃗a=(2,1)，⃗b=(1,2)，且⃗a⊥⃗c．若⃗b⋅⃗c=3√2，则|⃗c|=（ ）
A．√10 B．2√5 C．5√2 D．3√5
【答案】A
【分析】根据向量的垂直和数量积的坐标表示求出⃗c，再用坐标公式求模即可.
【详解】设⃗c=(x,y)，则¿，可得¿，所以|⃗c|=√x2+ y2=√2+8=√10.
故选:A
5．三位同学参加某项体育测试，每人要从100m跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加
测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（ ）
1 1 5 7
A． B． C． D．
12 3 12 12
【答案】C
【分析】求出三个同学选择两个项目的试验的基本事件数，再求出有且仅有两人选择的项目完全相同的事
件含有的基本事件数，即可列式作答.
【详解】三个同学选择两个项目的试验的基本事件数有 个，它们等可能，
(C2
)
3
4
有且仅有两人选择的项目完全相同的事件 含有的基本事件数有 个，
A C2C2 (C2−1)
3 4 4
所以有且仅有两人选择的项目完全相同的概率 P(A)= C 3 2C2 4 (C2 4 −1) = 5 .
(C2 ) 3 12
4
故选：C
6．已知 为第三象限角，若 ，则 ( 7π ) （ ）
α tanα=3 sin α− =
4
2√5 √5 √5 √10
A．− B．− C． D．
5 5 10 5
【答案】A
【分析】先根据同角三角函数以及α的范围得出cosα,sinα的值，然后根据诱导公式以及两角和的正弦，
即可得出答案.
sinα
【详解】由已知可得tanα= =3，所以sinα=3cosα.
cosα
√10
又sin2α+cos2α=1，所以10cos2α=1，解得cosα=± .
10
又α为第三象限角，
√10 3√10
所以，cosα=− ，sinα=3cosα=− .
10 10所以， sin ( α− 7π) =sin ( α+ π ) =sinαcos π +cosαsin π =− 3√10 × √2 − √10 × √2 =− 2√5.
4 4 4 4 10 2 10 2 5
故选：A.
7．如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自
家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个
底面的边长分别为4dm和2dm，正六棱台与正六棱柱的高分别为1dm和6dm，则该花灯的表面积为（ ）
A． B．
(108+30√3)dm2 (72+30√3)dm2
C． D．
(64+24√3)dm2 (48+24√3)dm2
【答案】A
【分析】作出辅助线，求出正六棱台的侧高，从而求出正六棱台的侧面积，再求出正六棱台的下底面面积，
圆柱的侧面积和底面积，相加得到该花灯的表面积.
【详解】正六棱柱的六个侧面面积之和为2×6×6=72dm2，
√3
正六棱柱的底面面积为 ×22×6=6√3dm2，
4
如图所示，正六棱台ABCDEF−A B C D E F 中，A B =2dm,AB=4dm，
1 1 1 1 1 1 1 1
过点A ,B ,C ,D ,E ,F 分别作A A ,B B ,C C ,D D ,E E ,F F 垂直于底面ABCDEF于点
1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
A ,B ,C ,D ,E ,F ，
2 2 2 2 2 2
连接AD,BE,CF相交于点O，则A ,B ,C ,D ,E ,F 分别为OA,OB,OC,OD,OE,OF的中点，
2 2 2 2 2 2
过点A 作A G⊥AB于点G，连接A G，则A G为正六棱台的斜高，
2 2 1 1
AB−A B 1
其中A A =1dm，AG= 2 2=1dm，A A = AO=2dm，
1 2 2 2 2
由勾股定理得 ，故 ，
A G=√A A2−AG2=√3dm A G=√A G2+A A2=2dm
2 2 1 2 1 2所以正六棱台的斜高为2dm，
1
故正六棱台的侧面积为 ×(4+2)×2×6=36dm2，
2
√3
又正六棱台的下底面面积为 ×42×6=24√3dm2，
4
所以该花灯的表面积为 ．
72+6√3+36+24√3=108+30√3(dm2)
故选：A．
8．已知定义在 上的函数 满足 ，且 ， 为 的导函数，当
(−2,2) f (x) f (x)+e4xf (−x)=0 f (1)=e2 f'(x) f (x)
时， ，则不等式 的解集为（ ）
x∈[0,2) f'(x)>2f (x) e2xf (2−x)2f (x)
则 f'(x)⋅e2x−f (x)⋅2e2x f'(x)−2f (x) ，
g'(x)= = >0
e4x e2x
所以g(x)在[0,2)上单调递增，则g(x)在(−2,2)上单调递增，f (2−x) f (1)
不等式e2xf (2−x)0,|φ|< ) 的最小正周期是π，把它图象向右平移 个单位后得到
2 3
的图象所对应的函数为奇函数，下列正确的是（ ）
5π π
A．函数f (x)的图象关于直线x= 对称B．函数f (x)的图象关于点 ( ,0 ) 对称
12 12
C．函数 在区间[ π π]上单调递减 D．函数 在[π 3π]上有3个零点
f (x) − ,− f (x) ,
2 12 4 2
【答案】AC
π
【分析】根据周期及奇函数的性质求出f (x)=sin ( 2x− ) ，再利用正弦函数性质逐项判断即可.
3
【详解】因为函数f (x)=sin(ωx+φ) ( ω>0,|φ|< π ) 的最小正周期是π，所以ω= 2π =2，
2 π
则f (x)=sin(2x+φ)，
把它图象向右平移π个单位后得到的图象所对应的函数为 ( 2π)，
y=sin 2x+φ−
3 3因为 ( 2π)为奇函数，所以 2π ， ，即 2π ， ，
y=sin 2x+φ− φ− =kπ k∈Z φ= +kπ k∈Z
3 3 3
π π π
因为|φ|< ，所以k=−1，φ=− ，所以f (x)=sin ( 2x− ) ，
2 3 3
对于A， (5π) ( 5π π) ，所以函数 的图象关于直线 5π对称，故A正确；
f =sin 2× − =1 f (x) x=
12 12 3 12
π π π π 1
对于B，f
( )=sin (
2× −
)=sin (
−
)=−
≠0，
12 12 3 6 2
π
( )
所以函数f (x)的图象不关于点 ,0 对称，故B错误；
12
[ π π] π [ 4π π] [ 3π π]
对于C，当x∈ − ,− 时，2x− ∈ − ,− ⊆ − ,− ，
2 12 3 3 2 2 2
[ 3π π]
函数y=sinx在 − ,− 上单调递减，
2 2
[ π π]
所以函数f (x)在区间 − ,− 上单调递减，故C正确；
2 12
π π kπ π
对于D，由f (x)=sin ( 2x− )=0，得2x− =kπ，即x= + ,k∈Z，
3 3 2 6
π kπ π 3π 1 8
令 ≤ + ≤ ，解得 ≤k≤ ，又k∈Z，所以k=1或k=2，
4 2 6 2 6 3
所以函数 在[π 3π]上有2个零点，分别为2π，7π，故D错误.
f (x) ,
4 2 3 6
故选：AC.
10．用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面
（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面
截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线
C： 的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线 从点M射入，经过C上的点 反
y2=4x l A(x ,y )
1 1 1
射，再经过C上另一点 反射后，沿直线 射出，则（ ）
B(x ,y ) l
2 2 2A．C的准线方程为x=−1
B．y y =−2
1 2
11
C．若点M(2,1)，则|AB|=
2
D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线l 上
2
【答案】AD
【分析】根据抛物线的几何性质，可判定A正确；设直线AB:x=my+1，联立方程组，结合韦达定理，
可判定B错误；根据 ，求得 ，可判定C错误；由 y ，联立方程组得到
M(2,1) |AB|=x +x +2 OA:y= 1 x
1 2 x
1
4
y =− ，结合y y =−4，可判定D正确.
N y 1 2
1
【详解】由题意，抛物线y2=4x，可得焦点F(1,0)，准线方程为x=−1，所以A正确；
由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F，且斜率不为0，
设直线AB:x=my+1，联立方程组¿，整理得y2−4my−4=0，
可得 ，所以 ，所以B错误；
Δ=(−4m) 2+16>0 y y =−4
1 2
1
若点M(2,1)，则y =1，所以y =−4，所以x = ，x =4，
1 2 1 4 2
1 25
所以|AB|=x +x +2= +4+2= ，所以C错误；
1 2 4 4
y y 4
y y =− 1=− 1 =−
又由直线 ，联立方程组 ，解得 ，
OA:y= 1 x ¿ N x y2 y
x 1 1 1
1
4
−4
由y y =−4，得y = ，所以y = y ，所以点N在直线l 上，所以D正确.
1 2 2 y N 2 2
1
故选：AD.11．如图，棱长为2的正方体 中， ， ， ，
ABCD−A B C D ⃗BE=x⃗BC ⃗C F= y⃗C C ⃗B G=z⃗B B
1 1 1 1 1 1 1 1
x,y,z∈(0,1)，则下列结论中正确的是（ ）
A．存在y，使得D D⊥AF
1
1
B．当x= y= 时，存在z使得A G∥平面AEF
2 1
1 √5
C．当x= y=z= 时，异面直线A G与EF所成角的余弦值为
2 1 5
1
D．当x= y=z= 时，点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍
2
【答案】BD
【分析】建系，利用空间向量处理位置关系、异面直线夹角以及点到面的距离.
【详解】如图建立以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD 所在直线为z轴的空
1
间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，
A(2,0,0) A (2,0,2) C(0,2,0) D(0,0,0),D (0,0,2) E(1,2−2x,0) F(0,2,2−2y)
1 1
对于选项A：可得 ，
⃗DD =(0,0,2),⃗AF=(−2,2,2−2y)
1
因为 ，且 ，可知 ，
⃗DD ⋅⃗AF=2(2−2y) y∈(0,1) ⃗DD ⋅⃗AF≠0
1 1
所以D D与AF不垂直，故A错误；
1
1
因为x= y= ，则E(1,2,0)，F(0,2,1)，可得⃗AE=(−1,2,0)，⃗EF=(−1,0,1)，
2
对于选项B：设平面AEF法向量为⃗n=(a,b,c)，则¿，
令b=1，则a=c=2，可得⃗n=(2,1,2)，
设 ，可得 ，
G(2,2,t),t=2−2z∈(0,2) ⃗A G=(0,2,t−2)
1
令 ，解得 ，
⃗A G⋅⃗n=0+2+2(t−2)=0 t=1
1
1
可知：当z= 时，A G∥平面AEF，B正确；
2 1
1 →
对于选项C：当z= 时，则G(2,2,1)，此时
A G=(0,2,−1)
，
2 1
|⃗A G⋅⃗EF|
|−1| √10
因为cos⟨⃗A G,⃗EF⟩= 1 = = ，
1 |⃗A G||⃗EF| √2×√5 10
1
1 √10
可知：当x= y=z= 时，异面直线A G与EF所成角的余弦值为 ，故C错误；
2 1 10
对于选项D：因为 ， ，
⃗EG=(1,0,1) ⃗CE=(1,0,0)
| → →|
可得：点G到平面AEF的距离
d=
|⃗EG⋅⃗n|
=
4，点C到平面AEF的距离
d'=
CE·n
=
2，
|⃗n| 3 |→| 3
n
所以点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍，故D正确．
故选：BD．
12．已知 17 1 1 1 35，则下列不等式成立的是（ ）
a= ,b=cos ,c=3tan ,d=e18,m=ln
18 3 3 18
A．c>b>a B．c>a>b
C．d>a>m D．a>d>m【答案】AC
1 1
【分析】先利用三角函数线得到tanα>α>sinα，进而得到c=3tan >3× =1，作差法得到b>a，得到
3 3
；再构造函数 ， 与 ， ，证明出 .
c>b>a f (x)=ex−x−1 x>0 g(x)=lnx−x+1 x>0 d>a>m
【详解】设∠AOB=α为锐角，作出单位圆，与x轴交于A点，则A(1,0)，
过点A作AC垂直于x轴，交射线OB于点C，连接AB，过点B作BD⊥x轴于点D，
由三角函数定义可知AC=tanα，BD=sinα，
1 1 1
设扇形OAB的面积为S ，则S >S >S ，即 tanα> α> sinα，故tanα>α>sinα，
1 △OAC 1 △ABO 2 2 2
1 1
所以c=3tan >3× =1，
3 3
b−a=cos 1 − 17 =1−2sin2 1 − 17 = 1 −2sin2 1 =2 ( 1 −sin2 1)，
3 18 6 18 18 6 36 6
因为 sin 1 < 1，所以 b−a=2 ( 1 −sin2 1) >0 ，故 b>a ，
6 6 36 6
综上：c>b>a，A正确，B错误；
令 ， ，则 ，
f (x)=ex−x−1 x>0 f'(x)=ex−1
当 时， ，故 在 上单调递增，
x>0 f'(x)=ex−1>0 f (x) (0,+∞)
所以 ( 1 ) ，所以 1 19，
f >f (0)=0 e18>
18 18
1 1−x
令g(x)=lnx−x+1，x>0，则g'(x)= −1= ，
x x当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
00 g(x) x>1 g'(x)<0 g(x)
故 (35) 35 35 ，故 35 35 17，
g =ln − +1a>m，C正确，D错误；
故选：AC
【点睛】方法点睛：我们经常使用不等式放缩来比较大小或证明不等式，常用的不等式有ex≥ex，
， ， 1 1 ， 1 (1 ) 1等.
ex≥x+1 lnx≤x−1(x>0) ln ≤ −1 b>0) C F ,F F
a2 b2 1 2 2 1
√3 39
率为 的直线与C交于D,E两点，四边形ADF E的面积为 ，则四边形ADF E的周长是 ．
3 2 4 2
【答案】14
【分析】设椭圆半焦距为 ，由离心率可得椭圆
x2 y2
，将直线DE方程与椭圆方程联立，利用
c C: + =1
4c2 3c2
39 13
韦达定理结合四边形ADF E的面积为 ，可得c= ，后注意到点A，F 两点关于直线DE对称，后利
2 4 8 2
用椭圆定义可得答案.
【详解】设椭圆半焦距为 ，因椭圆离心率为1，则c 1 c2 1 ，则椭圆
c = ⇒ = ⇒a2=4c2,b2=a2−c2=3c2
2 a 2 a2 4
x2 y2
.
C: + =1
4c2 3c2
√3
由题，设直线DE为y= (x+c)，将其与椭圆方程联立，则13x2+8cx−32c2=0.
3
8c −32c2
由题，联立方程判别式大于0，设D(x ,y ),E(x ,y )，由韦达定理，有x +x =− ,x x = .
1 1 2 2 1 2 13 1 2 13
则 √4 2 48 .
|DE|=√(x −x ) 2+(y −y ) 2= (x −x ) 2= √(x +x ) 2−4x x = c
1 2 1 2 3 1 2 √3 1 2 1 2 132 2
c c
√3 √3
又A(0,√3c),F (c,0)，则A到直线DE距离为d = =c，F 到DE距离为d = =c.
2 1 2 2 2 2
√3 √3
39 1 48 39 13
因四边形ADF E的面积S为 ，则S=S +S = ⋅|DE|⋅(d +d )= c2= ⇒c= .
2 4 △ADE △DEF 2 2 1 2 13 4 8
因点A， 到直线DE距离相等，且 ，则点A， 两点关于
F k =−√3⇒k ⋅k =−1⇒DE⊥AF F
2 AF DE AF 2 2
2 2
直线DE对称.
则四边形 的周长为 .
ADF E |AD|+|DF |+|F E|+|EA|=2(|F E|+|DF |)
2 2 2 2 2
注意到， ，
|DE|+|EF |+|F D|=|DF |+|DF |+|EF |+|EF |=4a=8c=13
2 2 1 2 1 2
48c
则|F E|+|DF |=13−|DE|=13− =7，得四边形ADF E的周长为14.
2 2 13 2
故答案为：14
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．设正项数列 的前 项和为 ，若 a2+a ．
{a } n S S = n n
n n n 2
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
1 1 1 1 λ
(2)若不等式 + +⋯+ > − 对任意正整数n均成立，求λ的取值范围．
3S 4S (n+2)S 2 S
1 2 n n
【答案】(1)a =n
n
1
(2)λ≥
2
【分析】（1） 应用a =S −S 得出等差数列再求数列通项公式即可;
n n n−1（2）应用裂项相消求和结合不等式恒成立求解.
【详解】（1）当 时， a2+a ，所以 ；
n=1 a = 1 1 a =1
1 2 1
当 时， a2+a 且 a2 +a ，两式相减并整理可得 ．
n≥2 S = n n S = n−1 n−1 (a +a )(a −a −1)=0
n 2 n−1 2 n n−1 n n−1
因为 为正项数列，所以 ，所以 ．
{a } a −a =1 a =1+(n−1)=n
n n n−1 n
n2+n n(n+1)
（2）有（1）可知S = = ，
n 2 2
1 2 1 1
∴ = = − ，
(n+2)S n(n+1)(n+2) n(n+1) (n+1)(n+2)
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴ + +⋯+ = − + − +⋯+ −
3S 4S (n+2)S 2 2×3 2×3 3×4 (n+1)n (n+1)(n+2)
1 2 n
1 1
= − ，
2 (n+1)(n+2)
1 1 1 1 λ n
故 + +⋯+ > − ，可化为λ> ，
3S 4S (n+2)S 2 S 2(n+2)
1 2 n n
n 1 1 1 1
因为 = − < 恒成立，所以λ≥ ．
2(n+2) 2 n+2 2 2
sinB−sinA c
18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 = .
sinB−sinC a+b
(1)求A；
2
(2)若△ABC内一点P满足⃗PB⋅⃗PC=0，∠APC= π，b=3，c=2，记∠ACP=θ，求tanθ的值.
3
π
【答案】(1)A=
3
√3
(2)tanθ=
6
【分析】（1）由已知，结合正余弦定理即可求A；
（2）在直角△PBC中用角θ表示PC，在△APC中，由正弦定理得到BC与角C之间的关系，△ABC中，
余弦定理求出BC及角C，代入上式即可求角θ.
sinB−sinA c
【详解】（1）因为 = ，.
sinB−sinC a+bb−a c
由正弦定理得： = ，
b−c a+b
即b2+c2−a2=bc，
b2+c2−a2 1
由余弦定理，cosA= = ，
2bc 2
π
因为A∈(0,π)，所以A= .
3
（2）因为⃗PB⋅⃗PC=0，所以PB⊥PC，在△PBC中，PC=BCcos(C−θ)，
PC AC
在△APC中，由正弦定理得 = ，
sin∠PAC sin∠APC
BCcos(C−θ) 3
= =2❑√3 π
即
sin (
π
−θ ) sin
2
π
，即BCcos(C−θ)=2√3sin (
3
−θ ) ，（*）
3 3
又因为在 △ABC 中， BC= √ 22+32−2×2×3×cos π =√7 ， cosC= (√7)
2+32−22
= 2 ，
3 2×3×√7 √7
√3
从而sinC= ，
√7
代入（*）式得3cosθ−√3sinθ=2cosθ+√3sinθ，
即cosθ=2√3sinθ，
√3
所以tanθ= .
6
19．气象部门定义：根据24小时内降水在平地单位面积上的积水深度(mm)来判断降雨强度．其中小雨
(<10mm)，中雨(10mm∼25mm)，大雨(25mm∼50mm)，暴雨(50mm∼100mm）．为了了解某地的降雨
情况，气象部门统计了该地20个乡镇的降雨情况，得到当日24小时内降雨量的频率分布直方图如图．
(1)若以每组的中点代表该组数据值，求该日这20个乡镇的平均降雨量；(2)①根据图表，估计该日24小时内降雨强度为暴雨的乡镇的个数；
②通过降雨强度按分层抽样抽取5个乡镇进行分析．据以往统计数据，降雨过后，降雨强度为大雨的乡镇
2 1
不受损失的概率为 ，降雨强度为暴雨的乡镇不受损失的概率为 ，假设降雨强度相互独立，求在抽取的5
3 4
个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失的概率．
【答案】(1)52.5(mm)
15
(2)①12 ；②
64
【分析】（1）根据频率分布直方图计算平均数公式计算即可；
（2）根据频率分布直方图估计总体即可得①，根据分层抽样先判定抽中大雨和暴雨的乡镇数，再由独立
事件的概率公式计算即可得②.
【详解】（1）这五组数据对应的频率分别为：0.05,0.2,0.3,0.35,0.1，
故这20个乡镇的平均降雨量为 (25+35) (35+45)
0.05× +0.2× +
2 2
(45+55) (55+65) (65+75) ．
0.3× +0.35× +0.1× =52.5(mm)
2 2 2
（2）①24小时降雨强度为暴雨的乡镇的频率为( 0.03) ，
0.01+0.035+ ×10=0.6
2
故降雨强度为暴雨的乡镇的个数为0.6×20=12个．
②若按分层抽样抽取5个乡镇，
故降雨强度为暴雨的有5×0.6=3个乡镇，降雨强度为大雨的有2个乡镇，
设事件M表示“抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失”．
分两类情况，即不受损失的唯一乡镇为降雨强度为大雨或降雨强度为暴雨，
所以 P(M)=C1(1) 1
×
(2) 1
×
(3) 3 +C1(3) 2
×
1
×
(1) 2
=
15，
2 3 3 4 3 4 4 3 64
15
故抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失的概率为 ．
64
20．如图，在四棱锥P−ABCD中，BC//AD，BC=2AD，M为棱AP的中点．PN
(1)棱PB上是否存在点N，使MN//平面PDC?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
NB
(2)若平面PDC⊥平面ABCD，AB⊥BC，BC=CP=PD=DC，求二面角B−MD−C的正弦值．
PN 1
【答案】(1)棱PB上存在点N， = ；
NB 3
2√5
(2)
5
【分析】（1）作出辅助线，利用MN//PE可证得MN//平面PDC，再用相似三角形线段成比例即可求
解.
（2）设O为CD的中点，由面面垂直的性质定理可得PO⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系，用空
间向量法即可求二面角B−MD−C的正弦值．
【详解】（1）如图，分别延长BA与CD的延长线交于点E，连接PE，过点M在平面BEP内作直线
FN//PE，交BE于点F，BP于点N，
因为MN//PE，PE⊂平面PDC，所以MN//平面PDC，
因为BC//AD，BC=2AD，所以A，D分别为线段BE，CE的中点，
EF PN 1
又FN//PE，M为AP的中点，所以F为线段AE的中点，所以 = = ．
FB NB 3
PN 1
综上，棱PB上存在点N，使MN//平面PDC，且 = ．
NB 3
（2）设AD=1，又AB⊥BC，BC=DC=2，所以AB=√3，BD=2，
又CP=PD=DC=2，所以△PCD和△BCD为等边三角形，设O为CD的中点，连接OP，OB，则OP=OB=√3，OP⊥DC，OB⊥DC，
又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PO⊂平面PDC，PO⊥平面ABCD，
又OB⊂平面ABCD，PO⊥OB，
综上，OP，OB，OC两两垂直．
以O为坐标原点，⃗OB，⃗OC，⃗OP的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则 ， ， ， ， (√3 3 )， (√3 3 √3)，
B(√3,0,0) C(0,1,0) P(0,0,√3) D(0,−1,0) A ,− ,0 M ,− ,
2 2 4 4 2
(√3 1 √3)， ， ，
⃗DM= , , ⃗DB=(√3,1,0) ⃗DC=(0,2,0)
4 4 2
设平面MDC的法向量为 ，
⃗n=(x ,y ,z )
1 1 1
则¿即¿可取⃗n=(2,0,−1)，
设平面MDB的法向量为 ，
⃗m=(x ,y ,z )
2 2 2
则 即 可取 ，
¿ ¿ ⃗m=(1,−√3,0)
⃗n⋅⃗m 2 √5
所以cos⟨⃗n,⃗m⟩= = = ，
|⃗n||⃗m| 2√5 5
2√5
故二面角B−MD−C的正弦值为√1−cos2⟨⃗n,⃗m⟩= ．
5
21．已知双曲线C：x2 y2 的离心率为2√3，F为C的左焦点，P是C右支上的点，点P
− =1(a>0,b>0)
a2 b2 3
3
到C的两条渐近线的距离之积为 ．
4
(1)求C的方程；(2)若线段PF与C的左支交于点Q，与两条渐近线交于点A，B，且3|AB|=|PQ|，求|PQ|．
x2
【答案】(1) −y2=1
3
9√3
(2)
4
【分析】（1）利用待定系数法即可求得曲线C的方程；
（2）设直线PF的方程为x=my−2，再与曲线C联立方程组，再利用韦达定理以及弦长公式即可得出结
论>
c 2√3 4
【详解】（1）由题意得 = ，故c2= a2，
a 3 2
b
又a2+b2=c2，C的两条渐近线方程分别为y=± x，
a
|b | | b | |b2 | |x2 y2|
x −y − x −y x2 −y2 a2b2 1− 1
设P(x ,y )，则 a 1 1 ⋅ a 1 1 = 3 ，即 a2 ❑ 1 ❑ 1 = a2 b2 = a2b2 = 3
1 1 √b2 √b2 4 b2 b2+a2 c2 4
+1 +1 +1
a2 a2 a2
3 3 4 x2
所以a2b2= c2= × a2，所以b2=1，a2=3，故C的方程为 −y2=1．
4 4 3 3
（2）由（1）知 ，设直线PF的方程为 ， ， ， ，
F(−2,0) x=my−2 Q(x ,y ) A(x ,y ) B(x ,y )
2 2 3 3 4 4
联立 得 ，
¿ (m2−3)y2−4my+1=0
4m 1
则y + y = ，y y = ，
1 2 m2−3 1 2 m2−3
因为P是C右支上的点，所以m2>3，
|PQ|=√(1+m2)[(y + y ) 2−4 y y ]= √ (1+m2) [ ( 4m ) 2 − 4 ] =2√3× m2+1 = 2√3(m2+1) ，
1 2 1 2 m2−3 m2−3 |m2−3| m2−3
联立 ，得 ，
¿ (m2−3)y2−4my+4=0
4m 4
则y + y = ，y y = ，
3 4 m2−3 3 4 m2−3
|AB|=√(1+m2)[(y + y ) 2−4 y y ]= √ (1+m2) [ ( 4m ) 2 − 16 ] =4√3× √m2+1 = 4√3√m2+1 ，
3 4 3 4 m2−3 m2−3 |m2−3| m2−3又 ，所以
m2+1 √m2+1，解得
，
3|AB|=|PQ| 2√3× =12√3× m2=35
m2−3 m2−3
所以 m2+1 9√3．
|PQ|=2√3× =
m2−3 4
【点睛】关键点睛：第（2）小问求|AB|的运算能力是关键，本题考查了直线与双曲线的位置关系，以及
双曲线的综合应用，属于较难题.
22．已知函数f (x)=2(x−sinx).
(1)判断函数f (x)的单调性；
(2)已知函数 ，其中 ，若存在 ，证明： .
g(x)=f (x)−4x+2mlnx m>1 g(x )=g(x )(x ≠x ) x +x >1+lnm
1 2 1 2 1 2
【答案】(1)函数f (x)在R上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数f (x)进行求导，利用导数研究函数的单调性即可；
（2）先求出 解析式，由 ，化简可得 .不妨设
g(x) g(x )=g(x ) m(lnx −lnx )=(sinx −sinx )+(x −x )
1 2 2 1 2 1 2 1
x >x >0，所以lnx >lnx .再由函数f (x)单调递增，有2x −2sinx <2x −2sinx ，化简可得
2 1 2 1 1 1 2 2
m< 2(x 2 −x 1 ) ，再利用转化思想和换元法结合导数的性质求证即可.
lnx −lnx
2 1
【详解】（1） 的定义域为 ，而 ，
f (x) R f'(x)=2−2cosx
由于 ，故 ，
cosx≤1 f'(x)=2−2cosx≥0
所以函数f (x)在R上单调递增.
（2）由（1）得g(x)=2x−2sinx−4x+2mlnx=−2sinx−2x+2mlnx(x>0)，又 ，即 ，
g(x )=g(x ) −2sinx −2x +2mlnx =−2sinx −2x +2mlnx
1 2 1 1 1 2 2 2
所以 .
m(lnx −lnx )=(sinx −sinx )+(x −x )
2 1 2 1 2 1
不妨设x >x >0，所以lnx >lnx .
2 1 2 1
由（1）得：当x>0时，函数f (x)单调递增，故有：2x −2sinx <2x −2sinx ，
1 1 2 2
即sinx −sinx 0, 即函数 h(m) 在 (1,+∞) 上是增加的.
m
又m>1, 所以 h(m)>f(1)=1−1−ln1=0,即 m−1−lnm>0,
所以m>1+lnm，
故要证：x +x >1+lnm，可证：x +x >m，
1 2 1 2
要证 x +x >m ，可证： x +x > 2(x 2 −x 1 )
1 2 1 2 lnx −lnx
2 1
下证 x +x > 2(x 2 −x 1 ) ，
1 2 lnx −lnx
2 1
x
( )
2 2−1
2(x −x ) 2(x −x ) x x
由于 x +x > 2 1 ⇔lnx −lnx > 2 1 ⇔ln 2> 1 ，
1 2 lnx −lnx 2 1 x +x x x
2 1 2 1 1 2+1
x
1
设 x 2=t>1 ，令 h(t)=lnt− 2(t−1) (t>1) ，则 h'(t)= (t−1) 2 >0 ，
x t+1 t(t+1) 2
1
所以函数h(t)在区间(1,+∞)上单调递增，所以h(t)>h(1)=0，
故 lnt> 2(t−1)，即 x +x > 2(x 2 −x 1 ) 成立.
t+1 1 2 lnx −lnx
2 1综上有： x +x > 2(x 2 −x 1 ) >m>1+lnm ，
1 2 lnx −lnx
2 1
故有x +x >1+lnm，得证.
1 2
【点睛】关键点睛：第（2）问中，由函数
f (x)
单调递增，化简得
m<
2(x
2
−x
1
) ，再利用转化思想和换
lnx −lnx
2 1
元法是解题关键.本题考查转化思想，整体换元思想，考查利用导数研究函数的单调性，属于较难题..
