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2022 希望数学少年俱乐部——八年级培训 80 题
1. 观察：
1
1
2
3
2
3
4
3
4
5
4
5
6
+
+
+
1
1
1
=
=
=
5
1
1
2
1
9
;
2
2
;
;
……
计算 2 0 2 0 2 0 2 1 2 0 2 2 2 0 2 3 + 1 =________．
100 23n
2. 计算： =________．
101
n=1
3. 计算： ( 5 ) 2 + ( − 3 ) 2 − 3 − 2 7 −
3
1
− 1
+
3
2
− 1
= ________．
4. 计算： 2 3 − 2 2 + 1 7 − 1 2 2 =________．
1 1
5. 化简： + 的结果是________．
4+ 59+30 2 3− 66−40 2
6. 若x2 −3x+1=0，则 x 2 +
1
x 2
− 3 = ________．7.
2
7 x 2 + 9 x + 1 3 + 7 x 2 − 5 x + 1 3 = 7 x ，则 x =________．
8. 若 a 2 n = 3 ，则 2 a 6 n − 1 = ________．
9. a，b，c，d都是正数，且 a 2 = 2 ，b3 =3， c 4 = 4 ， d 5 = 5 ，则 a，b，c，d中
最大的一个是________．
10. 若a，b，c满足a+b+c=1， a 2 + b 2 + c 2 = 2 ，a3 +b3 +c3 =3，则abc =________．
11. 若 x 2 − 1 3 x + 1 = 0 ，则 x 4 + x − 4 的个位数字是________．
12. 已知 m = 1 + 2 ， n = 1 − 2 ，且 ( 7 m 2 − 1 4 m + a ) ( 3 n 2 − 6 n − 7 ) =8，则 a 的值
________．
13. 两个自然数的和比积小 1000，且这两个自然数中的一个是完全平方数，那么
这两个自然数中较大的是_______．
14. 已知 a是方程 x 2 + x −
1
4
= 0
a3−1
的根，则 的值等于________．
a5 +a4 −a3−a2
15. 已知实数 a，b，c满足 a + b + c = 1
1 1 1
， + + =1，则
a+b−c b+c−a c+a−b
a b c =
________．
2q−1 2p−1
16. 已知 p，q， ， 都是整数，p > 1，q > 1．则p + q =________．
p q17. 若
3
x 2 + x y + y = 1 4 ， y 2 + x y + x = 2 8 ，则 x + y =________．
x
18. 已知 =a，
y+z z
y
+ x
= b
z
， =c，则
x+ y 1
a
+ a
+
1
b
+ b
+
1
c
+ c
=________．
2x3 =3y3 =4z3 ①
19. 已知实数 x，y，z 满足3 2x2 +3y2 +4z2 =2+ 312+ 316 ② ，
xyz 0 ③
则 2 (
1
x
+
1
y
+
1
z
) =________．
20. 设m，n，p，q为非负整数，且对一切 x >0，
( x +
x
1
n
) m
− 1 =
( x +
x
1
q
) p
恒成立，
则 ( m 2 + 2 n + p ) 2 q = ________．
21. 实数 a，b满足 a3+b3+3ab=1，则a+b=________．
22. 满足 ( n 2 − n − 1 ) n + 2 = 1 的整数n有________个．
23. 满足等式 x y + y x − 2 0 0 3 x − 2 0 0 3 y + 2 0 0 3 x y =2003的正整数对(x，y)的
个数是________．
( )x ( )x
24. 3+ 2 + 3− 2 =10，则x =_______．25. 解方程：
4
x + 1 + x − 1 − x 2 − 1 = x ，x = ________．
26. 已知非零实数 x和y满足 x + y = 2 和 x y + x 3 = 0 ，则y =________．
27. 关于 x的方程 x 2 − m x = 1 恰有3个不同的实数根，|m|=________．
28. 解方程： x 4 + ( x − 4 ) 4 = 6 2 6 ，x=________．
29. 已知关于 x的方程x2 −6x−4n2 −32n=0的根都是整数，其中 n是整数，则满
足题意的所有 n的值之和为________．
9
30. 设m是整数，且方程3x2+mx– 2=0的两根都大于− 而小于
5
3
7
，则m=________．
31. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 −2(m+1)x+m2 =0 有两个整数根，且
12b，若两个三角形的最小内角相等，则
9
a
b
的值等于（ ）．
A．
3
2
+ 1
B．
5
2
+ 1
C．
3
2
+ 2
D．
5
2
+ 2
54. 如图，AA'，BB'分别是∠EAB，∠DBC 的平分线．若AA'=BB'=AB，则
∠BAC=________°．55. 如图，在等腰梯形 ABCD中， AB//CD， AB=2CD，∠DAB=60°，E是底边
AB上一点，且 FE=FB=AC，FA=AB．则AE∶EB等于（ ）．
A．1∶2 B．1∶3 C．2∶5 D．3∶10
56. 如图，五个正方形的边或顶点在同一条直线上，相邻的两个正方形有一个顶
点重合，中间三个正方形的面积依次是 289，64，100．则
10
A O K 的面积是
________．
57. 已知 Rt A B C ， A B = B C ，点P在此三角形内，若PA=5，PB=4，PC =1，
则以 AC 为对角线的正方形的面积是________．
58. 如果一条直线 l 经过不同的三点 A(a，b)，B(b，a)，C(a－b，b－a)，那么直
线l 经过（ ）．
A.二四象限 B.一二三象限 C.二三四象限 D.一三四象限59. 设
11
b a ，将一次函数 y = b x + a 与 y = a x + b 的图象画在同一平面直角坐标系
内，则有一组 a，b 的取值，使得下列 4 个图中的一个为正确的是（ ）．
60. 某科技公司在甲地、乙地分别生产了 17 台、15 台同一种型号的检测设备，
全部运往大运会赛场 A，B两馆，其中运往 A 馆18台、运往B馆 14 台． 运
往A，B两馆的运费如下表：
（1）设甲地运往 A馆的设备有x台，请填写下表，并求出总运费 y（元）与
x（台）的函数关系式；
（2）当x为________时，总运费最小，最小值是________．61. 如图，在平面直角坐标系 xOy中，多边形 OABCDE的顶点坐标分别是 O（0，
0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线 l 经过
点 M（2，3），且将多边形 OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线 l 的
函数表达式是________．
62. 当n = 1，2，3，……，2020，2021时，二次函数
12
y = ( n 2 + n ) x 2 − ( 2 n + 1 ) x + 1
的图像与 x轴所截得的线段长度之和为（ ）．
2019 2020 2021 2022
A. B. C. D.
2020 2021 2022 2023
63. 已知 a，b 为抛物线y =(x−c)(x−c−d)−2与 x 轴交点的横坐标，a0)是函数 y =
k
x
( k 0 ) 上的点，过点 P作
直线 PA⊥OP于 P，直线 PA与x轴的正半轴交于点 A（a，0）(a > m)． 设
O P A
n4 n4
的面积为 S，且S =1+ ．设n 是小于 20的整数，且k ，则OP2
4 2
的最小值是________．67. 如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设 a=1，则正方形
的面积为（ ）．
7+3 5 3+ 5 5+1 ( )2
A. B. C. D. 1+ 2
2 2 2
68. 一辆电动汽车充满电后，按照从甲地开到乙地，再返回到甲地的行车路线行
驶，如果该车去程开空调，返程不开，那么该车正好在电量用完时回到甲地；
如果该车全程不开空调，那么该车跑完全程时还剩下 40%的电量；如果该车
全程开空调，那么从乙地返回甲地时，在距离甲地 36千米处电量耗尽．甲乙
两地相距________千米．
69. 某超市以每件 10元的进价购进 200件玩具，销售人员预期最近的促销活动：
单价是 19元时只能卖出 100件，而单价每降低 1元则可以多卖出 20件．那
么单价是________元时， 这次促销活动的预期获利最大．
70. 某种产品按质量分为 10 个档次，生产最低档次产品，每件获利润 8 元，每
提高一个档次，每件产品利润增加 2元．用同样工时，最低档次产品每天可
生产 60 件，提高一个档次将减少 3 件，如果获利润最大的产品是第 R 档次
（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么 R等于________．
1471. 如图，乙是主河流甲的支流，水流流向如箭头所示，主流和支流的水流速度
相等，船在主流和支流中的静水速度也相等．已知 AC=CD，船从 A 处经 C
开往 B处需用 6小时，从B经C 到D需用 8小时，从D经C 到 B需用5小
时，则船从 B经 C 到A，再从A经C 到 D需用________小时．
72. 不大于 100，且使
15
3 n + 7 n + 4 能被11整除的所有自然数 n的和为________．
73. 圆周上放有 N 枚棋子，如图所示，B点的一枚棋子紧邻 A点的棋子．小洪首
先拿走 B点处的 1枚棋子，然后顺时针每隔 1枚拿走2枚棋子，连续转了 10
周，9次越过A．当将要第10次越过A 处取棋子时，小洪发现圆周上余下 20
多枚棋子．若 N 是14的倍数，则圆周上还有________枚棋子．
74. 一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出
其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三
部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……
如此下去，最后得到了 34 个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的
刀数是________．75. 希望中学要从初一到高三级学生中挑选访港交流生，但由于名额有限，故作
以下规定：
①初一级至多选 3人；②初二级至多选 4人；③初三级至多选 5人；
④高一级至多选 8人；⑤高二级至多选 10人；⑥高三级至多选 7人．
若无论如何挑选，以上规定至少要有一个成立，那么至多可以选________名
同学．
76. 将 5 个 1，5 个 2，5 个 3，5 个 4，5 个 5 共 25 个数填入一个 5 行 5 列的表
格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 2．考
虑每列中各数之和，设这 5个和的最小值为 M，则M的最大值为________．
77. 已知长方形的边长是整数，它的周长 m 是 3 的倍数，若
16
9 0 m 1 0 0 ．则符
合条件的长方形面积最大是________．
78. 已知四边形 ABCD 的面积为32，AB，CD，AC 的长都是整数，且它们的和为
16．这样的四边形的边长的平方和最小是________．
79. 将从 1开始的 100个自然数分成 A，B 两组，其中 30在A组，现将 30移入
B组，两组数的平均数都比原来大 0.5，则 A组现有________个数．
80. 周长为 6，面积为整数的直角三角形有 个．
