文档内容
1.1 三角形内角和定理 导学案
第3课时 多边形的内角和
1.能通过不同方法探索多边形的内角和公式.
2.学会运用多边形的内角和公式解决问题.
3.体会转化思想的应用，建立数学与生活的联系，增强用几何知识解决实际问题的意识.
学习重点：多边形的内角和公式的推导及应用.
学习难点：：正多边形的内角计算及运用抽象思维解决综合问题.
第一环节 自主学习
创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
①三角形内角和定理的推论：
推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
②多边形：
(1)由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形.
(2)连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
(3)从n边形的一个顶点出发，可以引出 (n － 3) 条对角线，把这个n边形分成(n－2)个三角形，n边形共有
(n－3)n
条对角线.
2
2.情景引入
小明和小亮经常到如图所示的广场进行体育锻炼.这个广场中心有一个正五边形的花坛，施工团队在铺设地砖时，需要计算出这个五边形每个内角的度数，
才能精准切割地砖。大家想一想，我们只知道三角形的内角和是180°，怎么才能求出五边形的内角和呢？
新知自研：自研课本第7--8页的内容．
【学法指导】
自研课本P7-8页随堂练习上面的内容，思考：
●探究一：多边形的内角和
◆1、议一议
（1）小明和小亮分别利用图①和图②求出了五边形五个内角的和.你知道他们是怎样做的吗？
思路：把五边形分割为几个三角形，将五边形五个内角的和转化为求几个三角形内角的和.
【解答】解：方法一：分割点在顶点，五边形可以分割成三个三角形来算．
五边形五个内角的和=180°×3=540°.
方法二：分割点在内部，五边形可以分割成五个三角形来计算．
五边形五个内角的和=180°×5-360°=540°.
（2）你还有其他的方法吗？与同伴进行交流.
其他不同的分割方法：说一说以下方法是如何计算五边形内角和的.
【解答】解：
方法三：分割点在顶点，五边形可以分割成一个三角形和一个四边形来计算.
五边形五个内角的和=360°+180°=540°.
方法四：分割点在边上，五边形可以分割成4 个三角形来计算.
五边形五个内角的和=180°×4-180°=540°.方法六：分割点在外部，五边形可以分割成4 个三角形来计算.
五边形五个内角的和=180°×4-180°=540°.
思考：根据以上求五边形内角和的过程，你有什么发现？
总结：
结论：五边形的内角和为540°.
◆2.尝试思考
（1）按照图①的方法，六边形能分成多少个三角形？n（n是大于或等于3的自然数）边形呢？你能确定
n边形的内角和吗？
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 … n边形
图形 …
分割出三角形的个
1 2 3 4 … n-2
数
多边形内角和 1×180º=180º 2×180º=360º 3×180º=540º 4×180º=720º … (n-2)·180º
（2）按照图②的方法再试一试.
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 … n边形
图形 …
分割出
三角形 3 4 5 6 … n
的个数
多边形 3×180º-360° 4×180º-360°= 5×180º-360°=
6×180º-360°=720º … n×180º-360°=(n-2)·180º
内角和 =180º 360º 540º
◆3.知识归纳
多边形的内角和定理：
n边形的内角和等于 ( n -2)·180 ° .
注意：（1）其中n≥3，且为自然数；（2）多边形的内角和与它的边数有关.
◆4.新知探究
例：在四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°，那么∠B和∠D有什么关系？试说明理由.
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D
=(4－2) ×180 °
= 360 °，
∴∠B＋∠D
= 360°－（∠A＋∠C）
= 360°－ 180°
=180°.
结论：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
◆5.练一练
一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是( )
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
解：A
●探究点二：正多边形的内角
◆1.想一想
(1)正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形的每个内角分别是多少度？
多边形 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 正八边形
图形
正多边形内角和 180º 360º 540º 720º 1080º
正多边形每个内角的度
180º÷3=60° 360º÷4=90° 540º÷5=108° 720º÷6=120° 1080º÷8=135°
数
(2)怎样计算正多边形每个内角的度数？
解：∵正n边形的内角和为(n-2)·180 °，且每个内角都相等，
（n-2）∙180°
∴每个内角的度数= .
n◆2.知识归纳
（n-2）∙180°
正多边形的内角：∵正n边形的内角= .（其中n≥3，且为自然数）
n
◆3.思考交流
剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩下的纸片是几边形？它的内角和是多少度？与同伴进行交流.
↓ ↓ ↓
五边形，内角和是540°. 四边形，内角和是360°. 三角形，内角和是
180°.
总结：截一个多边形的一个角时，一定注意截法，注意分类讨论.
◆4.练一练
①正十二边形的一个内角的度数是（ ）
A.120° B.135° C.150° D.108°
（12-2）∙180°
解析：正十二边形的内角=
12
1800°
= =150°.选C。
12
②如图所示，将一张四边形纸片沿直线剪开,如果剪开后的两个图形的内角和相等,那么下列四种剪法中,符
合要求的是( )
A.①② B.①③
C.②④ D.③④
解：B
【例题导析】
自研下面的例1和例2的内容，回答问题：
典例分析
例1 如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠1＝∠2，且∠D+∠C＝220°，求∠AOB的度数.【分析】首先根据四边形内角和为360度计算出∠DAB+∠ABC=140°,再根据∠1＝∠2，∠1＝∠2计算出
∠2+∠3＝70°，然后利用三角形内角和为180 度计算出∠AOB的度数即可解答.
【解答】解：∵∠D+∠C+∠DAB+∠ABC＝360°，
∠D+∠C＝220°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣220°＝140°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝70°，
∴∠AOB＝180°﹣70°＝110°.
例2 小明同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小明认真地检查了一遍．
(1)若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？
(2)若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？
【分析】(1)设这个多边形的边数是n,重复计算的内角的度数是x,根据多边形的内角和公式(n-2)·180°可知,
多边形的内角度数是180°的倍数，然后利用数的整除性进行求解.
【解答】解：设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x，
则(n－2)×180°＝1840°－x.
∵1840°＝10×180°＋40°，内角和为180°的整数倍，
∴x＝40°，n－2＝10.
∴n＝12.
故这个多边形的边数是12.
(2)若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？
【分析】设这个多边形的边数是n,没有计算在内的内角的度数是x,根据多边形的内角和公式(n-2)·180“可
知,多边形的内角度数是180°的倍数,然后利用数的整除性进行求解.
【解答】设这个多边形的边数是m，漏算的内角的度数是y，
则(m－2)×180°＝1840°＋y，
∵1840°＝11×180°－140°，内角和为180°的整数倍，
∴y＝140°，m－2＝11.
∴m＝13.
故漏算的那个内角是140°，这个多边形是十三边形.第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.操作猜想验证多边形内角和定理；
B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1.一个多边形的内角和为540°，则它是( )
A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形
解：B
2.一个多边形的内角和为1 800°， 截去一个角后， 得到的多边形的内角和 为( )
A.1 620° B.1 800° C.1 980° D.以上答案都有可能
解：D
3.多边形每一个内角都等于150°，则该多边形的边数是( )
A.10 B.11 C.12 D.13
解：C
4.m边形与n边形内角和的差为720°，则m与n的差为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解：C
5.若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解：C
6.如图，正六边形ABCDEF的对角线AD∥BC，则∠DAB( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
解：A7. 已知甲多边形的内角和是乙多边形内角和的2倍，而从甲多边形一个顶点出发所引对角线的条数与从乙
多边形一个顶点出发所引对角线的条数的比是 7∶3，如果甲是十边形，那么乙是____边形.
解:六
8. 若一个多边形的内角和比四边形内角和的3倍多180°,则这个多边形的边数是____.
解：9
9.如图所示，已知正六边形ABCDEF，连接FD，则∠FDC的度数为_________.
解：90°
10.如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数为
______．
解：60°
11.如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边
AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′的大小为______度．
解：45
12.一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为 1 125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少
算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？
解：设此多边形的内角和为x，则有
1 125°＜x＜1 125°+180°，
即180°×6+45°＜x＜180°×7+45°.
∵x为多边形的内角和，∴x＝180°×7＝1 260°.
∴7+2＝9,1 260°-1 125°＝135°.
∴少算的这个内角是135°，这个多边形是九边形.13.如图所示的模板，按规定，AB，CD的延长线相交成80°的角，因交点不在模板上，不便测量，质检员
测得∠BAE＝122°，∠DCF＝155°.如果你是质检员，判断此模板是否合格？为什么？
解：不合格，组成的五边形的内角和不是540°.
14.如果两个多边形的边数之比为1∶2,这两个多边形的内角之和为1440°,请你确定这两个多边形的边数.
解： 设这两个多边形的边数分别为n，2n.
根据题意,得(n-2)·180°+(2n-2)·180°=1440°,
解得n=4.
所以2n=8.
故这两个多边形的边数分别为4和8.
题型一：多边形的内角和
1．一个多边形的内角和为720°，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【分析】根据多边形的内角和公式解答即可．
【解答】解：设边数为n，根据题意，得
（n﹣2）•180°＝720°，
解得n＝6．
∴这个多边形为六边形，
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，关键是记住多边形的内角和公式．
2．若一个多边形的内角和是1440°，则此多边形的边数是（ ）
A．十二 B．十 C．八 D．十四
【分析】设这个多边形是n边形，它的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，根据题意列方程得（n﹣2）
180＝1440即可解得n的值．
【解答】解：根据多边形内角和定理得：
（n﹣2）•180＝1440，解得：n＝10．
所以此多边形的边数为10边．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．
3．椒江章安剪纸是台州市非物质文化遗产代表性项目．如图是小明的窗花剪纸，外形为正八边形，则它
的内角和为（ ）
A．900° B．1080° C．1260° D．1440°
【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°，即可得出答案．
【解答】解：（8﹣2）×180°
＝6×180°
＝1080°．
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形内角与外角，熟练掌握多边形内角和定理是解题的关键．
4．有两个多边形，它们的边数的比为1：2，内角和的比为1：4，你能确定它们各是几边形吗？试试看．
【分析】首先设出多边形边数，再利用多边形内角和定理得出等式求出即可，
【解答】解：设第一个多边形边数为n，则另一个边数为2n
根据题意可列方程，
4•（n﹣2）•180°＝（2n﹣2）•180°，
解得n＝3，
2×3＝6，
答：这两个多边形分别是三角形和六边形．
【点评】此题主要考查了多边形内角与外角，正确记忆多边形内角和定理是解题关键．
5．如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，BE、CD交于G点．（1）如图1，若∠A＝90°，
①求证：∠EDG＝∠ABC；
②作DF平分∠ADC，如图2，求证：DF∥BG．
（2）如图3，作DF平分∠ADC，在锐角∠BAD内部作射线AN，交DF于N，若∠AND﹣∠GBC的大
小为45°，试说明：AN平分∠BAD．
【分析】（1）①根据四边形内角和得出∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，根据邻补角得出
∠EDG+∠ADC＝180°，根据补角的性质即可得出结论；
1 1
②根据角平分线的定义结合∠ABC+∠ADC＝180°，得出∠2+∠4= ∠ABC+ ∠ADC=90°，根
2 2
据∠DFC+∠4＝90°，得出∠2＝∠DFC，根据平行线的判定得出DF∥BG；
（2）延长AB、DF交于点M，求出∠DAN＝135°﹣∠2﹣∠3，∠BAN＝135°﹣∠2﹣∠3，证明∠DAN
＝∠BAN，即可证明AN平分∠BAD．
【解答】证明：（1）①∵∠C＝90°，∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠EDG+∠ADC＝180°，
∴∠EDG＝∠ABC；
②∵BE平分∠ABC，
1
∴∠1=∠2= ∠ABC，
2
∵DF平分∠ADC，
1
∴∠3=∠4= ∠ADC，
2
1 1
∴∠2+∠4= ∠ABC+ ∠ADC=90°，
2 2
∵∠C＝90°，∴∠DFC+∠4＝90°，
∴∠2＝∠DFC，
∴DF∥BG；
（2）延长AB、DF交于点M，如图所示：
∵∠AND﹣∠GBC＝45°，
∴∠AND＝∠2+45°，
∴∠DAN＝180°﹣∠AND﹣∠3
＝180°﹣∠2﹣45°﹣∠3
＝135°﹣∠2﹣∠3，
∵BE平分∠ABC，
1
∴∠1=∠2= ∠ABC，
2
∵DF平分∠ADC，
1
∴∠3=∠4= ∠ADC，
2
∵∠BFM＝∠CFD＝90°﹣∠4＝90°﹣∠3，
∴∠AMN＝∠ABC﹣∠BFM＝2∠2﹣90°+∠3，
∴∠BAN＝∠AND﹣∠AMN
＝45°+∠2﹣2∠2+90°﹣∠3
＝135°﹣∠2﹣∠3，
∴∠DAN＝∠BAN，
∴AN平分∠BAD．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定，补角和余角的性质，三角形外角的性质，三
角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线，数形结合．题型二：求几何图形中多个角的和问题
6．如图，点 A，B，C，D，E 在同一平面内，连接 AB，BC，CD，DE，EA，若∠BCD＝100°，则
∠A+∠B+∠D+∠E＝（ ）
A．280° B．260° C．240° D．220°
【分析】连接BD，结合已知条件，利用三角形内角和定理求得∠CBD+∠CDB的度数，然后利用四边
形内角和与（∠CBD+∠CDB）作差即可求得答案．
【解答】
如图，连接BD，
∵∠BCD＝100°，
∴∠CBD+∠CDB＝180°﹣∠BCD＝180°﹣100°＝80°，
∵四边形内角和为360°，
∴∠A+∠ABC+∠CDE+∠E＝360°﹣（∠CBD+∠CDB）＝360°﹣80°＝280°，
故选：A．
【点评】本题主要考查多边形内角和及三角形内角和定理，连接 BD，构造△BCD与四边形ABCD是解
题的关键．
7．如图所示，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（ ）A．180° B．270° C．360° D．540°
【分析】连接AD，根据四边形的内角和等于360°，可得∠B+∠BAD+∠ADC+∠C＝360°，根据“8字
形”的关系可得：∠E+∠F＝∠FAD+∠ADE，然后即可得解．
【解答】解：如图，连接AD，
则∠B+∠BAD+∠ADC+∠C＝360°，
根据“8字形”数量关系，∠E+∠F＝∠FAD+∠ADE，
所以∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是
解题的关键．
8．在第24届北京冬季奥林匹克运动会上，花样滑冰运动因其是力与美的结合而吸引着不少人的关注，运
动员通过冰刀在冰面上划出图形，并表演跳跃、旋转等高难度动作，某位运动员就在冰面上滑出了如图
所示的几何图形，请利用所学知识计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．360° B．270° C．240° D．180°
【分析】连接BC，根据三角形的内角和等于180°，可得∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，根据“8字形”的
数量关系可得∠E+∠D＝∠EBC+∠DCB，然后即可得解．【解答】解：如图，连接BC，
则∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
根据“8字形”数量关系，∠E+∠D＝∠EBC+∠DCB，
所以，∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E＝180°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是
解题的关键．
9．如图，点A、B、C、D、E、F在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，若∠BCD＝110°，则
∠A+∠B+∠D+∠E+∠F等于（ ）
A．470° B．450° C．430° D．410°
【分析】根据∠BCD＝110°得出∠BCF+∠DCF＝360°﹣110°＝250°，根据四边形内角和即可得出答案．
【解答】解：连接FC，如图所示：
∵∠BCD＝110°，
∴∠BCF+∠DCF＝360°﹣110°＝250°，
∵∠A+∠B+∠BCF+∠AFC＝360°，∠DCF+∠D+∠E+∠CFE＝360°，
∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠AFE＝360°+360°﹣（∠BCF+∠DCF）＝720°﹣250°＝470°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角以及四边形内角和，解题的关键是熟练掌握四边形内角和为360°．
10．【建立模型】如图1，在∠A内部有一点P，连接BP、CP，求证：∠P＝∠1+
∠A+∠2；
【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 度；
【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠G的度数．
【提升思维】如图 4，将五角星的每个角都截去，则一共得到 10 个角，则这 10 个角的和
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠J的度数是 度．
【分析】【建立模型】延长BP交AC于点M，由三角形外角性质得∠BPC＝∠1+∠PMC，∠PMC＝
∠A+∠2，由此即可得出结论；
【尝试应用】设BD与CE相交于点N，由【建立模型】得∠CND＝∠A+∠C+∠D，则∠BNE＝∠CND
＝∠A+∠C+∠D，然后根据三角形的内角和定理即可得出答案；
【拓展创新】解：延长 CA与DG的延长线相交于点 K，则∠CAG＝180°﹣∠KAG，∠DGA＝180°﹣
∠KGA，进而得∠CAG+∠DGA＝360°﹣（∠KAG+∠KGA）＝180°+∠K，由【尝试应用】得
∠ K+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E ＝ 180° ， 则 ∠ CAG+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ ∠ DGA ＝ 180°
+∠K+∠B+∠C+∠D+∠E＝360°；
【提升思维】解：由【拓展创新】得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比
五角星的内角和多出180°，据此规律即可得出答案．
【解答】【建立模型】证明：延长BP交AC于点M，如图1所示：
由三角形外角性质得：∠BPC＝∠1+∠PMC，∠PMC＝∠A+∠2，∴∠BPC＝∠1+∠A+∠2；
【尝试应用】解：设BD与CE相交于点N，如图2所示：
由【建立模型】得：∠CND＝∠A+∠C+∠D，
∵∠BNE＝∠CND，
∴∠BNE＝∠A+∠C+∠D，
在△BEN中，∠BNE+∠B+∠E＝180°，
∴∠A+∠C+∠D+∠B+∠E＝180°，
故答案为：180；
【拓展创新】解：延长CA与DG的延长线相交于点K，如图3所示：
∵∠CAG＝180°﹣∠KAG，∠DGA＝180°﹣∠KGA，
∴∠CAG+∠DGA＝360°﹣（∠KAG+∠KGA），
在△KAG中，∠KAG+∠KGA＝180°﹣∠K，
∴∠CAG+∠DGA＝360°﹣（180°﹣∠K）＝180°+∠K，
由【尝试应用】得：∠K+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，
∴∠CAG+∠B+∠C+∠D+∠E+∠∠DGA
＝∠CAG+∠DGA+∠B+∠C+∠D+∠E
＝180°+∠K+∠B+∠C+∠D+∠E
＝180°+180°
＝360°；
【提升思维】解：由【拓展创新】得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比
五角星的内角和多出180°，
∴当五角星去掉五个角后多出五个角，此时所有角的和的度数为：180°+5×180°＝1080°．故答案为：1080．
【点评】此题主要考查了多边形内角和，三角形内角和定理，三角形的外角性质，准确识图，熟练掌握
三角形内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键．
题型三：多边形的截角问题
11．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个四边形，则原多边形纸片的边数不可能是（
）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由多边形的概念，通过实际操作，即可解决问题．
【解答】解：把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个四边形，则原多边形纸片的边
数不可能是6边形．
故选：D．
【点评】本题考查多边形，关键是动手实践得到答案．
12．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6
【分析】根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依
此即可解决问题．
【解答】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
则多边形的边数是4或5或6，
综上所述，只有D选项正确，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了多边形，关键掌握一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可
能不变或减少了一条．
则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形．
故选：A．
【点评】这类根据多边形的对角线，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相隔一个顶点的顶点，则
少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．
13．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是
．
【分析】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n﹣1）边形．【解答】解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，
则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形．
故答案为：18边形或17边形或19边形．
【点评】此题主要考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；
经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．
14．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．
【解答】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．
故选：C．
【点评】此题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．
15．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或6或7
【分析】首先求得内角和为720°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【解答】解：如图，
剪切的三种情况：①不经过顶点剪，则比原来边数多1，
②只过一个顶点剪，则和原来边数相等，③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1，
设内角和为720°的多边形的边数是n，
∴（n﹣2）•180＝720，
解得：n＝6．
则原多边形的边数为5或6或7．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键．
▲1.多边形的内角和定理：
n边形的内角和等于 ( n -2)·180 ° .
注意：（1）其中n≥3，且为自然数；
（2）多边形的内角和与它的边数有关.
（n-2）∙180°
2.正多边形的内角：∵正n边形的内角= .（其中n≥3，且为自然数）
n
