专题01有理数及其运算重难点题型（人教版）（解析版）_初中全科电子版试卷练习试题_数学_7上初中人教版数学练习、试卷24新版已更新_人教数学七年级上专项练习（016份）

专题01 有理数及其运算 重难点题型
题型1 正负数意义及应用
【解题技巧】解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解.
1．（2021·南靖县城关中学七年级月考）向东运动记作“+”，向西运动记作“—”，下列说法正确的是（
）
A．－2表示向东运动了2米 B．＋2表示向西运动了2米
C．向西运动3米表示向东运动了－3米 D．向西运动5米也可以记作向西运动－5米
【答案】C
【分析】根据正负数的意义逐一进行判断即可．
【详解】A.－2表示向西运动了2米，故错误；B.＋2表示向东运动了2米，故错误；
C.向西运动3米表示向东运动了－3米，故正确；D.向西运动5米也可以记作向东运动－5米，故错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查正负数的意义，掌握正负数的意义是解题的关键．
2．（2021·云南昆明市·九年级二模）2020年一季度，受新冠肺炎疫情影响，云南省外贸进出口总值466.5
亿元，较上年同期下降6.3%．2021年一季度，云南省外贸进出口总值达742.1亿元，同比增长59.7%．若
下降6.3%，记作 ，则增长59.7%应记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正数和负数的意义解答即可．
【详解】解：增长59.7%应记作 ，故选：A．
【点睛】本题考查正数和负数的意义，理解正数和负数可以表示相反意义的量是解答的关键．
3．（2020·北京初三一模）举出一个数字“ ”表示正负之间分界点的实际例子，如__________．
【答案】0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）
【分析】根据数学中0表示数的意义解答即可．
【解析】在实际中，数字“0”表示正负之间分界点，如：0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）．
故答案为：0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了正数和负数的意义，熟练掌握既不是正数，也不是负数的0的意义是解本题的关键．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3．（2021·湖北宜昌市·中考真题）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山
峰，每登高 气温的变化量为 ，攀登 后，气温下降__________ ．
【答案】12
【分析】根据题意知，气温变化量为 乘以攀登高度，即可求解．
【详解】根据 “每登高 气温的变化量为 ”知：
攀登 后,气温变化量为：
降为负：所以下降12 故答案为：12．
【点睛】本题考查了分析信息的能力，正负数的意义，有理数的计算，根据题意分析得出变化量，再结合
正负数的意义是解题的关键．
4．（2021·四川成都市·七年级期末）大米包装袋上有 的标识，则下面几袋大米重量合格的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正负数的意义求出质量合格的取值范围，然后判断即可．
【详解】解：∵10-0.2=9.8，10+0.2=10.2，∴质量合格的取值范围是9.8kg～10.2kg．
所以，四个选项中只有10.2kg合格．故选：C．
【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有
相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
5．（2022·辽宁沈阳市·七年级期中）以下的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若表
中给出的是国外四个城市与北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（ ）
城市 纽约 悉尼 伦敦 罗马时差/h ﹣13 +2 ﹣8 ﹣7
A．纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京 B．罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约
C．伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼 D．北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约
【答案】A
【分析】根据纽约、悉尼、伦敦、罗马与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可．
【详解】由表格，可知悉尼比北京时差为+2，所以北京时间是16点或18点，推理可得北京时间是16点，
则纽约时间为16﹣13＝3点，悉尼时间16+2＝18点，伦敦时间16﹣8＝8点，罗马时间16﹣7＝9点，
由钟表显示的时间可得对应城市为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京；
故答案为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京．故选：A．
【点睛】本题考查正负数的应用，熟练掌握正负数的意义是解题关键 ．
6．（2022·渠县七年级月考）一次体育课，老师对七年级男生进行了100米赛跑的测试，以跑13秒为标准，
超过标准时间用正数表示，不足标准时间用负数表示，第一小组8人的成绩如下：+0.2，－0.3，-0.4，0，
0.1，－0.1，－0.5，1．
（1）这8名同学实际各跑了多长时间？ （2）这个小组的达标率是多少？
【答案】（1）这8名同学实际各跑了分别为：13.2秒，12.7秒，12.6秒，13秒，13.1秒，12.9秒，12.5秒，
14秒；（2）62.5%
【分析】（1）根据已知条件直接列出算式即可．
（2）根据（1）即可知达标人数，然后用达标人数除以总人数即可．
【详解】（1）根据题意13+0.2=13.2（秒）、13-0.3=12.7（秒）、13-0.4=12.6（秒）、13+0=13（秒）、
13+0.1=13.1（秒）、13-0.1=12.9（秒）、13-0.5=12.5（秒）、13+1=14（秒）．
这8名同学实际各跑了分别为：13.2秒，12.7秒，12.6秒， 13秒， 13.1秒， 12.9秒， 12.5秒，14秒．
（2）根据（1）可知有5人达标，所以达标率为：5÷8=0.625=62.5%．、
【点睛】本题考察了正数和负数，解题关键是理解“正”、 “负”的相对性， “正”代表超出标准时间，
“负”则相反为不足标准时间．
题型2 有理数的相关概念
【方法点拨】解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念，如①整数和分数统称为有理数；②正有理数、
0和负有理数亦可称为有理数；③只有符号不同的两个数叫做互为相反数；④在数轴上原点的两旁，离开
原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；⑤数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝
对值；⑥一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.1．（2021射洪县射洪中学外国语实验学校七年级月考）下列说法正确的是（ ）
A．正数和负数统称为有理数 B．正整数包括自然数和零
C．零是最小的整数 D．非负数包括零和正数
【答案】D
【分析】按照有理数的分类进行选择．
【详解】解：A、正数、负数和零统称为有理数；故本选项错误；
2．（2021·河南省初一期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就
是正数；④ 不仅是有理数，而且是分数；⑤ 是无限不循环小数，所以不是有理数；⑥无限小数不
都是有理数；⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
【答案】C
【分析】根据有理数的定义和分类，分别进行判断，即可得到答案．
【解析】解：①没有最小的整数，故错误；②有理数包括正数、0和负数，故错误；
③非负数就是正数和0，故错误；④ 是无理数，故错误；
⑤ 是无限循环小数，是有理数，故错误；⑥无限小数不都是有理数是正确的，正确；
⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数是正确的．故其中错误的说法的个数为5个．故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的
定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
3.（2021•赵县期中）下列说法中，不正确的是（ ）
符号不同的两个数互为相反数； 所有有理数都能用数轴上的点表示
①绝对值等于它本身的数是正数；②两数相加和一定大于任何一个加数
③有理数可分为正数和负数 ④
⑤A． B． C． D．
【分①析②】根③据⑤有理数的加法、③相④反数、绝对值判断即①可③．④⑤ ①④⑤
【答案】解： 只有符号不同的两个数互为相反数，错误；
所有有理数①都能用数轴上的点表示，正确；
②绝对值等于它本身的数是非负数，错误；
③两数相加和不一定大于任何一个加数，错误
④有理数可分为正数、0和负数，错误；故选：C．
⑤【点睛】此题考查有理数的加法，关键是根据有理数的加法、相反数、绝对值解答．
4.（2021•嵊州市期中）下列说法正确的个数为（ ）
（1）0是绝对值最小的有理数；（2）﹣1乘以任何数仍得这个数；（3）0除以任何数都等于0；
（4）数轴上原点两侧的数互为相反数；（5）一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数；
（6）一对相反数的平方也互为相反数
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】利用乘方的意义，乘法法则，倒数的性质计算，判断即可．
【答案】解：（1）0是绝对值最小的有理数，这个说法正确；
（2）﹣1乘以任何数仍得这个数，这个说法错误，例如﹣1乘以3得到﹣3；
（3）0除以任何数都等于0，这个说法错误，例如0除以0没有意义；
（4）数轴上原点两侧的数互为相反数，这个说法错误，例如﹣1和6是数轴上原点两侧的数，但不是互为
相反数；（5）一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数，这个说法错误，例如﹣1的平方是正数，
但是﹣1的立方也是﹣1，是负数；（6）一对相反数的平方也互为相反数，这个说法错误，例如﹣2和2互
为相反数，它们的平方就不互为相反数．则说法正确的个数为1个．故选：B．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5.（2021•日照期中）下列说法正确的是（ ）
任何一个有理数的平方都是正数 任何一个有理数的绝对值都是非负数
①如果一个有理数的倒数等于它本身，那么②这个数是1
③如果一个有理数的相反数等于它本身，那么这个数是0．
④A． B． C． D．
【分①析④】根据有理数的定义和②特③点，绝对值、相反数③的④定义及性质，对选项②进④行一一分析，排除错误答案．
【答案】解： 任何一个有理数的平方都不是负数，错误；
任何一个有①理数的绝对值都是非负数，正确；
②如果一个有理数的倒数等于它本身，那么这个数是1或﹣1，错误
③如果一个有理数的相反数等于它本身，那么这个数是0，正确；故选：D．
④【点睛】此题考查有理数问题，牢固掌握正数、负数、自然数、整数、倒数、正有理数、负有理数、非负
数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．6．（2021·山西省初一月考）数学活动课上，王老师把分别写有 ，5，-2，0， 的五张卡片分别发给
五位同学，王老师要求同学们按照卡片上数字的特征挑选2人或者3人表演节目．
（1）王老师先给同学们做了范例，他说手拿卡片上数字为整数的同学表演节目，请你选出表演节目的同
学；（2）如果让你来挑选，你会按什么数字特征来选择表演节目的同学？
【答案】（1）表演节目的同学是手上卡片分别写有-2，0，5的三位同学；（2）详见解析（答案不唯一）
【分析】（1）根据整数的定义即可确定是哪些同学表演节目；
（2）根据2人或者3人表演节目的要求确定数字的分类标准即可.答案不唯一.
【解析】解：（1）整数有5，-2，0，
所以表演节目的同学是手上卡片分别写有5，-2，0的三位同学，即 三位同学．
（2）（答案不唯一）
例如：请卡片上数字为分数的同学表演节目，这样就是A、E两位同学表演节目；
或者卡片上数字为负数的同学表演节目，这样就是A、C两位同学表演节目.
【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类标准是解题关键.有理数分为整数和分数，也可以分
为正有理数、负有理数、0；正有理数可分为正整数和正分数，负有理数可分为负整数和负分数.
B、零既不是正整数，也不是负整数；故本选项错误；
C、零是最小是自然数，负整数比零小；故本选项错误；
D、非负数包括零和正数；故本选项正确；故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的分类、正数和负数；注意0是整数，但不是最小的整数．
题型3 数集问题
性质：有理数的分类。 注：数集关系中有包含关系时，数的分类不可重复
解题技巧：此类题型是有理数分类题型的拓展，一般用框图表示数据分类的集合关系，多会出现有重合甚
至包含逻辑的框图。此时，先填写有重合和被包含部分的框图，再填写单一框图部分的数据。
1．（2021·宁夏银川市·七年级期末）在0，3，－2，－3.6这四个数中，是负整数的为___．
【答案】－2
【分析】根据有理数的分类判断即可．
【详解】0既不是正数，也不是负数；3是正整数；－2是负整数；－3.6是负分数；故填：－2．
【点睛】本题考查有理数的分类，属于基础题型．2．（2021·江苏镇江市·七年级期末）下列各数：﹣1， ，1.01001…（每两个1之间依次多一个0），0，
，3.14，其中有理数有_____个．
【答案】4．
【分析】根据有理数的定义逐一判断即可．
【详解】解：在所列实数中，有理数有﹣1、0、 、3.14，故答案为：4．
【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的概念是解题的关键．
3.（2021·重庆市璧山区正则中学七年级月考）把下列各数填在相应的集合里：
1， ， ，0.5， ， ， ，0，2014，20%，
正数集合： 负数集合：
整数集合： 正分数集合：
有理数集合：
【答案】 ， ， ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， ， ；
， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ，
【分析】根据有理数的分类进行解答的即可得解．
【详解】解：正数集合： 负数集合：
整数集合： 正分数集合：有理数集合：
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握各类数的概念、界定范围是解题的关键．
4.（2021•郫都区校级月考）把下列各数的序号填到相应的括号中：
2 21
①﹣0.3 ⋅ ；②3.1415；③﹣10；④0.28；⑤- ；⑥18；⑦0；⑧﹣2.3；⑨ ．
7 3
（1）整数集合：{ …}； （2）负数集合：{ …}；
（3）非正数集合：{ …}；（4）分数集合：{ …}；
（5）非负整数集合：{ …}．
【分析】根据正数、负数、整数及分数的定义，结合所给数据进行解答即可．
21
【解答】解：（1）整数集合：{﹣10；18；0， ⋯}；
3
2
（2）负数集合：{﹣0.3 ⋅ ；﹣10；- ；﹣2.3…}；
7
2
（3）非正数集合：{﹣0.3 ⋅ ；﹣10；- ；0；﹣2.3…}；
7
2
（4）分数集合：{﹣0.3 ⋅ ；3.1415；0.28；- ；﹣2.3…}；
7
21
（5）非负整数集合：{18；0， ⋯}．
3
故答案为：（1）③⑥⑦⑨；（2）①③⑤⑧；（3）①③⑤⑦⑧；（4）①②④⑤⑧；（5）⑥⑦⑨．
【点评】本题考查了有理数的知识，关键是掌握正数、负数、整数及分数的定义，属于基础题，比较简单．
5.（2021•合川区月考）将下列各数填在相应的集合内．
1 1
5， ，﹣3，-3 ，0，2010，﹣35，6.2，﹣1．
4 2
正数集合{ …}；负数集合{ …}；
自然数集合{ …}；整数集合{ …}；
分数集合{ …}；负分数集合{ …}；
非负数集合{ …}；非正整数集合{ …}；
【分析】根据正数、负数、自然数、整数、分数、负分数、非负数、非正整数的定义进行判断即可．
1 1
【解答】解：正数集合{5， ，2010，6.2…}；负数集合{﹣3，-3 ，﹣35，﹣1…}；
4 2
自然数集合{5，0，2010…}；整数集合{5，﹣3，0，2010，﹣35，﹣1…}；1 1 1
分数集合{ ，-3 ，6.2…}；负分数集合{-3 ⋯}；
4 2 2
1
非负数集合{5， ，0，2010，6.2…}；非正整数集合{﹣3，0，﹣35，﹣1…}．
4
1 1 1
故答案为：5， ，2010，6.2；﹣3，-3 ，﹣35，﹣1；5，0，2010；5，﹣3，0，2010，﹣35，﹣1；
4 2 4
1 1 1
，-3 ，6.2；-3 ；5， ，0，2010，6.2；﹣3，0，﹣35，﹣1．
2 2 4
【点评】本题主要考查了有理数的分类，解题时注意：整数和分数统称为有理数；整数包括正整数、0、
负整数；分数包括正分数、负分数．
3
6.（2021•官渡区校级月考）将有理数﹣1，0，20，﹣1.25，1 ，﹣12，5分类．
4
【分析】按照有理数的分类解答即可．
【解答】解：如图所示：
【点评】本题考查了有理数，熟记正数、负数、整数、分数的定义是解答本题的关键．
题型4 利用数轴求两点间距离
注：距离没有方向性，所以到某点的距离为a的点一般有两个
解题技巧：根据题干要求，先找出参考点位置；某点到参考点的距离为a，意味着这个点可以在参考点左
边距离为a的位置，也可在参考点右边距离为a的位置。因此，此类题型一般有多解情况，请注意。最后
根据画出的数轴，读出两点之间的距离。
1．（2021·四川广元市·九年级一模）在数轴上，点 ， 在原点 的两侧，分别表示数 ，2，将点 向右平移3个单位长度得到点 ．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【分析】根据CO=BO可得点C表示的数为±2，据此可得求得a的数值．
【详解】解：∵CO=BO，B点表示2，∴点C表示的数为±2，
∴a=-2-3=-5或a=2-3=-1，故选：C．
【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
2．（2021·江苏南通市·九年级一模）如图，如果数轴上 ， 两点之间的距离是 ，且点 在原点左侧，
那么点 表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数轴可读出A为2，A，B两点之间的距离是3，且点B在原点左侧，则2﹣3即可求出．
【详解】解：由图可知A为2，∵A，B两点之间的距离是3，且点B在原点左侧，
∴2﹣3＝﹣1，即B为﹣2．故选D．
【点睛】本题考查数轴的认识及有理数的减法，会根据数轴读出数字，并掌握有理数的减法是关键．
3．（2020·浙江台州市·七年级期中）已知，点A，B，C三点都在数轴上，点A在数轴上对应的数为2，且
，点C在点B的左侧，则点C在数轴对应的数为_______．
【答案】4或-6
【分析】分点B在A点左侧和右侧即可求得B点表示的数，再根据点C在B的左侧和BC之间的距离即可
求得C点表示的数．
【详解】解：∵A在数轴上对应的数为2， ∴B点表示的数为7或-3，
又∵ ，点C在点B的左侧，∴C点表示的数为4或-6．故答案为：4或-6．
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离．注意在数轴上到一个定点的距离是一个常数的点有两个，这两
个点关于这个定点对称．
4．（2021·湖南怀化市·中考真题）数轴上表示数5的点和原点的距离是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数轴上点的表示及几何意义可直接进行排除选项．
【详解】解：数轴上表示数5的点和原点的距离是 ；故选B．
【点睛】本题主要考查数轴上点的表示及几何意义，熟练掌握数轴上点的表示及几何意义是解题的关键．
5．（2021·浙江杭州市·七年级期末）数轴上有两点M、N，点M到点E的距离为2，点N到点E距离为
6，则M、N之间的距离为________．
【答案】8或4
【分析】分类讨论：E在线段MN上，E在线段MN的反向延长线上，根据线段的差，可得答案．
【详解】解：当E在线段MN上时，MN=ME+NE=2+6=8．
当E在线段MN的反向延长线上时，MN=NE-ME=6-2=4，
综上所述：MN=8或MN=4，故答案为：8或4．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，分类讨论是解题关键．
6．（2021·江苏初一课时练习）如图，将一刻度尺放在数轴上.
①若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为 1 和 5，则 1cm 对应数轴上的点表示的数
是 2；
②若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为 1 和 9，则 1cm 对应数轴上的点表示的数
是 3；
③若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为-2 和 2，则 1cm 对应数轴上的点表示的数
是-1；
④若刻度尺上 0cm 和 4 cm 对应数轴上的点表示的数分别为-1 和 1，则 1cm 对应数轴上的点表示的
数是-0.5. 上述结论中，所有正确结论的序号是 （ ）
A．①② B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】首先计算出两点之间的距离为几个单位长度，再除以刻度值的长度，可知每1cm表示的单位长度是多少，再根据0cm刻度对应的数判断1cm刻度对应的数即可.
【解析】①数1和5之间有4个单位长度，则每厘米表示4÷4=1个单位长度，0cm表示数1，则1cm表示
1+1=2.正确.
②数1和9之间有8个单位长度，则每厘米表示8÷4=2个单位长度，0cm表示数1，则1cm表示1+2=3.正
确.
③数-2和2之间有4个单位长度，则每厘米表示4÷4=1个单位长度，0cm表示数-2，则1cm表示-2+1=-1.正
确.
④数-1和1之间有2个单位长度，则每厘米表示2÷4=0.5个单位长度，0cm表示数-1，则1cm表
示-1+0.5=-0.5.正确.故答案为：D.
【点睛】本题考查了数轴上两点相对位置关系，本题注意每一个单位长度代表的是实际多少厘米，再根据
实际厘米数判断单位长度.
题型5 有理数的大小比较
解题技巧：（1）正数与正数比较，易于比较；（2）正数与负数比较，正数＞0＞负数；（3）负数与负数
比较，绝对值大的反而小；（4）如果要比较的数比较多，建议在数轴上将每个数表示出来，在数轴上，
从左至右，数值一次增大。当有字母时，且暂时无法理清大小关系，可以用特值法进行比较。
1．（2021·吉林白城市·七年级期末）比较大小： ________ ．
【答案】＜
【分析】两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】∵| |= = ，| |= ，而 ﹥ ，∴ ﹤ 故答案为：﹤．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较，熟记有理数大小比较的方法是解答本题的关键．
2．（2021·山东临沂市·九年级二模）在0，1， ，-1四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．1 C． D．-1
【答案】D
【分析】根据有理数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小）比较即可．
【详解】解： ， ， ，
在0，1， ， 四个数中，最小的数是 ．故选：D．
【点睛】本题考查了对有理数的大小比较法则的应用，用到的知识点是正数都大于0，负数都小于0，正数
大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．
3．（2020·山东省中考真题）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最
大的是（ ）
A．a B．b C．c D．无法确定
【答案】A
【分析】根据有理数大小比较方法，越靠近原点其绝对值越小，进而分析得出答案．
【解析】观察有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置可知，
这三个数中，实数a离原点最远，所以绝对值最大的是：a．故选：A．
【点睛】此题主要考查了绝对值的意义，以及有理数大小的比较，正确掌握绝对值的意义是解题关键．
4．（2021·江苏常州市·七年级月考）已知a、b在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b从小到大排
列正确的一组是（ ）
A．﹣a＜﹣b＜a＜b B．﹣b＜﹣a＜a＜b C．﹣b＜a＜b＜﹣a D．a＜﹣b＜b＜﹣a
【答案】D
【分析】根据相反数的几何意义将-a、-b表示在数轴上，继而可从小到大排列．
【详解】如图所示： ，
把a、b、﹣a、﹣b从小到大排列为：a＜﹣b＜b＜﹣a．故选：D．
【点睛】本题考查了数轴、有理数的大小比较，解答本题的关键是结合数轴求解．
5.（2021·河北沧州市·七年级期末）a，b是有理数，它们在数轴上的位置如图所示．把a，b，﹣a，﹣b按
照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 、 在数轴上的位置可得 、 在数轴上的位置，进而可得答案．
【详解】解：根据题意可得： 、 、 、 在数轴上的位置如图所示：
所以把 、 、 、 按照从小到大的顺序排列为： ．故选择：C．
【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较，属于常考题型，正确理解题意、掌握解答的方法是解题的
关键．
6．（2022·浙江·七年级期末） 表示 ， 两数中的最小者， 表示 ， 两数中的较大
者，如 ， ，则 是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“ 表示 ， 两数中的最小者， 表示 ， 两数中的较大者”，先确定
和 ，得到 ，再根据法则即可解答．
【详解】解：∵ ， ∴ = ， ，
∴ ，故选：A．
【点睛】本题主要考查了新定义中的有理数的大小比较，解题的关键是理解题中给出的运算法则．题型6 相反数的性质与求法
性质：a.除0外，一组相反数一定是一正一负。
b.一个数的相反数就是在这个数前面加一个负号（负号的意义就是表示相反量）。
c.一组相反数的和为0。
解题技巧：（1）此类题型多为利用相反数的性质求解含字母数的相反数。利用性质b，直接在这个数前面
添加“﹣”号，在利用多重符号化简的方法化简即可。（2）已知两个含有字母的数为相反数，利用性质
c，将两个数相加和为0，表示成方程的形式，直接解方程即可。
1．（2021·河北保定市·九年级一模）计算﹣1▢1＝0，则“▢”表示的运算符号是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【答案】A
【分析】首先分析 和1的关系，发现它们是互为相反数的关系，而运算结果为0，结合互为相反数的
和为零，可得填“+”．
【详解】∵ 和1互为相反数，∴ ，∴填“+”，故选：A．
【点睛】本题考查互为相反数的概念，解题关键是掌握互为相反数的概念．
2．（2022·贵州毕节·七年级期末）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】B
【分析】由于只有符号不同的两个数互为相反数，由此逐项判定即可．
【详解】解：A：-（+1）=-1和+（-1）=-1，不互为相反数，故不符合题意；
B：-（-1）=1和+（-1）=-1，互为相反数，故符合题意；
C： -（+1）=-1和-1不互为相反数，故不符合题意；
D：+（-1）=-1和-1不互为相反数，故不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查相反数，熟知相反数的定义是解题的关键．
3. （2021·河南安阳市·七年级期中） 的相反数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相反数的定义、去括号法则即可得．
【详解】 的相反数为 ，故选：C．【点睛】本题考查了相反数、去括号，熟记相反数的定义是解题关键．
4.（2021·广西贵港市·七年级期末）若a，b，c，m都是不为零的有理数，且 ，
，则b与c的关系是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．无法确定
【答案】A
【分析】由题可得 ，则可得到 与 的关系，即可得到答案．
【详解】 为不为零的有理数 ，
互为相反数故选：A．
【点睛】本题考查了代数式的换算，相反数的性质，熟练掌握是解题关键．
5．（2021·山东七年级月考）若 与 互为相反数，则 的值为________________．
【答案】4
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：由题意可得出， ，
∴ ∴ ．故答案为：4．
【点睛】本题考查的知识点是相反数的定义以及求代数式的值，利用已知条件得出 是解此题的
关键．
6．（2022·河北保定·七年级期末）若 与-3互为相反数，则m的值为______________．
【答案】2
【分析】根据互为相反数的两个数相加得0即可列式计算.
【详解】由题意得：m+1-3=0，
m=2，
故答案为：2.
【点睛】此题考查相反数的定义，掌握相反数两个数的和等于0.
题型7 由数求绝对值与由绝对值求数|a|
1)由数求绝对值： 一定为非负数，即
2)由绝对值求数
a.绝对值为0的数仅有1个，即0；绝对值为正数的数有2个，其互为相反数；绝对值为负的数不存在。
b.绝对值相等的两个数，可能相等，也可能互为相反数。（建议用数轴区分，可能会有多解）
1．（2022·四川成都市·成都七中七年级期中）若|5﹣x|＝1，则x＝_____．
【答案】4或6
【分析】根据绝对值的定义得到5﹣x＝±1，解方程即可得到结论．
【详解】解：∵|5﹣x|＝1，∴5﹣x＝1或5﹣x＝-1∴x＝4或6，故答案为：4或6．
【解答】本题考查了绝对值的意义和解一元一次方程等知识，将绝对值方程化为两个一元一次方程是解题
关键．
3．（2022·合肥市七年级月考）已知 ，且 ，则x=_______，y=_________．
【答案】
【分析】先根据绝对值运算可求出x、y的值，再根据 即可得．
【详解】 ， ，
又 ， ，故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了绝对值、有理数的大小比较法则，熟练掌握绝对值运算是解题关键．
4．（2022·全国初一课时练习）小麦做这样一道题“计算 ”、其中“□”是被墨水污染看不清的一个数，
他翻开后面的答案，得知该题计算结果是8，那么”□”表示的数是( )
A．5 B．-5 C．11 D．-5或11
【答案】D
【分析】根据绝对值的性质求得结果，采用排除法判定正确选项．
【解析】解：设”□”表示的数是x，则|（-3）+x|=8，
∴-3+x=-8或-3+x=8，∴x=-5或11．故选D．
【点睛】本题考查了绝对值的运算,掌握:一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0
的绝对值是0．
5．（2022·湖北襄阳·七年级期末）已知|a|＝8，|a|>a，则a等于_________．
【答案】－8【分析】根据|a|＝8得到a=±8，再由|a|>a，知道a < 0，即可得解．
【详解】解：∵|a|＝8∴a=±8 又∵|a|>a∴a < 0∴a=－8故答案为：－8
【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的求法是解答本题的关键．
6.（2022·贵州黔东南·七年级期末）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程： ．
解：当 时，原方程可化为 ，解得 ；
当 时，原方程可化为 ，解得 ．
所以原方程的解是 或 ．
(1)利用上述方法解方程： ．
(2)当 满足什么条件时，关于 的方程 ，①无解；②只有一个解；③有两个解．
【答案】(1) 或 (2)①当 无解时， ；②当 只有一个解时， ；当
有两个解时，
【分析】（1）根据绝对值的意义，去掉绝对值，然后化为一元一次方程即可求得；
（2）根据绝对值的意义，运用分类讨论进行解答．
(1)当3x-2≥0时，原方程可化为：3x-2=4，解得x=2；
当3x-2＜0时，原方程可化为：3x-2=-4，解得 ．
所以原方程的解是x=2或 ；
(2)解：∵|x-2|≥0，∴①当b-1＜0，即b＜1时，方程无解；
②当b-1=0，即b=1时，方程只有一个解；
③当b-1＞0，即b＞1时，方程有两个解．
【点睛】此题考查了绝对值方程，正确理解绝对值的意义是解答本题的关键，一个正数的绝对值等于它的
本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．
题型8 绝对值非负性的应用
性质： ，即非负性，注：a为任意实数解题技巧：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，
即若|a|+|b|=0，则|a|=0且|b|=0．
1.（2021·黑龙江大庆市·九年级一模）若 与 互为相反数，则 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．5 D．-5
【答案】B
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后相加即可的
解．
【详解】解：∵ 与 互为相反数，∴ + ＝0，
∴ ， ，解得： ， ，∴ 故选：B
【点睛】本题考查了相反数的性质和非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
2.（2022·浙江初一课时练习）若|x＋1|＋|y－2|＝0，则x－y＝________．
【答案】－3
【解析】由|x+1|+|y﹣2|=0，得
x+1=0，y﹣2=0，解得x=﹣1，y=2．
x﹣y=﹣1﹣2=﹣1+（﹣2）=﹣3，故答案为﹣3．
点睛：本题利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．
1
3.（2022•达孜区期末）已知|x﹣4|+|5﹣y|＝0，则 （x+y）的值为 ．
2
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣4＝0，5﹣y＝0，解得x＝4，y＝5，
1 1 9 9
所以， （x+y）= ×（4+5）= ，故答案为： ．
2 2 2 2
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
4.（2021•江岸区校级月考）若|2x﹣4|与|y﹣3|互为相反数，求3x﹣y的值．
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代
入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，|2x﹣4|+|y﹣3|＝0，所以，2x﹣4＝0，y﹣3＝0，解得x＝2，y＝3，
则3x﹣y＝3×2﹣3＝3．
【点评】本题考查了非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题的关键．5．（2021·广东茂名市·七年级期末）若 ，则 的值为______．
【答案】4
【分析】先利用绝对值的非负性求出x、y的值，代入求解即可．
【详解】∵ ，∴ ， ，
∴ ．故答案为：4．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性．
6．（2022·河北唐山·七年级期末）已知 ，则 的值为（）
A．2019 B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据非负数的性质得出关于a，b的方程，然后求出a，b的值，最后代入数据计算即可．
【详解】解：∵
∴a+3=0，b-2=0，∴ ，b=2，
∴ ．故选：C．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．正确掌握非负数的性质是
解题的关键．
题型9 有理数加减法乘除再认识
解题技巧：该类题型的实质是有理数加减乘除法的计算，通过理解题干条件，利用有理数加减乘除法运算
规律逐一判别即可。
a b
1．（2021·四川射洪县七年级月考）如果 、 是有理数，则下列各式子成立的是（ ）
a0 b0 ab0 a 0 b0 ab0
A．如果 ， ，那么 B．如果 ， ，那么
a  b
C．如果 a 0 ，b0，那么 ab0 D．如果a0， b0 ，且 ，那么 ab0
【答案】D
【分析】利用有理数的加法法则判断即可得到结果．a  b
【详解】解：A、如果a0，b0，且 ，那么 ab0 ，故错误；
a  b
B、如果 a 0 ，b0，且 ，那么 ab0 ，故错误；
a  b
C、如果 a 0 ，b0，且 ，那么 ab0 ，故错误；
a  b
D、如果a0， b0 ，且 ，那么 ab0 ，故正确；故选：D．
【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
a b
2．（2022·长沙市开福区七年级月考）在数轴上有 、 两个有理数的对应点，则下列结论中，正确的是
（ ）
a
0
A．ab0 B．ab0 C．ab0 D．b
【答案】C
【分析】根据数轴上的位置判断a、b两个有理数的正负和绝对值大小即可．
a  b
【详解】解：根据数轴可知，a＜0， b ＞0， ，
a
0
∴ab0，ab0，b ，ab0，∴A、B、D错误，C正确;故选：C．
【点睛】本题考查了数轴上表示数和有理数的运算，解题关键是通过数轴确定两个有理数的正负和绝对值
大小．
3．（2021·北京二中七年级期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（ ）
b  a 0
ab0 ab0 ba0
A． B． C． D．
【答案】D
b  a
b0a
【分析】根据数轴上点的位置可得 ，且 ，然后利用有理数的加减法及乘法计算法则进行
判断求解．b  a
【详解】解：由题意可得： b0a ，且 ∴ ab0，故选项A不符合题意；
b  a 0
ab0 ba0
，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，正确故选：D．
【点睛】本题考查利用数轴比较数的大小及有理数的加减法及乘法运算，利用数形结合思想解题是关键．
a,b
4．（2022·吉林白城市·七年级期末）已知数 在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是
（ ）
ab0 ab0 b10 ab0
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数轴得出a＜0＜b，|a|＞|b|，再根据有理数的加法、减法、乘法法则进行判断即可．
ab0
【详解】解：从数轴可知：a＜0＜b，|a|＞|b|，A、 ，故此选项不符合；
ab0 b1与0
B、 ，故此选项不符合；C、不能确定 的大小关系，故此选项不符合；
ab0
D、 ，故此选项符合；故选：D．
【点睛】本题考查了数轴，有理数的大小比较，有理数的加法、减法、乘法法则的应用，主要考查学生对
法则的理解能力，难度不是很大．
m 2 n 5 mn nm
mn
5．（2022·广东省初一期中）已知 , ,且 ,则 的值是（ ）
A．7 B．3 C．―3或－7 D．3或7
【答案】D
【分析】首先根据绝对值的性质可得m＝±2，n＝±5，再根据|m−n|＝n−m，可得n＞m，进而确定出m、n
的值，再计算出答案．
m 2 n 5 mn nm
【解析】∵ ，∴m=±2， ∵ ，∴n=±5， ∵ ， ∴m<n，
mn
∴当m=2，n=5，则 =2+5=7，
mn
当m=-2，n=5，则 =-2+5=3，故选：D.
【点睛】此题主要考查了有理数的加法和绝对值，关键是掌握绝对值的性质，互为相反数的两个数绝对值
相等．6．（2021·河西区·天津实验中学七年级期末）如图，有理数a，b，c，d在数轴上的对应点分别是A，B，
bd 5 ac
C，D，若 ，则 （ ）
A．大于5 B．小于5 C．等于5 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据数轴，判断出数轴上的点表示的数的大小，进而可得结论
【详解】解：由数轴可得，a＞d，c＞b，∴a+c＞b+d
∵b+d=5∴a+c＞5故选：A
【点睛】本题考查数轴、有理数加法法则以及有理数的大小比较，属于中等题型．
题型10 有理数加、减法运算的实际应用
解题技巧：与利用正负数求平均数方法类似。（1）选择合适的标准数，超过标准数的记为正数，不足的
记为负数；（2）对处理后的正负数进行加法运算；（3）最后还需要将处理后的正负数还原为实际数。
（4）根据题意列出算式；（5）进行有理数加减法运算，可利用运算律进行简算；（6）比较结果，得出
结论。
1．（2021·北京九年级一模）中国人最先使用负数，数学家刘徽在“正负数”的注文中指出，可将算筹
（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘微的这种表示法，图①表示算式
110
，则图②表示算式__________．
321
【答案】
32
【分析】根据题意列出算式 ，利用有理数加法法则计算可得．
321 321
【详解】解：根据题意知，图②表示的算式为 ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查数学常识，正数与负数，解题的关键是理解正负数的表示，列出算式，并熟练掌握有理数的加法法则．
(3.5)(2.5)
2．（2022·浙江杭州市·七年级期末）记运入仓库的大米吨数为正，则 表示（ ）
A．先运入大米3.5吨，后运入大米2.5吨 B．先运出大米3.5吨，后运入大米2.5吨
C．先运入大米3.5吨，后运出大米2.5吨 D．先运出大米3.5吨，后运出大米2.5吨
【答案】C
【分析】先理解“正”和“负”的相对性，得到运入和运出分别记作正和负，从而得到算式的意义．
【详解】解：∵运入仓库的大米吨数为正，则运出仓库的大米吨数为负，
(3.5)(2.5)
∴ 表示：先运入大米3.5吨，后运出大米2.5吨，故选：C．
【点睛】此题考查正数和负数问题，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的
量．
3．（2021·贵州铜仁市·九年级月考）两小朋友在玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩
着两人发现：当楼梯的台级数为一级、二级、三级、…逐步增加时，楼梯的上法依次为：1，2，3，5，
8，13，21，…（这就是著名的斐波拉契数列），请你认真观察这一列数规律，探究一下，上11级台阶共
有_____种上法．
【答案】144
【分析】根据斐波那契数列的特点：数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和，可知：上第8级台阶
以及9，10，11台阶楼梯的上法．
【详解】解：由题意，可得：第8个台阶有13+21＝34种上法，
第9个台阶有34+21＝55种上法，第10个台阶有55+34＝89种上法，
因此上这11级台阶共有89+55＝144种上法．故答案为：144．
【点睛】此题考查了数字规律类问题，认真分析数字的变化规律并准确求解是解题的关键．
4．（2021·江苏镇江市·七年级期末）我市某日的最高温度是7℃，最低温度是﹣1℃，则当天的最高温度比
最低温度高_____℃．
【答案】8．
【分析】根据有理数的性质即可列式求解．
【详解】解：由题意可得：7﹣（﹣1），＝7+1，＝8（℃）．故答案为：8．
【点睛】此题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是熟知有理数的性质
5．（2022·河北省初一期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早
晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，-9，8，-7，13，-6，12，-5．
（1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？
0.5 28
（2）若冲锋舟每千米耗油 升，邮箱容量为 升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
【答案】(1) B地在A地的东边20千米；(2)冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油；
【分析】（1）根据有理数的加法，可得和，再根据向东为正，和的符号，可判定方向；
（2）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据耗油量与已有的油量，可得答案；（3）根据有理数的加法，
可得每次的距离，再根据有理数的大小比较，可得最远．
【解析】 (1)∵14−9+8−7+13−6+12−5=20，答：B地在A地的东边20千米；
(2)这一天走的总路程为：14+|−9|+8+|−7|+13+|−6|+12|+|−5|=74千米，应耗油74×0.5=37(升)，
故还需补充的油量为：37−28=9(升)，答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油；
【点睛】考查了正数与负数，掌握有理数的加法运算是解题的关键.
6．（2021·成都市棕北中学七年级期中）在2020年抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满汽油后沿东西方
向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单
位：千米）：+15，﹣8，+9，﹣6，+14，﹣5，+13，﹣10．
（1）B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远时，距A地多少千米？
【答案】（1）B地在A地的东边22千米；（2）还需补充18升汽油；（3）距A地32千米
【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数，则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A
地的西方；（2）先求出这一天航行的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需
补充的油量；（3）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可．
【详解】解：（1）∵15﹣8+9﹣6+14﹣5+13﹣10＝22，∴B地在A地的东边22千米；
（2）这一天走的总路程为：15+|﹣8|+9+|﹣6|+14+|﹣5|+13|+|﹣10|＝80千米，
应耗油80×0.6＝48（升），故还需补充的油量为：48﹣30＝18（升），
答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充18升油；
（3）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：15千米；15﹣8＝7千米；7+9＝16千米；16﹣6＝10千米；
10+14＝24千米；24﹣5＝19千米；19+13＝32千米；32﹣10＝22千米．
∴冲锋舟离出发点A最远时，距A地32千米．
【点睛】本题考查的是正数与负数的定义，解答此题的关键是熟知用正负数表示两种具有相反意义的量，
注意所走总路程一定是绝对值的和．题型11. 有理数的乘除法在实际问题中的应用
解题技巧：（1）根据题意列出算式；（2）进行有理数乘除法运算，可利用运算律进行简算；（3）比较
结果，得出结论。对原本无数量关系的问题巧妙的赋某些特定值，将其转化成数量问题，然后通过对整数
的正负号进行讨论，使问题得到解决。用赋值法解决此类问题时，关键是对操作过程中的某一个量进行赋
值（通常为±1），通过对操作过程的量化，讨论理数正负号变化规律，最终求解出具体问题。
1．（2021·山西临汾·七年级期中）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．天干地支
纪年法共有十天干与十二地支，具体情况如下表.其算法是：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12
的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．
2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是________年．（用天干地支纪年法
表示）
天
甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
干
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
地
子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戊 亥
支
1 1
4 5 6 7 8 9 11 1 2 3
0 2
【答案】辛丑
【分析】由题意信息可得：结合2021年年份的尾数是1，尾数1为辛， 的余数为5，5为丑，从
而可得答案.
【详解】解：由题意得：2021年年份的尾数是1，而尾数1为辛，
的余数为5，5为丑，所以2021年是辛丑年.故答案为：辛丑.
【点睛】本题考查的有理数除法的应用，属于阅读理解类型题，正确理解题意是解题的关键.
2.（2022·四川成都·七年级期末）元旦节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一次购物不超过200
元，则不予折扣；若一次购物超过200元不超过500元，则按标价给予八折优惠：若一次购物超过500元，
其中500元按上述八折优惠外，超过500元的部分给予七折优惠．小明的妈妈两次购物分别付款192元和
384元，如果她合起来一次性购买同样多的商品，那么她可以节约______元．
【答案】55.6或22##22或55.6
【分析】根据题意分类讨论，分别求得两次购物标价，进而根据优惠方案求解即可．
【详解】解：付款192的商品如果按规定：每一次购物不超过200元，则不予折扣付款，则商品的标价为192元；付款192的商品如果按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予八折优惠付款，
则标价为192÷0.8=240元；
由500×0.8=400，所以付款384的商品没有超过 元，则按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，
按标价给予八折优惠付款，则商品的标价为384÷0.8=480元，
所以某人两次购物分别付款192元和384元的商品的总标价为192+480=672（元）或240+480=720（元），
当他合起来一次购买同样的商品时，可按规定：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠之外，
超过500元部分给予七折优惠进行付款．
总标价为672元应实际付款数=500×0.8+（672-500）×0.7=520.4（元），
则他可节约（192+384）-520.4=55.6（元）；
总标价为720元应实际付款数=500×0.8+（720-500）×0.7=554（元），
则他可节约（192+384）-554=22（元）．
故答案为：55.6或22．
【点睛】本题考查了有理数运算的应用，分别求得两次购物标价是解题的关键．
3．（2022四川成都市·麓山师大一中七年级月考）在学习了有理数的混合运算后，小明和小刚玩算“24
点”游戏游戏规则：从一副扑克牌（去掉大，小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算
（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或－24．其中红色扑克牌代表负数，
黑色扑克代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13．小明抽到的四张牌分别是黑桃1，黑桃3，梅花4，梅
6(134)24
花6（都是黑色扑克牌），小明凑成的等式为 ，小亮抽到的四张牌分别是红桃5、黑桃
5、方块5、梅花1，请写出小亮凑成的“24点”等式_______．
5515 24 551524
【答案】   或 任选一个
【分析】利用“24点”游戏规则列出等式即可．
【详解】根据题意，红桃5表示－5黑桃5表示5方块5表示－5，梅花1表示1，
5515 24 551524
则可列式为   ， ．
5515 24 551524
故答案为   或 任选一个 ．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解本题的关键．
4.（2021·浙江杭州市·七年级期中）小王和小李两人在进行100米跑训练，小王说：“我跑到终点时，你离
终点还有20米”，小李说：“我跑到终点时，你才比我快了2.5秒”．
（1）求小王和小李的速度．（2）若小李从起点先跑2秒后小王再开始跑，求小王起跑后几秒追上小李．
（3）若小李从起点起跑，小王在起点后20米同时起跑，小王在起跑时不慎摔了一跤，爬起来后继续按原
速度跑，在跑的过程中发现某一时刻两人相距只有2米，求小王摔倒最多耽搁几秒时间？
【答案】（1）小李的速度为8米/秒，小王的速度为10米/秒；（2）8秒；（3）3秒
【分析】（1）利用20÷2.5可得小李的速度，从而得到小王的时间，再利用路程除以该时间可得小王的速
度；
（2）利用路程÷速度差=追上小李的时间可列式计算；
（3）根据题意可得该时间的路程差，再除以速度差可得时间，从而计算耽搁的时间．
【详解】解：（1）20÷2.5=8米/秒，∴小李的速度为8米/秒，
100÷8=12.5秒，100÷（12.5-2.5）=10米/秒，∴小王的速度为：10米/秒；
（2）8×2÷（10-8）=8秒，∴小王起跑后8秒追上小李；
（3）（20-2）÷（10-8）=9秒，120÷10-9=3秒，∴最多耽搁3秒．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是读懂题意，掌握行程问题的计算公式的
应用．
5．（2021·吉林·长春市第八十七中学七年级期末）大商超市对顾客实行优惠购物，优惠规定如下：
A如果一次性购物在500元以内，按标价给予九折优惠；
B如果一次性购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．
（1）李叔叔在该超市购买了一台标价为780元的洗衣机，他应付多少元钱？
（2）王阿姨先后两次去该超市购物，分别付款198元和554元，如果王阿姨一次性购买，只需要付款多少
元？能节省多少元？
【答案】（1）他应付钱674元；（2）王阿姨一次性购买，只需要付款730元，能节省22元．
【分析】（1）根据780元＞500元，分两部分计算500元九折+超过部分八折计算即可；
（2）先求出两次构买物品的标价，将两次物品标价求和，再按一次性购物计算500元九折+超过部分八折，
再计算王阿姨两次购物付款总和-一次性付款即可．
【详解】解：（1）∵李叔叔在该超市购买了一台标价为780元的洗衣机，780元＞500元，
∴他应付钱为：500×0.9+（780-500）×0.8=450+224=674元；
（2）王阿姨第一次去该超市购物付款198元，该物品标价为198÷0.9=220元，
第二次去该超市购物付款554元，554-450=104，450÷0.9+104÷0.8=500+130=630元，
两次购物标价为220+630=850元，
∴王阿姨应付钱为：500×0.9+（850-500）×0.8=450+280=730元，
198+554-730=22元，王阿姨一次性购买，只需要付款730元，能节省22元．【点睛】本题考查商品打折问题，掌握分类计算标准和计算方法是解题关键．
6．（2021·浙江台州市·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫
升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20
分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．
（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．
【答案】（1）输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）小华从输液开始到结束所需的时间为60
分钟．
【分析】（1）先求出每分钟输液多少毫升，进而即可求解；
（2）先求出输液10分钟时调整后的药液流速，进而即可求解．
【详解】（1）解：75÷15=5（毫升/分钟），
250-5×10=200（毫升），
答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；
（2）（200-160）÷10=4（毫升/分钟），
160÷4+20=60（分钟），
答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．
【点睛】本题主要考查有理数运算的实际应用，明确时间，流速，输液量三者之间的数量关系，是解题的
关键．
题型12 新定义运算
解题技巧：该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则，我们只需要照定义的运算规则，将题干写成有
理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法则求解最终答案。
x 5.81.5
x
1．（2022·北京十二中初一期中）设 表示不超过 的最大整数，计算 _______.
【答案】3
【分析】根据题目所给的信息，分别计算[5.8]、[-1.5]的值，然后求解．【解析】由题意得，[5.8]=5，[-1.5]=-2，则[5.8]+[-1.5]=5-2=3．故答案为：3．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，解答本题的关键是读懂题目所给的信息，分别计算[2.7]、[-4.5]的值．
2．（2021·湖北省初一期中）把夏禹时代的“洛书”用现代数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，其实际
数学意义就是它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中a的值是 （ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】C
【分析】根据三阶幻方的特点，可得三阶幻方的和，根据三阶幻方的和，可得a、b的值，根据有理数的加
法，可得答案．
【解析】设中心数为x，根据题意得，6+x+16=4+x+a，∴a=18，故选：C．
【点睛】此题考查有理数的加法，解题的关键利用中心数求幻和，再由幻和与已知数求得a、b，最后是有
理数的加法．
1 1
aba(  )
3．（2021·沈阳市第一二六中学初一月考）定义新运算：对有理数a、b，有 a b ，如
1 1 1
343(  )
(2)5
3 4 4 ，那么 的值是（ ）
3 3 7
7
- 
A． 5 B．5 C． 5 D．5
【答案】D
【分析】根据新定义列出算式，再利用乘法分配律计算即可．
1 1 2 7
   
【解析】（﹣2）⊗5=﹣2×（ 2 5）=1 5 5 ．故选D．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．
4．（2022·广西百色市·七年级期中）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都
能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上
还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：
5311628242221 m m
，如果正整数 最少经过6步运算可得到1，则 的值为
（ ）
A．10 B．32 C．64 D．10或64
【答案】D
【分析】利用第六步为1出发，按照规则，逆向逐项即可求出m的所有可能的取值．
【详解】如果正整数m按照上述规则施行变换后的第六步为1，
则变换中的第五步一定是2，变换中的第四步一定是4；变换中的第三步一定是8；
m
变换中的第二步一定是16，变换中的第一步可能是5或32则 的值为10或64，故选择：D．
【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，利用变换规则，进行逆向验证是解决本题的关键，考查学生的推
理能力．
n! 123 n 123 1995
 
5．（2020·四川省内江市第六中学七年级期中）用 表示 ，例1995！=
，那么1!2!3!

2020!的个位数字是_____________．
【答案】3
【分析】先分别求出1!，2!，3!，4!，5!，6!的值，再归纳类推出规律，由此即可得．
【详解】1!1，2!122，3!1236，4!123424，
5!12345120，6!1234565!6720，
5!,6!,  ,n! n5
由此可知， 的个位数字都是0（其中， 且为整数），
则1!2!3!

2020!的个位数字与1!2!3!4!的个位数字相同，
1!2!3!4!1262433
因为 ，其个位数字是3，
所以1!2!3!

2020!的个位数字是3，故答案为：3．
【点睛】本题考查了有理数乘法的应用，正确发现运算的规律是解题关键．
32 543 6543
  
6．（2022·浙江金华市·七年级开学考试）已知：C2 12 =3，C3 123 =10，C4 1234
3 5 6C3
=15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算： 4 =___．
【答案】4
m(m1)(m2)(mn1)
Cn

【分析】根据 m n(n1)(n2)1 计算可得．
432
C3

【详解】解： 4 321=4，故答案为：4．
【点睛】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是根据已知等式得出计算公式．
7．（2022·北京海淀区·七年级期中）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，
小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则
这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如
2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
（1）2020属于 类（填A，B或C）；
（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于 类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加
起来，则最后的结果属于 类（填A，B或C）；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C
类，则下列关于m，n的叙述中正确的是 （填序号）．
①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类．
【答案】（1）A；（2）①B；②B；（3）①④
【分析】（1）计算2020÷3，根据计算结果即可求解；（2）①从A类数中任取两个数进行计算，即可求解；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余
数相加，再除以3，根据余数判断即可求解；
（3）根据m，n的余数之和，举例，观察即可判断．
【详解】解：（1）2020÷3＝673…1，所以2020被3除余数为1，属于A类；故答案为：A；
（2）①从A类数中任取两个数，如：（1+4）÷3＝1…2，（4+7）÷3＝3…2，被3除余数为2，则它们的和
属于B类；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余
数相加，得（15×1+16×2+17×0）＝47÷3＝15…2，∴余数为2，属于B类；故答案为：①B；②B；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，余数之和为：m×1+n×2＝m+2n，∵最后的结果属于C类，∴m+2n能被3整除，即m+2n属于C类，①正确；
②若m＝1，n＝1，则|m﹣n|＝0，不属于B类，②错误；
③若m＝1，n＝1，③错误；
④观察可发现若m+2n属于C类，m，n必须是同一类，④正确；
综上，①④正确．故答案为：①④．
【点睛】本题考查了新定义的应用和有理数的除法，解题的关键是熟练掌握新定义进行解答．
题型13 有理数的简算
解题技巧：（1）有理数的简便运算一般运用加法（乘法）的运算律或减法（除法）的性质，达到简便运
算的目的。（2）利用乘方的运算性质 ，将可以凑整的部分先放在一起简化运算，再求凑
整后部分的乘方运算。
1．（2022·湖南广益实验中学）计算：0.252019×42020＝_____．
【答案】4
【分析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．
【详解】解：0.252019×42020＝0.252019×42019×4＝（0.25×4）2019×4＝12019×4＝4．故答案为：4．
【点睛】本题考查了积的乘方法则逆用，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键.积的乘方等于各因数乘
方的积，即(ab)m=ambm（m为正整数）. 特别注意运算过程中指数的变化规律,灵活运用法则的逆运算进行计
算,培养学生的逆向思维意识．
(0.25)2007(4)2008
2．（2021·江苏苏州市·七年级月考）计算 等于（ ）．
A．1 B．1 C．4 D．4
【答案】C
【分析】原式利用同底数幂的乘法，以及积的乘方逆运算法则变形，计算即可得到结果．
【详解】解：原式=（0.25×4）2007×（-4）=-4．故选C．
【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2022·江苏无锡市·七年级月考）阅读第（1）小题的计算方法，再用这种方法计算第（2）小题．
5  2 3  1
5  9 17  3
   
（1）计算： 6  3 4  2
（解析）  5   2  3   1
5   9   17  3 
          
原式=   6   3  4   2
 5  2 3  1
59173      
       
=  6  3 4  2
 1
0 1
 
=  4
1
1
= 4 ，
上面这种解题方法叫做拆项法．
 5  2 2  1
2000  1999 4000  1
     
（2）计算： 6  3 3  2
1
【答案】1 ．
3
【分析】先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可
得．
  5   2  2   1
 2000   1999   4000  1 
          
【详解】原式   6   3  3   2 ，
 5  2 2  1
2000199940001      
       
 6  3 3  2 ，
 1
0 1
 
 3，
1
1
3．
【点睛】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键．
4．（2022·安岳县石羊镇初级中学七年级月考）计算题
（1）5＋（－6）＋（＋3）＋（－4） （2）－3－4+19－101 1 1 3
1
3 1 1 1 3 0.253.754.5
（3）－2.4＋ 3＋（－ 6 ）＋（－1.6） （4） 2 4 4
2 1  1
 1  2 2.75
 
（5）|－3 | +（－5）－|－4| + 3 + |－（+5）| （6）5 2  4
11 3
9
  -
【答案】（1）-2；（2）2；（3） 6 ；（4） 2 ；（5）2；（6） 5
【分析】（1）按照有理数的加减混合运算计算法则进行计算；（2）按照有理数的加减混合运算计算法则
进行计算；（3）按照有理数的加减混合运算计算法则进行计算，使用加减交换律和结合律使得计算简便；
（4）按照有理数的加减混合运算计算法则进行计算，使用加减交换律和结合律使得计算简便；
（5）先化简绝对值，然后按照有理数的加减混合运算计算法则进行计算；
（6）先化简绝对值，然后按照有理数的加减混合运算计算法则进行计算；
【详解】解：（1）5＋（－6）＋（＋3）＋（－4）
5634
=
810
=
=2
（2）－3－4+19－10
=19-17
=2
1
1
3 1
（3）－2.4＋ 3＋（－ 6 ）＋（－1.6）
1
1
3 1
=（－2.4－1.6）＋（ 3－ 6 ）
1
2
=-4+ 6
11

= 61 1 3
1 1 3 0.253.754.5
（4） 2 4 4
1 1 1 1 3 3
(1 4 )+(1  )(3 3 )
= 2 2 4 4 4 4
1
31
= 2
9
=
2
（5）|－3 | +（－5）－|－4| + 3 + |－（+5）|
=3-5-4+3+5
=2
2 1  1
 1  2 2.75
 
（5）5 2  4
2 3 1 3
 +(2 +2 )
=5 2 4 4
2 3 1
 +
=5 2 2
2
1
=5
3
-
= 5
【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，掌握运算法则正确计算是解题关键
5．（2022·浙江七年级期中）先计算，再阅读材料，解决问题：
（1）计算： ．
（2）认真阅读材料，解决问题：计算： ．
分析：利用通分计算 的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算：
解：原式的倒数是：
．
故原式 ．
请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： ．
【答案】（1）8；（2）
【分析】（1）根据乘法分配律计算即可；（2）根据题目中所给的方法计算即可；
【详解】（1）计算： ；
（2）原式的倒数是： ，
，
故原式 ．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，准确计算是解题的关键．
6．（2022·全国七年级专题练习）计算：（1） ； （2） ．
【答案】(1) ；(2)
【分析】(1)将 拆分成 ，然后再使用乘法分配律与4相乘即可求解；
(2)逆用乘法分配律将 提取出来，然后按运算顺序进行计算即可．
【详解】解：(1)原式
(2)原式
．
【点睛】本题考查了有理数的四则运算，有理数的乘法分配律，熟练掌握有理数的乘法法则是解决本题的
关键．
7．（2022·四川省内江市第六中学七年级期中）观察下面算式的演算过程：
1 131 4 22 1 241 9 32
1    1   
13 13 13 13 24 24 24 24
1 351 16 42 1 461 25 52
1    1   
35 35 35 35 46 46 46 46
……
（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：1 1
1  1 
57 ______________． 68 ____________．
1
1 
2n(2n2) _________________．（n为正整数）
（2）根据规律计算：
1 1 1 1 1 1
(1 )(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )

13 24 35 46 98100 99101 ．
62 72 (2n1)2 200
【答案】（1）
57
，
68
，2n(2n2) ；（2）
101
．
【分析】（1）根据已知算式的演算过程即可得；
（2）根据（1）的结论，先将各括号进行转化，再计算有理数的乘法即可得．
1 571 36 62
1   
【详解】（1） 57 57 57 57，
1 681 49 72
1   
68 68 68 68，
1 2n(2n2)1 (2n1)2
1  
2n(2n2) 2n(2n2) 2n(2n2) ，
62 72 (2n1)2
故答案为：
57
，
68
，2n(2n2) ；
22 32 42 52 992 1002
      

（2）原式 13 24 35 46 98100 99101，
22324252 9921002


(1234 9899)(3456 100101) ，
 
22324252 9921002


121001013242 982992 ，
221002

12100101，
200
 ．
101
【点睛】本题考查了有理数乘方、乘法、加法的规律型问题，根据演算过程，正确发现规律是解题关键．
题型14 乘方的应用
解题技巧：（1）末尾数字问题：此类题型通常乘方运算种的幂比较大，且无简单计算方法，直接计算几
乎无法进行。但此类题型也并非需要求解出最终的结果，往往只需要求解这组数的末尾数字。因此，在解
这类时，我们只需要关注末位数字，通过多计算几组末尾数字，找出末尾数字的变化规律。最后依旧变化
规律，分析出最终结果。
（2）此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分
析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。
70 1 71 7 72 49 73 343 74 2401
1．（2021·山东潍坊市·七年级期末）观察下列等式： ， ， ， ， ，
75 16807 70 7172  72021

，…，根据其中的规律可得 的结果的个位数字是__________．
【答案】8
1,7,9,3 202245052
【分析】先根据已知等式发现个位数字是以 为一循环，再根据 即可得．
70 1 71 7 72 49 73 343 74 2401 75 16807
【详解】因为 ， ， ， ， ， ，…，
1,7,9,3 179320
所以个位数字是以 为一循环，且 ，
又因为202245052，505201710108，
70 7172  72021

所以 的结果的个位数字是8，故答案为：8．
【点睛】本题考查了有理数乘方的规律型问题，根据已知等式正确发现个位数字的变化规律是解题关键．
2．（2021·甘肃白银市·七年级期末）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝
128，28＝256，…用你所发现的规律得出22020的末位数字是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C【分析】观察算式可知：末位数字每4个算式是一个周期，用2020除以4，正好整除，即可求出22020的末
位数字．
【详解】解：由题意可知，末位数字每4个算式是一个周期，末位数字分别为2、4、8、6，
∵2020÷4＝505，∴22020的末位数字与24的末位数字相同，为6．故选：C．
【点睛】本题考查了数字的规律问题，根据题意找出末位数的规律是解答此题的关键．
3．（2021·四川省内江市第六中学七年级开学考试）定义一种关于整数 n 的“F ”运算：
n 3n5
（1）当 是奇数时，结果为 ；
n n
（2）当n是偶数时，结果是2k （其中k是使2k 是奇数的正整数），并且运算重复进行．
n58 F F F F
例如：取 ，第一次经 运算是29，第二次经 运算是92，第三次经 运算是23，第四次经 运
算是74；若n9，则第2017次运算结果是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
【答案】D
【分析】由题意所给的定义新运算可得当n9时，第一次经F 运算是32，第二次经F 运算是1，第三次
经F 运算是8，第四次经F 运算是1，由此规律可进行求解．
【详解】解：由题意n9时，第一次经F 运算是32，第二次经F 运算是1，第三次经F 运算是8，第四
次经F 运算是1；以后出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1，第2017次运算结果8，故选：D．
【点睛】本题主要考查有理数混合运算的应用，关键是从题中所给新运算得出数字的一般规律，然后可进
行求解．
4．（2021·西安同仁中学初三模拟）利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统，
图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为
a b c d a23b22 c21d20
， ， ， ，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为 .如图2第一
023122 021120 5
行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为 ，表示该生为5班学生.表示
6班学生的识别图案是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据班级序号的计算方法一一进行计算即可.
123 022 121020 10
【解析】A. 第一行数字从左到右依次为1，0，1，0,序号为 ，表示该生
023122 121020 6
为10班学生. B. 第一行数字从左到右依次为0，1， 1，0，序号为 ，表
123022 021120 9
示该生为6班学生. C. 第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为 ，
表示该生为9班学生. D. 第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为
023122 121120 7
，表示该生为7班学生. 故选B.
【点睛】属于新定义题目，读懂题目中班级序号的计算方法是解题的关键.
5．（2022·湖北黄石市·七年级月考）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0、1，将一个十进制数转
化为二进制，只需把该数写出若干2n数的和，依次写出1或0即可．如：
19 1621124 023 022 121110011
(10) (2)为二进制下的五位数．则十进制数1027
是二进制下的（ ）．
A．九位数 B．十位数 C．十一位数 D．十二位数
【答案】C
【分析】根据题意得211=2148，210=1024，根据规律可知最高位应是1×210，故可求共有11位数．
【详解】解：∵211=2148，210=1024，∴最高位应是1×210，故共有10+1=11位数．故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，此题只需分析是几位数，所以只需估计最高位是乘以2的几次方即可分析出共有几位数，此题也可以用除以2取余的方法写出对应的二进制的数．
6．（2022·湖北随州市·八年级期末）观察下列各式:
1+2=22-1
1+2+22=23-1,
1+2+22+23=24-1,
...
(1)请直接写出1+2+22+23+24=
1+2+22+23+24+25=_ ;
(2)根据(①)的规律,猜想1+2 +22 +...+2n=_ ， 并给出证明；
(3)设250=a,根据(2)中的结论，化简250+ 251+ 252+...+ 299+ 2100(用含a的式子表示).
【答案】（1）25- 1，26- 1；（2）2n+1-1，证明详见解析；（3）2a2- a
【分析】（1）根据上面的规律1+2+22+23+…+2n=2n+1-1直接写出答案即可；
（2）根据上面的规律1+2+22+23+…+2n=2n+1-1直接填空，证明时可设 S= 1+2+...+2n ①，则2=2+22+…
2n+2n+1②利用其加减进行证明；（3）根据（2）中的结论，求出1+2 +22 +...+249和1+2+…249+250.+…
+2100，即可求得结论.
【详解】（1）根据题意得：1+2+22+23+24=25- 1
1+2+22+23+24+25=26- 1 故答案为：25- 1；26- 1
（2）1+2 +22 +...+2n=2n+1-1 故答案为： 2n+1-1
证明：设 S= 1+2+...+2n ①，则2=2+22+…2n+2n+1②
②-①得：2S- S=2n+1- 1 ∴S=2n+1- 1即1+2+22+...+2n=2n+1- 1
（3）由（2）知1+2+…249+250.+…+2100=2101-1 ③
1+2+..+249=250-1 ④
③-④得：250+251+…+299+2100=2100-250=2100×2-250= (250)2×2- 250=2a2- a
【点睛】本题考查的是数的乘法及有理数的运算，能根据条件探索规律及整体思想的应用是解答的关键.
题型15 新定义运算（乘方）
【解题技巧】正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规
的有理数混合运算算式进行计算.
1．（2021·江苏省初一期中）已知 m≥2，n≥2，且 m、n 均为正整数，如果将 mn 进行如图所示的“分
解”，那么下列四个叙述中正确的有（ ）①在 25 的“分解”结果是 15和17两个数．②在 42 的“分解”结果中最大的数是9．
③若 m3 的“分解”结果中最小的数是 23，则 m＝5．④若 3n 的“分解”结果中最小的数是 79，则 n＝5．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
mn mn mn1m1
【分析】根据所给的例子的分解方法中找出 分解的规律,其中最小的数是 ,从而可判断
出②④正确.
251
【解析】①在25的“分解”中最大的数是 +1=17，所以这个叙述正确；
4314113
②在43的“分解”中最小的数是 ；所以这个正确；
③若53的“分解”中最小的数是21，所以这个叙述是错误的 ；
3n1
④若3n的“分解”中最小的数是 -2=79 ,解得n=5，故这个是正确的.
综上所述，共有两个正确的结论.故选C
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算和规律总结，仔细观察发现其中的规律是解题的关键.
a, b (a, b) ac b
2．（2022·涟水金城外国语学校初一期中）规定两数 之间的一种运算，记作 ：如果 ，
(a, b)c 23 8 (2，8)3
那么 ．例如：因为 ， 所以 ．
(5,125) (2，4) (2，8)
（1）根据上述规定，填空： __________， __________ ， =__________；
(3n,4n)(3,4)
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象： ，小明给出了如下的证明：
(3n,4n) x (3n)x 4n (3x)n 4n 3x 4 (3,4) x (3n,4n)(3,4)
设 ，则 ，即 ，所以 ，即 ，所以 ，
(3,4)(3,5)(3,20)
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：【答案】（1）3；2；3；（2）见解析
【分析】（1）分别计算左边与右边式子，即可做出判断；
（2）设（3，4）=x，（3，5）=y，根据同底数幂的乘法法则即可求解．
【解析】解：（1）53=125，（5，125）=3， （-2）2=4，（-2，4）=2，
（-2）3=-8，（-2，-8）=3， 故答案为：3；2；3；
（2）设（3，4）=x，（3，5）=y， 则3x=4，3y=5， ∴3x+y=3x•3y=20，
∴（3，20）=x+y，∴（3，4）+（3，5）=（3，20）．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．
3．（2021·全国七年级）请认真阅读下面材料，并解答下列问题．
如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：
logaN＝b．例如：
①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log 4＝2；
2
②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log 16＝2.
4
（1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：①62＝36；②43＝64；
（2）将下列对数式改为指数式：①log 25＝2；②log 27＝3；
5 3
（3）计算：log 32
2
【答案】（1）①log 36＝2；②log 64＝3；（2）①52＝25；②33＝27；（3）5
6 4
【分析】（1）根据题意可以把指数式写成对数式；（2）根据题意可以把对数式写成指数式；
（3）根据题目中提供的信息可以计算出式子的结果．
【详解】解：（1）①62＝36；对数式记作：log 36＝2；
6
②43＝64；对数式记作：log 64＝3；
4
（2）①log 25＝2；指数式为52＝25，②log 27＝3；指数式为33＝27；
5 3
（3）∵25＝32，log 32＝5.
2
【点睛】本题考查了对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对
数之间的关系与相互转化关系．
4．（2022·银川市第三中学初一期中）阅读理解与计算：
 a,b abb2 1 7442 117
（1）用“ ”定义新运算：对于任意有理数 ，都有 ．例如： ．则①
53 m
mm2
m,n
填空： ； ②当 为有理数时，求 的值； （2）已知 互为相反x,y a 1 a2 mn2012 xy2012
数， 互为倒数， ，试求 的值．
【答案】（1）①10；②26；（2）2
m  22 1  m552 1
【分析】（1）根据新定义运算法则可得：①5332+1；② ；
（2）根据互为相反数和互为倒数的两个数的关系，和绝对值定义可得：m+n=0,xy=1,a2=1，代入式子可得．
【解析】解：（1）根据新定义运算法则可得：
53
① 32+1=10，故答案为：10
m  22 1  m552 126
②
m,n x,y a 1
（2）因为 互为相反数， 互为倒数， ，
a2 mn2012 xy2012
所以m+n=0,xy=1,a2=1 所以 =1-0+1=2
【点睛】考核知识点：新定义运算，有理数运算．理解新定义运算法则，掌握有理数运算法则是关键．
 a b
5．（2021·张家口市宣化区教学研究中心七年级期末）现定义某种运算“ ”，对任意两个有理数 、 ，
有abab，如
3232 9
，计算：
123
______．
【答案】1
【分析】理解“”，先算括号内的，再算括号外的．
123 123 1818 1
【详解】 故答案为：1．
【点睛】此题是新定义运算题型，考查有理数的乘方．关键要理解新定义的运算含义和乘方的意义．
6．（2022·浙江七年级期末）（阅读理解）求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，
555 (8)(8)(8)(8) 555
如： ， 等，类比有理数的乘方，我们把 记作5③，读作“5的圈
aaa a

3次方”， (8)(8)(8)(8)记作（－8）④，读作“ 的圈4次方”一般的把
8 n个a
记作aⓝ，读作“ a 的圈 n 次方”．（1）直接写出计算结果：（－6）④＝__________；
[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如
何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：1
1
（2）（7 ）ⓝ_________；（a ）ⓝ=____________．（n�2且n为正整数）；
1 1
[实践应用]（3）计算①（－4 ）④×（－4）⑤－（3）④÷63
1 1 1 1 1
②（5）②+（5）③+（5）④+（5）⑤+……+（5）ⓝ（其中n2021）
1 7 52020 1

【答案】（1）36；（2）7n-2；an-2；（3）① 24 ；② 4
【分析】（1）根据所给定义计算即可；（2）根据所给定义计算即可；
（3）①②根据前两问得到除方的规律，从而分别计算．
【详解】解：（1）由题意可得：
（－6）÷（－6）÷（－6）÷（－6）
1 1 1
=（－6）×（－6）×（－6）×（－6）
1
=36；
1 1 1 1 1
（2）（7 ）ⓝ=7 ÷7 ÷7 ÷... ÷7
1
=7 ×7×7×...×7
=7n-2；
1 1 1 1 1
（ ）ⓝ= ÷ ÷ ÷...÷
a a a a a
1
= ×a×a×...×a
a
=an-2；
（3）由题意可得：
1 n2
有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式等于  ，
a1 1
①（－4 ）④×（－4）⑤－（3）④÷63
3
 1
42   32 63
=  
 4
2
 1  1
42
    9216
=    
 4  4
1 1
 
= 4 24
7

= 24 ；
1 1 1 1 1
②（5）②+（5）③+（5）④+（5）⑤+……+（5）ⓝ
1552 53...5n2
=
1552 53...5n2
设S= ，
552 53...5n1
则5S= ，
5S-S
=4S
 552 53...5n1   1552 53...5n2
=
5n11
=
5n11
∴S= 4 ，
52020 1
∴原式= 4 ．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，充分理解新定义是解题的关键．题型16 科学记数法与近似数
【解题技巧】（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
（2）近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的
有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字
等说法．
6.81109
1．（2021·广州大学附属中学九年级二模）整数68100…0用科学记数法表示为 ，则原数中“0”
的个数为（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．10个
【答案】B
【分析】确定出原数中整数位数，然后再确定其中0的个数即可．
【详解】解：用科学记数法表示为6.81×109的原数为6810000000，所以原数中“0”的个数为7，故选：B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示形式a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
2．（2021·浙江杭州市·九年级二模）今年“五一”小长假期间，杭州市各景区景点共接待市民游客大约
9210000人次，与去年同期相比增长85%．数据9210000用科学记数法表示为（ ）
A．92.1×105 B．921×104 C．9.21×106 D．9.21×107
【答案】C
1 a﹤10
【分析】科学记数法的表示形式为a10n
的形式，其中 ，
n
为整数．确定
n
的值时，要观察把
原数变成a时，小数点移动多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值10时，n时
n
正数；当原数绝对值小于1时， 时负数．
【详解】解：9210000＝9.21×106，故选：C．
1 a﹤10
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a10n
，其中 ，
n
为整
数，表示时关键要准确确定a的值以及 n 的值．
3．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级三模）“杂交水稻之父”袁隆平院士一生致力于水稻研究，在2004
年获颁世界粮食奖，被视为“亚洲英雄”，上世纪70年代，袁隆平在杂交水稻上取得突破，当时他研究出的杂交水稻相比其它品种年产量提高了20%，意味着每年可多养活7000万人口．7000万人用科学计数法
表示为_________人．
7107
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变
成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；
当原数的绝对值＜1时，n是负数．
7107 7107
【详解】解：根据题意：7000万人＝70000000人＝ 人．故答案为： ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2021·潍坊市寒亭区教学研究室九年级一模）新冠疫情在我国得到了很好地控制，可至今仍在海外肆
虐，截止2021年3月底，海外累计确诊128924229人，128924229用科学记数法可表示为（精确到千万
位）（ ）
0.13109 1.3108 1.29108 12. 9 107
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先按精确到千万位进行四舍五入取近似数，再按科学记数法的表示形式为a×10n的形式，一个近
似数四舍五入到哪一位，那么就说这个近似数精确到哪一位，从左边第一个不是0的数字起到精确的数位
止的所有数止．
【详解】解：128924229精确到千万位≈1.3亿 128924229≈1.3亿=1.3×108．故选：B．
【点睛】本题考查按精确度取数，科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
115
5．（2021·江西省大吉山中学初一期中）当使用计算器的 键，将 6 的结果切换成小数格式
19.16666667，则对应这个结果19.16666667，以下说法错误的是（ ）
A．它不是准确值 B．它是一个估算结果 C．它是四舍五入得到的 D．它是一个近似数
【答案】B
115
【分析】 6 化为小数，是一个无限循环小数.115 115
【解析】将 6 化为小数，是一个无限循环小数. 所以将 6 的结果切换成小数格式19.16666667，则对应
这个结果19.16666667，是一个四舍五入的近似数.故选B
【点睛】本题考核知识点：近似数. 解题关键点：理解近似数的意义.
6．（2021·广西壮族自治区初一期中）用四舍五入法按要求对0．0603分别取近似值，其中错误的是（
）
A．0.1 （精确到0.1） B．0.060（精确到0.001）
C．0.06（精确到百分位） D．0.06 （精确到十分位）
【答案】D
【分析】根据近似数的概念，依次判断各选项．
【解析】将0.0603精确到0.1，则为0.1，A选项是正确；
将0.0603精确到0.001，则为0.060，B选项是正确；
将0.0603精确到百分位，则为0.06，C选项是正确；
将0.0603精确到十分位，则为0.1，D选项是错误 故选：D．
【点睛】本题考查近似数，注意精确到十分位和精确到0.1及精确到百分位和精确到0.01是同样的意思．