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2023－2024 学年度第二学期 高三数学 热身练习
班级________ 姓名________ 学号________
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 设集合 ， ，则集合 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解不等式求集合 ，再求并集即可.
【详解】由 得到 ，故 ，
又 ，所以 .
故选：A.
2. 在复平面，复数z对应的点坐标为 ，则 （ ）
A. i B. -i C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得 ，再由复数除法法则即可求解.
【详解】z对应的点坐标为 ，所以 ，
所以
故选：B.
3. 下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据偶函数的定义和基本函数的性质逐个分析判断即可.【详解】对于A，定义域为 ，令 ，因为 ，所以此函数为
奇函数，所以A错误，
对于B，定义域为 ，令 ，因为 ，所以此函数为偶函数，
因为 在 上单调递增，所以B错误，
对于C，定义域为 ，令 ，因为 ，所以此函数为偶函数，
因为 在 上有增区间也有减区间，所以C错误，
对于D，定义域为 ，令 ，因为 ，所以此函数
为偶函数，
当 时， ，因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，所以D
正确，
故选：D
4. 若双曲线 的离心率为 ，则 （ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的离心率与 、 、 关系求解即可.
【详解】由题意 ，双曲线的离心率 ，所以 .
故选：C.
5. 向量 在正方形网格中的位置如图所示.若向量 与 共线，则实数 （ ）A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】先由图得出用 表示 的式子，再根据向量共线的充要条件求之即得.
【详解】根据网格图中的 的大小与方向，易于得到 ，
由向量 与 共线，可得 ，解得： .
故选：D.
6. 展开式中 的系数为10，则实数a等于【】
A. -1 B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵T =C r•x5-r•（a /x ）r=arC rx5-2r，
r+1 5 5
又令5-2r=3得r=1，
∴由题设知C 1•a1=10⇒a=2．
5
故选D
7. 已知函数 ，若 ，且 ，则下面结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】根据指数函数的单调性判断 ，根据基本不等式判断 ，根据指数的运算判断 .
【详解】由指数函数的单调性可知 在 上单调递增，
又 ，所以 ，故 正确；
因为 ， ，
所以 ，
又 ，所以上式取不到等号，所以 ，故 正确；
， ，
， ， ，故 错误；
， ，故 正确.
故选：C.
8. 对于无穷数列 ，定义 （ ），则“ 为递增数列”是“ 为递增数列”
的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
的
【分析】由递增数列 性质，分别判断充分性和必要性即可.
【详解】 为递增数列时，有 ，不能得到 为递增数列，充分性不成立；
为递增数列时，不一定有 ，即不能得到 为递增数列，必要性不成立.
所以“ 为递增数列”是“ 为递增数列”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
9. 点F抛物线 的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若 ，则（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由
可得 为 的重心，从而可求出 ，再根据抛物线的定义可求得结果.
【详解】设 ，
由 ，得 ，所以 ，准线方程为 ，
因为 ，所以 为 的重心，
所以 ，所以 ，
所以
，
故选：C
10. 中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上底宽依
次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所成的锐二面角依次为 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接 ，过边 的中点 作 ，垂足为 ，则 就是漏壶的侧面与底面所成
锐二面角的一个平面角，记为 ，设漏壶上口宽为 ，下底宽为 ，高为 ，在 中，根据等差数
列即可求解.
【详解】三级漏壶，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上口宽依次递减1寸（约3.3厘米），下
底宽和深度也依次递减1寸，
如图，在正四棱台 中， 为正方形 的中心， 是边 的中点，
连结 ，过边 的中点 作 ，垂足为 ，
则 就是漏壶的侧面与底面所成锐二面角的一个平面角，记为 ，
设漏壶上口宽为 ，下底宽为 ，高为 ，
在 中， ， ，
因为自上而下三个漏壶的上口宽成等差数列，下底宽也成等差数列，且公差相等，
所以 为定值，又因为三个漏壶的高 成等差数列，所以 .
故选： ．
【点睛】关键点点睛：对于情境类问题首先要阅读理解题意，其次找寻数学本质问题，本题在新情境的基
础上考查等差数列的相关知识.
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 函数 的定义域是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知，可得 ，解出不等式即可得到结果.
【详解】要使函数 有意义，则应满足 ，即
该不等式等价于 ，解得 .
所以，函数 的定义域是 .
故答案为： .
12. 设等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】利用等比数列的求和公式以及通项公式可求得 的值.
【详解】由等比数列求和公式以及通项公式可得 .故答案为： .
13. 在 中，若 ， ， ，则 ________， ________.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
在
【分析】 中，运用正弦定理求得 ，运用余弦定理求得 即可.
【详解】由正弦定理 ，有 ，所以 ，
由余弦定理 ，有 ，
解得 .
故答案为： ， .
14. 若直线 与 交于 ， 两点，则 面积的最大值为_________，
写出满足“ 面积最大”的 的一个值________.
【答案】 ①. 2 ②. 1（ 均可）
【解析】
【分析】求出圆心到直线 的距离 ，则 ，再由基本不等式求出面积最大值，以及此
时 的值.
【详解】直线 ，则 ，令 ，解得 ，
所以直线 恒过点 ，的圆心为 ，半径 ，
显然点 在 上，
圆心 到直线的距离 ， ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
即 ，解得 或 .
故答案为： ； （ 均可）
15. 已知函数 ，下面命题正确的是_________.
①存在 ，使得 ；
②存在 ，使得 ；
③存在常数 ，使得 恒成立；
④存在 ，使得直线 与曲线 有无穷多个公共点.
【答案】①③
【解析】
【分析】①函数求导，用 ，令 ， 与 同正负.研究
正负即可，用 来研究 即可得出答案.；② ，即两点间的斜率正负问题，
也就是转化研究 内的单调性.求导即可.③用三角函数的有界性可解.④借助函数单调性,数形结合可解.【详解】函数 ，定义域 .
由于 知其为偶函数.
， 令 ， 与 同正负.
.
对于①，当 ， ，则 单调递增，
则 ，故存在 ， ，
即存在 ，使得 .故①正确.
对于②，与①同理，当 ， ，则 单调递减，
则 ，故 ， ，即 ， 单调递减.
任意 ， ，故②错误.
对于③，由于 为偶函数，根据对称性，我们只需要考虑 即可.
令 ，则 ，即 在 上单调递减，
故 ，即 ，故 ，
故存在常数 ，使得 ，故③正确.
对于④，将 代入 ，得 ，由于 为偶函数，根据对称性，我们只
需要考虑 即可.由①②知， ，单调递减， ，单调递减， ，单调递增.一直往复下去. 图象
如下.
则 与 不能有无数个交点，
即 与 不能有无穷多个公共点.故④错误.
综上所得，只有①③正确.
故答案为：①③.
【点睛】本题主要考查函数很多性质，如奇偶性、单调性、零点与方程，有界性等.综合性较强，有一定难
度，关键是借助导数来研究性质，需要冷静分析，认真计算 .
三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16. 已知函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求m的取值范围.
① 在 有恰有两个极值点；
② 在 单调递减；
③ 在 恰好有两个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）先利用三角恒等变换公式对函数化简变形，然后利用周期公式直接求解即可；
（2）先由 ，得 ，若选①，则 ，从而可求出m的取值范围，若选②，则当 时，函数递增，所以不合题意，若选③，则 ，从
而可求出m的取值范围.
【小问1详解】
因为
.
所以 的最小正周期为 .
【小问2详解】
因为 ，所以 .
选择①，因为 在 有恰有两个极值点.
所以 .
所以 .
若选择②，因为当 时， 函数递增，
所以 在 不可能单调递减，所以②不符合题意；
选择③，因为 在 恰好有两个零点.
所以 .所以 .
17. 如图.在四棱锥P-ABCD中. 平面 .底面ABCD为菱形.E.F分别为AB.PD的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ， ，求直线CD与平面EFC所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由中点还需中点帮.取PC中点M.连接FM.BM..很容易得到四边形BEFM为平行四边形，再
用线面平行的定理证明.
（2）很显然.可以D为原点建立空间直角坐标系.求出点C、D、E、F的坐标.算出平面EFC的法向量.用向
量夹角余弦值来算直线CD与平面EFC所成角的正弦值即可.
【小问1详解】
取PC中点M，连接FM，BM.
在 中，因为M，F分别为PC，PD的中点，
所以 ， .
在菱形ABCD中，因为 ， ，
所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
因此 .又因为 ，
所以 .
【小问2详解】
因为 ，
.
所以 ，
因为 ，所以 .
在菱形ABCD中， ，
因为E为AB中点，所以 .
建立如图空间直角坐标系D-xyz.
在正三角形 中， .
因为 ， ， ， ，
所以向量 ， .
设平面EFC的法向量为 ，则 ，即 .
取 得 , .
设直线CD与平面EFC所成角为 ，
.18. 根据2024城市魅力排行榜，一线城市4个，分别为：上海、北京、深圳、广州；新一线城市15个，
分别为：成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、无锡、宁波、青岛、
合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市10个，分别为：上海、北京、深圳、重庆、 广州、成都、
天津、东莞、武汉、杭州.
（1）从10个超大城市中随机抽取一座城市，求该城市是一线城市的概率；
（2）从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量X表示新一线城市的数量，求
随机变量X的分布列和期望；
（3）从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量Y表示新一线城市的数量，比
较E（X）与E（Y）的大小关系.（直接写出结果）
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据古典概型直接求概率；
（2）根据超几何分布求得X取值对应的概率，得到分布列和期望；
（3） ，运用二项分布期望公式求得 ，即可得到二者相等.
【小问1详解】
10个超大城市中包含4个一线城市，
所以从10个超大城市中随机抽取一座城市，该城市是一线城市的概率为 .
【小问2详解】
10个超大城市中包含6个新一线城市，
X所有可能的取值为： .
； ；； .
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
.
【小问3详解】
理由如下：从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，
随机变量 ， ，所以 .
19. 已知椭圆 的左顶点为A，上顶点为B，下顶点为C，若椭圆的 ，三角形
ABC的面积为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点D（0，2），直线AD交椭圆于点E，过点D的直线交椭圆于M，N两点，若直线CM与x轴
交于P点，过E且平行于x轴的直线与BN交于Q点，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的基本量即可求解；
（2）求出点 的坐标，分直线 斜率是否存在两种情况讨论，当直线 斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆联立，求解 ，根据交点个数列出关于 的不等式，写出韦达定理，写出直线 的方程，
求出点 的横坐标，写出直线BN的方程，求解点 的横坐标，写出 即可得三点共线，进而求解.
【小问1详解】
依题意： ，解得 ， ， ，
椭圆的标准方程为 ；
【小问2详解】
直线DA： ， ，
解得 ， .若直线MN： ，
则 ，若直线MN： ，
设 ， ， ，
整理得 ，
，解得 或 ， ， ，
直线CM： ，令 ，
得 .直线BN： ，
令 ，得 ，因为
，
所以D，P，Q三点共线，所以 ，
综上知： .
20. 已知函数 ，其中a为常数且 .
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调区间；
（3）当 时，若在点 处的切线l分别与x轴和y轴于，A，B两点，O为坐标原
点，记 的面积为S，求S的最小值.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】【分析】（1）先对函数求导后，再求出 ，然后利用点斜式可求出切线方程；
（2）求出函数的定义域，对函数求导后，分 和 讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；
（3）利用导数的几何意义求出切线l的方程，从而可求出A，B两点的坐标，则可表示出 的面积
，构造函数 ，利用导数可求出其最小值.
【小问1详解】
， .
因为 ， ，
所以切线方程为 .
【小问2详解】
定义域为 ，
，令 ，解得 .
当 时，
， 的减区间为 ；
， 的增区间为 .
当 时，
， 的增区间为 ；
， 的减区间为 .
【小问3详解】
当 时， ， .切线l： ，
令 ， ；
令 ， .
.
设 ， .
.
， 在 单调递减；
， 在 单调递增.
所以 .
所以当 时，S的最小值为 .
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查利用导数求解函数的单调区间，考查导数的综合应
用，第（3）问解题的关键是求出切线方程后，求出切线与坐标轴的交点，从而可表示出三角形的面积，
再构造函数，利用导数求解，考查计算能力，属于较难题.
21. 记集合 .对任意 ，
，记 ，对于非空集合 ，定义集
合 .
（1）当 时，写出集合 ；对于 ，写出 ；（2）当 时，如果 ，求 的最小值；
（3）求证： .
（注：本题中， 表示有限集合A中的元素的个数.）
【答案】（1） ；
（2）5 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义直接写出集合 ，再根据 的定义写出 ；
（2）设 ，则 ，则由题意可得 ，从而可求得结果；
（3）设A中的所有元素为 ， ，…， ，其中 ，记 （ ），
先利用反证法证明这些 互不相等，再根据定义证明即可.
【小问1详解】
；
若 ，则 .
【小问2详解】
的最小值为5.
证明如下：
设 .
因为 ，除 外，其它7个元素需由两个不同的 ， 计算得到，
所以 ，解得 .
当 时，有 ，符合题意.
【小问3详解】证明：设A中的所有元素为 ， ，…， ，其中 .
记 （ ），则这些 互不相等.
证明如下：如果存在 ， ，
则 ， 的每一位都相等，
所以 ， 的每一位都相等，
从而 ，与集合A中元素的互异性矛盾.
定义集合 ，则 .
又 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：此题考查集合的新定义，考查集合间的关系，解题的关键是对集合新定义的正确理
解，考查理解能力，属于难题.
