文档文本内容
前言
不少小读者喜欢看卡通书，这是因为图画很形象，有助于小读者
正确、迅速地理解书中的内容。有时，理解一道数学题很费力，但是
如果动手画出示意图，题意就解释清楚明了了。
这套“图解小学数学思维训练题”就是通过图解与文字标注相结
合的方式，将数学思维训练题的解题过程直观、清晰地展现在小读者
面前，帮助大家厘清解题思路，将抽象问题具体化，通过精巧地设计
和运用直观性、形象性手段，分散难点，放缓坡度，使小读者容易接
受、理解。帮助小读者在面对复杂问题时，学会分析、解决问题，从
而有效地提高解题能力和思维能力。
这套“图解小学数学思维训练题”涵盖了小学各年级有代表性的
数学思维训练题，结合各章内容，详细讲解各种数学思维训练题的解
题思路，归纳常用的、重要的公式，帮助小读者准确地把握要点。
这套“图解小学数学思维训练题”针对各章内容精选不同难度的
练习题，分为小试身手、拓展提升两个层次，帮助小读者巩固所学，
逐级提升解题能力。
这套“图解小学数学思维训练题”曾在北京、上海、江苏、浙
江、福建、四川等地的学校进行了试验，取得了良好的效果，希望这
次的改版能帮助更多的学生顺利解决小学数学思维训练题，稳步地、
愉快地、更加自信地走进数学世界。
数学之美是人们在数学思维活动中的一种体验和感受，希望使用
这套书的小读者通过“学数学、做数学、用数学”的活动来体验、探索数学之美！
特别感谢李秀琴、彭光进、黄洋、吴智敏、吴奇琰、张移、张永
飞、李丹、李堃、郭春利、姚一萌、李世魁、谢正国、赵波、杨树
青、李曹群、钟春风、张璋、邓林树、彭如武、李茂蓓、冯林等老师
在本书编写过程中提供的帮助和做出的贡献。
祝青少年朋友健康成长，快乐学习！
彭林目 录
前言
第一章 加法中的巧算
第二章 减法中的巧算
第三章 配对求和
第四章 乘法中的巧算
第五章 除法中的巧算
第六章 数字谜
第七章 数阵图
第八章 填运算符号
第九章 巧求周长
第十章 巧求面积
第十一章 巧数图形
第十二章 等量代换的妙用
第十三章 上楼梯与锯木头
第十四章 倍数问题
第十五章 和倍问题
第十六章 差倍问题
第十七章 和差问题
第十八章 年龄问题
第十九章 植树问题
第二十章 平均数问题
第二十一章 重叠问题
第二十二章 “假设”解题第二十三章 “枚举”解题
第二十四章 “对应消去”解题
第二十五章 巧切西瓜
第二十六章 最短路线
参考答案第一章 加法中的巧算
答案参见此处
知识导航
巧算重在“巧”，也就是让计算变得简单。加法中的巧算主要
是运用“凑整”的方法，就是将算式中的数分成若干组，使每组的
运算结果都是整十、整百、整千……的数，再将各组的结果求和。
这种“化零为整”的思想是加法巧算的基础。两个自然数相加，如果它们的和恰好是整十，整百，整千……
那么就称其中一个数为另一个数的补数，这两个数称为互补。在加
法运算中，如果两个数互为补数，那么可以先求出它们的和，使计
算迅速简便，如果题目中没有互补的加数，那么可以设法分出互补
的加数，以便凑成整十，整百，整千……的数让计算简便。这些数
是最基础的互补数，如下所示。
图解思维训练题
例1 计算：876＋385＋124＋615
图解思路
先从末尾找出互补数（下图），再分别
对两对互补数求和，最后将这两个和相加即可求出结果，即规范解答
例2 计算：9＋99＋999＋9999＋6
图解思路
此题中我们可以利用转化的思考方法，把6拆分成1＋1＋1＋1＋
2，使四个1与前面的四个加数分别凑整，如下图所示，这样计算比较
简便。
规范解答例3 计算：3572＋998
图解思路
当其中的一个加数接近整十、整百、整千的数时，我们可以把这
个加数看成整十、整百、整千减去几再相加减。所求算式中的998可以
看成1000-2，如下图所示。
规范解答例4 计算：63＋62＋58＋59＋60＋61＋58＋59＋57＋64
图解思路
当许多大小不同而又比较接近的数相加时，可选择其中一个数，
最好是整十、整百，整千……的数作为计数的基础，这个数叫作基准
数。再把大于基准数的加数写成基准数与某数的和的形式，把小于基
准数的加数写成基准数与某数的差的形式，最后再利用加减混合运算
的性质进行简便计算。如下图所示，本题的基准数为60。
规范解答小试身手
1．计算：（84＋37＋55）＋（16＋45＋63）
2．计算：673＋288
3．计算：8＋98＋998＋9998＋99998
4．计算：93＋92＋88＋89＋90＋91＋88＋87＋94＋89
拓展提升
5．计算：29＋299＋2999＋29999＋2999996．计算：49999＋4999＋499＋49
7．计算：9898＋203第二章 减法中的巧算
答案参见此处
知识导航
巧算重在“巧”，也就是让计算变得简单。减法中的巧算主要
是运用“凑整”“凑尾”、减法性质的方法，就是将算式中的数分
成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千……的数，再
将各组的结果相减。凑整法将减数“化零为整”，使计算变得简
单。凑尾法就是凑成相同的尾数以便相减得零，从而降低计算的难度。减法性质就是一个数连续减去几个数，等于从这个数里减去这
几个数的和。计算的关键是保持每一步都相等。
图解思维训练题
例1 计算下面各题：
（1）82-38 （2）875-364-236
图解思路
（1）思路一
思路二（2）
规范解答
（1）解法一
解法二（2）
例2 计算下面各题：
（1）864-267 （2）864-258
图解思路
规范解答例3 计算：300-73-27
图解思路
规范解答小试身手
1．计算：512-382
2．计算：1000-90-80-20-10
3．计算：4723-（723＋189）
4．计算：2356-159-256
5．计算：506-397拓展提升
6．计算：6854-876-97
7．计算：397-146＋288-339
8．计算：987-178-222-390第三章 配对求和
答案参见此处
知识导航
用配对方法求和，实质上是变加法（连加）为乘法。要正确、
合理地运用这种方法，首先必须弄清应当怎样把一串数进行合理的
配对。有时，一串数的个数不是双数，就不能刚好配对，还留下一
个数，要弄清这个数是几；有时，一串数虽然个数是双数，但为了计算简便，往往把其中两个或者几个数放在一旁，将其余数配对，
使每对中两数的和恰好是整十或整百数。
图解思维训练题
例1 计算：32＋34＋36＋38＋40＋42
图解思路
32，34，36，38，40，42共6个数相加，后一个数与前一个数都相
差2，如上图所示，我们可以把它们分为3组，每组的和是74，那么这
几个数的和就是3个74，即74×3＝222。
规范解答例2 有一垛电线杆叠堆在一起，一共有20层。第1层有12根，第2
层有13根……下面每层比上层多一根（如下图）。这一垛电线杆共有
多少根？
图解思路
因为这堆电线杆从第2层起，每层比上面一层多一根，共有20层，
所以，这垛电线杆的总数为规范解答
答：这垛电线杆的总数为430根。
例3 计算：1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-
83-18-82-19-81
图解思路
因为11＋89＝100、12＋88＝100、13＋87＝100……这样会有9组
可以进行配对成100的数，如上图所示，所以只要从1000里面减去9个
100就可以了。
规范解答例4 计算：993＋994＋995＋996＋997＋998＋999
图解思路
规范解答
小试身手
1．计算：11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29
2．计算：500-（11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29）
3．计算：1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1拓展提升
4．求203，207，211，215，219这5个数的和
5．有一串数，第1个数是5，以后每个数比前一个数大5，最后一
个数是90。这串数连加，和是多少？
6．省工人体育馆的12区共有20排座位，呈梯形。第1排有10个座
位，第2排有11个座位，第3排有12个座位……这个体育馆的12区共有
多少个座位？
7．有一个挂钟，两点钟敲2下，三点钟敲3下……十二点敲12下，
每逢分针指向6时敲1下。问这个挂钟一昼夜共敲多少下？第四章 乘法中的巧算
答案参见此处
知识导航
巧算重在“巧”，也就是让计算变得简单。首先认识乘法交换
律 ： a×b ＝ b×a ， 乘 法 结 合 律 ： a×b×c ＝ （ a×b ） ×c ＝
a× （ b×c ） 。 如 ： 5×6 ＝ 6×5 ， 5×6×7 ＝ （ 5×6 ） ×7 ＝
5×（6×7）。利用这些定律，可以使计算简便，同时可以推广到多个数相
乘，我们可以选择两个因数相乘，得出较简单的积（整十、整百、
整千……），再将这个积与其他因数相乘，有时也可以把某个因数
再分解成两个因数，使其中一个因数与其他的乘数的积成为较简单
的数，然后再与其他的因数相乘，这样就可以进行巧算。
计算连乘时，如果遇到两个因数相乘可以得到整十、整百、整
千……的数，可将它们合并扩整，然后再乘。记住下面的一些常用
数值，可以迅速、准确而又简洁地计算出某些题的结果。
20×5＝100 25×4＝100 125×8＝1000
图解思维训练题
例1 计算：125×798
图解思路如上图，先将798写为800-2，再运用乘法分配律a×（b-c）＝ab-
ac求出结果。
规范解答
例2 计算：3246×5
图解思路
如下图，先将3246×5看成5个3246相加，再将每个3246分解为两
个1623，从而得到3246×5＝1623×10，这样就能很容易地求出结果。
规范解答例3 计算：9999×8
图解思路
运用了乘法结合律。
规范解答
例4 计算：234×11
图解思路
计算234×11时，如下图，把234这个三位数拉开，个位数字作积
的个位，十位数字与个位数字相加作积的十位，如果满十，就向百位
进1，百位数字与十位数字相加作积的百位，如果满百，就向千位进
1，百位数字作积的千位。规范解答
小试身手
1．计算：25×28
2．计算：125×48
3．计算：147×50
4．计算：194×11
拓展提升
5．计算：126×156．计算：455×15
7．计算：4256×11第五章 除法中的巧算
答案参见此处
知识导航
巧算重在“巧”，也就是让计算变得简单。
1．在除法中，利用商不变的性质巧算：被除数和除数同时除以
相同的数（0除外），商不变。利用这个性质巧算，使除数变为整
十、整百、整千的数，再除。当c不等于0时，a÷b＝（a×c）÷（b×c）＝（a÷c ）
÷（b÷c）
2．在乘除混合运算中，乘数和除数都可以带符号“搬家”。
3．当几个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之
后再除以这个数。
4．在乘除混合运算中“去括号”的方法：如果“括号”前面是
除号，去掉“括号”后，原“括号”内的乘号变成除号，除号就变
成乘号。添括号的方法与去括号的方法类似。
图解思维训练题
例1 计算：2400÷25
图解思路
如下图，利用商不变的性质，被除法和除数同时乘4。规范解答
例2 计算：972×15÷81
图解思路
如下图，带着符号搬家，先变成 972÷81×15，因为972÷81＝
12，12×15＝180。
规范解答例3 计算：5000÷125÷8
图解思路
如下图，因为125×8＝1000，根据除法性质可以先乘后除。
规范解答
小试身手
1．计算：15000÷1252．计算：128×12÷64
3．计算：1152÷64-512÷64
4．计算：1200÷5÷20
5．计算：44×96÷48
拓展提升
6．计算：420÷15
7．计算：（56×24）÷（28×6）
8．计算：680÷（34×5）
9．计算：273÷13＋104÷13-117÷13第六章 数字谜
答案参见此处
知识导航
数字谜是一种有趣的数学问题。它的特点是给出运算式子，但
式中某些数字是用字母或汉字来代表的，要求我们进行恰当的判断
和推理，从而确定这些字母或汉字所代表的数字。解数字谜，一般
是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口。需要注意的是：
（1）数字谜中的文字、字母或其他符号，只能取0～9中的某个
数字；
（2）注意进位和借位，注意加减后数字不变的数位；
（3）可以采用枚举和筛选相结合的方法，逐步淘汰不符合题意
的数字；
（4）数字谜解出之后，要带着原数进行验算，确保填出的数是
正确的。
图解思维训练题
例1 在空格内填入适当的数字，使图中的加法竖式成立。
图解思路规范解答
例2 在空格内填入适当的数字，使图中的减法竖式成立。
图解思路规范解答
例3 在算式中每一个汉字代表一个数字，不同的汉字表示不同的
数字。这些汉字各代表什么数字时算式成立？
图解思路规范解答
真＝1 是＝0 好＝9 啊＝8
例4 下面的字母各代表什么数字，算式才能成立？
图解思路规范解答小试身手
1．在空格内填入适当的数字，使下面的加法竖式成立。
2．在空格内填入适当的数字，使下面的减法竖式成立。3．一种图形代表一个数字，请你算一算，三种图形各代表什么数
字？
4．在算式中每一个汉字代表一个数字，不同的汉字表示不同的数
字。这些汉字各代表什么数字时算式成立？
5．在算式中每一个汉字代表一个数字，不同的汉字表示不同的数
字。这些汉字各代表什么数字时算式成立？
拓展提升
6．下面的字母各代表什么数字，算式才能成立？7．下面的字母各代表什么数字，算式才能成立？
8．在算式中每一个汉字代表一个数字，不同的汉字表示不同的数
字。这些汉字各代表什么数字时算式成立？
9．在算式中每一个汉字代表一个数字，不同的汉字表示不同的数
字。这些汉字各代表什么数字时算式成立？第七章 数阵图
答案参见此处
知识导航
在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多
端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它
对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，在填数字的过程中，
感受到数阵之美。主要运用的方法是通过重叠数来找到解题的钥
匙。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的
事情，掌握方法是关键。
（1）若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于
（直线上各数之和×直线条数-已知各数之和）÷重叠次数。
（2）若已知重叠数，则直线上各数之和等于（已知各数之和＋
重叠数×重叠次数）÷直线条数。
（3）若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠
数的可能取值分析讨论。
图解思维训练题
例1 把1～5这五个数分别填在下图中的方格中，使得横行三数之
和与竖列三数之和都等于9。
图解思路规范解答
例2 把1～5这五个数填入下图中的 里（已填入5），使两条
直线上的三个数之和相等。图解思路
规范解答例3 把1～5这五个数填入下图中的 里，使每条直线上的三
个数之和相等。
图解思路规范解答
小试身手
1．将1～7这七个数分别填入下图中的 里，使每条直线上的
三个数之和都等于12。2．将1～7这七个数分别填入下图中的 里，使每条直线上的
三个数之和等于10。3．（1）将1～9这九个数分别填入下图中的 里（其中9已填
好），使每条直线上的三个数之和都相等。
（2）如下图，如果中心数是5，那么又该如何填？4．把1，2，4，5，6，8，10这7个数分别填入下图中的圆圈中，
使得每条直线上4个数的和都等于20。
拓展提升5．把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入图中的圆圈中，使
两个正方形中四个数之和都等于19。
6．将1～9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五
个数之和相等。（至少找出两种本质上不同的填法）
7．将1～11这十一个数分别填入下图的 里，使每条直线上的
三个数之和相等，并且尽可能大。8．将1～7这七个数分别填入下图的 里，使得每条直线上三
个数之和与每个大圆圈上的三个数之和都相等。第八章 填运算符号
答案参见此处
知识导航
填运算符号，就是在一些数之间的适当地方填上适当的运算符
号“＋、-、×、÷”“（ ）、﹝ ﹞、｛ ｝”，从而使这些数和
运算符号构成的算式成为一个等式。解决这类问题常用两种基本方法：一是凑数法，二是逆推法，
有时两种方法并用。
凑数法是根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，然
后，再对算式中剩下的数字做适当的增加或减少，从而使等式成
立。
逆推法是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得
到等式。
还可以运用分组法、和差法。值得注意的是如果没有要求必须
在两个数字之间填写，那么可以把相邻几个数字看成一个多位数，
并且答案不唯一。
图解思维训练题
例1 在下面算式适当的地方添上“＋、-、×、÷、（ ）”，
使算式成立。
图解思路规范解答
例2 在下面算式适当的地方添上加号，使算式成立。
图解思路规范解答
例3 在算式中合适的地方添上“＋、-、×、÷”，使等式成
立。
图解思路规范解答
小试身手
1．在算式中合适的地方填上“＋、-、×、÷”，使等式成立。2．在5个4之间，填上“＋、-、×、÷或（ ）”，使等式成
立。
3．在2，3，4，6四个数之间任意填上“＋、-、×、÷或
（ ）”，并且每个数都只能用一次，使它们的结果等于24。
拓展提升
4．在算式中合适的地方填上“＋、-、×、÷”，使等式成立。
5．在算式中合适的地方填上“＋、-、×、÷”，使等式成立。
6．在算式中合适的地方填上“（ ）、［ ］”，使等式成立。
1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝1395
1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝4455第九章 巧求周长
答案参见此处
知识导航
要想巧求周长首先我们要知道周长的定义：封闭图形一周的长
度，是它的周长，其次我们还要知道长方形、正方形的周长公式，
最后我们利用公式求复杂的周长，逆推其中一条线段的长度，解篱
笆问题、跑圈问题等。要求它们的周长，我们要在“巧”字上做文章。首先要想方设
法地运用“平移”“转化”等方法把不规则的复杂图形转化为标准
的、简单的基本图形（长方形、正方形），然后再利用长方形、正
方形的周长公式进行计算。其次要注意在转化过程中抓住图形的形
状“变”了，但周长是不变的。最后要注意在求解过程中某些线段
的长度不能遗漏。
图解思维训练题
例1 两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来两个
正方形周长的和减少了8厘米。原来一个正方形的周长是多少厘米？
图解思路
根据题意画出示意图如下：
当两个正方形拼成一个长方形时，组成两个正方形的8条边就减少
了两条，而已知这两条边的和是8厘米，那么一条边长就是8÷2＝
4（厘米）。进而就可求出原来正方形的周长。
规范解答
8÷（4×2-6）＝4（厘米）
4×4＝16（厘米）答：原来一个正方形的周长是16厘米。
例2 王奶奶用篱笆围建一个长方形的鸡舍，长15米，宽8米，两
面靠墙，这个鸡舍至少用多少米的篱笆？
图解思路
根据题意画出示意图如下：
本题需要画图帮助理解题意，根据题目要求，要分清靠墙或不靠
墙两种情况，并且靠墙时，只有长边靠墙，篱笆用的最少。
规范解答
8＋8＝16（米）
答：这个鸡舍至少用16米的篱笆。
例3 算一算，再比较下面两个图形的周长大小。（单位：厘米）图解思路
如下图，通过平移1条线段，发现：两个图形的周长等于长方形的
周长加上2条短线段。所以两个图形的周长相等。
规范解答
两个图形的周长均为（10＋11）×2＋2×2＝46（厘米），所以这
两个图形的周长相等。
例4 如下图，小红从家到学校有3条路，哪条路更近？图解思路
如下图所示，如果将路2所有横向路线向下平移到路3的长边上，
可以发现它们加起来正好与路3长边的长度相等。同样道理，将路2所
有纵向路线向左平移到路3的宽边上，它们加起来的和也正好与路3的
宽相等。所以路2和路3这两条路的长度相等。而通过观察可知路1比路
2近，所以路1最近。
规范解答
通过平移，发现路2和路3一样长。而路1又比路2近，所以路1最
近。
例5 把一个长6厘米、宽2厘米的长方形按下图所示的方法一层、
二层、三层地摆下去，摆到第九层。请问这个图形的周长是多少厘
米？图解思路
要求这个图形的周长，只要研究一下一层、二层、三层图案的周
长变化规律，就可以推理出九层图形的周长。
由上图我们可以发现规律：
周长＝（长×层数＋宽×层数）×2或者周长＝（长＋宽）×2×
层数
规范解答
图形的周长：答：这个图形的周长为144厘米。
小试身手
1．边长是1厘米的正方形，用2个正方形拼成一个长方形，这个长
方形的周长是正方形的2倍吗？
2．你能用4个边长是1厘米的小正方形拼成一个长方形或正方形，
并算出它们的周长吗？
3．两个长7厘米，宽3厘米的长方形，拼成一个大长方形，怎样拼
周长最大？
4．如下图所示，已知大长方形的周长为46厘米，阴影部分为正方
形。求这个正方形的周长。拓展提升
5．爷爷原来有一块长10米、宽6米的长方形菜地，四周都插上了
篱笆。现在爷爷准备对这块菜地进行改造，使得它的长增加5米，宽减
少2米，爷爷需要增加篱笆吗？如增加，需要增加多少米的篱笆？
6．如下图，爸爸从一块长30分米、宽16分米的长方形木板的四个
角上分别裁去一个边长2分米的正方形。剩余部分的周长是多少分米？
7．下图为一个公园的平面图，它是由两个完全一样的正方形叠成
的。周老师每天早上晨练，都要绕公园跑2圈半。周老师每天晨练跑多
少米？第十章 巧求面积
答案参见此处
知识导航
物体表面或封闭图形的大小叫作它的面积。我们已经学过了长
方形和正方形的面积求法。在计算一些基本图形的面积（长方形和
正方形的面积）时，我们可以直接运用公式进行计算。在求解一些
稍复杂的有关长方形和正方形的面积时，生搬硬套公式往往不行，
我们可以利用添加辅助线或运用移动、割补、转化等解题技巧，先求出所需的条件，然后解决问题。具体方法、策略、技巧如下图所
示。
图解思维训练题
例1 把一个长为5米、宽为3米的长方形复合板，锯成面积最大的
正方形。请问这个正方形的面积是多少平方米？
图解思路
要使锯成的正方形复合板的面积最大，就要使它的边长最长。那
么只能选原来长方形的宽为边长，即正方形的边长为3米。根据分析画
图如下：规范解答
3×3＝9（平方米）
答：这个正方形的面积是9平方米。
例2 一个正方形，如果边长增加2厘米，面积就增加24平方厘
米。请问，原来正方形的面积是多少？
图解思路
这类题可以运用割补转化的方法来解决。根据题意我们可以画出
变化后的新正方形，它可以分割成四部分，如下图所示。
由上图可知：规范解答
24-2×2＝20（平方厘米）
20÷2÷2＝5（厘米）
5×5＝25（平方厘米）
答：原来正方形的面积是25平方厘米。
例3 为美化校园环境，大洋广场新建了两块草坪，并在草坪重合
处修建了一个正方形水池。
图解思路
此题可以运用平移法和转化法来解决。思路一 根据题意可知，水池既包含在草坪A所在的长方形中，又
包含在草坪B所在的正方形中，所以草坪A和草坪B的面积计算方法如
下。
根据“草坪总面积＝草坪A的面积＋草坪B的面积”进而可解决问
题。
思路二 可转化为重叠问题，画韦恩图来解决这个问题。这样既
可渗透集合思想又可直观地看出：水池既在长方形内，又在正方形
内，所以长方形面积加上正方形面积减去2个水池面积即为草坪的面
积，如下图所示。此法中明确图形之间的包含关系是解题的关键。思路三 通过观察我们可以发现，图中长方形的宽和正方形的边
长都是10米。把这两个图形经过旋转、平移，就可转化重新组合成一
个大长方形，如下图所示：
草坪的总面积等于长（25＋10）米、宽10米的大长方形的面积减
去长（3＋3）米、宽3米的小长方形的面积。
规范解答
解法一 草坪A的面积：25×10-3×3＝241（平方米）
草坪B的面积：10×10-3×3＝91（平方米）
草坪总面积：241＋91＝332（平方米）
解法二 长方形的面积：25×10＝250（平方米）
正方形的面积：10×10＝100（平方米）
水池的面积：3×3＝9（平方米）
草坪总面积：250＋100-9×2＝332（平方米）
解法三 大长方形的面积：（25＋10）×10＝350（平方米）
小长方形的面积：（3＋3）×3＝18（平方米）草坪的总面积：350—18＝332（平方米）
答：草坪的总面积是332平方米。
例4 学校要在一个边长为6米的大正方形花坛四周铺上宽为1米的
鹅卵石小路。鹅卵石小路的面积是多少？
图解思路
思路一“去空求差法”。如下图所示，直接用大正方形的面积减
去小正方形的面积，就是鹅卵石小路的面积。大正方形的边长为6＋1
＋1＝8（米），小正方形的边长为6米。
思路二“分割求和法”。如下图所示，花坛四周的鹅卵石小路四
个角不重复计算，可以分成4个宽是1米、长是6＋1＝7（米）的长方
形。思路三“分割求和法”。如下图所示，花坛四周的鹅卵石小路可
以分割成4个边长为1米的小正方形和4个长为6米、宽为1米的长方形。
规范解答
解法一 大正方形的面积：8×8＝64（平方米）
小正方形的面积：6×6＝36（平方米）
鹅卵石小路的面积：64-36＝28（平方米）解法二 6＋1＝7（米）
7×1×4＝28（平方米）
解法三 1×1×4＝4（平方米）
6×1×4＝24（平方米）
4＋24＝28（平方米）
答：鹅卵石小路的面积是28平方米。
例5 有两张长5厘米，宽3厘米的长方形，如果把它们拼成长方
形，这个长方形的面积是多少？
图解思路
这类题目适合运用拼组法来解决。如下图所示，共有两种拼法：
从拼摆的过程中可以看出，只要确定拼成的长方形的长和宽，就
可求出面积。规范解答
图（1）的面积：5×6＝30（平方厘米）
图（2）的面积：10×3＝30（平方厘米）
答：这个长方形的面积是30平方厘米。
小试身手
1．把一张长为7厘米、宽为5厘米的长方形纸剪成一个面积最大的
正方形，这张正方形纸的面积是多少平方厘米？
2．一个长方形，长5米，宽3米。如果把它的长增加2米，宽不
变，它的面积增加多少？
3．有两个相同的长方形，长8厘米，宽3厘米。如果把它们按下图
叠放，这个图形的面积是多少？4．求下列图形的面积。（单位：米）
5．求下图中空白部分的面积。（单位：厘米）拓展提升
6．求下列各图阴影部分的面积。（单位：厘米）7．两张边长为6厘米的正方形纸，一部分叠在一起放在桌子上，
如下图所示。请问：桌子被盖住的面积是多少？
8．在一个长为68米、宽为28米的游泳池的四周铺2米宽的鹅卵石
走道。走道的面积是多少平方米？
9．求下面图形的面积。10．下图是由6个相同的三角形拼成的图形，求这个图形的面积。第十一章 巧数图形
答案参见此处
知识导航
小朋友们，在日常生活和学习中，我们经常会碰到由线段、三
角形、四边形等组成的图形，你想学会数这些图形的方法吗？
数图形，初看很容易，只要数一数就能得出结果。其实，并不
那么容易。由于几何图形千变万化，错综复杂，要想准确数出图形中所包含的某一种几何图形的个数，首先一定要仔细观察，分析比
较，掌握有条理、有次序地数图形的方法；其次要做到不重复、不
遗漏。要想不重复、不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形等图
形的个数，那就必须有次序、有条理地数，数中发现规律，以便得
到正确的结果。
数图形时，我们通常采用枚举法，可以是按顺序数，也可以是
分类数，把所要计数的对象一一列举出来。首先，我们可以从数基
本图形的个数入手；然后，我们再数出由基本图形组成的新图形的
个数；最后求出它们的和即可。数图形的常用方法和技巧如下：
不同的图形特别是规则图形，其数法还是有径可循的。图解思维训练题
例1 数出下图中共有几条线段？
图解思路
我们先来学习几种数图形的不同方法，这些方法在以后的题目中
要经常用到，且要灵活运用。
方法一 我们知道，每条线段都有2个端点。相邻两个端点之间的
线段为1条基本线段。下面我们先来数出由1条基本线段组成的线段，
共有5条，分别是AB、BC、CD、DE、EF如下图所示。
由2条基本线段组成的线段有4条，分别是AC、BD、CE、DF，如下
图。由3条基本线段组成的线段有3条，分别是AD、BE、CF，如下图。
由4条基本线段组成的线段有2条，分别是AE、BF，如下图。
最后由5条基本线段组成的线段，只有1条是AF，如下图。
最后将所有线段相加就是线段总条数。
方法二 按左边的端点变化来数，先数以A为左端点的线段有AB、
AC、AD、AE、AF，共有5条。如下图。以B为左端点的线段有BC、BD、BE、BF，共有4条。如下图。
以C为左端点的线段有CD、CE、CF，共有3条。如下图。
以D为左端点的线段有DE、DF，共有2条。如下图。
以E为左端点的线段只有1条EF。如下图。最后将所有线段相加就是线段的总条数。
其实，从右端点开始计数也是可以的，但是注意不能从左端点和
右端点同时进行计数。
规范解答
5＋4＋3＋2＋1＝15（条）
答：图中共有15条线段。
从上述两种数线段的方法中，我们可以发现数线段的规律：线段
的条数与线段上的点数是有关的。例1中线段AF有6个点，线段的条数
为（6-1）＋（6-2）＋（6-3）＋（6-4）＋（6-5）＝15（条）。假如
图中有n个点，那么线段的条数为（n-1）＋（n-2）＋（n-3）＋…＋3
＋2＋1。
例2 数出下图中共有几个角？图解思路
数的时候有三种方法。
方法一 数角的个数可以采用“数线段”的方法。我们可以先把
∠AOB、∠BOC、∠COD“编号”，即图中的∠1、∠2、∠3看作基本
角，那么先数以一个角为单位的角，有3个角，即为∠1、∠2、∠3；
再数由2个角组成的角，分别为∠1与∠2组合的∠AOC、∠2与∠3组合
的∠BOD，共计2个角；最后是由∠1、∠2、∠3组合而成的1个大角
∠AOD。最后加起来即可。具体如下图所示。方法二 以AO为一边的角有3个，分别是∠AOB、∠AOC、∠AOD；
以BO为一边的角有2个，分别为∠BOC、∠BOD；以CO为一边的角有1个
是∠COD。最后加起来即可。如下图所示。
方法三 如下图所示，只要数出从顶点O出发引出几条射线，射线
的条数相当于线段的端点，每两个端点就是一条线段，同样地，从一
个点出发引出的每两条射线就是一个角。这样我们就可以用数线段的
方法来数角的个数。所以A、B、C、D之间有4个端点，这4个端点连接
而成的线段就有3＋2＋1＝6（条）。同样，从顶点O引出的4条射线
OA、OB、OC、OD组成的角也就是6个。规范解答
3＋2＋1＝6（个）
答：图中共有6个角。
例3 数出下图中共有几个三角形？
图解思路
数的时候也有两种方法。
方法一 先数以一个小三角形为单位的三角形，有3个，分别是
△AOB、△BOC、△COD；再数由2个小三角形组成的三角形，有△AOC、
△BOD，共有2个；最后数由3个小三角形组成的大三角形，共有1个，
就是△AOD。最后加起来就是3＋2＋1＝6（个）。如下图所示。方法二 AD这条底边上共有几条线段，也就有对应的几个三角
形。这样我们就可以用数线段的方法来数出AD边上有几条线段，那么
对应的就有几个三角形。如下图。
规范解答
3＋2＋1＝6（个）
答：图中共有6个三角形。
例4 数一数，下图中共有多少个三角形？
图解思路
根据例3中数三角形的方法，我们可以将这个图分为以下三个部
分：从上图可知，△ABD中三角形有3＋2＋1＝6（个）；△DBC中三角
形有3个；△ABC中三角形有3＋2＋1＝6（个）。进而就可知道整个图
形中三角形的个数。
规范解答
（3＋2＋1）＋3＋（3＋2＋1）＝15（个）
答：图中共有15个三角形。
例5 数一数，下图中共有几个长方形？
图解思路
思路一 先找出图形的特点，大长方形是由n个基本图形组成的。
由此可以按照组成图形的基本图形的个数来数。
单个长方形，如下图所示。
由2个小长方形组成的长方形，如下图所示。由3个小长方形组成的长方形，如下图所示。
由4个小长方形组成的长方形，如下图所示。
由5个小长方形组成的长方形，如下图所示。
最后将长方形的个数加起来就是长方形的总个数。
思路二 其实长方形的个数就是底边上的线段数，这是因为每一
个长方形都和底边上的一条线段对应，所以只要数出底边的线段数，
那么长方形的个数就出来了。如下图所示。规范解答
5＋4＋3＋2＋1＝15（个）
答：图中共有15个长方形。
小结：如果图形中同一行中都是长方形，可用下列公式求出长方
形的总个数，即基本图形个数＋（基本图形个数-1）＋（基本图形个
数-2）＋…＋1＝长方形总个数。
例6 数一数，下图中共有几个长方形？
图解思路
思路一 我们可以先给基本的小长方形编号，如下图，共有6个。如下图，由两个基本长方形组成的长方形，横着数有4个，竖着数
有3个，即4＋3＝7（个）。
如下图，由三个基本长方形组成的长方形，只有横着的2个。
如下图，由四个基本长方形组成的长方形也只有2个。
由五个基本长方形组成的则没有，最后由6个基本长方形组成的长
方形也只有1个。这样长方形的个数共有6＋7＋2＋2＋1＝18（个）。
思路二 从下图我们可以看出，长方形的个数与长方形中的长与
宽的线段条数有关。长上的线段数为3＋2＋1＝6（条），宽上的线段数为2＋1＝3（条），则长方形的个数为6×3＝18（个）。至此，我们
可以得出这样的计算方法：长方形的个数＝长边上的线段数×宽边上
的线段数。
规范解答
解法一 6＋7＋2＋2＋1＝18（个）；
解法二 长上的线段数：3＋2＋1＝6（条）
宽上的线段数：2＋1＝3（条）
长方形的个数：6×3＝18（个）。
答：图中共有18个长方形。
例7 三年级有9个班，每两个班要拔河一次，一共要组织多少场
比赛？
图解思路
这类题我们可以用数线段的方法来解答。根据题意画出线段图如
下，每一个端点代表一个班级。从上图可以看出，三（1）班要与其余8个班级比赛，要赛8场；三
（2）班要与其余7个班级比赛，要赛7场；三（3）班要与其余6个班级
比赛，要赛6场……依此类推，最后三（8）班与三（9）班比赛一场。
进而就可求出一共要比赛的场数。
规范解答
8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（场）
答：一共要组织36场比赛。
小试身手
1．数出下图中各有多少条线段？
（1）
（2）
（3）
（4）
2．数出下图中各有多少个角？（1）
（2）
（3）
3．数出下图中各有几个三角形？
（1）（2）
4．数出下图中有几个长方形？
（1）
（2）（3）
（4）
5．数一数下图中有多少个平行四边形？
拓展提升
6．数一数，下图中共有几个正方形？
（1）（2）
7．我挑战：请列式计算下列各题中图形的个数，注意计数时做到
不重复、不遗漏。
（1）（2）
8．有红、黄、绿、青、蓝、紫6种颜色的花，如果每两种花扎成
一束，共有多少种不同的扎法？
9．有1～9这9个数字，能组成多少个不同的两位数？
10．豆豆一家人准备拍照，如果每2个人合照一张，一共要照多少
张照片？第十二章 等量代换的妙用
答案参见此处
知识导航
“等量代换”是解数学题时常用的一种思考方法，即两个相等
的量，可以互相代换。当年曹冲称象时，就是运用了这种方法。因
为只有当大象与一船石头的质量相等时，两次船下沉后被水面所淹
没的深度才一样，所以称大象的质量只要称出一船石头的质量就可
以了。在有些问题中，存在着两个相等的量，我们可以根据已知条件
与未知数量之间的关系，用一个未知数量代替另一个未知数量，从
而找出解题的方法。这就是等量代换的基本方法。
图解思维训练题
例1 同学们知道天平吗？天平能称出物体的质量，也能比较天平
两边物体的轻重。如果天平保持平衡，说明两边一样重。4只鸡的质量
等于2只鹅的质量，那么一只鹅的质量等于几只鸡的质量呢？
图解思路
由上图可知，一只鹅的质量等于2只鸡的质量。
规范解答
一只鹅的质量等于2只鸡的质量。
例2 一本书的价格等于两个本子的价格，一个本子的价格又等于
4支笔的价格，一本书的价格等于几支笔的价格？图解思路
规范解答
1本书的价格＝8支笔的价格
例3 如下图，1只小狗与3只小兔子一样重，1只小兔子和3只小鸡
一样重。1只小狗和几只小鸡一样重？
图解思路
如下图，1只小狗的质量＝3只小兔子的质量，1只小兔子的质量＝
3只小鸡的质量；所以3只小兔子的质量＝9只小鸡的质量，所以1只小
狗的质量等于9只小鸡的质量。
规范解答3×3＝9（只）
答：一只小狗和9只小鸡一样重。
例4 根据下图，想一想，一颗五角星等于几个圆？
图解思路
规范解答
2×3＝6（个）
答：一颗五角星等于6个圆。
小试身手
1．如果一个乒乓球重8克，那么一个足球重多少克？2．想一想，1个白皮球的质量等于几个黑皮球的质量？
3．1个菠萝的质量等于几个桃子的质量？
4．已知：1只兔子的质量＋1只猴子的质量＝8只鸡的质量，3只兔
子的质量＝9只鸡的质量，则1只猴子的质量等于几只鸡的质量？拓展提升
5．根据下图，算一算，四种水果各重多少克？
6．已知： 1只鸡的质量＋1只猴的质量＝1500克，1只猴的质量
＋1只鸭的质量＝1800克，1只鸡的质量＋1只鸭的质量＝1300克，三种
动物每只各重多少克？
7．用3个鹅蛋能换9个鸡蛋，2个鸡蛋能换4个鸽子蛋，用5个鹅蛋
能换多少个鸽子蛋？
8．20个桃子可换2个香瓜，9个香瓜可换3个西瓜，8个西瓜可换多
少个桃子？第十三章 上楼梯与锯木头
答案参见此处
知识导航
在小学数学中，上楼梯的问题也是比较经典的问题，上楼下楼
的过程中，也蕴藏着许多数学问题，日常生活中与爬楼梯类似的问
题还有锯木头的段数问题、敲钟遇到的时间问题等，都是比较经典
的问题。解决这类应用题，先要考虑它们的差别，再选择恰当的解
题方法。首先是锯木头的段数问题，对于这类问题，主要要明白锯成木头的段数比锯木头的次数多1，即段数＝次数＋1，次数＝段
数-1；其次是爬楼梯遇到的层次问题，对于这类问题，主要要明白
几楼与几层楼梯是不同的，从底楼起，楼数比楼梯层数多1，即楼数
＝楼梯层数＋1，楼梯层数＝楼数-1。
图解思维训练题
例1 工人师傅把一根木头锯成5段，锯一次要4分钟，锯完这根木
头一共要多少分钟？
图解思路
由上图可知，要锯成5段就需要锯4次，由此可求出锯完这根木头
需要的时间。
规范解答
5-1＝4（次）
4×4＝16（分钟）
答：锯完这根木头一共要16分钟。
例2 小明家住在5楼，他每上一层楼需要20秒，他从一楼到家需
要多长时间？图解思路
由上图可知，从底楼起，楼数比楼梯层数多1，小明家住在5楼那
就需要爬4层楼梯。由此可求出他从一楼到家需要的时间。
规范解答
5-1＝4（层）
20×4 ＝80（秒）
答：他从一楼到家需要80秒。
例3 一座大钟，1点敲1下，几点就敲几下，2点时要敲2下，两下
之间的间隔要用2秒，共用4秒敲完。问10点钟要敲10下，多少秒才能
敲完？
图解思路首先通过下图，帮助理解敲2下共用4秒时间，这个4秒时间的分
配。
再通过示意图，帮助孩子理解“敲10下”的时间，包括敲10下和9
个间隔的总时间。
规范解答
10＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＝28（秒）
答：28秒才能敲完。
例4 小明用15张纸订成一个本子，从头数起，每隔3页夹进一片
树叶，问这个本子内共夹进多少片树叶？
图解思路
如上图，把15张纸按3张纸一组可以分成5组，因为3＋3＋3＋3＋3
＝15。那么相邻的两个组之间的间隔就有5-1＝4（个），所以这个本
子内共夹进4片树叶。规范解答
15÷3＝5（组）
5-1＝4（片）
答：这个本子内共夹进4片树叶。
小试身手
1．张奶奶家住在六楼，她每上一层楼要走2分钟，张奶奶从一楼
走到家要用多少分钟？
2．从2楼走到5楼共要走48级台阶，如果每上一层楼的台阶数都相
同，那么从1楼到6楼共要走多少级台阶？
3．老师家住在8楼，每相邻两层楼之间有11级台阶。老师回家要
走多少级台阶？
4．时钟3点钟敲3下，6秒钟敲完。那么9点钟敲9下，多少秒钟可
以敲完呢？拓展提升
5．爸爸挑战电梯。他从二楼跑到五楼，花了18秒。电梯从一楼开
到六楼，花了35秒。你知道爸爸和电梯谁更快？
6．小明把一根木头锯成9段需要32分钟，如果他把这根木头锯成5
段需要几分钟？（请用两种方法完成）
7．李博家有一个大挂钟，时钟3时的时候敲3下，4秒钟敲完，那
么10时的时候敲10下，几秒敲完？
8．木工王师傅用锯子锯一根方木料，前后用了35分钟。他是这样
锯的：先画好线，从正中锯起，锯成两段，他又把锯好的每一段再锯
成两段，最后又把每一小段锯成两段，现在终于锯好了，请问，他锯
一次要几分钟？第十四章 倍数问题
答案参见此处
知识导航
同学们，生活中或学校里解决问题时，经常会碰到这类情况：
豆豆买的橡皮是兰兰的3倍。这里可知：兰兰买的橡皮为1份数，即1
倍数，则豆豆有这样的3份，即3倍数。用线段图表示为：从上图可以看出，倍数问题中的“几倍数”就是“几份数”，
要求“几份数（几倍数）”是多少，就是求几个相同加数的和，用
乘法计算；“倍数问题”中的“1倍数”就是“1份数”，要求“1份
数”是多少，就是把总数平均分成几份，求每份是多少，可用除法
计算。
三年级涉及的倍数问题都是一般问题。在解答倍数问题时，特
别注意要分清所求问题是属于求几倍数还是求1倍数。在稍复杂的求
几倍多几或几倍少几的量时，要先求出这个数的几倍是多少然后加
几或减几。反过来，已知一个数的几倍多几或几倍少几的量，求1倍
数时，应先减几或加几，求出几倍的对应量，然后除以倍数。已知
两个数的倍数关系和1倍数，求这两个量的和或差，可以先求出倍数
的和或倍数的差，然后再求出和或差。其数量关系和解题方法如下
图所示。
图解思维训练题例1 养殖场有白兔112只，灰兔的只数是白兔的3倍。养殖场里有
灰兔多少只？灰兔和白兔一共有多少只？
图解思路
白兔和灰兔之间的数量关系如下图所示。
从线段图可以看出，把白兔的只数看作“1倍数”，灰兔的只数有
这样的3倍就是“3倍数”，则有“112只×3＝灰兔的只数”。而两种
兔的总只数正好是白兔的（3＋1）倍。因此利用倍数关系可以求出总
数量。
规范解答
灰兔的只数：112×3＝336（只） 总只数：112＋336＝
448（只）
答：养殖场有灰兔336只，灰兔和白兔一共有448只。
例2 六一儿童节，希望工程送给希望小学一批体育活动器材，其
中有跳绳336根，跳绳的根数是毽子的3倍，毽子的个数是呼啦圈的2
倍。呼啦圈有几个？
图解思路如下图所示，利用线段图分析这三种体育器材间的数量关系。
解决此类问题的关键是根据条件中各个数量间的关系找准谁是“1
倍数”。在“一个数是另一个数的几倍”中，“另一个数”就是“1倍
数”。
规范解答
336÷3÷2＝56（个）
答：呼啦圈有56个。
例3 学校的花坛里有180株蝴蝶兰，比月季花株数的3倍少27株，
月季花有多少株？
图解思路
根据题意画线段图如下：从上图可以看出，把月季花的株数看作“1倍数”，蝴蝶兰的株数
比这样的3倍少27株，即蝴蝶兰再增加27株就正好是月季花株数的3
倍，然后平均分成3份，即可求出月季花的株数。
规范解答
（180＋27）÷3＝69（株）
答：月季花有69株。
例4 学校的花坛里有月季花567株，月季花的株数比蝴蝶兰的3倍
多27株。蝴蝶兰有多少株？
图解思路
根据题意，画出线段图如下：
从上图可知，把蝴蝶兰的株数看作“1倍数”，月季花的珠数比这
样的3倍多27株，即月季花再减去27株，正好是蝴蝶兰的3倍。求1倍数
用除法，即可求出蝴蝶兰的株数。
规范解答
（567-27）÷3＝180（株）答：蝴蝶兰有180株。
例5 学校的花坛里有180株蝴蝶兰，月季花的株数比蝴蝶兰的3倍
多27株。月季花有多少株？
图解思路
根据题意，可以画出线段图如下：
由上图可知，月季花的株数为180×3＋27＝567（株）
规范解答
180×3＋27＝567（株）
答：月季花有567株。
小试身手
1．一辆摩托车多少元？2．少年宫舞蹈队有女生28人，男生16人，合唱队的人数是舞蹈队
的3倍，合唱队有多少人？
3．果园里种的桃树有9棵，苹果树的棵数是桃树的2倍，两种果树
共有多少棵？
4．丁丁和当当都喜欢收集汽车模型。丁丁收集了39款不同的汽车
模型，当当只收集到13款不同的汽车模型，丁丁收集到的汽车模型是
当当的多少倍？
5．一只老虎的体重是344千克，一只绵羊的体重是43千克，老虎
的体重是绵羊的多少倍？拓展提升
6．去秋游，周老师买了8瓶牛奶，买的矿泉水瓶数是牛奶瓶数的3
倍，牛奶和矿泉水共多少瓶？
7．李爷爷养鸭111只，养鸡的只数比鸭多5倍，李爷爷养的鸡和鸭
一共有多少只？
8．兰兰今年9岁，妈妈的年龄是兰兰的4倍。妈妈比兰兰大多少
岁？
9．梵蒂冈和摩纳哥是世界上较小的两个国家。梵蒂冈的国土面积
是44公顷，摩纳哥的国土面积比梵蒂冈的4倍多19公顷，摩纳哥的国土
面积是多少公顷？
10．每千克普通海水中含有35克盐。亚洲和非洲之间的红海是最
咸的海，每千克海水中含的盐比普通海水的2倍少28克。红海中每千克
海水含盐多少克？第十五章 和倍问题
答案参见此处
知识导航
已知大小两个数的和，及大小两个数间的倍数关系，求这两个
数分别是多少的问题就是常说的“和倍问题”。“和倍问题”是解
决其他典型问题的基础，也是典型数学问题中的一种。要想顺利解
答“和倍问题”，必须理解题意，厘清数量关系。我们借助线段图
帮助同学们理解“和倍问题”的数量关系：这里的大数是小数的3倍，倍数是3。我们把小数看作1倍数，大
数就是3倍数。根据题意，这里将大数和小数一共平均分成了（3＋
1）份，即（倍数＋1）份。因此，“和”所对应的倍数为（倍数＋
1），那么每份是“和÷（倍数＋1）”，这就是“小数（1倍
数）”。
解答“和倍问题”的关键是要找出两数的和以及与之对应的倍
数和，进而求出1倍数、几倍数。其数量关系和解题规律如下：
熟练掌握“和倍问题”的特征，并运用线段图来帮助分析，采
用“代换”的思想来找准与“和”对应的份数，即“倍数＋1”，然
后用除法分别求出1倍数和几倍数（即较小数和较大数）。对于较复
杂的“和倍问题”还要抓住总和的变化情况（分为：不变、变多、
变少）与还原法来解题。
图解思维训练题例1 植树节到了，学校开展了植树活动。五、六年级一共植树
129棵，六年级植树的棵数是五年级的2倍，五、六年级各植树多少
棵？
图解思路
将五年级植树的棵数看成是1份数，六年级植树的棵数就是这样的
2份。画线段图如下图所示。
从上图可知，129棵树被平均分成了3份，其中的1份就是五年级植
树的棵数。五年级植树的棵数确定后，可以利用倍数关系或整体与部
分之间的关系求出六年级植树的棵数。
规范解答
总份数：2＋1＝3
五年级植树的棵数：129÷3＝43（棵）
六年级植树的棵数：43×2＝86（棵）或129-43＝86（棵）
答：五年级植树43棵，六年级植树86棵。例2 被除数、除数的和是160，商是7，余数是0。被除数和除数
各是几？
图解思路
由“商是7，余数是0”可知，被除数是除数的7倍，把除数看作1
份数，被除数有这样的7份。画成线段图如下：
如上图所示，把除数看作1份数，160就是这样的（7＋1）份。进
而就可以求出除数和被除数。
规范解答
除数：160÷（7＋1）＝20
被除数：20×7＝140
答：被除数是140，除数是20。
例3 果园里的桃树和梨树共有600棵，桃树的棵数比梨树多2倍。
果园里桃树和梨树各有多少棵？
图解思路
“桃树的棵数比梨树多2倍”，实际上就是说桃树的棵数是梨树的
2＋1＝3倍，画线段图如下图所示。从上图可知，600棵树被平均分成了4份，其中的1份就是梨树的棵
数。梨树的棵数求出后，即可求出桃树的棵数。
规范解答
梨树的棵数：600÷（2＋1＋1）＝150（棵）
桃树的棵数：150×（2＋1）＝450（棵） 或者600-150＝
450（棵）
答：梨树有150棵，桃树有450棵。
例4 果园里的桃树和梨树共有162棵，桃树的棵数比梨树的3倍多
10棵。果园里桃树和梨树各有多少棵？
图解思路
由于“桃树的棵数比梨树的3倍多10棵”，在总棵数162棵中减去
10棵后，桃树的棵数正好是梨树的3倍，如下图所示。根据上图，即可求出梨树和桃树的棵数。
规范解答
梨树的棵数：（162-10）÷（3＋1）＝38（棵）
桃树的棵数：38×3＋10＝124（棵）或者162-38＝124（棵）
答：果园里梨树有38棵，桃树有124棵。
例5 果园里的桃树和梨树共有146棵，桃树的棵数比梨树的3倍少
10棵。果园里桃树和梨树各有多少棵？
图解思路
根据题意，我们先画线段图来帮助理解。
从上图可以看出，梨树的棵数是1倍数，但桃树的棵数并不是3倍
数，它比3倍少10棵。假设给桃树增加10棵，那就是梨树棵数的3倍
了，此时的总数也增加了10棵为146＋10＝156（棵）。这156棵对应的
份数为1＋3＝4（份），由此即可求出1份数，即梨树的棵数。梨树的
棵数求出后，即可求出桃树的棵数。
规范解答梨树的棵数：（146＋10）÷（3＋1）＝39（棵）
桃树的棵数：39×3-10＝107（棵）或者146-39＝107（棵）
答：果园里梨树有39棵，桃树有107棵。
小试身手
1．亮亮和明明为希望工程共捐款180元，亮亮捐的钱数是明明的2
倍，亮亮和明明分别捐款多少元？
2．今年陈亮和爷爷的年龄一共是95岁，爷爷的年龄是陈亮的4
倍，陈亮和爷爷今年各多少岁？
3．父亲年龄是小亮的4倍，父子年龄相加是45岁。请问：父子相
差多少岁？
4．甲、乙两人骑车，2小时共行了480千米，甲的速度是乙的2
倍。甲、乙两人每小时分别行了多少千米？
5．一块果林种植了6排果树，共120棵。每排的桃树棵数是杨梅树
的3倍。每排桃树和杨梅树各有多少棵？拓展提升
6．水果店共有苹果和梨260千克，苹果卖出70千克，梨又运进10
千克，这时苹果的质量正好是梨的3倍。原来苹果、梨各有多少千克？
7．学校体育室里有篮球和排球共48个，篮球的个数比排球个数多
2倍。篮球和排球分别有多少个？
8．学校里书法小组和美术小组一共有88人，书法小组的人数比美
术小组的4倍少7人，书法小组有多少人？
9．甲桶有油69千克，乙桶有油36千克，甲桶倒入乙桶多少千克
油，乙桶中油的质量才是甲桶中油的质量的2倍？第十六章 差倍问题
答案参见此处
知识导航
前面我们已经初步掌握了“和倍问题”的题型特征和解题策
略、方法。如果知道了大小两个数的差和两个数的倍数关系，要求
两个数各是多少，这类问题我们把它叫作“差倍问题”。与“和倍
问题”一样，“差倍问题”也是其他典型问题的基础。我们同样可
以用线段图来理解大小两个数间的“差倍”。这里，大数是小数的3倍，倍数为3。由上图可知，这里大数比
小数大3-1＝2倍，那么大数与小数的“差”所对应的倍数是（倍数
—1）。这样就可求出1倍数，即较小数。
“差倍问题”和“和倍问题”有相似之处，解答“差倍问题”
与“和倍问题”的方法也类似，只要先找出差所对应的倍数，从而
求出1倍数，再求出几倍数。此时可充分利用线段图来帮助分析数量
关系。
“差倍问题”的基本数量关系式是
两数差÷（倍数-1）＝小数（1倍数）；
小数（1倍数）×倍数＝大数（几倍数）
或两数差＋小数（1倍数）＝大数（几倍数）。
图解思维训练题例1 妈妈到市场买水果，她买的橘子的个数是苹果的5倍，橘子
比苹果多112个，妈妈买的橘子和苹果各多少个？
图解思路
可以把苹果的个数看作1份数，则橘子的个数是这样的5份。如下
图。
从上图可以看出橘子的份数比苹果多5-1＝4（份），这4份是112
个。所以把112平均分成4份，就可以求出苹果的个数，再用苹果的个
数加112，或用苹果的个数乘5就可以求出橘子的个数。
规范解答
相差的份数：5-1＝4（份）
苹果的个数：112÷4＝28（个）
橘子的个数：112＋28＝140（个）或28×5＝140（个）
答：妈妈买的苹果有28个，橘子有140个。
例2 被除数比除数大64，商是5，被除数、除数各是多少？
图解思路根据“商是5”可知，被除数是除数的5倍，我们把除数看作1倍
数，被除数就是这样的5倍数。
从上图可以看出，被除数比除数大64，正好相当于除数的（5-1）
倍，用64÷（5-1）＝16就可得到除数，进而可求出被除数。
规范解答
除数：64÷（5-1）＝16
被除数：16＋64＝80
答：被除数是80，除数是16。
例3 除数比被除数小95，商是4，余数是2。请问，被除数是多
少？
图解思路
根据题意，画出线段图如下：从线段图可以看出，被除数减去余数后正好是除数的4倍，即
“95-2”所对应的倍数为（4-1）倍。根据数量关系就可求出除数和被
除数。
规范解答
除数：（95-2）÷（4-1）＝31
被除数：31＋95＝126
答：被除数是126。
例4 有甲、乙两桶花生油，甲桶比乙桶多56千克，如果将乙桶的
花生油吃掉4千克，这时甲桶油的质量是乙桶油的4倍。请问，甲、乙
两桶油原来各有多少千克？
图解思路
根据题意，画出线段图如下：从上图可以看出，乙桶油吃掉4千克后为1份数，甲桶油有这样的4
份。甲桶油比乙桶油多的56＋4＝60（千克）相对应的份数为4-1＝
3（份）。这样根据“差倍问题”的数量关系式就可求出1份数，进而
就可求出甲、乙两桶油的质量。
规范解答
乙桶油的质量：（56＋4）÷（4-1）＋4＝60÷3＋4＝24（千克）
甲桶油的质量：24＋56＝80（千克）
答：甲桶油原来有80千克，乙桶油原来有24千克。
例5 小丹、小敏两人存压岁钱，小丹存的钱数是小敏的3倍。
“爱心”捐款活动，小丹从压岁钱里拿出240元，小敏拿出40元。这时
两人剩下的压岁钱数正好相等。请问，小丹、小敏原来各有多少元压
岁钱？
图解思路
根据题意，画线段图如下。
从上图可以看出，小敏存的钱数是1倍数，小丹存的钱数是3倍
数，小丹、小敏分别拿出240元、40元捐款后剩下的钱数相等，说明240-40＝200（元）就是小丹、小敏两人压岁钱的钱数差，而这200元
相对应的份数即为3-1＝2（份），这样就可以求出1倍数了。从而求出
小丹、小敏原来各有的钱数。
规范解答
小敏原来存的压岁钱数：
（240-40）÷（3-1）＝100（元）小丹原来存的压岁钱数：
100×3＝300（元）
答：小丹原有压岁钱300元，小敏原有压岁钱100元。
小试身手
1．一件皮衣的价钱是一件羽绒服价钱的3倍，一件皮衣比一件羽
绒服贵560元，皮衣和羽绒服各多少元？
2．一头大象的体重正好比一头牛重3040千克，大象的体重正好比
这头牛的体重的6倍还多10千克。大象和牛各重多少千克？
3．哥哥有240元钱，弟弟有100元钱。两人到商场花去了同样多的
钱后，哥哥剩下的钱正好是弟弟剩下的钱的3倍，哥哥、弟弟各剩下多
少元？4．有甲、乙两根绳子，甲绳比乙绳多45米，如果乙绳用去5米，
这时甲绳的米数是乙绳的6倍。 原来甲、乙两根绳子各有多少米？
5．甲、乙两框水果质量相等，如果从甲框中拿出30千克放入乙
框，那么乙框水果的质量正好是甲框的3倍。 原来甲、乙两框水果都
是多少千克？
拓展提升
6．兄妹俩存压岁钱，月月存的钱数是亮亮的3倍。“爱心捐款”
活动，月月捐了380元钱，亮亮捐了110元钱，这时两人剩下的钱数正
好相等。兄妹俩原来各存有多少压岁钱？
7．原来甲、乙两桶油质量相等。现在用了6千克甲桶油，乙桶油
又倒入14千克以后，乙桶油的质量是甲桶油的3倍。甲、乙两桶油现在
各有多少千克？
8．有甲、乙两筐桃子，甲筐的质量是乙筐的3倍。如果甲筐卖出
30千克，乙筐增加110千克。这时甲、乙两筐的质量正好相等。甲、乙两筐原来各有多少千克桃子？
9．图书柜里有少儿绘本读物和科普书，少儿绘本读物的本数是科
普书的5倍。如果少儿绘本读物借出去120本，科普书增加40本，这时
两种书的本数正好相等。图书柜里原有少儿绘本读物和科技书各多少
本？第十七章 和差问题
答案参见此处
知识导航
在我们平时的生活和学习中，经常会碰到这样的问题：妈妈和
我共47岁，妈妈比我大25岁。算算妈妈几岁，我几岁？像这类已知
两个数的和与两个数的差，求这两个数各是多少的问题就是典型的
“和差问题”。可用线段图表示如下：从上图可知，两数和加上两数差就是两个大数；两数和减去两
数差就是两个小数。因此，在解答“和差问题”时结合线段图分析
通常使用假设法。可以假设小数增加到与大数同样多，先求大数再
求小数；也可以假设大数减小到与小数同样多，先求小数再求大
数。常用的数量关系式为：
较复杂的“和差问题”可画线段图和用“还原法”来帮助解
答。
图解思维训练题
例1 植树节到了，学校开展了植树活动。五、六年级一共植树
166棵，已知六年级植树的棵数比五年级多12棵。五、六年级各植树多
少棵？
图解思路
用线段图表述题中的数量关系如下：思路一 由图（1）可知，166棵加上12棵的和正好等于六年级植
树棵数的2倍。如图（2）所示。
因此，可以先求出六年级植树的棵数，再求出五年级植树的棵
数。
思路二 由图（1）可知，166棵减去12棵的差正好等于五年级植
树棵数的2倍。如图（3）所示。因此，可以先求出五年级植树的棵数，再求出六年级植树的棵
数。
规范解答
解法一 166＋12＝178（棵）
六年级：178÷2＝89（棵）
五年级：89-12＝77（棵）
解法二 166-12＝154（棵）
五年级：154÷2＝77（棵）
六年级：77＋12＝89（棵）
答：五年级植树77棵，六年级植树89棵。
例2 姐姐和妹妹的年龄和是35岁，3年以后，姐姐比妹妹大5岁。
请问，今年姐姐和妹妹各是几岁？
图解思路
由题意可知，姐姐和妹妹的年龄和是35岁，由于两人的年龄差是
始终不变的，所以3年以后的年龄差也就是今年的年龄差。画线段图如
下。根据上图，再利用和差关系可求出姐姐、妹妹的年龄。
规范解答
解法一 35＋5＝40（岁）
姐姐：40÷2＝20（岁）
妹妹：35-20＝15（岁）
解法二 35-5＝30（岁）
姐姐：30÷2＝15（岁）
妹妹：15＋5＝20（岁）
答：姐姐今年20岁，妹妹今年15岁。
例3 甲、乙两桶油共72千克，从甲桶往乙桶倒入9千克后，两桶
油的质量正好相等。甲、乙两桶油原来各有多少千克？
图解思路
题中已给出两数的和为72千克，关键是要求出差，根据题意画图
如下：从上图可以看出，甲桶油倒出9千克，乙桶油倒入9千克，甲、乙
两桶油的质量才相等。也就是说甲桶油比乙桶油多2个9千克，即差为
9×2＝18（千克）。利用和差关系可求出甲、乙两桶油原来的 质
量。
规范解答
解法一 甲桶油比乙桶油多多少千克？9×2＝18（千克）
甲桶原有油多少千克？
（72＋18）÷2＝45（千克）
乙桶原有油多少千克？
45-18＝27（千克）或72-45＝27（千克）
解法二 甲桶油比乙桶油多多少千克？9×2＝18（千克）
乙桶原有油多少千克？
（72-18）÷2＝27（千克）
甲桶原有油多少千克？27＋18＝45（千克）或72-27＝45（千克）
解法三 甲、乙两桶油现在各有多少千克？
72÷2＝36（千克）
乙桶原有油多少千克？
36-9＝27（千克）甲桶原有油多少千克？
36＋9＝45（千克）或 72-27＝45（千克）
答：甲、乙两桶油原来各有45千克和27千克。
例4 甲乙两桶油共72千克，如果从甲桶往乙桶倒入9千克后，那
么乙桶油就比甲桶油多4千克。请问甲、乙两桶油原来各有多少千克？
图解思路
根据题意画线段图如下：
从上图可知，“从甲桶往乙桶倒入9千克后，那么乙桶油就比甲桶
油多4千克”也就是“甲桶油的质量-9千克＝乙桶油的质量＋9千克-4
千克”，这样原来甲桶油比乙桶油多［9＋（9-4）］＝14（千克）。
利用和差关系可求出甲、乙两桶油的质量。
规范解答
解法一 甲桶油比乙桶油多多少千克？［9＋（9-4）］＝14（千
克）甲桶原有油多少千克？
（72＋14）÷2＝43（千克）乙桶原有油多少千克？
43-14＝29（千克）或72-43＝29（千克）
解法二 甲桶油比乙桶油多多少千克？［9＋（9-4）］＝14（千
克）
乙桶原有油多少千克？
（72-14）÷2＝29（千克）
甲桶原有油多少千克？
29＋14＝43（千克）或72-29＝43（千克）
答：甲桶原有油45千克，乙桶原有油27千克。
例5 小豆、小亮、小丽三位小朋友共集邮100张，其中小亮比小
豆多集邮16张，小丽比小豆少集邮18张。小豆、小亮、小丽各集邮多
少张？
图解思路
用线段图表示题意如下：从上图可知，如果把小豆集邮的张数当作标准，假设小亮、小丽
集邮的张数都和小豆集邮一样多，那么总张数就变为100-16＋18＝
102（张），102÷3就是小豆集邮的张数，进而就可以求出其他人的集
邮张数。
规范解答
小豆：（100-16＋18）÷3＝34（张）小亮：34＋16＝50（张）
小丽：34-18＝16（张）
答：小豆、小亮、小丽各集邮34张、50张、16张。
小试身手
1．青藏公路和康藏公路共长4052千米，青藏公路比康藏公路短
178千米。这两条公路各长多少千米？
2．3．兰兰期末考试时语文、数学的平均分是97分，数学比语文多4
分。请问兰兰的语文、数学各为多少分？
4．丁丁和亮亮今年共收到压岁钱86元，如果丁丁给亮亮2元，则
两人的压岁钱同样多。请问丁丁和亮亮各有多少压岁钱？
5．两袋大米共重100千克，若从甲袋中取出12千克放到乙袋中，
这时甲袋还比乙袋多4千克。两袋大米原来各有多少千克？
拓展提升
6．有A、B、C三个储蓄罐共存钱310元，若A罐比B罐多50元，B罐
比C罐多10元，请问A罐存钱多少元？
7．丁丁、当当、旺旺三人的年龄和是47岁，丁丁比当当大8岁，
比旺旺大2岁。请问，丁丁、当当、旺旺各有多少岁？
8．体育老师买回93个球，其中乒乓球的个数是足球的2倍，足球
的个数比篮球少5个，这三种球各买了多少个？9．兰兰期中考试，语文、数学、英语的平均分是93分，数学比语
文多得7分，英语比语文多得11分。兰兰语文、数学、英语各得多少
分？
10．甲、乙两个书架共放386本书，乙、丙两个书架共放412本
书，甲、丙两个书架共放398本书，甲、乙、丙三个书架各放多少本
书？第十八章 年龄问题
答案参见此处
知识导航
在日常生活中，我们常会遇到这样的问题：今年我比你大4岁，
再过5年，我比你大几岁？可能有个别小朋友会认为5年后就大9岁
了。问题出在哪里呢？原来有些小朋友忘记了大家的年龄都是一起
在增长的。这就是我们这一章要研究的一个典型的数学问题——
“年龄问题”。“年龄问题”中有一个很重要的规律：无论在哪一年，两个人
的年龄差是永远不变的。这是因为两个人是同时长大的。但这两个
人年龄的倍数关系却是不断变化的。所以，我们在解决问题时要同
时考虑两个人或几个人的年龄变化情况，来灵活地解决问题。
“年龄问题”可以说是前面几章所讲的“和差问题”“差倍问
题”“和倍问题”在实际生活中的综合运用。因此要正确解决这类
问题，我们可以抓住“差不变”这个特点，将“年龄问题”转化为
“和差”“差倍”等问题，然后利用“和差”“差倍”等知识来分
析解决这类问题。借助线段图可以很好地分析解决这类问题。另
外，解题过程中同学们一定要注意年数与岁数的联系和区别，经过
几年就是增加几岁。
图解思维训练题
例1 五年前爸爸的年龄是儿子的4倍，爸爸今年45岁，儿子今年
几岁？
图解思路
今年，爸爸45岁，则5年前爸爸的年龄为45-5＝40（岁）。
根据题意画线段图如下：由上图可知，爸爸5年前的年龄40岁正好是儿子5年前年龄的4倍，
那么儿子5年前的年龄为40÷4＝10（岁），进而就可求出儿子今年的
年龄。
规范解答
（45-5）÷4＋5＝15（岁）
答：儿子今年15岁。
例2 老师和学生今年的年龄和是58岁。7年后老师的年龄是学生
的2倍。老师和学生今年各多少岁？
图解思路
7年后老师和学生的年龄和为58＋7×2＝72（岁），根据题意画线
段图如下：通过上图我们可以看出，7年后，如果按学生的年龄是1倍量来
看，老师的年龄就是2个这样的1倍量，老师和学生的年龄和一共是3个
1倍量。而此时他们的年龄总和就是58＋7×2＝72（岁），由此可求出
7年后学生和老师的年龄，进而求出老师和学生今年的年龄。
规范解答
7年后的年龄总和：58＋7×2＝72（岁）
7年后学生的年龄：72÷（2＋1）＝24（岁）
7年后老师的年龄：24×2＝48（岁）
今年学生的年龄：24-7＝17（岁）
今年老师的年龄：48-7＝41（岁）
答：老师今年41岁，学生今年17岁。
例3 今年爸爸、妈妈的年龄和为80岁，5年前，爸爸比妈妈大4
岁。请问，今年爸爸、妈妈各几岁？
图解思路
5年前，爸爸比妈妈大4岁，则今年，爸爸比妈妈大4岁。根据题意
画线段图如下。根据上图，再利用“和差问题”的解题规律就可求出今年爸爸、
妈妈各自的年龄。
规范解答
爸爸的年龄：（80＋4）÷2＝42（岁）
妈妈的年龄：（80-4）÷2＝38（岁）或者80-42＝38（岁）
答：今年爸爸42岁，妈妈38岁。
例4 父亲、母亲、儿子一家三人，今年全家年龄和为75岁，而10
年前三人的年龄和为46岁。父亲比母亲大4岁，求今年每人的年龄。
图解思路
由上图可知，10年间三人一共增加了29岁，而10年间3人应该增长
30岁才对，为什么只增长29岁？说明孩子当时还没有出生，所以可以判断孩子应该是9岁。父亲和母亲的年龄总和是75-6＝66（岁），父母
的年龄和知道后就可以按照差倍问题进行求解。
规范解答
75-46＝29（岁）
29-10×2＝9（岁）
75-9＝66（岁）
（66＋4）÷2＝35（岁）
35-4＝31（岁）
答：今年父亲的年龄为35岁，母亲的年龄为31岁，儿子的年龄为9
岁。
例5 姐、弟俩今年的年龄和是35岁，当姐姐像弟弟现在这么大
时，弟弟的年龄恰好是姐姐的年龄的一半。姐姐今年几岁？
图解思路
我们可以借助线段图来思考：根据“当姐姐像弟弟现在这么大
时，弟弟的年龄恰好是姐姐的年龄的一半”，可作出如下线段图：从上图可以看出，如果把弟弟此时的年龄看作是1份数，则姐姐此
时的年龄就有这样的2份，此时姐弟俩的年龄差就是弟弟此时的年龄。
而这个年龄差是永远不变的。姐弟俩都要加上这个年龄差才可得到今
年的年龄。如下图所示。
由上图可知，姐弟俩的年龄和为35岁，对应年龄和的正好为5份，
所以每份是35÷5＝7（岁），进而就可求出姐姐今年的年龄。
规范解答
35÷（2＋1＋1＋1）×（2＋1）＝21（岁）
答：姐姐今年21岁。
小试身手1．（1）8年后，姐姐比青青大几岁？
（2）当姐姐25岁时，青青几岁？
2．丽丽一家三口的年龄和是78岁。7年后，一家三口的年龄和是
多少岁？
3．今年丽丽和妈妈的年龄和是50岁。5年后，妈妈的年龄是丽丽
年龄的3倍，丽丽和妈妈今年各多少岁？
4．姐姐和弟弟两人今年的年龄和为16岁，4年前，姐弟俩的年龄
和为10岁。姐弟俩今年各几岁？
5．今年爸爸和儿子两个人的年龄和是38岁。5年前，爸爸比儿子
大26岁。今年，爸爸、儿子各几岁？拓展提升
6．甲、乙、丙三人的平均年龄是42岁，如果将甲的年龄加上7
岁，乙的年龄扩大到原来的2倍，丙的年龄减少一半，三人的年龄相
等。那么三人的年龄各是多少？
7．张明今年12岁，五年前爷爷的年龄是张明的9倍，爷爷今年多
少岁？
8．今年小刚的年龄是明明年龄的5倍，25年后，小刚的年龄比明
明的年龄的2倍少16岁，今年小刚、明明各多少岁?
9．兄弟两人的年龄相差5岁，哥哥3年后的年龄是弟弟4年前的3
倍。问：兄弟两人今年各几岁？第十九章 植树问题
答案参见此处
知识导航
植树问题是一种典型的数学问题，是借助“植树”中的现象，
研究间隔数与棵数之间的关系，并以此解决其他类似的数学问题。
如爬楼梯、锯木头、敲钟、插红旗、安路灯、排队、年岁等问题。
这些问题的共性：都隐藏着间隔数与棵数之间的关系。同学们在学习这章内容时，有个“1”总是困扰着大家，到底什
么时候加上“1”，什么时候减去“1”呢？其实要想突破这一点也
并不难，利用我们常用的“份总关系”就轻而易举地解决了。三年
级中的植树问题所涉及的分类和日常生活中有关问题如下图所示。
图解思维训练题
例1 春天来了，小朋友们来到一条长40米的小路一边植树，从头
到尾每隔5米种一棵，一共要种多少棵树？
图解思路
根据题意可知这种情况属于两端都种，如何理解“棵数＝段数＋
1”，请看下图：我们知道全长÷每段长＝段数，把一个点与一段线组合成1组，那
么有8组就是8份。因为除了这8组外还多了一个点，所以要加上1，得
到种树的棵数。
规范解答
（1）一共有几个间隔（段）：40÷5＝8（个）
（2）一共要种几棵树:8＋1＝9（棵）
答：一共要种9棵树。
例2 春天来了，小朋友们来到一条长40米的小路一边植树，这条
小路的头尾都有灯杆，每隔5米种一棵，一共要种多少棵树？
图解思路
依据题意，因为小路头尾各有一根灯杆，说明两端是不用栽树
的，也就是植树问题中的两端都没有种的情况。依然是全长÷每段长
＝段数，把一个点与一段线组合成1组，那么第8组没有对应的点，说
明不是完整的8份，就减去1。如下图。
规范解答
（1）一共有几个间隔（段）：40÷5＝8（个）（2）一共要种几棵树:8-1＝7（棵）
答：一共要种7棵树。
例3 春天来了，小朋友们来到一条起始处有报亭、长40米的小路
一边植树，每隔5米种一棵，一共要种多少棵树？
图解思路
依据题意，因为小路起始处有一个报亭，说一端栽树一端不栽
树。因为我们知道全长÷每段长＝段数，只要把一个点与一段线组合
成1组，那么有8组就是8份，如下图即要8棵树。
规范解答
一共有几个间隔（段）：40÷5＝8（个）
答：一共要种8棵树。
例4 在一个周长为60米的池塘边栽树，每隔4米栽一棵树，一共
可以栽多少棵树？
图解思路不论这个池塘是什么形状，种的树都可以围成一个封闭的图形。
从下图的几种情况可以看出，在封闭的图形中有几个间隔，就能种几
棵树，即间隔数（段数）＝棵数。
规范解答
60÷4＝15（棵）
答：一共可以栽15棵树。
小试身手
1．有一条2000米的公路，在路一边每相隔50米埋设一根路灯杆，
从头到尾需要埋设路灯杆多少根？
2．某大学从校门口的门柱到教学楼墙根，有一条1000米的甬路，
每边相隔8米栽一棵白杨，可以栽白杨多少棵？3．一个圆形池塘，它的周长是150米，每隔3米种一棵树。问：共
需树苗多少棵？
4．一根木料截成5段要16分钟，如果每截一次的时间相等，那么
截7段要几分钟？
5．从1楼走到4楼共要走48级台阶，如果每上一层楼的台阶数都相
同，那么从1楼到6楼共要走多少级台阶？
拓展提升
6．马路的每边相隔7米有一棵国槐，小军乘无轨电车3分钟看到马
路的一边有国槐151棵，无轨电车每小时行多少千米？
7．老师家住在6楼，每相邻两层楼之间有16级台阶。老师回家要
走多少级台阶？
8．时钟3点钟敲3下，6秒钟敲完。那么9点钟敲9下，多少秒钟可
以敲完呢？9．从0开始，5个5个数，最后一个是200，一共有几个数？第二十章 平均数问题
答案参见此处
知识导航
在生活中我们经常听到“平均数”这个词，那么什么叫平均
数，平均数怎么求呢？学会了求平均数又有什么用呢？
平均数就是将一组数据的和（总数量）除以这组数据的个数
（总份数），所得的商叫作平均数。它可以描述一组数据本身的总体情况，也可以作为不同数据比较的一个指标。通过以上这句话我
们知道：平均数与“总数量、总份数”有关。
三年级中所涉及的是简单平均数问题，其数量关系和解题方法
如下图所示：
图解思维训练题
例1 体育课上老师测跳绳，小刚一分钟跳60个，小红跳50个，小
明跳90个，小芳跳80个，他们一分钟平均跳多少个？
图解思路
思路一 公式法：关键是要找出总数量、总份数，总数量是四个
人跳绳的总数，总份数是4个人。思路二 移多补少：对于几个不相等的数量，在保持总数不变的
前提下，从数量多的中拿出一部分补给数量少的，使它们变成相同的
数，这个相同的数就是这几个数的平均数。
思路三 基数法：就是先在一组数中确定一个数作为标准，通常
是选取这组数据中最小一个数（取最小数法）或最大值和最小值中间
的某个比较整的数（取中间数法）作为标准来求平均数的一种方法。
规范解答
解法一解法二
解法三
答：他们一分钟平均跳70个。
例2 一班、二班、三班做纸红花。一班和三班共做了56朵，二班
和一班共做了42朵，三班和二班共做了38朵，三个班各做了多少朵？
图解思路
根据题意可以画出如下关系图：由上图可知一班＋三班＝56朵，三班＋二班＝38朵，一班＋二班
＝42朵，根据以上三式即可求出结果。
规范解答
三班:（56-42＋38）÷2＝26（朵）
一班:56-26＝30（朵）
二班：38-26＝12（朵）
答：一班30朵，二班12朵，三班26朵。
例3 书法小组5个人平均每天写10个毛笔字，小红每天写16个
字，6个人平均每天写多少个字？
图解思路
规范解答
答：6个人平均每天写11个字。小试身手
1．小点点期中考试语文、科学和英语三科平均成绩是83分，数学
成绩公布后，他的平均成绩提高了2分。他的数学考了多少分？
2．甲、乙、丙三个数的平均数为87，甲、丙、丁三个数的平均数
为85，已知丁是84，那么乙是多少？
3．24名同学平均分一堆图书，后来又加了1名同学，大家重新分
这些书。每人平均比原来少2本。这批图书共多少本？
4．八个数排成一列，它们的平均数是54。前五个数的平均数是
46，后四个数的平均数是68，第五个数是多少？
5．有五个数，它们的平均数为73。小添添把其中一个数改为98，
平均数变成了81。被变动的那一个数是多少？
拓展提升6．有红、黄、蓝三种颜色的弹子，已知红、黄两种平均7粒，
黄、蓝两种平均8粒，红、蓝两种平均9粒。算一算红颜色的有多少
粒？黄颜色的有多少粒？蓝颜色的有多少粒？
7．甲、乙、丙三人参加少年杯知识竞赛。甲、乙共得195分，
乙、丙平均98分，甲、丙共得191分。三个人的平均成绩是多少分？
8．有七个自然数，它们的平均数为15，去掉其中一个，剩下的六
个数的平均数为16，又去掉其中一个，剩下的五个数的平均数为17，
去掉的那两个数的乘积是多少？第二十一章 重叠问题
答案参见此处
知识导航
同学们，一年级时我们学过排队问题，如“从前面数豆豆排在
第3，从后面数豆豆排在第5，这一排一共有多少人？”这里的豆豆
被重复数了两次。在生活中我们经常看到这样的现象，一张宽纸条
长13厘米，一张窄纸条长6厘米，但两张纸条黏合后却只有14厘米长，如下图，这是怎么回事呢？原来两张纸条黏合后，黏合部分有5
厘米长重叠在一起了。我们将这类问题叫作重叠问题。
重叠问题有一个明显的数学原理：包含与排除。即当两种东西
或两个计数部分相互有重复包含时，为了不重复计数，应该从它们
的和中去掉重复部分，这就是“去掉重复数值法”。在三年级涉及
的“重叠问题”还是比较简单的重叠。
解决“重叠问题”时，同学们必须从条件入手进行认真的分
析，最好借助线段图或韦恩图等示意图进行思考，搞清哪些部分是
重叠的，重复了几次，明确要求的是哪一部分，再根据基本原理进
行解答。
图解思维训练题
例1 六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗
是第8面，从后数起，红旗是第10面。这行彩旗共有多少面？
图解思路
根据题意，画出下图：从上图可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起是第10面，这
样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有8＋10-1＝
17（面）。
规范解答
8＋10-1＝17（面）
答：这行彩旗共有17面。
例2 把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如
果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木
板各长多少厘米？
图解思路
根据题意，画出下图：由上图可知，把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度
就是重叠部分，重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120
＋16＝136（厘米），每块木板的长度是136÷2＝68（厘米）。
规范解答
两块木板的总长度是120＋16＝136（厘米）
每块木板的长度是136÷2＝68（厘米）
答：这两块木板各长68厘米。
例3 三（9）班同学参加了绘画、书法这两个课外小组。已知参
加绘画小组的有32人，参加书法小组的有30人，两个小组都参加的有9
人。三（9）班共有学生多少人？
图解思路
根据题意，画图如下：从上图可以看出，中间重叠部分（阴影）表示绘画小组、书法小
组都参加的，这9人既被包含在参加绘画小组的32人中，又被包含在参
加书法小组的30人中，所以重复计算了一次。要计算全班人数，必须
从32＋30＝62（人）中去掉被重复的9人。
规范解答
32＋30-9＝53（人）
答：三（9）班共有学生53人。
例4 三（1）班有学生56人，每人至少参加跳绳和踢毽子比赛中
的一种。已知参加跳绳比赛的有35人，参加踢毽子比赛的有39人。请
问，两项比赛都参加的有多少人？
图解思路
根据题意，画出示意图如下：上图中间重叠部分表示两种比赛都参加的人数。把参加跳绳比赛
和参加踢毽子比赛的人数都加起来有35＋39＝74（人），这74人比全
班总人数56人多出了74-56＝18（人）。这多出的18人既参加了跳绳比
赛，又参加了踢毽子比赛，即两项比赛都参加的人数。
规范解答
35＋39-56＝18（人）
答：两项比赛都参加的有18人。
例5 三（3）班有学生48人，参加学校舞蹈队的有20人，既参加
舞蹈队又参加大合唱的有9人，两项比赛都没有参加的有12人。参加大
合唱的有多少人？
图解思路
根据“三（3）班有学生48人”和“两项比赛都没有参加的有12
人”这两个条件，可以得出至少参加一项活动的有48-12＝36（人）。
画出示意图如下：从上图可以看出，参加大合唱的人数包括两部分：一部分是没有
参加舞蹈队只参加大合唱的人，另一部分是既参加大合唱又参加舞蹈
队的9人。如果从36人里面去掉参加舞蹈队的20人就可知道只参加大合
唱的人数，又根据两项都参加的有9人，就可知道参加大合唱的人数。
规范解答
48-12-20＋9＝25（人）
答：参加大合唱的有25人。
例6 同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是
第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。做
操的同学共有多少人？
图解思路根据题意，画出下图：
由上图可以看出，小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3
个，说明横行有4＋3-1＝6（人）；从前数起是第5个，从后数起是第6
个，说明竖行有5＋6-1＝10（人），所以做操的同学共有6×10＝
60（人）。
规范解答
横行有4＋3-1＝6（人）
竖行有5＋6-1＝10（人）
做操的同学共有6×10＝60（人）答：做操的同学共有60人。
小试身手
1．为庆祝六一儿童节，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华
的位置从左数起是第2个，从右数起是第4个；从前数起是第3个，从后
数起是第5个。鲜花队共有多少人？
2．三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅
的位置从前数起是第6个，从后数起是第5个；从左数起、从右数起都
是起第3个。三（4）班共有学生多少人？
3．（1）一次排队，从左边开始报数，林林报了“18”，明明报
了“21”；从右边开始报数，林林报了“16”，明明应该报多少？
（2）20个小朋友排成一排，从左往右数，冰冰排在第8个，从右
往左数，洪洪排在第3个。请问：冰冰和洪洪之间有几个小朋友？
（3）20个小朋友排成一排，从左往右数，小亮排在第15个，从右
往左数，小丁排在第18个。请问：小亮和小丁之间有几个小朋友？（4）同学们排队做游戏，每行人数同样多。兰兰的位置从左数
起、从右数起、从前数起、从后数起都是第2个。请问：做游戏的有多
少人？
（5）同学们排队做操，每行人数同样多。兰兰从前数起是第4
个，从后数起是第3个，从左数起是第5个，从右数起是第4个。请问：
做操的一共有多少人？
（6）同学们做操，排成方形队伍。无论从前数起、从后数起、从
左数起还是从右数起，兰兰都是第3个。这支队伍共有多少人？
4．有两块一样长的木条，钉在一起，如果每块木条长25厘米，中
间钉在一起的长5厘米，现在木条有多长？
5．把两段一样长的纸条黏合在一起，形成一段更长的纸条。这段
更长的纸条长86厘米，中间重叠部分是8厘米。请问，原来两段纸条各
长多少厘米？6．两根木条黏合放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木条
长48厘米，中间重叠部分长12厘米。另一根木条长多少厘米？
拓展提升
7．两块木板各长75厘米，像下图这样钉成一块长130厘米的木
板，中间重合部分是多少厘米？
8．如下图，四根长都是8厘米的绳子，把它们打结连在一起，成
为一根长绳，打结处每根绳用去1厘米，绳结长度不计，现在这根长绳
长多少厘米？
9．一个正方形的每条边都有5个圆点（如下图）。请问，共有多
少个点？10．如下图所示，给一个三角形架子挖孔，每条边挖4个孔。请
问：这个三角形架子至少要挖多少个孔？
11．有两块边长分别为8厘米和5厘米的正方形地砖放在地上（如
下图），重叠部分的面积是2平方厘米，这两块地砖盖住地面的面积是
多少？12．如下图所示，有一块正方形木板和一块三角形木板，正方形
木板的边长是8厘米，三角形的面积是正方形面积的一半，已知两块木
板覆盖住地面的面积为87平方厘米。请问，正方形木板和三角形木板
重叠部分的面积有多大？第二十二章 “假设”解题
答案参见此处
知识导航
在解决问题时，有一种常用且巧妙的思考方法——假设法。所
谓“假设法”就是根据题目中的已知条件做出合理的假设，然后在
假设的基础上进行推理，适当调整由于假设而引起数量变化的矛
盾，使题目中数量关系变得明显起来，从而找到解决问题的方法。三年级同学初步接触“假设法”，在运用“假设法”解决问题
时，要通过丰富的想象，假设出既合乎题意又新奇巧妙，既简单又
便于计算的条件。如可以假设为问题的情节发生了变化，也可以假
设问题中的两个或几个数量是相等的，也可以假设题目中的某个数
量增加或减少了等。用“假设法”解决问题有时会更简捷。
图解思维训练题
例1 一个正方形的边长扩大3倍，那么周长扩大几倍？面积扩大
几倍？图解思路
根据题意，我们知道这道题有三类量在变化：正方形的边长、周
长和面积。我们可以把原来正方形的边长假设为1厘米，依据题意可画
出图示：
规范解答
假设这个正方形的边长为1厘米，则周长为1×4＝4（厘米），面
积为1×1＝1（平方厘米）。
这个正方形的边长扩大3倍，则周长为3×4＝12（厘米），面积为
3×3＝9（平方厘米）。所以周长扩大的倍数为12÷4＝3，面积扩大的倍数为9÷1＝9。
答：周长扩大3倍，面积扩大9倍。
例2 植树节，大洋小学四、五年级学生参加植树活动。四年级同
学种了150棵，五年级同学种的棵数比四年级种的棵数的2倍少20棵。
两个年级共植树多少棵？
图解思路
根据题意，我们可以假设五年级植树的棵数正好是四年级的2倍，
而不是比四年级的2倍少20棵，则两个年级植树的棵数正好是四年级植
树棵数的3倍。如下图所示。
这样就可以求出假设条件下四、五年级同学植树的总棵数。再根
据“五年级同学种的棵数比四年级种的棵数的2倍少20棵”，就可求出
两个年级共植树的棵数。规范解答
假设五年级植树的棵数正好是四年级的2倍，所以四、五年级植树
的总棵数为
150×（2＋1）＝150×3＝450（棵）。
实际植树棵数为450-20＝430（棵）。
答：两个年级共植树430棵。
例3 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，
有26只脚。请问：鸡、兔各有几只？
图解思路
思路一 如下图，假设全是鸡。
鸡、兔共有8只，共有26只脚。如果
假设这8只都是鸡，一只鸡有2只脚，那么8只鸡就有2×8＝
16（只）脚。又因为脚有26只，比假设的8只鸡的脚多26－16＝
10（只），这多的10只脚是因为兔有4只脚，比鸡多2只脚，一只兔多2
只脚，那么就有10÷2＝5（只）兔，进而就可求得鸡的只数。思路二 如下图，假设全是兔。
如果假设这8只都是兔，一只兔有4只脚，那么8只兔就有4×8＝
32（只）脚。又因为脚有26只，比假设的8只兔的脚少32-26＝
6（只），这少的6只脚是因为鸡只有2只脚，比兔少了2只脚，一只鸡
少2只脚，那么就有6÷2＝3（只）鸡，进而就可求得兔的只数。
规范解答
解法一 兔的只数：（26-2×8）÷（4-2）＝5（只）
鸡的只数：8-5＝3（只）
答：兔有5只，鸡有3只。
解法二 鸡的只数：（4×8-26）÷（4-2）＝3（只）
兔的只数：8-3＝5（只）
答：兔有5只，鸡有3只。
小试身手1．一个正方形的边长扩大2倍，那么它的周长扩大几倍？面积
呢？
2．一个边长为2厘米的正方形的边长增加2厘米，则它的面积增加
多少？
3．笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，共有100个头；从下面
数，有320只脚。请问：鸡、兔各有几只？
4．小鸭和乌龟共100只，共有脚280只，乌龟和小鸭各有多少只？
5．乌龟和仙鹤若干，一共有头27个，脚72只，那么乌龟和仙鹤各
有多少只？6．在一次野外登山活动中，周老师上山时每分钟走30米，到达山
顶后沿原路下山，每分钟走20米。请问，周老师上山、下山的平均速
度是多少？
7．周老师出了15道数学题，做对一题得10分，做错一题倒扣2
分，明明得了102分。明明答对几道题？
8．体育器材室买了4个足球和5个排球，共用了230元。已知一个
足球比一个排球贵8元。请问：1个足球和1个排球分别为多少元？9．三轮车和自行车共有10辆，车轮共有26个。请问：自行车、三
轮车各有几辆？
拓展提升
10．学校停车场上停了汽车和摩托车共30辆，这些车一共有96个
轮子。汽车和摩托车各有几辆？
11．全班共有38人，一共租了8条船。其中大船坐6人，小船坐4
人。每条船都坐满了。请问：大船、小船各有几条？
12．有30枚硬币，分别是5分和2分，一共有9角9分。请问：5分、
2分硬币各有几枚？13．暑假，老师和同学共100人一起出去旅游，住宿的宾馆正好有
20个房间。房间有6人间和4人间两种。请问：6人间和4人间各有几
间？第二十三章 “枚举”解题
答案参见此处
知识导航
在数学问题中，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量
关系比较隐蔽，很难找到“正统”的方式解答，因此，我们可以先
初步估计其数目的大小。若数目不是太大，就按照一定的顺序一一
列举问题的可能情况；若数目过大，并且问题复杂，我们就抓住对
象的特征，选择适当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，通过一一列举或计数，最终达到解决问题的目的，这就是枚举
法。
枚举法在解决数学问题中经常要用到，可以是分类枚举，也可
以是列表格枚举等。如本书中的“巧数图形”就是运用枚举法得出
数线段条数的规律，数角、三角形个数的规律，数长方形个数的规
律，而后得出公式。
在应用枚举法解题时，我们必须注意无重复、无遗漏。因此我
们必须做到有序思考，有次序、有规律地进行枚举。同时我们要注
意正确分类，要注意分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要
将每一个符合条件的对象都做一一罗列。枚举方法和用枚举方法解
决的问题如下图。
图解思维训练题
例1 喜羊羊拿着写有3、7、9的三张卡片，它能用这三张卡片组
成多少个无重复数字的三位数？
图解思路三位数的最高位是百位，这三个数字都可以作为百位上的数，我
们可以按由小到大的顺序依次枚举排列出来，如下图。
规范解答
2＋2＋2＝6（个）
答：它能用这三张卡片组成6个无重复数字的三位数。
例2 一个长方形的周长是14厘米，如果它的长和宽都是整厘米
数，那么它的面积有多少种可能值？
图解思路
由于长方形的周长是14厘米，那么这个长方形的长＋宽＝14÷2＝
7（厘米）。这样我们就可以列举出符合这个条件的各种长方形，如下
表。长/厘米 6 5 4
宽/厘米 1 2 3
我们把这些长方形画在边长为1厘米的正方形格子图中，如下图。
根据上图求出它们的面积即可。
规范解答
长方形的长＋宽：14÷2＝7（厘米）
（1）长＝6厘米、宽＝1厘米 面积＝6×1＝7平方厘米
（2）长＝5厘米、宽＝2厘米 面积＝5×2＝10平方厘米
（3）长＝4厘米、宽＝3厘米 面积＝4×3＝12平方厘米
答：这个长方形的面积有3种可能值。例3 妈妈要去参加宴会，她想从3件不同颜色的上衣，4条不同的
裤子，5双不同的鞋子中挑选出一套衣服去赴宴。你知道妈妈有多少种
不同的选法吗？
图解思路
解这道题可用枚举法，先来选上衣，妈妈有3种选法，即上衣A、
上衣B、上衣C。对应每一件上衣，裤子都有4种选法，而衣服、裤子选
好后对应每一种鞋子又都有5种选法。我们可用树形图来表示，如下
图。如上图所示，上衣A，对应裤子、鞋子的选法共有4×5＝
20（种）。同理，对于上衣B、上衣C，也各有20种。进而就可求得种
数。
规范解答4×5×3＝60（种）
答：妈妈共有60种不同的选法。
例4 有5个篮球队进行篮球比赛，每两队比赛一场，共要进行多
少场比赛？
图解思路
思路一 我们可以把这5个篮球队分别编号为：A、B、C、D、E。A
球队与其他球队分别打球有4场，同样B、C、D、E球队与其他球队也要
打4场。所以5个小队共打了5×4＝20（场）球赛。但题目要求每两个
球队之间只要比赛一场，那么A与B比赛时，A、B两个球队已经打过
了，所以B球队没有必要与A球队打。照这样计算，20场比赛中有一半
是重复计算的，如下图所示。
思路二 把这5个篮球队分别编号为：A、B、C、D、E。因为每两
个球队之间只要比赛一场，所以以A球队为“起始”队，它分别与B、
C、D、E球队比赛了4场；接着以B球队为“起始”队，只要与C、D、E
球队比赛3场即可。依此类推即可求出比赛的场数。根据推理画出线段
图如下：根据题意也可画成树形图如下：
规范解答
解法一 5×4÷2＝10（场）
解法二 4＋3＋2＋1＝10（场）
答：共要进行10场比赛。
例5 一条公路，有6个站台，如果每两个站台间只有一种车票，
那么这条公路这样的车票共有多少种？
图解思路
我们可把这6个站台编号为1号、2号、3号、4号、5号、6号，如下
图所示。
我们可以利用枚举的方法解题，如果起点是1号站台，那么其终点
站就是2号、3号、4号、5号、6号，有5种车票。依此类推，如果起点
站是2号站台，则有4种车票；起点站是3号站台，则有3种车票；起点站是4号站台，则有2种车票；起点站是5号站台，则有1种车票。进而
就可求出车票的种数。
规范解答
5＋4＋3＋2＋1＝15（种）
答：这条公路这样的车票共有15种。
例6 有一台天平和3个砝码，砝码的质量分别是1克、3克、5克。
当砝码只能放在同一个盘内时，可称出多少种不同质量的物体？
图解思路
共有三个不同质量的砝码，可以取其中的一个、两个或三个来称
不同的质量，我们把它用树形图一一罗列出来，具体图示如下。
规范解答
取一个砝码有3种，分别是1克、3克、5克；
取两个砝码有3种，分别是1＋3＝4（克）、1＋5＝6（克）、3＋5
＝8（克）；取三个砝码有1种，1＋3＋5＝9（克）。
3＋3＋1＝7（种）
答：可称出7种不同质量的物体。
小试身手
1．用1、3、5、9四个数字可以组成多少个不重复的四位数？
2．用0、3、7、9四个数字可以组成多少个不重复的四位数？
3．甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球比赛，每两人打一场，一共要
赛多少场？
4．从梅梅家到学校有3条路可走，从学校到香山公园有4条路可
走。从梅梅家到香山公园一共有几种不同的走法？
5．书架上有5本不同的漫画书，有7本不同的童话书。现在从书架
上任取一本漫画书和一本童话书，共有多少种不同的拿法？6．把15颗珠子分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？
拓展提升
7．数出下图中共有几条线段？
8．美羊羊有2种不同颜色的帽子，3件不同的上衣，2条不同裙子
以及3双不同的鞋子。美羊羊要去参加一场晚会，它最多有多少种不同
的装束？
9．上海到南京的汽车，除起点和终点外，还要停靠6个站。汽车
公司要准备几种车票？
10．甲、乙、丙、丁四个小朋友排成一排，从左往右数，如果甲
不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置
上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法有几种？11．一个长方形的周长是28厘米，如果它的长和宽都是整厘米
数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？第二十四章 “对应消去”解题
答案参见此处
知识导航
有些问题，给出了两个或两个以上的未知量，要求出这些未知
量，应先把题中的条件按对应关系一一排列，分析对应未知量的变
化情况。通过“代入法”或“加减法”消去一些未知量，最后变成
只含有1个未知量的关系式，从而使问题变得较为简单。这种方法叫
作消去法。例如：“已知 ＋☉＋☉＝22， ＋☉＝16，求 和☉。”像这类问题，题目中给定的未知量有两个或两个以上，而数
量关系又都是在变化的。如何解答这类问题呢？为了使变化的数量
看得更清楚，我们可以把已知条件按照它们之间对应的数量关系排
列出来，转化为等式并进行编号，然后进行观察、比较、分析对应
数量关系的变化，而后考虑先设法消除一个未知数量，只保留其中
一个未知量，使数量关系化繁为简，在求得这个未知量后，再求其
他未知量。如上面的问题我们可以先给这2个式子编号，如下所示。
接着用式①减去式②，将“ ”消去后，先求出“☉”的值，再求
出“ ”的值。
三年级接触的“对应消去法”还是比较简单的，常以用同类数
量相减的方法先消去一个或几个未知量，最后剩下一个未知量。这
样一个较难的求两个或两个以上未知数的问题就转化为一个简单的
常见问题。
图解思维训练题
例1 周老师为学校体育组购买足球和排球。如果买5个足球和1个
排球，共需要865元；如果买3个足球和1个排球，则共需要535元。一
个足球和一个排球各多少钱？
图解思路根据题意，我们可以把题中两种购买方式的对应情况用下列等量
关系表示来进行比较。
由上图可知，两种购买方式中所购的排球数量是相同的，而购买
的足球数量和总钱数是不同的。因为多购了5-3＝2（个）足球，所以
总钱数也多了865-535＝330（元）。这样就可求出足球的单价，进而
可求得排球的价钱。
规范解答
足球：5-3＝2（个） （865-535）÷2＝165（元）
排球：535-165×3＝40（元）
答：一个足球165元，一个排球40元。
例2 某学校体育组购买蓝球和排球。如果买3个篮球和4个排球，
共需要190元；如果买6个篮球和2个排球，共需要230元。一个篮球和
一个排球各多少钱？
图解思路
我们可以把两次买篮球和排球的情况写出来进行比较：通过上图可以知道，式①和式②中没有一个相同的条件，所以无
论是相加还是相减，都不可能求出篮球和排球的单价。怎么办？我们
再观察可以发现，如果把式①两边同时扩大2倍，就可得到6个篮球和8
个排球，共380元，然后再与式②进行比较，发现篮球个数相同，而排
球多了6个，就多了380-230＝150（元），也就是6个排球是150元。进
而可求得篮球和排球的价钱。
规范解答
排球：（190×2-230）÷（4×2-2）＝25（元）
篮球：（190-25×4）÷3＝30（元）
答：1个排球是25元，1个篮球是30元。
例3 甲买了8盒糖和5盒蛋糕，共用去171元；乙买了5盒糖和2盒
蛋糕，共用去90元，每盒糖和每盒蛋糕各多少元？
图解思路
通过上图可以看出，若把甲买的扩大5倍，乙买的扩大8倍，然后
相减，可消去糖的价钱，这样就可以得到9盒蛋糕的价钱是135元，只
剩下蛋糕的单价一个未知量，从而可以轻易求出。
规范解答蛋糕的价钱：（171×5-90×8）÷（5×5-2×8）＝15（元）
糖的价钱：（90-15×2）÷5＝12（元）
答：每盒糖12元，每盒蛋糕15元。
例4 求出〇、△、□所代表的数。
图解思路
从上图可以看出①＋②＋③里，包含2个〇、2个△、2个□，由此
可得〇＋△＋□＝（91＋63＋44）÷2＝198÷2＝99。此时就可根据
〇、△、□之间的关系求出每个图形的值。
规范解答
〇、△、□的和：（91＋63＋44）÷2＝198÷2＝99〇＝99-63＝36
△＝99-91＝8
□＝99-44＝55
例5 甲、乙两个书架共有584本书，乙书架上的比甲书架上的少
88本。请问：甲、乙两个书架各有多少本书？
图解思路
根据题中的数量关系我们可以知道这是典型的“和差问题”，我
们把它用“对应消去法”来解答也很妙。如下图所示。
由上图可知，2个甲书架＝584本＋88本，由此可求出甲书架上书
的本数。进而可求得乙书架上书的本数。
规范解答
甲书架：（584＋88）÷2＝672÷2＝336（本）
乙书架：584-336＝248（本）或336-88＝248（本）
答：甲书架有336本书，乙书架有248本书。例6 甲、乙的和是50，乙、丙的和是44，乙比丙多4。请问：
甲、乙、丙各是多少？
图解思路
根据题意，我们可以列出下列关系式：
由上图可知，由式②＋式③得出2乙＝44＋4＝48，从而可求得乙
＝48÷2＝24。接着根据题目中甲、乙、丙之间的关系就可求出甲、丙
的值。
规范解答
乙：（44＋4）÷2＝48÷2＝24
甲：50-24＝26
丙：24-4＝20
答：甲是26，乙是24，丙是20。
小试身手
1．求△、□所代表的数。2．兰兰买了1千克糖果和3千克饼干，共付了42元；丽丽买了同样
的1千克糖果和1千克饼干共付了30元。请问：每千克糖果和每千克饼
干各是多少元？
3．2件T恤和1条裤子共需480元，2件相同的T恤和5条相同的裤子
共需840元。1件T恤和1条裤子各多少钱？
4．明明买了3支铅笔和2块橡皮，共花了28元，华华买了同样的4
支铅笔和3块橡皮，共花了39元。请问：每支铅笔和每块橡皮各多少
元？
5．学校要添置办公用品。如果购买1张办公桌和2把椅子，共用
336元；如果购买同样的1张办公桌和5把椅子则要540元。请问：1张办
公桌和1把椅子各多少钱？
6．学校体育器材室买12个呼啦圈和30个篮球，共需要1380元。如
果改买16个呼啦圈和30个篮球，则共需1540元。请问：1个呼啦圈和1
个篮球各多少元？拓展提升
7．春节到了，爸爸买了2只鸭、1只鸡，共付33元；如果买2只
鸭、3只鸡，要付51元。请问：1只鸡和1只鸭各多少钱？
8．甲、乙、丙三人同时去银行存钱。甲、乙两人共存220元，
乙、丙两人共存180元，甲、丙两人共存200元。请问：甲、乙、丙三
人各存了多少钱？
9．学校有藏书，儿童绘本读物和连环画共有70本，连环画和科技
书共82本，科技书和儿童绘本读物共76本。三种书各有几本？
10．公园举办菊花展，白菊花和黄菊花共162盆，黄菊花和紫菊花
共128盆，紫菊花和白菊花共158盆。请问：三种菊花各有几盆？
11．公园举办菊花展，共展出三种颜色的菊花，其中有93盆不是
红菊花，有95盆不是黄菊花，有98盆不是紫菊花。请问：三种菊花各
有几盆？第二十五章 巧切西瓜
答案参见此处
知识导航
在日常生活中，我们经常会碰到切西瓜、切烧饼之类的问题，
解决这些问题时，首先要设计一种巧妙的方法，然后再动手做一
做，就能找到解决问题的方法。
例如我们用圆来表示西瓜，用直线来表示刀痕。切一刀能切成两块，如图（1）。
切两刀，有以下两种不同的切法:
第一种切法，第二刀刀痕与第一刀刀痕不相交，把西瓜切成了3
块，如图（2）。
第二种切法，第二刀刀痕和第一刀刀痕相交，把西瓜切成了4
块，如图（3）。
切三刀，有以下不同切法：从图（2）～图（7）可以看出，要使切得的块数最多，切时就
必须使每次的刀痕都相交。
图解思维训练题
例1 一个西瓜，竖着切4刀，要使切得的块数最多，可以切几
块？
图解思路
要使切得的块数最多，就必须使每次的刀痕都相交，我们可在切
第三刀的基础上让第4刀的刀痕与前三刀刀痕都相交，如下图。从上图可以看出，竖着切4刀最多可以切11块。
我们把本题中切的刀数与最多切得的块数排列如下：
刀数 最多切得的块数
0 1＝1
1 1＋1＝2
2 1＋1＋2＝4
3 1＋1＋2＋3＝7
4 1＋1＋2＋3＋4＝11
规范解答
1＋1＋2＋3＋4＝11（块）
答：可以切11块。例2 一个西瓜，竖着切10刀，要使切得的块数最多，可以切几
块？
图解思路
根据上图，我们把切的刀数与最多切得的块数排列如下：
刀数 最多切得的块数
0 1＝1
1 1＋1＝2
2 1＋1＋2＝4
3 1＋1＋2＋3＝7
4 1＋1＋2＋3＋4＝11
…
10 1＋1＋2＋3＋4＋…＋10
规范解答
1＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝56（块）
答：可以切56块。例3 一个西瓜怎样切4刀把它切成9块，而吃完以后有10块西瓜
皮？
图解思路
先横着纵切两刀，再竖着纵切两刀，切成“#”字形，如下图。
这样，周围有8块，中间有1块，而中间的一块吃完以后有2块西瓜
皮，所以吃完以后就有10块西瓜皮了。
规范解答
先横着纵切两刀，再竖着纵切两刀。
例4 一个月饼，切成8块，最少要切几刀？图解思路
具体切法如下图。
规范解答竖切后将整块月饼切成了4块，再从中间“拦腰”横切就将整块月
饼分成了2个4块，也就是8块。所以最少要切3刀。
例5 你能把一块豆腐用刀切4次，就切成14块吗？怎样切？
图解思路
具体切法如下图。
由上图可知，切三刀可以将整块豆腐分成7块 ，再从中间“拦
腰”横切就将整块豆腐分成了2个7块，也就是14块。
规范解答
切前面3刀：1＋1＋2＋3＝7（块）
切第4刀：7×2＝14（块）
小试身手1．一块圆形塑料板，切3刀最多可以切成（ ）块，切4刀最多可
以切成（ ）块。
2．一个西瓜，竖着切5刀，最多能切成（ ）块，切4刀最多可以
切成（ ）块。
3．一块圆形塑料板，要切成11块，竖着切，最少要切（ ）刀。
4．一个西瓜，分给22个小朋友吃，每人吃1块，最少要切（ ）
刀。
5．把一个橙子平均分成8份，但橙子上只可以切三刀，怎么办？
拓展提升
6．一个苹果怎样切3刀变成8块？7．一个苹果怎样切成9块？
8．妈妈买来一个月饼，让小金动手分成8块，最少要切几刀？
9．一个西瓜，怎样切3刀，把它变成7块，而吃完后有8块西瓜
皮？第二十六章 最短路线
答案参见此处
知识导航
在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。比
如：邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择
一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能够走最近
的路而到达目的地，等等。这样的问题，就是我们所要研究学习的
“最短路线问题”。图解思维训练题
例1 如下图，小马要把麦子驼到磨坊去，有几种走法？
图解思路
由上图可知，小马从A地到B地有2条路线，这2条路线从B地到C地
又分别有3种走法，所以一共有2×3＝（6）种不同的路线。
规范解答
2×3＝6（种）
答：有6种走法。
例2 如下图，乔乔要去上课，有哪些最短线路？图解思路
乔乔要去学校，只能向上走或向右走，我们把最短路线每一步的
走法用下面的树形图表示出来。
规范解答
根据树形图分析可以知道，乔乔从家到学校的最短路线有3条。例3 下图中，蚂蚁要把食物从A洞运往B洞，最近的路线各有几
条？
图解思路
如上图，用对角线求和法可知，图（1）有2种走法，图（2）有6
种走法
规范解答
图（1）：1×2＝2（种）
图（2）：2×3＝6（种）答：图（1）有2种走法，图（2）有6种走法。
例4 用“对角求和法”标一标、算一算，小狗回家的最短路线共
有几条？
图解思路
因为小狗回家只能往左走或往下走，在方格图的最上边和最右边
的各点上都标上1，在每个格子里画上对角线，求和后得到下图。
规范解答小狗回家的最短路线共有20条。
小试身手
1．下图中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从
A走到B处共有多少条最短路线？
2．如下图，一只蚂蚁从A点沿着图中的方格线爬到B点。如果只能
向左或向上爬，一共有多少种爬法？
3．下图中，从A点沿实线走最短路径到B点，且经过F、D两点，共
有多少条不同路线？拓展提升
4．沿图中箭头所指的方向从A点到B点共有多少种不同的走法？
5．小君家到学校的道路如下图所示。从小君家到学校走最短路径
有多少种不同的走法？参考答案
第一章 加法中的巧算
1 300 2 961 3 111100 4 901 5 333325 6 55546
7 10101
第二章 减法中的巧算
1 130 2 800 3 3811 4 1941 5 109 6 5881 7200
8 197
第三章 配对求和
1 200 2 300 3 910 41055 5 855 6 390个 7180下
第四章 乘法中的巧算
1 700 2 6000 3 7350 4 2134 5 1890 6 6825 746816
第五章 除法中的巧算
1 120 2 24 3 10 412 5 88 6 28 78 8 4 9 20
第六章 数字谜
1 2 3 □＝1；△＝0；〇＝
9 4 美＝8；少＝1；年＝35 它＝2；很＝1；奇＝0； 妙＝9；爱＝8；数＝4或7；学＝5或
6
6
A＝8；B＝1；C＝3；D＝0
7
A＝9；B＝4；C＝8；D＝0；E＝1
8 望＝1；子＝4；成＝6；龙＝8 9 红＝2；花＝1；映＝9；绿
＝7；叶＝8；美＝4
第七章 数阵图
3 （1）（2）
45
67
8第八章 填运算符号
1 12＋3＋45＝60
2 （4-4）×4×4×4＝0；4÷4-（4-4）×4＝1；（4＋4）÷4-
（4-4）＝2；4-4÷4-（4-4）＝3；44-44＋4＝4
3 3×4＋2×6＝24 4 1×2＋345×6-7-8×9＝1993 51 ＋
2×3-4＋5-6＋7-8＝1
6 ［（1＋2）×（3＋4）×5＋6×7＋8］×9＝1395；（1＋2×3
＋4×5＋6）×（7＋8）×9＝4455
第九章 巧求周长
1 拼成的长方形周长为（2＋1）×2＝6（厘米），而正方形的周
长为1×4＝4（厘米），所以这个长方形的周长不是正方形的2倍。2 拼长方形：（4＋1）×2＝10（厘米）；拼正方形：2×4＝
8（厘米）。
3 （7＋7＋3）×2＝34（厘米），（3＋3＋7）×2＝26（厘
米），所以横向拼周长最大。
4 （46÷2-5）÷2＝9（厘米） 9×4＝36（厘米）
5 原来需要篱笆：（10＋6）×2＝32（米），现在需要篱笆：
（10＋5＋6-2）×2＝38（米），所以 爷爷需要增加篱笆，增加了
38-32＝6（米）。
6 （30＋16）×2＝92（分米）
7 230×4＋180×4＝1640（米） 1640×2＝3280（米） （230
＋180）×2＝820（米） 3280＋820＝4100（米）
第十章 巧求面积
1 25平方厘米 2 6平方米 339平方厘米 4 （1）36平方米
（2）47平方米
5 42平方厘米 6 （1）60平方厘米 （2）58平方厘米 （3）
12平方厘米 （4）160平方厘米 7 68平方厘米 8 400平方米
9 72平方厘米 10 24平方厘米
第十一章 巧数图形
1 （1）1＋2＋3＋4＝10（条） （2）1＋2＋3＋4＋5＋6＝
21（条） （3）1＋2＋3＋…＋9＋10＝55（条） （4）1＋2＋3＋4＋5＋6＝21（条）
2 （1）3个 （2）10个 （3）21个
3 （1）10个 （2）12个
4 （1）15个 （2）30个 （3）15个 （4）10个
5 30个
6 （1）55个 （2）22个
7 （1）三角形的个数：1＋2＋3＝7（个），正方形的个数：1＋
1＝2（个） （2）三角形的个数： 1＋1＋1＝3（个），四边形的个
数：1＋1＋1＝3（个）
8 5＋4＋3＋2＋1＝15（种） 9 9×8＝72（个）或（8＋7＋6＋
5＋4＋3＋2＋1）×2＝72（个）
10 5＋4＋3＋2＋1＝15（张）
第十二章 等量代换的妙用
1 144克 2 3个 3 5个 4 5只 5 梨：200克，苹果：100
克，菠萝：500克，桃：30克
6 鸡：500克，鸭：800克，猴：1000克 7 30个 8240个
第十三章 上楼梯与锯木头1 10分钟 2 80级 3 77级 4 24秒 5 爸爸更快 6 16分
钟 7 18秒 8 5分钟
第十四章 倍数问题
1 8400元 2 132人 3 27棵 4 3倍 5 8倍 6 32瓶 7 777
只 8 27岁 9 195公顷1042克
第十五章 和倍问题
1 亮亮捐款120元，明明捐款60元 2 陈亮今年19岁，爷爷今年
76岁
3 父子相差27岁 4 甲每小时行160千米，乙每小时行80千米
5 每排桃树15棵，杨梅树5棵 6 原来苹果有220千克，梨有40千
克
7 篮球有36个，排球有12个 8 书法小组有69人 9 甲桶倒入乙
桶34千克油
第十六章 差倍问题
1 皮衣840元，羽绒服280元 2 大象重3646千克，牛重606千克
3 哥哥剩下210元，弟弟剩下70元 4 原来甲绳60米，乙绳有15
米
5 原来甲、乙两筐水果都是60千克6 月月原来存有405元，亮亮原来存有135元 7 甲桶油现在有10
千克，乙桶油现在有30千克
8 甲筐原来有桃子210千克，乙筐原来有桃子70千克
9 图书柜里原有少儿绘本读物200本，科普书40本
第十七章 和差问题
1 青藏公路长1937千米，康藏公路长2115千米 2 上衣312元，
裤子248元
3 兰兰的语文95分，数学99分 4 丁丁有45元压岁钱，亮亮有41
元压岁钱
5 甲袋有64千克，乙袋有36千克 6 140元 7 丁丁19岁，当当
11岁，旺旺17岁
8 足球22个，乒乓球44个，篮球27个 9 兰兰语文87分，数学94
分，英语98分
10 甲书架放186本，乙书架放200本，丙书架放212本
第十八章 年龄问题
1 （1）5岁 （2）20岁 2 99岁 3 妈妈40岁，丽丽10岁 4
姐姐14岁，弟弟2岁
5 爸爸32岁，儿子6岁 6 甲的年龄是31岁，乙的年龄是19岁，
丙的年龄是76岁 7 68岁8 明明3岁，小刚15岁 9 哥哥15岁，弟弟10岁
第十九章 植树问题
1 2000÷50＋1＝41（根） 2 （1000÷8-1）×2＝124×2＝
248（棵） 3 150÷3＝50（棵）
4 每截一次需要16÷（5-1）＝4（分钟），截成7段要4×（7-
1）＝24（分钟）。
5 每一层楼梯的台阶数为48÷（4-1）＝16（级），从1楼到6楼
共走6-1＝5（段）楼梯，共有 16×5＝80（级）台阶。
6 先求出无轨电车3分钟行驶的路程，再求出每分钟行驶的路
程，最后求出每小时行的路程。
7×（151-1）÷3×60÷1000 ＝21（千米）或7×（151-1 ）
×（60÷3）÷1000＝21（千米）
7 6-1＝5（层） 16×5＝80（级） 8 6÷（3-1）×（9-1）＝
24（秒） 9 200÷5＋1＝41（个）
第二十章 平均数问题
1 他的数学考了91分 2 乙是90 3 这批图书共1200本
4 70 5 被变动的那一个数是58
6 红颜色的有8粒，黄颜色的有6粒，蓝颜色的有10粒 7 三个人
的平均成绩是97分8 去掉的那两个数的乘积是99
第二十一章 重叠问题
1 35人 2 50人 3 （1）13 （2）9个 （3）11个 （4）9
人 （5）48人 （6）25人
4 45厘米 5 47厘米 6 30厘米 7 20厘米 8 26厘米 9 16
个 10 9个 1185平方厘米
12 9平方厘米
第二十二章“假设”解题
1 周长扩大2倍，面积扩大4倍 2 12平方厘米 3 鸡40只，兔60
只 4 小鸭60只，乌龟
40只 5 乌龟9只，仙鹤18只 6 24米/分 711道 8 1个排球
22元，1个足球30元 9 自行车4辆，三轮车6辆 10 摩托车12辆，汽
车18辆 11 大船3条，小船5条
12 5分硬币13枚，2分硬币17枚 136人间和4人间各有10间
第二十三章“枚举”解题
1 24个 2 18个 3 6场 4 12种 5 35种 6 6种 715条
8 36种 9 28种 109种 11 7种
第二十四章“对应消去”解题1 △＝6，□＝9 2 饼干6元，糖果24元 31条裤子90元，1件T
恤195元
4 每块橡皮5元，每支铅笔6元 5 1把椅子68元，1张办公桌200
元
6 1个呼啦圈40元，1个篮球30元 7 1只鸡9元，1只鸭12元
8 甲存了120元，乙存了100元，丙存了80元
9 科技书44本，儿童绘本读物32本，连环画38本
10 紫菊花62盆，白菊花96盆，黄菊花66盆 11 红菊花50盆，
黄菊花48盆，紫菊花45盆
第二十五章 巧切西瓜
1 7，11 2 16，11 34 4 5 5 先从橙子上面竖切一个
“十”字，再拦腰切一刀。
6 先将苹果竖切切成4块，再从中间拦腰切一刀
7 先将苹果纵切2刀分成3块，然后再横切2刀 8 3刀
9第二十六章 最短路线
1 3条 2 10种 3 8条 48种 5 12种
