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第43 节 电磁感应的综合应用
——划重点之精细讲义系列
一．电磁感应中的电路问题
1．电源和电阻
2．电流方向
在外电路，电流由高电势流向低电势；在内电路，电流由低电势流向高电势．
二．电磁感应中的图象问题
图象类型
①随时间
t 变化的图象，如B－t 图象、Φ－t 图象、
E－t 图象和I－t 图象
②随位移
x 变化的图象，如E－x 图象和I－x 图象
问题类型
①由给定的电磁感应过程判断或画出正确的图象
②由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应
的物理量(用图象)
应用知识
左手定则、安培定则、右手定则、楞次定律、法拉
第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律，函数
图象等知识
三．电磁感应中的动力学问题
1．安培力的大小
⇒F＝
2．安培力的方向
(1)先用右手定则确定感应电流方向，再用左手定则确定安培力方向．
(2)根据楞次定律，安培力方向一定和导体切割磁感线运动方向相反．
四．电磁感应中的能量问题
1．能量的转化
闭合电路的部分导体做切割磁感线运动产生感应电流，感应电流在磁场中受安培
力．外力克服安培力做功，将其他形式的能转化为电能，电流做功再将电能转化为其
他形式的能．
2．实质
电磁感应现象的能量转化，实质是其他形式的能和电能之间的转化．
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考点一 电磁感应中的电路问题
1．内电路和外电路
(1)切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的线圈都相当于电源．
(2)该部分导体的电阻或线圈的电阻相当于电源的内阻，其余部分是外电阻．
2．电源电动势和路端电压
(1)电动势：E＝Blv 或E＝n.
(2)路端电压：U＝IR＝E－Ir＝·R.
【典例1】如图所示，两个互连的金属圆环，粗金属环的电阻是细金属环电阻的
一半，磁场垂直穿过粗金属环所在的区域，当磁感应强度均匀变化时，在粗环内产生
的电动势为E，则ab 两点间的电势差为( )
A.
B．
C.
D．E
解析：选C.粗环相当于电源，细环相当于负载，ab 间的电势差就是等效电路的路
端电压．粗环电阻是细环电阻的一半，则路端电压是电动势的，即Uab＝.
【典例2】如图，一载流长直导线和一矩形线框固定在同一平面内，线框在长直
导线右侧，且其长边与长直导线平行．已知在t＝0 到t＝t1的时间间隔内，长直导线中
电流i 发生某种变化，而线框中的感应电流总是沿顺时针方向，线框受到的安培力的合
力先水平向左，后水平向右．设电流i 的正方向与图中箭头所示方向相同，则i 随时间
t 变化的图线可能是( )
解析：选A.因通电导线周围的磁场离导线越近磁场越强，而线框中左右两边的
电流大小相等，方向相反，所以其受到的安培力方向相反，线框的左边受到的安培力
大于线框的右边受到的安培力，所以合力与线框的左边受力的方向相同．因为线框受
到的安培力的合力先水平向左，后水平向右，根据左手定则，线框处的磁场方向先垂
直纸面向里，后垂直纸面向外，根据右手螺旋定则，导线中的电流先为正，后为负，
所以选项A 正确，B、C、D 错误.
【典例3】如图所示，用相同导线制成的边长为L 或2L 的4 个单匝闭合回路，它
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们以相同的速度先后垂直穿过正方形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，区域宽
度大于2L，则进入磁场过程中，电流最大的回路是( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
解析：选C.线框进入磁场过程中，做切割磁感线运动，产生的感应电动势E＝
Bdv，根据电阻定律可知，线框的电阻R＝ρ，由闭合电路欧姆定律可知，回路中的感
应电流I＝，联立以上各式有I＝·，所以线框切割磁感线的边长d 越长，总长度L 越短，
其感应电流越大，对照4 种图形可知，C 正确．
【典例4】(多选)如图所示，两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为l
＝1 m，cd 间、de 间、cf 间分别接阻值为R＝10 Ω 的电阻．一阻值为R＝10 Ω 的导体
棒ab 以速度v＝4 m/s 匀速向左运动，导体棒与导轨接触良好，导轨所在平面存在磁感
应强度大小为B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场．下列说法中正确的是( )
A．导体棒ab 中电流的流向为由b 到a
B．cd 两端的电压为1 V
C．de 两端的电压为1 V
D．fe 两端的电压为1 V
解析：选BD.由右手定则可判知A 错误；由法拉第电磁感应定律E＝Blv＝
0.5×1×4 V＝2 V，Ucd＝E＝1 V，B 正确；由于de、cf 间电阻没有电流流过，故Ude＝
Ucf＝0，所以Ufe＝Ucd＝1 V，C 错误，D 正确．
【典例5】(多选)如图所示电路中，均匀变化的匀强磁场只存在于虚线框内，三个
电阻阻值之比R1∶R2∶R3＝1∶2∶3，其他部分电阻不计．当S3断开，而S1、S2闭合时，
回路中感应电流为I，当S1断开，而S2、S3闭合时，回路中感应电流为5I，当S2断开，
而S1、S3闭合时，可判断( )
A．闭合回路中感应电流为4I
B．闭合回路中感应电流为7I
C．R1、R3消耗的功率之比PR1∶PR3＝3∶1
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D．上下两部分磁场的面积之比S 上∶S 下＝3∶25
解析：选BD.因R1∶R2∶R3＝1∶2∶3，可以设R1＝R，R2＝2R，R3＝3R.由题图可知，
当S1、S2闭合S3断开时，电阻R1与R2组成闭合回路，设此时感应电动势是E1，由欧姆
定律可得E1＝3IR；当S2、S3闭合S1断开时，电阻R2与R3组成闭合回路，设感应电动
势为E2，由欧姆定律可得E2＝5I×5R＝25IR；当S1、S3闭合S2断开时，电阻R1与R3组
成闭合回路，此时感应电动势E＝E1＋E2＝28IR，则此时的电流I′＝＝7I，A 错误，B
正确．
根据P＝I2R 可知，串联电路电流相等，则各电阻的功率与电阻阻值成正比，故
PR1∶PR3＝1∶3，C 错误．E1＝3IR，E2＝25IR，再根据法拉第电磁感应定律E＝S 可知，
上下两部分磁场的面积之比S 上∶S 下＝3∶25，D 正确．
【典例6】如图所示，水平面上有两根光滑金属导轨平行固定放置，导轨的电阻
不计，间距为l＝0.5 m，左端通过导线与阻值R＝3 Ω 的电阻连接，右端通过导线与阻
值为RL＝6 Ω 的小灯泡L 连接，在CDFE 矩形区域内有竖直向上，磁感应强度B＝0.2
T 的匀强磁场．一根阻值r＝0.5 Ω、质量m＝0.2 kg 的金属棒在恒力F＝2 N 的作用下
由静止开始从AB 位置沿导轨向右运动，经过t＝1 s 刚好进入磁场区域．求金属棒刚进
入磁场时：
(1)金属棒切割磁感线产生的电动势；
(2)小灯泡两端的电压和金属棒受到的安培力．
解析：(1)0～1 s 棒只受拉力，由牛顿第二定律得F＝ma，金属棒进入磁场前的加
速度a＝＝10 m/s2.
设其刚要进入磁场时速度为v，v＝at＝10×1 m/s＝10 m/s.
金属棒进入磁场时切割磁感线，感应电动势E＝Blv＝0.2×0.5×10 V＝1 V.
(2)小灯泡与电阻R 并联，R 并＝＝2 Ω，通过金属棒的电流大小I＝＝0.4 A，小灯
泡两端的电压U＝E－Ir＝1 V－0.4×0.5 V＝0.8 V.
金属棒受到的安培力大小FA＝BIl＝0.2×0.4×0.5 N＝0.04 N，由右手定则和左手
定则可判断安培力方向水平向左．
答案：(1)1 V (2)0.8 V 0.04 N，方向水平向左
解决电磁感应中的电路问题三部曲
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考点二 电磁感应中的图象问题
1．图象问题的求解类型
类型
据电磁感应过程选图象
据图象分析判断电磁感应过程
求解流程
2.解题关键
弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁
场的转折点等是解决此类问题的关键．
3．解决图象问题的一般步骤
(1)明确图象的种类，即是B－t 图还是Φ－t 图，或者E－t 图、I－t 图等；
(2)分析电磁感应的具体过程；
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系；
(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出函数关系式；
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等；
(6)画图象或判断图象．
4.常用规律和公式:
1)常用规律: 左手定则、安培定则、右手定则、楞次定律
2)常用公式: 平均电动势E＝n
平动切割电动势E＝Blv
转动切割电动势E＝Bl2ω
闭合电路欧姆定律I＝
通过导线的电荷量q =¿
安培力F＝BIl
牛顿运动定律的相关公式等
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考向1：据电磁感应过程选择图象
问题类型
由给定的电磁感应过程选出正确的图象
解题关键
根据题意分析相关物理量的函数关系、分析物理过程中的转折点、明确“＋、
－”号的含义，结合数学知识做正确的判断
【典例7】如图所示，有一等腰直角三角形的区域，其斜边长为2L，高为L.在该
区域内分布着如图所示的磁场，左侧小三角形内磁场方向垂直纸面向外，右侧小三角
形内磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小均为B.一边长为L、总电阻为R 的正方
形导线框abcd，从图示位置开始沿x 轴正方向以速度v 匀速穿过磁场区域．取沿
a→b→c→d→a 的感应电流方向为正，则图中表示线框中电流i 随bc 边的位置坐标x 变
化的图象正确的是( )
解析 bc 边的位置坐标x 在L～2L 过程，线框bc 边有效切割长度为l1＝x－L，感
应电动势为E＝Bl1v＝B(x－L)v，感应电流i1＝＝，根据楞次定律判断出感应电流方向
沿a→b→c→d→a，为正值．x 在2L～3L 过程，ad 边和bc 边都切割磁感线，产生感应
电动势，根据楞次定律判断出感应电流方向沿a→d→c→b→a，为负值，有效切割长度
为l2＝L，感应电动势为E＝Bl2v＝BLv，感应电流i2＝－.x 在3L～4L 过程，线框ad 边
有效切割长度为l3＝L－(x－3L)＝4L－x，感应电动势为E＝Bl3v＝B(4L－x)v，感应电
流i3＝，根据楞次定律判断出感应电流方向沿a→b→c→d→a，为正值．根据数学知识
知道D 正确．
答案 D
考向2：据图象分析判断电磁感应过程
问题类型
由电磁感应图象得出的物理量和规律分析求解动力学、电路等问题
解题关键
第一个关键是破译，即解读图象中的关键信息(尤其是过程信息)，另一个关键
是转换，即有效地实现物理信息和数学信息的相互转换
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【典例8】如图甲，在水平桌面上固定着两根相距L＝20 cm、相互平行的无电阻
轨道P、Q，轨道一端固定一根电阻R＝0.02 Ω 的导体棒a，轨道上横置一根质量m＝
40 g、电阻可忽略不计的金属棒b，两棒相距也为L＝20 cm，该轨道平面处在磁感应强
度大小可以调节的竖直向上的匀强磁场中．开始时，磁感应强度B0＝0.1 T．设棒与轨
道间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10 m/s2.
(1)若保持磁感应强度B0的大小不变，从t＝0 时刻开始，给b 棒施加一个水平向右
的拉力，使它由静止开始做匀加速直线运动．此拉力F 的大小随时间t 变化关系如图
乙所示．求b 棒做匀加速运动的加速度及b 棒与轨道间的滑动摩擦力；
(2)若从t＝0 开始，磁感应强度B 随时间t 按图丙中图象所示的规律变化，求在金
属棒b 开始运动前，这个装置释放的热量．
解析 (1)F 安＝B0IL ①
E＝B0Lv ②
I＝＝③
v＝at ④
所以F 安＝t
当b 棒匀加速运动时，根据牛顿第二定律有
F－f－F 安＝ma ⑤
联立可得F－f－t＝ma ⑥
由图象可得：当t＝0 时，F＝0.4 N，当t＝1 s 时，
F＝0.5 N.
代入⑥式，可解得a＝5 m/s2，f＝0.2 N.
(2)当磁感应强度均匀增大时，闭合电路中有恒定的感应电流I，以b 棒为研究对象，
它受到的安培力逐渐增大，静摩擦力也随之增大，当磁感应强度增大到b 所受安培力
F 安′与最大静摩擦力f 相等时开始滑动．
感应电动势E′＝L2＝0.02 V ⑦
I′＝＝1 A ⑧
棒b 将要运动时，有F 安′＝BtI′L＝f ⑨
所以Bt＝1 T，根据Bt＝B0＋t ⑩
得t＝1.8 s.
回路中产生的焦耳热为Q＝I′2Rt＝0.036 J.
答案 (1)5 m/s2 0.2 N (2)0.036 J
考向3：图象的描绘
问题类型
由题目给出的电磁感应现象画出所求物理量的图象
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解题关键
由题目给出的电磁感应过程结合所学物理规律求出所求物理量的函数关系式，
然后在坐标系中做出相对应的图象
【典例9】如图甲所示，水平面上固定一个间距L＝1 m 的光滑平行金属导轨，整
个导轨处在竖直方向的磁感应强度B＝1 T 的匀强磁场中，导轨一端接阻值R＝9 Ω 的
电阻．导轨上有质量m＝1 kg、电阻r＝1 Ω、长度也为1 m 的导体棒，在外力的作用下
从t＝0 开始沿平行导轨方向运动，其速度随时间的变化规律是v＝2，不计导轨电阻．
求：
(1)t＝4 s 时导体棒受到的安培力的大小；
(2)请在如图乙所示的坐标系中画出电流平方与时间的关系(I2t)图象．
解析 (1)4 s 时导体棒的速度
v＝2＝4 m/s
感应电动势E＝BLv，感应电流I＝
此时导体棒受到的安培力
F 安＝BIL＝0.4 N
(2)由(1)可得
I2＝2＝42t＝0.04t
作出图象如图所示．
答案 (1)0.4 N (2)见解析图
(1)处理图象问题要做到“四明确、一理解”
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(2)电磁感应中图象类选择题的两个常用方法
①排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快
慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是分析物理量的正负，以排除错误的选项．
②函数法：根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函
数关系对图象进行分析和判断．
考点三 电磁感应中的动力学和能量问题
1．两种状态及处理方法
状态
特征
处理方法
平衡态
加速度为零
根据平衡条件列式分析
非平衡态
加速度不为零
根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析
2.力学对象和电学对象的相互关系
3．能量转化过程的理解
(1)电磁感应现象中产生感应电流的过程，实质上是能量的转化过程．
(2)电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力的作用，因此，要维
持感应电流的存在，必须有“外力”克服安培力做功，将其他形式的能转化为电能．
“外力”克服安培力做了多少功，就有多少其他形式的能转化为电能．
(3)当感应电流通过用电器时，电能又转化为其他形式的能．安培力做功的过程，
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或通过电阻发热的过程，是电能转化为其他形式能的过程．安培力做了多少功，就有
多少电能转化为其他形式的能．
4．求解焦耳热Q 的三种方法
1）焦耳定律：Q2＝I2RΔt
2）功能关系:Q2＝W 克服安培力
3）能量转化:Q2＝ΔE 其他能量的减少
5.利用动量观点分析电磁感应问题的解题思路
（1）对于单杆切割磁感线运动过程中，可以应用动量定理求解变力的作用时间、
速度、位移和电荷量等有关物理量，常见关系如下：
1)求电荷量或速度：BlΔt＝mv2－mv1，q＝t。
2)求时间：Ft＝I 冲＝mv2－mv1，I 冲＝BlΔt＝Bl。
3)求位移：－BIlΔt＝－＝0－mv0，
即－x＝0－mv0。
（2）对于两导体棒在相互平行的光滑水平轨道上做切割磁感线运动时，如果这两
根导体棒所受的安培力等大反向，且不受其他外力或其他外力的合力为零时，两导体
棒的总动量守恒，解决此类问题应用动量守恒定律解答往往比较便捷，当涉及电量计
算时需用动量定理求解。
【典例10】如图所示，水平光滑的平行金属导轨，左端接有电阻R，匀强磁场B
竖直向下分布在导轨所在的空间内，质量一定的金属棒PQ 垂直导轨放置．今使棒以
一定的初速度v0向右运动，当其通过位置a、b 时，速率分别为va、vb，到位置c 时棒
刚好静止，设导轨与棒的电阻均不计，a 到b 与b 到c 的间距相等，则金属棒在由a 到
b 和由b 到c 的两个过程中( )
A．回路中产生的内能相等
B．棒运动的加速度相等
C．安培力做功相等
D．通过棒横截面积的电荷量相等
解析：选D.棒由a 到b 再到c 的过程中，速度逐渐减小，根据E＝Blv，E 减小，
故I 减小，再根据F＝IlB 可知安培力减小，根据F＝ma 可知加速度减小，选项B 错误．
由于a 到b 与b 到c 的间距相等，故从a 到b 安培力做的功大于从b 到c 安培力做的功，
故选项A、C 错误．再根据平均感应电动势E＝＝，平均感应电流I＝＝，通过棒横截
面积的电荷量为q＝IΔt＝，故选项D 正确．
【典例11】(多选)两根足够长的平行光滑导轨竖直固定放置，顶端接一电阻R，导
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轨所在平面与匀强磁场垂直．将一金属棒与下端固定的轻弹簧的上端拴接，金属棒和
导轨接触良好，重力加速度为g，如图所示．现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，
则( )
A．金属棒在最低点的加速度小于g
B．回路中产生的总热量等于金属棒重力势能的减少量
C．当弹簧弹力等于金属棒的重力时，金属棒下落速度最大
D．金属棒在以后运动过程中的最大高度一定低于静止释放时的高度
解析：选AD.金属棒先向下做加速运动，后向下做减速运动，假设没有磁场，金
属棒运动到最低点时，根据简谐运动的对称性可知，最低点的加速度等于刚释放时的
加速度g，由于金属棒向下运动的过程中产生感应电流，受到安培力，而安培力是阻
力，则知金属棒下降的高度小于没有磁场时的高度，故金属棒在最低点的加速度小于
g.故A 正确．根据能量守恒定律得知，回路中产生的总热量等于金属棒重力势能的减
少量与弹簧弹性势能增加量之差，故B 错误，金属棒向下运动的过程中，受到重力、
弹簧的弹力和安培力三个力作用，当三力平衡时，速度最大，即当弹簧弹力、安培力
之和等于金属棒的重力时，金属棒下落速度最大，故C 错误．由于产生内能，且弹簧
具有弹性势能，由能量守恒得知，金属棒在以后运动过程中的最大高度一定低于静止
释放时的高度，故D 正确．
【典例12】如图所示，一足够长的光滑平行金属轨道，轨道平面与水平面成θ 角，
上端与一电阻R 相连，处于方向垂直轨道平面向上的匀强磁场中．质量为m、电阻为r
的金属杆ab，从高为h 处由静止释放，下滑一段时间后，金属杆开始以速度v 匀速运
动直到轨道的底端．金属杆始终保持与轨道垂直且接触良好，轨道的电阻及空气阻力
均可忽略不计，重力加速度为g.则( )
A．金属杆加速运动过程中的平均速度为v/2
B．金属杆加速运动过程中克服安培力做功的功率大于匀速运动过程中克服安培力
做功的功率
C．当金属杆的速度为v/2 时，它的加速度大小为
D．整个运动过程中电阻R 产生的焦耳热为mgh－mv2
解析：选C.对金属杆分析知，金属杆ab 在运动过程中受到重力、轨道支持力和安
培力作用，先做加速度减小的加速运动，后做匀速运动，因金属杆加速运动过程不是
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匀加速，故其平均速度不等于，A 错误．当安培力等于重力沿斜面的分力，即mg sin
θ＝时，杆ab 开始匀速运动，此时v 最大，F 安最大，故匀速运动时克服安培力做功的
功率大，B 错误；当金属杆速度为时，F 安′＝＝mgsin θ，所以F 合＝mgsin θ－F 安′＝
mgsin θ＝ma，得a＝，C 正确；由能量守恒可得mgh－mv2＝Qab＋QR，即mgh－mv2应
等于电阻R 和金属杆上产生的总焦耳热，D 错误．
【典例13】如图所示，无限长金属导轨EF、PQ 固定在倾角为θ＝53°的光滑绝缘
斜面上，轨道间距L＝1 m，底部接入一阻值为R＝0.4 Ω 的定值电阻，上端开口．垂直
斜面向上的匀强磁场的磁感应强度B＝2 T．一质量为m＝0.5 kg 的金属棒ab 与导轨接
触良好，ab 与导轨间的动摩擦因数μ＝0.2，ab 连入导轨间的电阻r＝0.1 Ω，电路中其
余电阻不计．现用一质量为M＝2.86 kg 的物体通过一不可伸长的轻质细绳绕过光滑的
定滑轮与ab 相连．由静止释放M，当M 下落高度h＝2.0 m 时，ab 开始匀速运动(运动
中ab 始终垂直导轨，并接触良好)．不计空气阻力，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，取g
＝10 m/s2.求：
(1)ab 棒沿斜面向上运动的最大速度vm；
(2)ab 棒从开始运动到匀速运动的这段时间内电阻R 上产生的焦耳热QR和流过电
阻R 的总电荷量q.
解析：(1)由题意知，由静止释放M 后，ab 棒在绳拉力T、重力mg、安培力F 和
导轨支持力N 及摩擦力f 共同作用下沿导轨向上做加速度逐渐减小的加速运动直至匀
速运动，当达到最大速度时，由平衡条件有
T－mgsin θ－F－f＝0
N－mgcos θ＝0，T＝Mg
又f＝μN
ab 棒所受的安培力F＝BIL
回路中的感应电流I＝
联立以上各式，代入数据解得
最大速度vm＝3.0 m/s
(2)由能量守恒定律知，系统的总能量守恒，即系统减少的重力势能等于系统增加
的动能、焦耳热及由于摩擦产生的内能之和，有Mgh－mghsin θ＝(M＋m)v＋Q＋fh
电阻R 产生的焦耳热QR＝Q
根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律有
流过电阻R 的总电荷量q＝IΔt
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电流的平均值＝
感应电动势的平均值＝
磁通量的变化量ΔΦ＝B·(Lh)
联立以上各式，代入数据解得QR＝26.30 J，q＝8 C.
答案：(1)3.0 m/s (2)26.30 J 8 C
(1)解决动力学问题关键是做好两个分析
①受力分析：准确分析运动导体的受力，特别是安培力，求出合力．
②运动分析：分析导体的运动性质，是加速、减速，还是匀速，从而确定相应的
运动规律．
(2)电磁感应现象中电能的求解方法
①若回路中电流恒定，可以利用电路结构及W＝UIt 或Q＝I2Rt 直接进行计算．
②若电流变化，则①利用安培力做的功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安
培力所做的功；②利用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化，则机械能的减少
量等于产生的电能．
一、单选题
1．（2023·湖北·统考高考真题）近场通信（NFC）器件应用电磁感应原理进行通讯，其
天线类似一个压平的线圈，线圈尺寸从内到外逐渐变大。如图所示，一正方形NFC 线
圈共3 匝，其边长分别为
、
和
，图中线圈外线接入内部芯片时与内
部线圈绝缘。若匀强磁场垂直通过此线圈，磁感应强度变化率为
，则线圈产生
的感应电动势最接近（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据法拉第电磁感应定律可知
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故选B。
2．（2022·江苏·高考真题）如图所示，半径为r 的圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁
场，磁感应强度B 随时间t 的变化关系为
，
、k 为常量，则图中半径为R
的单匝圆形线圈中产生的感应电动势大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意可知磁场的变化率为
根据法拉第电磁感应定律可知
故选A。
3．（2022·河北·统考高考真题）将一根绝缘硬质细导线顺次绕成如图所示的线圈，其
中大圆面积为
，小圆面积均为
，垂直线圈平面方向有一随时间t 变化的磁场，磁
感应强度大小
，
和
均为常量，则线圈中总的感应电动势大小为（ ）
14
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由法拉第电磁感应定律可得大圆线圈产生的感应电动势
每个小圆线圈产生的感应电动势
由线圈的绕线方式和楞次定律可得大、小圆线圈产生的感应电动势方向相同，故线圈
中总的感应电动势大小为
故D 正确，ABC 错误。
故选D。
二、多选题
4．（2022·广东·高考真题）如图所示，水平地面（
平面）下有一根平行于y 轴且
通有恒定电流I 的长直导线。P、M 和N 为地面上的三点，P 点位于导线正上方，
平行于y 轴，
平行于x 轴。一闭合的圆形金属线圈，圆心在P 点，可沿不同方向以
相同的速率做匀速直线运动，运动过程中线圈平面始终与地面平行。下列说法正确的
有（ ）
A．N 点与M 点的磁感应强度大小相等，方向相同
B．线圈沿PN 方向运动时，穿过线圈的磁通量不变
C．线圈从P 点开始竖直向上运动时，线圈中无感应电流
D．线圈从P 到M 过程的感应电动势与从P 到N 过程的感应电动势相等
【答案】AC
【详解】A．依题意，M、N 两点连线与长直导线平行、两点与长直导线的距离相同，
根据右手螺旋定则可知，通电长直导线在M、N 两点产生的磁感应强度大小相等，方
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向相同，故A 正确；
B．根据右手螺旋定则，线圈在P 点时，磁感线穿进与穿出在线圈中对称，磁通量为零；
在向N 点平移过程中，磁感线穿进与穿出线圈不再对称，线圈的磁通量会发生变化，
故B 错误；
C．根据右手螺旋定则，线圈从P 点竖直向上运动过程中，磁感线穿进与穿出线圈对称，
线圈的磁通量始终为零，没有发生变化，线圈无感应电流，故C 正确；
D．线圈从P 点到M 点与从P 点到N 点，线圈的磁通量变化量相同，依题意P 点到M
点所用时间较从P 点到N 点时间长，根据法拉第电磁感应定律，则两次的感应电动势
不相等，故D 错误。
故选AC。
5．（2022·河北·统考高考真题）如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，
一根导轨位于
轴上，另一根由
、
、
三段直导轨组成，其中
段与
轴平行，
导轨左端接入一电阻
。导轨上一金属棒
沿
轴正向以速度
保持匀速运动，
时刻通过坐标原点
，金属棒始终与
轴垂直。设运动过程中通过电阻的电流强
度为，金属棒受到安培力的大小为
，金属棒克服安培力做功的功率为
，电阻两端
的电压为
，导轨与金属棒接触良好，忽略导轨与金属棒的电阻。下列图像可能正确
的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】AC
【详解】当导体棒从O 点向右运动L 时，即在
时间内，在某时刻导体棒切割磁
感线的长度
（θ 为ab 与ad 的夹角）则根据
E=BLv0
可知回路电流均匀增加；安培力
则F-t 关系为抛物线，但是不过原点；安培力做功的功率
则P-t 关系为抛物线，但是不过原点；电阻两端的电压等于导体棒产生的感应电动势，
即
即图像是不过原点的直线；根据以上分析，可大致排除BD 选项；
当在
时间内，导体棒切割磁感线的长度不变，感应电动势E 不变，感应电流I
不变，安培力F 大小不变，安培力的功率P 不变，电阻两端电压U 保持不变；
同理可判断，在
时间内，导体棒切割磁感线长度逐渐减小，导体棒切割磁感
线的感应电动势E 均匀减小，感应电流I 均匀减小，安培力F 大小按照二次函数关系
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减小，但是不能减小到零，与
内是对称的关系，安培力的功率P 按照二次函数
关系减小，但是不能减小到零，与
内是对称的关系，电阻两端电压U 按线性均
匀减小；综上所述选项AC 正确，BD 错误。
故选AC。
三、解答题
6．（2023·广东·统考高考真题）光滑绝缘的水平面上有垂直平面的匀强磁场，磁场被
分成区域Ⅰ和Ⅱ，宽度均为，其俯视图如图（a）所示，两磁场磁感应强度随时间
的变化如图（b）所示，
时间内，两区域磁场恒定，方向相反，磁感应强度大小
分别为
和
，一电阻为
，边长为的刚性正方形金属框
，平放在水平面上，
边与磁场边界平行．
时，线框
边刚好跨过区域Ⅰ的左边界以速度向右
运动．在
时刻，
边运动到距区域Ⅰ的左边界
处，线框的速度近似为零，此时线
框被固定，如图（a）中的虚线框所示。随后在
时间内，Ⅰ区磁感应强度线性减
小到0，Ⅱ区磁场保持不变；
时间内，Ⅱ区磁感应强度也线性减小到0。求：
（1）
时线框所受的安培力
；
（2）
时穿过线框的磁通量
；
（3）
时间内，线框中产生的热量
。
【答案】（1）
，方向水平向左；（2）
；（3）
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【详解】（1）由图可知
时线框切割磁感线的感应电动势为
则感应电流大小为
所受的安培力为
方向水平向左；
（2）在
时刻，
边运动到距区域Ⅰ的左边界
处，线框的速度近似为零，此时线
框被固定，则
时穿过线框的磁通量为
方向垂直纸面向里；
（3）
时间内，Ⅱ区磁感应强度也线性减小到0，则有
感应电流大小为
则
时间内，线框中产生的热量为
7．（2023·天津·统考高考真题）如图，有一正方形线框，质量为m，电阻为R，边长
为l，静止悬挂着，一个三角形磁场垂直于线框所在平面，磁感线垂直纸面向里，且线
框中磁区面积为线框面积一半，磁感应强度变化B = kt（k > 0），已知重力加速度
g，求：
（1）感应电动势E；
（2）线框开始向上运动的时刻t0；
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律有
（2）由图可知线框受到的安培力为
当线框开始向上运动时有
mg = FA
解得
8．（2022·重庆·高考真题）某同学以金属戒指为研究对象，探究金属物品在变化磁场
中的热效应。如图所示，戒指可视为周长为L、横截面积为S、电阻率为
的单匝圆形
线圈，放置在匀强磁场中，磁感应强度方向垂直于戒指平面。若磁感应强度大小在
时间内从0 均匀增加到
，求：
（1）戒指中的感应电动势和电流；
（2）戒指中电流的热功率。
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【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）设戒指的半径为，则有
磁感应强度大小在
时间内从0 均匀增加到
，产生的感应电动势为
可得
戒指的电阻为
则戒指中的感应电流为
（2）戒指中电流的热功率为
1．如图所示，上下开口、内壁光滑的铜管P 和塑料管Q 竖直放置，小磁块先后在
两管中从相同高度处由静止释放，并落至底部，则小磁块( )
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A．在P 和Q 中都做自由落体运动
B．在两个下落过程中的机械能都守恒
C．在P 中的下落时间比在Q 中的长
D．落至底部时在P 中的速度比在Q 中的大
解析：选C.小磁块下落过程中，在塑料管Q 中只受到重力，而在铜管P 中还受到
向上的磁场力，即只在Q 中做自由落体运动，故选项A、B 错误；小磁块在P 中加速
度较小，故在P 中下落时间较长，落至底部时在P 中的速度较小，选项C 正确，D 错
误．
2．(多选)如图所示，竖直平面内的虚线上方是一匀强磁场B，从虚线下方竖直上
抛一正方形线圈，线圈越过虚线进入磁场，最后又落回原处，运动过程中线圈平面保
持在竖直平面内，不计空气阻力，则( )
A．上升过程克服磁场力做的功大于下降过程克服磁场力做的功
B．上升过程克服磁场力做的功等于下降过程克服磁场力做的功
C．上升过程克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力的平均功率
D．上升过程克服重力做功的平均功率等于下降过程中重力的平均功率
解析：选AC.线圈上升过程中，加速度增大且在减速，下降过程中，运动情况比
较复杂，有加速、减速或匀速等，把上升过程看成反向的加速，可以比较当运动到同
一位置时，线圈速度都比下降过程中相应的速度要大，可以得到结论：上升过程中克
服安培力做功多；上升过程时间短，所以上升过程克服重力做功的平均功率大于下降
过程中重力的平均功率，故正确选项为A、C.
3．如图所示，有两个相邻的有界匀强磁场区域，磁感应强度的大小均为B，磁场
方向相反，且与纸面垂直，磁场区域在x 轴方向宽度均为a，在y 轴方向足够宽．现有
一高为a 的正三角形导线框从图示位置开始向右沿x 轴方向匀速穿过磁场区域．若以
逆时针方向为电流的正方向，在以下选项中，线框中感应电流i 与线框移动的位移x 的
关系图象正确的是( )
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解析：选C.线框从开始进入到全部进入第一个磁场过程，磁通量向里增大，则由
楞次定律可知，电流方向为逆时针方向，故B 一定错误；因切割的有效长度均匀增大，
故由E＝BLv 可知，电动势也均匀增加，而在全部进入第一个磁场时，磁通量达最大，
该瞬间变化率为零，故电动势也为零，故A 错误；当线框开始进入第二个磁场时，线
框中磁通量向里减小，则可知电流方向为顺时针方向，故D 错误；而进入第二个磁场
后，分处两磁场的线框两部分产生的电流相同，且有效长度是均匀变大的，当将要全
部进入第二个磁场时，线框中电流达最大2I0.故C 正确．
4．(多选)如图所示，电阻不计、间距为l 的光滑平行金属导轨水平放置于磁感应
强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接一定值电阻R.质量为m、电阻为r
的金属棒MN 置于导轨上，受到垂直于金属棒的水平外力F 的作用由静止开始运动，
外力F 与金属棒速度v 的关系是F＝F0＋kv(F0、k 是常量)，金属棒与导轨始终垂直且
接触良好．金属棒中感应电流为i，受到的安培力大小为FA，电阻R 两端的电压为
UR，感应电流的功率为P，它们随时间t 变化图象可能正确的有( )
解析：选BC.经受力分析和电路分析知，i＝，FA＝Bil＝ v，UR＝iR＝ v，P＝i2(R
＋r)＝v2，因此i∝FA∝UR∝∝v，i－t、FA－t、UR－t 图象的形状与v－t 图象相同．对金
属棒由牛顿第二定律得F－FA＝ma，得F0＋v＝ma.若k＝，则a＝0，金属棒做匀加速
运动，A 错误．若k＞，a 逐渐增大，B 正确．若k＜，a 逐渐减小，最后趋向于零，C
正确．由以上分析知P－t 图象形状与B 或C 相似，D 错误．
5．(多选)如图所示，光滑金属导轨AC、AD 固定在水平面内，并处在方向竖直向
下、大小为B 的匀强磁场中．有一质量为m 的导体棒以初速度v0从某位置开始在导轨
上水平向右运动，最终恰好静止在A 点．在运动过程中，导体棒与导轨始终构成等边
三角形回路，且通过A 点的总电荷量为Q.已知导体棒与导轨间的接触电阻阻值恒为
R，其余电阻不计．则( )
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A．该过程中导体棒做匀减速运动
B．该过程中接触电阻产生的热量为mv
C．开始运动时，导体棒与导轨所构成回路的面积为S＝
D．当导体棒的速度为v0时，回路中感应电流大小为初始时的一半
解析：选BC.该过程中l、v 均在减小，故加速度a 减小，选项A 错误．由能量守
恒定律可知Q 热＝mv，选项B 正确．I＝＝，ΔΦ＝BS，Q＝IΔt，联立得S＝，选项C 正
确．当v＝v0时，l＜l0，由I＝＝知，I＜，选项D 错误．
6．如图所示，足够长平行金属导轨倾斜放置，倾角为37°，宽度为0.5 m，电阻忽
略不计，其上端接一小灯泡，电阻为1 Ω.一导体棒MN 垂直于导轨放置，质量为0.2
kg，接入电路的电阻为1 Ω，两端与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为0.5.在导
轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为0.8 T．将导体棒MN 由静止释
放，运动一段时间后，小灯泡稳定发光，此后导体棒MN 的运动速度以及小灯泡消耗
的电功率分别为(重力加速度g 取10 m/s2，sin 37°＝0.6)( )
A．2.5 m/s 1 W
B．5 m/s 1 W
C．7.5 m/s 9 W
D．15 m/s 9 W
解析：选B.小灯泡稳定发光说明棒做匀速直线运动．此时：F 安＝，对棒满足：
mgsin θ－μmgcos θ－＝0
因为R 灯＝R 棒则：P 灯＝P 棒
再依据功能关系：mgsin θ·v－μmgcos θ·v＝P 灯＋P 棒
联立解得v＝5 m/s，P 灯＝1 W，所以B 项正确．
7．两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，底端接阻值为R 的电阻．将质量
为m 的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面
与磁感应强度为B 的匀强磁场垂直，如图所示．除电阻R 外其余电阻均不计．现将金
属棒从弹簧原长位置由静止释放．则( )
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A．金属棒将做往复运动，动能、弹性势能与重力势能的总和保持不变
B．金属棒最后将静止，静止时弹簧的伸长量为
C．金属棒最后将静止，电阻R 上产生的总热量为mg·
D．金属棒第1 次达到最大速度时金属棒的伸长量为
解析：选B.金属棒在往复运动的过程中不断克服安培力做功产生电能，并转化成
焦耳热，机械能不断减少，最终静止，静止时弹力等于金属棒的重力，A 错误、B 正
确．由能量守恒定律可得mg·＝Q＋E 弹，C 错误．当金属棒第1 次达到最大速度时，加
速度为零，则mg＝kx＋F 安，D 错误．
8．(多选)如图甲所示，abcd 是位于竖直平面内的正方形闭合金属线框，金属线框
的质量为m，电阻为R，在金属线框的下方有一匀强磁场区域，MN 和PQ 是匀强磁场
区域的水平边界，并与线框的bc 边平行，磁场方向垂直于线框平面向里．现使金属线
框从MN 上方某一高度处由静止开始下落，如图乙是金属线框由开始下落到bc 刚好运
动到匀强磁场PQ 边界的v t 图象，图中数据均为已知量．重力加速度为g，不计空气
阻力．下列说法正确的是( )
A．金属线框刚进入磁场时感应电流方向沿adcba 方向
B．磁场的磁感应强度为
C．金属线框在0～t3时间内所产生的热量 为mgv1(t2－t1)
D．MN 和PQ 之间的距离为v1(t2－t1)
解析：选BC.根据楞次定律可知，线框刚进入磁场时，感应电流的方向为abcda 方
向，选项A 错误；由于bc 边进入磁场时线框匀速运动，则mg＝，而线框边长l＝v1(t2
－t1)，联立可得B＝ ，选项B 正确；金属线框在0～t3时间内，只有在t1～t2时间内才
产生热量，此过程中安培力与重力大小相等，因此所产生的热量为mgv1(t2－t1)，选项
C 正确；MN 和PQ 之间的距离为v1(t2－t1)＋(t3－t2)，选项D 错误．
9．(多选)如图所示，边长为L、不可形变的正方形导线框内有半径为r 的圆形磁
场区域，其磁感应强度B 随时间t 的变化关系为B＝kt(常量k＞0)．回路中滑动变阻器
R 的最大阻值为R0，滑动片P 位于滑动变阻器中央，定值电阻R1＝R0、R2＝.闭合开关
S，电压表的示数为U，不考虑虚线MN 右侧导体的感应电动势，则( )
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A．R2两端的电压为
B．电容器的a 极板带正电
C．滑动变阻器R 的热功率为电阻R2的5 倍
D．正方形导线框中的感应电动势为kL2
解析：选AC.由法拉第电磁感应定律E＝n＝nS 有E＝kπr2，D 错误；因k＞0，由
楞次定律知线框内感应电流沿逆时针方向，故电容器b 极板带正电，B 错误；由题图
知外电路结构为R2与R 的右半部并联，再与R 的左半部、R1相串联，故R2两端电压U2
＝U＝，A 正确；设R2消耗的功率为P＝IU2，则R 消耗的功率P′＝2I×2U2＋IU2＝
5P，故C 正确．
10．如图所示，先后以速度
和
匀速把一矩形线圈水平拉出有界匀强磁场区域，
，则在先后两种情况下（ ）
A．线圈中的感应电动势之比为
B．线圈中的感应电流之比为
C．线圈中产生的焦耳热之比
D．通过线圈某截面的电荷量之比
【答案】C
【详解】A．感应电动势为
由于
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则感应电动势之比为
故A 错误；
B．感应电流为
由于
则感应电流之比为
故B 错误；
C．线框穿出磁场的时间为
由于
则有
产生的焦耳热为
则焦耳热之比
故C 正确；
D．通过线圈某截面的电荷量为
由于B、S、R 都相等，则通过某截面的电荷量之比为
，故D 错误。
故选C。
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11．圆形导体环用一根轻质细杆悬挂在O 点，导体环可以在竖直平面内来回摆动，
空气阻力和摩擦力均不计，在如图所示的虚线正方形区域有垂直于圆环的摆动面指向
纸内的匀强磁场。下列说法正确的是（ ）
A．此摆在进入磁场过程中机械能守恒
B．导体环进入磁场和离开磁场时，环中感应电流的方向可能相同
C．最后此摆在匀强磁场中摆动时，机械能守恒
D．导体环通过最低位置时，环中感应电流最大
【答案】C
【详解】A．此摆在进入磁场过程中，穿过圆形导体环磁通量发生变化，有感应电流产
生，机械能转化为电能，机械能不守恒，故A 错误；
B．当金属环进入或离开磁场区域时磁通量发生变化，会产生电流，环进入和离开磁场
区域，磁通量分别是增大和减小，根据楞次定律得感应电流的方向相反，故B 错误；
CD．摆在匀强磁场中摆动时，穿过圆形导体环磁通量不发生变化，无感应电流产生，
机械能守恒，即导体环通过最低位置时，环中感应电流为0，故D 错误，C 正确；
故选C。
12．（多选）如图所示，在虚线左侧的足够大区域存在匀强磁场，磁场方向垂直
纸面向里。有一个直角三角形金属线框，线框左边与磁场边界平行，线框的电阻为
R。线框以垂直虚线方向的速度v0做匀速直线运动，从线框的左边进入磁场时开始计时。
E 表示线框产生的感应电动势大小，F 表示线框中受到的安培力大小（抛物线），P 表
示线框的电功率的大小，I 表示线框中的感应电流，则下列图像中正确的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】ABD
【详解】如图所示，这直角三角形左侧的直角边边长为L0，右边锐角角度为θ。
A．线框进入磁场的t 时间时，线框切割磁感线的有效长度为
感应电动势为
是关于t 的一次函数，即电动势随时间均匀减小，故A 正确；
B．由于线框以速度v0做匀速直线运动，由平衡条件可知
是关于t 的二次函数，故B 正确；
C．电功率等于克服安培力的功率
是关于t 的二次函数，故C 错误；
D．切割产生的感应电流
是关于t 的一次函数，故D 正确。
故选ABD。
13．（多选）空间在一方向与纸面垂直、大小随时间变化的匀强磁场，其边界如
图（a）中虚线MN 所示。一硬质细导线的电阻率为ρ、横截面积为S，将该导线做成
半径为r 的圆环固定在纸面内，圆心O 在MN 上磁感应强度的方向以垂直纸面向里为
正，磁感应强度B 随时间t 的变化关系如图（b）所示，则在t=0 到t=t1的时间间隔内（
）
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A．圆环所受安培力先变小后变大
B．圆环所受安培力先向右后向左
C．圆环中的感应电流大小为
D．圆环中的感应电流大小为
【答案】AC
【详解】A．根据B-t 图像，磁感应强度变化率不变，则感应电流大小不变，但磁场先
减小后增大，根据F=BIL 可知圆环所受安培力先变小后变大，故A 正确；
B．由楞次定律可知，线圈中感应电流方向一直为顺时针，磁场先垂直纸面向里，根据
左手定则可知安培力先向左，故B 错误；
CD．由闭合电路欧姆定律得
根据法拉第电磁感应定律得
根据电阻定律得
联立解得
故C 正确，D 错误。
故选AC。
14．均匀导线制成的单匝正方形闭合线框
，边长
，总质量
，将其置于磁感应强度
的水平匀强磁场上方
处，磁场区
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域的上下水平边界之间的高度
，如图所示；线框由静止自由下落，线框平
面保持与磁场方向垂直，且
边始终与水平的磁场边界平行；已知
边刚进入磁场时
线框恰好做匀速直线运动，取重力加速度
，求：
（1）线框刚进入磁场区域时，线框中产生的感应电动势的大小E；
（2）线框的总电阻R；
（3）线框通过磁场区域的整个过程中产生的焦耳热Q。
【答案】（1）0.2V；（2）0.01Ω；（3）0.2J
【详解】（1）（2）已知
边刚进入磁场时线框恰好做匀速直线运动，则
解得
E=0.2V
R=0.01Ω
（3）因线框的宽度等于磁场的宽度，则线圈经过磁场时做匀速运动，线框通过磁场区
域的整个过程中产生的焦耳热
15．如图，水平面(纸面)内间距为l 的平行金属导轨间接一电阻，质量为m、长度
为l 的金属杆置于导轨上．t＝0 时，金属杆在水平向右、大小为F 的恒定拉力作用下由
静止开始运动．t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强
磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动．杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终
保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ.重力加速度大小为g.求
(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；
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(2)电阻的阻值．
解析：(1)设金属杆进入磁场前的加速度大小为a，由牛顿第二定律得
ma＝F－μmg ①
设金属杆到达磁场左边界时的速度为v，由运动学公式有
v＝at0②
当金属杆以速度v 在磁场中运动时，由法拉第电磁感应定律，杆中的电动势为
E＝Blv ③
联立①②③式可得
E＝Blt0④
(2)设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆中的电流为I，根据欧姆定律
I＝⑤
式中R 为电阻的阻值．金属杆所受的安培力为
FA＝BlI ⑥
因金属杆做匀速运动，由牛顿运动定律得
F－μmg－FA＝0 ⑦
联立④⑤⑥⑦式得
R＝⑧
答案：(1)Blt0 (2)
16．如图，两条相距l 的光滑平行金属导轨位于同一水平面(纸面)内，其左端接一
阻值为R 的电阻；一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上；在电阻、导轨和金属棒中间
有一面积为S 的区域，区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小B1随
时间t 的变化关系为B1＝kt，式中k 为常量；在金属棒右侧还有一匀强磁场区域，区域
左边界MN(虚线)与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为B0，方向也垂直于纸面向里．
某时刻，金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在t0时刻恰好以速
度v0越过MN，此后向右做匀速运动．金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们
的电阻均忽略不计．求：
(1)在t＝0 到t＝t0时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值；
(2)在时刻t(t>t0)穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小．
解析：(1)在金属棒越过MN 之前，t 时刻穿过回路的磁通量为Φ＝ktS ①
设在从t 时刻到t＋Δt 的时间间隔内，回路磁通量的变化量为ΔΦ，流过电阻R 的
电荷量为Δq.由法拉第电磁感应定律有
E＝②
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由欧姆定律有i＝③
由电流的定义有i＝④
联立①②③④式得|Δq|＝Δt ⑤
由⑤式得，在t＝0 到t＝t0的时间间隔内，流过电阻R 的电荷量q 的绝对值为
|q|＝⑥
(2)当t>t0时，金属棒已越过MN.由于金属棒在MN 右侧做匀速运动，有
f＝F ⑦
式中，f 是外加水平恒力，F 是匀强磁场施加的安培力．设此时回路中的电流为
I，F 的大小为
F＝B0Il ⑧
此时金属棒与MN 之间的距离为s＝v0(t－t0)⑨
匀强磁场穿过回路的磁通量为Φ′＝B0ls○
回路的总磁通量为Φt＝Φ＋Φ′⑪
式中，Φ 仍如①式所示．由①⑨○⑪式得，在时刻t(t>t0)穿过回路的总磁通量为
Φt＝B0lv0(t－t0)＋kSt ⑫
在t 到t＋Δt 的时间间隔内，总磁通量的改变ΔΦt为
ΔΦt＝(B0lv0＋kS)Δt ⑬
由法拉第电磁感应定律得，回路感应电动势的大小为
Et＝⑭
由欧姆定律有I＝⑮
联立⑦⑧⑬⑭⑮式得
f＝(B0lv0＋kS)⑯
答案：(1) (2)B0lv0(t－t0)＋kSt (B0lv0＋kS)
17．如图甲所示，平行长直导轨MN、PQ 水平放置，两导轨间距L＝0.5 m，导轨
左端M、P 间接有一阻值R＝0.2 Ω 的定值电阻，导体棒ab 的质量m＝0.1 kg，与导轨
间的动摩擦因数μ＝0.1，导体棒垂直于导轨放在距离左端d＝1.0 m 处，导轨和导体棒
始终接触良好，电阻均忽略不计．整个装置处在范围足够大的匀强磁场中，t＝0 时刻，
磁场方向竖直向下，此后，磁感应强度B 随时间t 的变化如图乙所示，不计感应电流
产生的磁场的影响．取重力加速度g＝10 m/s2.
(1)求t＝0 时棒所受到的安培力F0；
(2)分析前3 s 时间内导体棒的运动情况并求前3 s 内棒所受的摩擦力Ff随时间t 变
化的关系式；
(3)若t＝3 s 时，突然使ab 棒获得向右的速度v0＝8 m/s，同时垂直棒施加一方向水
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平、大小可变化的外力F，使棒的加速度大小恒为a＝4 m/s2、方向向左．求从t＝3 s
到t＝4 s 的时间内通过电阻的电荷量q.
解析：(1)t＝0 时棒的速度为零，故回路中只有感生电动势，由法拉第电磁感应定
律知E＝＝Ld
感应电流I＝
t＝0 时棒所受到的安培力F0＝B0IL
代入数据解得F0＝0.025 N
(2)ab 棒与导轨间的最大静摩擦力
Ffm＝μmg＝0.1 N>F0＝0.025 N
所以在t＝0 时刻棒静止不动，加速度为零，在0～3 s 内磁感应强度B 都小于B0，
棒所受的安培力都小于最大静摩擦力，故前3 s 内导体棒静止不动，电流恒为I＝0.25
A
在0～3 s 内，磁感应强度B＝B0－kt＝0.2－0.1t T
因导体棒静止不动，ab 棒在水平方向受安培力和摩擦力，二力平衡，则有Ff＝
BIL＝(B0－kt)IL
代入数据可得Ff＝0.012 5(2－t)N(t<3 s)
(3)3～4 s 内磁感应强度大小恒为B2＝0.1 T，ab 棒做匀变速直线运动，Δt1＝4 s－3
s＝1 s
设t＝4 s 时棒的速度为v，第4 s 内的位移为x，则
v＝v0－aΔt1＝4 m/s
x＝Δt1＝6 m
在这段时间内的平均感应电动势＝
通过电阻的电荷量q＝ Δt1＝Δt1＝＝1.5 C
答案：(1)0.025 N (2)静止不动 Ff＝0.012 5(2－t)N(t＜3 s) (3)1.5 C
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