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微专题38 变力的功
1．计算变力的功常用微元法、图像法、平均值法(如弹簧弹力的功)、动能定理法。2.若功率
恒定，常用W＝Pt 求解。
1．一小球用细线悬挂在天花板上，处于静止状态。第一次如图甲所示，用一个水平向右的
拉力F1作用在小球上。使小球缓慢移动至细线与竖直方向的夹角为θ 的位置；第二次如图
乙所示，用一个始终与细线垂直且在同一竖直面内的拉力F2，也使小球缓慢移动至细线与
竖直方向的夹角为θ 的位置，则下列判断正确的是( )
A．两个过程中，拉力F1、F2都不断增大
B．两个过程中，细线的张力都不断增大
C．第一次拉力F1做的功比第二次拉力F2做的功多
D．细线与竖直方向的夹角为θ 时，F1小于F2
答案 A
解析 根据共点力平衡，题图甲中有F1＝mgtan θ
细线的拉力FT1＝，题图乙中有F2＝mgsin θ，细线的拉力FT2＝mgcos θ
在小球缓慢运动的过程中，随着θ 增大，F1、F2都不断增大，题图甲中细线的张力不断增大，
而题图乙中细线的张力不断减小，选项A 正确，B 错误；
根据动能定理有WF＋WG＝0，两次克服重力做的功相同，因此拉力F1、F2做的功相等，选
项C 错误；
由F1＝mgtan θ 和F2＝mgsin θ 可知，细线与竖直方向的夹角为θ 时，F1大于F2，选项D 错
误。
2. 质量为m、长为L 的匀质木板以速度v0向右运动，水平地面O 点左侧是光滑的，右侧是
粗糙的，且与木板的动摩擦因数为μ，当木板全部进入时刚好静止，则木板的初速度v0是
(重力加速度为g)( )
A. B．2 C. D．3
答案 A
解析 摩擦力与位移为线性关系，可以用平均摩擦力来求摩擦力做功，根据动能定理得－
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μmgL＝0－mv0
2解得v0＝，故选A。
3. (2023·贵州省模拟)在多年前的农村，人们往往会选择让驴来拉磨把食物磨成面，假设驴
对磨的平均拉力为600 N，拉力沿磨盘圆周切线方向，磨盘的转动半径r 为0.5 m，转动一周
为5 s，则( )
A．驴转动一周拉力所做的功为0
B．驴转动一周拉力所做的功为650π J
C．驴转动一周拉力的平均功率为120π W
D．磨盘边缘的线速度大小为0.1π m/s
答案 C
解析 驴对磨的拉力沿圆周切线方向，拉力作用点的速度方向也在圆周切线方向，故可认为
驴拉磨过程中拉力方向始终与速度方向相同，故根据微分原理可知，拉力对磨盘所做的功等
于拉力的大小与拉力作用点沿圆周运动弧长的乘积，磨转动一周，弧长L＝2πr＝π m，所以
拉力所做的功W＝FL＝600×π J＝600π J，故A、B 错误；根据功率的定义得P＝＝ W＝
120π W，故C 正确；线速度大小为v＝＝ m/s＝0.2π m/s，故D 错误。
4. 如图所示，密度为ρ、棱长为a 的正立方体木块漂浮在水面上(h 为木块在水面上方的高
度)。现用竖直向下的力F 将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，则此过程中木块克服
浮力做功为(已知水的密度为ρ0、重力加速度为g)( )
A．ρa3gh
B.a3gh(ρ＋ρ0)
C．ρ0a3gh(a－h)
D.a3gh(a－h)(ρ＋ρ0)
答案 B
解析 木块漂浮在水面上时有F 浮＝G＝ρga3，木块上表面刚浸没时受到的浮力为F 浮′＝
ρ0ga3，浮力做的功为W＝h＝ga3h(ρ＋ρ0)，故选B。
5. (多选)如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮
O。现以大小不变的拉力F 拉绳，使滑块从A 点由静止开始上升，滑块运动到C 点时速度最
大。已知滑块质量为m，滑轮O 到竖直杆的距离为d，∠OAO′＝37°，∠OCO′＝53°，重
力加速度为g(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。则( )
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A．拉力F 大小为mg
B．拉力F 大小为mg
C．滑块由A 到C 过程轻绳对滑块做功为mgd
D．滑块由A 到C 过程轻绳对滑块做功为mgd
答案 AC
解析 滑块到C 点时速度最大，其所受合力为零，则有Fcos 53°－mg＝0，解得F＝mg，故
A 正确，B 错误；拉力F 做的功等于轻绳对滑块做的功，滑轮在A 点时，OA 间绳长L1＝，
滑轮在C 点时，OC 间绳长L2＝，滑轮右侧绳子增加的长度ΔL＝L1－L2＝－＝，拉力做功W
＝FΔL＝mgd，故C 正确，D 错误。
6. 如图所示，一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端与圆心O 等高，质量为m
的小滑块(可视为质点)自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的压力大小
为2mg，重力加速度大小为g。小滑块自P 点滑到Q 点的过程中，克服摩擦力所做的功为(
)
A.mgR
B.mgR
C.mgR
D.mgR
答案 C
解析 在Q 点小滑块在竖直方向受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力提
供向心力，所以有FN－mg＝m，FN＝2mg，联立解得v＝，下滑过程中，根据动能定理可得
mgR－W 克f＝mv2，解得W 克f＝mgR，所以克服摩擦力做的功为mgR，选项C 正确。
7．(多选)如图所示，在一半径为R＝6 m 的圆弧形桥面的底端A，某人把一质量为m＝8 kg
的物块(可看成质点)用大小始终为F＝75 N 的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B、F 方向与圆
弧AB 在同一竖直平面内且始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角
为120°，g 取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，π＝3.14。在这一过程中，下列说法正确
的是( )
A．重力做功为240 J
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B．支持力做功为0
C．拉力F 做功为376.8 J
D．摩擦力做功为136.8 J
答案 BC
解析 物块重力做的功WG＝－mgR(1－cos 60°)＝－240 J，故A 错误；支持力始终与运动方
向垂直，支持力不做功，故B 正确；将圆弧 分成很多小段l1、l2…ln，拉力在每一小段上做
的功为W1、W2…Wn，拉力F 大小不变、方向始终与物块在该点的切线成37°角，则W1＝
Fl1cos 37°、W2＝Fl2cos 37°、…、Wn＝Flncos 37°，WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°(l1＋l2
＋…＋ln)＝Fcos 37°××2πR＝376.8 J，故C 正确；因物块在拉力F 作用下缓慢移动，动能不
变，由动能定理得WF＋WG＋Wf＝0－0，解得Wf＝－WF－WG＝－376.8 J＋240 J＝－136.8
J，故D 错误。
8．(多选)如图甲，辘轳是古代民间提水设施，由辘轳头、支架、井绳、水斗等部分构成。
如图乙为提水设施工作原理简化图，某次需从井中汲取m＝2 kg 的水，辘轳绕绳轮轴半径为
r＝0.1 m，水斗的质量为0.5 kg，井足够深且井绳的质量忽略不计。t＝0 时刻，轮轴由静止
开始绕中心轴转动，其角速度随时间变化规律如图丙所示，g 取10 m/s2，则( )
A．水斗速度随时间变化规律为v＝0.4t(m/s)
B．井绳拉力瞬时功率随时间变化规律为P＝10t(W)
C．0～10 s 内水斗上升的高度为4 m
D．0～10 s 内井绳拉力所做的功为520 J
答案 AD
解析 根据图像可知，水斗速度v＝ωr＝×0.1t(m/s)＝0.4t(m/s)，A 正确；
井绳拉力瞬时功率P＝FTv＝FTωr
又由于FT－(m＋m0)g＝(m＋m0)a，根据上述有a＝0.4 m/s2，则有P＝10.4t(W)，B 错误；
根据图像可知，0～10 s 内水斗上升的高度为h＝t＝ m＝20 m，C 错误；
根据上述P＝10.4t(W)
0～10 s 内井绳拉力所做的功为W＝·t＝ J＝520 J，D 正确。
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9. (多选)(2024·四川成都市七中阶段练习)如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧下端固定在地面
上，质量为m 的物体A 与轻弹簧上端拴接，质量为2m 的物体B 静止在A 上，竖直向下的
力F＝3mg 作用在B 上，系统处于静止状态，现在减小F 使A、B 以的加速度一起匀加速上
升，直到F＝0 的过程，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g。则( )
A．F＝mg 时，物体A 和物体B 之间压力为
B．物体A、B 开始运动后，F 随位移均匀的减小
C．A、B 从静止到F＝0 的过程合外力对A、B 系统做功为
D．A、B 从静止到F＝0 的过程弹簧弹力对A、B 系统做功为
答案 BC
解析 A、B 一起匀加速上升，对B 分析，由牛顿第二定律得FNAB－F－2mg＝2m·g，
当F＝mg 时，可得FNAB＝mg，故A 错误；
系统静止时，对A、B 整体分析有kx0＝F＋3mg＝6mg
A、B 以的加速度一起匀加速上升位移x 时，有k(x0－x)－F－3mg＝3m·g，
可得F＝－kx＋2mg
所以物体A、B 开始运动后，F 随位移均匀减小，故B 正确；
A、B 从静止到F＝0 过程，发生的位移为x1＝
则合外力对A、B 系统做的功为W＝3m·gx1＝，故C 正确；
当F＝0 时，弹簧弹力大小为F 弹＝k(x0－x1)＝4mg
A、B 从静止到F＝0 的过程弹簧弹力对A、B 系统做功为W 弹＝(6mg＋4mg)x1＝，故D 错误。
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