文档文本内容
第30 讲 静电场力的性质
目录
.....1
.....4
考点一 电荷守恒定律与库仑定律的理解和应用..........................................................................................................4
考向1：电荷守恒定律与库仑定律的应用..............................................................................................................5
考向2：库仑力作用下的平衡问题........................................................................................................................... 6
考向3：库仑力作用下的加速问题........................................................................................................................... 6
考点二 电场强度的理解和计算........................................................................................................................................10
考向1：电场与电场强度的概念和性质................................................................................................................10
考向2：点电荷的电场场强与叠加.........................................................................................................................11
考向3：带电球壳、球体的电场.............................................................................................................................11
考点三 非点电荷电场强度的叠加及计算.....................................................................................................................15
考向1：带电体电场的叠加.......................................................................................................................................16
考向2：立体空间电场的叠加..................................................................................................................................16
考点四 电场线的理解和应用............................................................................................................................................ 19
. .23
基础巩固练.............................................................................................................................................................................. 23
综合提升练.............................................................................................................................................................................. 31
核心考点
1.电荷与库仑定律：
电荷守恒定律：电荷既不会创生，也不会消灭，只能从一个物体转移到另一个物体，
或者从物体的一部分转移到另一部分，总量保持不变。
库仑定律：F=kq₁q₂/r ²（真空中、静止点电荷）。方向在两点电荷的连线上，同种电荷
相互排斥，异种电荷相互吸引。注意库仑力遵循牛顿第三定律（大小相等，方向相反）。
2.电场强度：
定义式：E=F/q（适用于任何电场），其中q 为试探电荷。电场强度由电场本身决定，
与试探电荷无关。
点电荷的场强：E=kQ/r²（Q 为场源电荷）。
电场强度的叠加：遵循平行四边形定则（矢量和）。当空间存在多个场源电荷时，合
场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和。
3.电场线：
特性：电场线的疏密表示电场强度的强弱；切线方向表示电场强度的方向。
电场线从正电荷（或无穷远）出发，终止于负电荷（或无穷远），是不闭合的曲线。
电场线不相交（空间中每一点的场强方向唯一）。
4.静电平衡：
导体在电场中达到静电平衡时，内部场强处处为零，整个导体是一个等势体，表面是
等势面。
5.电场强度的特殊求解方法：
补偿法、对称法、微元法、等效法、极限法。
考情透析
1.题型与难度：主要以选择题的形式出现，偶尔在计算题中作为多过程问题的一个环
节。难度基础→中档，是静电场板块最基础、最核心的内容。
2.命题规律：
高频考查：库仑定律的简单应用（两电荷间作用力计算）、电场强度的叠加（特别是
多个点电荷或规则带电体在特定点的场强）、电场线的分布及其应用、带电粒子在电场中
的受力分析与运动状态判断。
常规考法：结合点电荷、等量同种/异种电荷模型，直接定量计算场强大小和方向，或
定性分析电场线的分布。
创新考法：常以新情境（如均匀带电球壳、带电圆环、带电半球壳等）为背景，考查
利用补偿法、对称法、微元法等特殊方法求解场强，考查知识迁移与模型建构。
3.考查方向：侧重库仑定律的适用条件（真空中、点电荷）、电场强度的定义式E=F/q
与决定式E=kQ/r² 的区别、电场强度的矢量叠加计算、电场线与带电粒子运动轨迹的关系
（轨迹弯曲方向与受力方向）、静电平衡时导体内部的场强特点。
素养对接
1.模型建构：将“电荷”、“点电荷”、“试探电荷”、“场源电荷”等概念进行理想
化抽象。能识别带电球体、圆环、半球壳等非点电荷模型，并依据题意用微元法或对称法
将其等效为可计算的模型。
2.等效与替代：在计算非点电荷产生的电场时，能利用对称性（如等量同种/异种电荷
的场强特点）或补偿法（挖去一块，等效为完整形状与填补部分之差）简化问题，培养化
繁为简的等效思维。
3.矢量运算：理解电场强度是矢量，主动运用平行四边形定则进行叠加运算，培养扎实
的矢量运算能力。
4.因果推理：理解“电场”是物质，电场对放入其中的电荷有力的作用。能根据电场线
分布（因）推断带电粒子在电场中受力方向、加速度变化（果），培养从宏观现象到微观
本质的推理能力。
学习目标
1.知识目标：
能准确说出库仑定律的表达式F=kq₁q₂/r ²及其适用条件（真空、静止点电荷）。
能准确写出电场强度的定义式E=F/q 和点电荷场强公式E=kQ/r²，并说出它们的区别
（定义式vs.决定式）。
能说出电场线的特点（疏密、方向、不闭合、不相交）。
能说出静电平衡状态下导体内部场强的特点（处处为零）。
2.能力目标：
矢量计算能力：能熟练运用平行四边形定则，对多个场源电荷在某点产生的合场强进
行矢量合成计算。
库仑力分析能力：能正确分析两点电荷间的库仑力大小和方向，并能结合牛顿第二定
律、平衡条件、对称性解决多电荷静电力平衡问题。
电场线分析能力：能根据电场线的疏密和方向，判断电场强度的大小和方向；能根据
带电粒子的运动轨迹，判断其受力方向、速度、加速度的变化情况。
特殊方法求解能力：能在特定情境中识别并运用补偿法、对称法、微元法等求解电场
强度。
备考建议
1.注意“库仑定律”的矢量性与适用条件：
适用条件：真空中、静止的、点电荷。当带电体间的距离相比它们自身的大小大得多
时，可视为点电荷。
矢量性（关键）：库仑力是矢量，计算时必须规定正方向，同种电荷相互排斥（F 为
正/负），异种电荷相互吸引（F 为负/正）。在多个电荷共同作用下（如三个点电荷的平衡
问题），需对每个电荷进行受力分析，并用矢量合成法则求解。
2.务必掌握“电场强度”的“定义式”与“决定式”的辨析：
定义式E=F/q：适用于任何电场。E 由电场本身决定，与F、q 无关（q 是试探电荷，它
产生的电场对原场强的影响可忽略）。
决定式E=kQ/r²：只适用于点电荷产生的电场。E 由场源电荷Q 和到Q 的距离r 决定。
考查方式：常让考生判断E 与F、q、r 的关系图线，强调物理量与定义式/决定式的依
赖关系。
3.必须攻克“电场强度的叠加”类问题：
核心：电场强度是矢量，叠加遵循平行四边形定则。
对称性应用：
等量异种电荷：连线中垂线上各点的场强方向均相同（与连线平行且指向负电荷一
侧）。
等量同种电荷：连线中垂线上，中点处场强为零，从中点向两侧先增大后减小。
特殊方法：对规则形状带电体（如圆环、圆盘）在某点的场强，常运用微元法（将带
电体分成无数个点电荷，积分求和）或补偿法（挖去一部分，剩下的部分等效于完整形状
减去挖去部分）。
4.重视“电场线”和“带电粒子运动轨迹”的关联问题：
解题三部曲：
①轨迹切线：轨迹上某点的切线方向为粒子在该点的速度方向。
②受力方向：粒子所受合外力（电场力）方向指向轨迹的凹侧（“力指凹侧”）。
③电场线与力方向：正电荷受力方向与电场线方向相同；负电荷相反。
通过以上三点，即可判断：电场力做正功还是负功（速度如何变化）、加速度大小变
化（电场线疏密决定加速度大小）。
5.强化易错点专项训练：
易错点一：混淆“场源电荷”和“试探电荷”。E=kQ/r² 中的Q 是产生电场的场源电
荷；E=F/q 中的q 是检验电场是否存在的试探电荷，绝不能与场源电荷混淆。
易错点二：忽略静电平衡下导体的特性。导体处于静电平衡状态时，内部场强处处为
零，但不代表没有电场（感应电荷产生的附加电场与原电场叠加为零）。
易错点三：将库仑力直接当场强用。库仑定律算出来的是力，场强计算要用库仑定律
先求力F，再用E=F/q，或直接用决定式E=kQ/r²（仅限点电荷）。
易错点四：对“点电荷”模型理解不深。物体是否能视为点电荷，取决于研究问题，
与物体大小无关。若研究的问题涉及电荷的分布和大小，则不能视为点电荷。
考点一 电荷守恒定律与库仑定律的理解和应用
【必备知识回顾】
1．元电荷、点电荷
(1)元电荷：e＝1.6×10－19C，最小的电荷量，所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍，其中质子、正
电子的电荷量与元电荷相同。电子的电荷量q＝－1.6×10－19C。
(2)点电荷：当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况
对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷。点电荷是一种理
想化模型。
(3)比荷：带电粒子的电荷量与其质量之比。
2．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分
转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变。
(2)普遍表述：一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变。
(3)起电方法：摩擦起电、感应起电、接触起电。
(4)带电实质：物体带电的实质是得失电子。
(5)电荷的分配原则：两个形状、大小等完全相同的导体，接触后再分开，二者带等量同种电荷；若两
导体原来带异种电荷，则电荷先中和，余下的电荷再平分，即Q1'＝Q2'＝Q1＋Q2
2
，注意：计算时Q1、Q2
带着符号运算。
3．库仑定律
(1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的
二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
(2)表达式：F＝k，式中k＝9.0×109N·m2/C2，叫作静电力常量。
(3)库仑力的方向：由相互作用的两个带电体决定，且同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
(4)适用条件：①真空中；②静止的点电荷。
①在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式。
②当两个带电体的间距远大于本身的大小时，可以把带电体看成点电荷。
③两个带电体间的距离r→0 时，不能再视为点电荷，也不遵循库仑定律，它们之间的库仑力不能认为
趋于无穷大。
【重难模型精讲】
考向1：电荷守恒定律与库仑定律的应用
【典例1】（多选）(2026·四川省·月考试卷)如图，真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和
B，带有等量同种电荷，电荷量为q，两者间距远大于小球直径，两者之间的静电力大小为F。用一个电荷
量为Q的同样的金属小球C先跟A接触，再跟B接触，移走C后，A和B之间的静电力大小仍为F，则Q:q
的绝对值可能是()
A.1
B.2
C.3
D.5
【答案】AD
【解析】C先跟A接触后，两者电荷量均变为q1= Q+q
2
，C再跟B接触后，两者电荷量均变为
q2= q+q1
2
= Q+3q
4
，此时AB之间静电力大小仍为F = k q
2
L
2 ，则有F = k q
2
L
2 = k q1q2
L
2
解得Q
q =1或Q =-5q；
则Q:q的绝对值可能是1或者5。
故选AD。
考向2：库仑力作用下的平衡问题
【典例2】(2026·湖北省襄阳市·月考试卷)如图所示，光滑绝缘的水平面上放着三个带电小球(可看成点
电荷)，三个小球处在同一条直线上，要使三个小球都处于静止状态，则它们的电荷量分别为()
A.Q A = 4Q、QB= 4Q、QC = 4Q
B.Q A = 4Q、QB=-5Q、QC =3Q
C.Q A =9Q、QB=- 4Q、QC =36Q
D.Q A =- 4Q、QB=2Q、QC =-3Q
【答案】C
【解析】A.由“两同夹异”可知，小球A、C带同种电荷，小球B与A、C带异种电荷，故A 错误；
B.由“两大夹小”可知QB最小，故B 错误；
CD.三个自由电荷位置如题图所示，根据平衡列出方程组，对于A有|k Q AQB|
A B
2
=|k Q AQC|
A C
2
，对于B有
|k Q AQB|
A B
2
=|k QBQC|
BC
2
，
对
于
C有
|k Q AQC|
A C
2
=|k QBQC|
BC
2
，
解
得
AC = AB ❑√|QC /QB|；
BC = AB ❑√|QC /Q A|，由几何关系得AC = AB+ BC，则❑√|Q AQC|= ❑√|Q AQB|+ ❑√|QBQC|，将数据
代入可知C 正确，D 错误。
故选C。
考向3：库仑力作用下的加速问题
【典例3】（多选）(2026·湖南省益阳市·期末考试)如图所示，绝缘斜面体ABC静止于粗糙的水平面上，
∠B =37
∘，∠C =53
∘，两个可视为质点的带电物体P、Q分别静止在AB和AC面上，且PQ连线水平。已
知AB、AC面均足够长且光滑，斜面体和P、Q的质量分别为M、m1、m2，重力加速度为g，
sin37
∘=0.6，cos37
∘=0.8，下列判断正确的是()
A.P、Q的质量之比是4:3
B.P、Q带异种电荷，且Q的电荷量大于P的电荷量
C.水平面对斜面体的支持力等于( M +m1+m2)g
D.若改变P、Q质量和电荷量使得P沿静止斜面加速上滑而Q加速下滑(斜面体保持静止)，则在P、Q
运动过程中斜面受到的静摩擦力水平向右
【答案】CD
【解析】库仑力F、重力mg和倾角θ的关系式为F =mg tanθ，P、Q受到的库仑力大小相等，则可知，
P、Q质量之比为
m1
m2
= tanC
tan B = tan53
∘
tan37
∘= 16
9 ，A 错误;
P、Q两物体都是三力平衡，且P、Q在水平方向受到的是大小相等的库仑引力，P、Q一定是带异种
电荷，电荷量大小关系不能确定，B 错误;
由斜面和P、Q所构成的整体是二力平衡，水平面对斜面支持力等于总重力，C 正确;
若改变P、Q质量和电量使得P从图示位置沿始终静止的斜面加速上滑，而Q从图示位置沿斜面加速下
滑，则P、Q在水平方向的加速度均向右，对整体使用牛顿第二定律可知水平面对斜面体底部的静摩擦力
水平向右，D 正确。
故选CD。
【变式训练与拓展】
【变式1】(2026·广西壮族自治区河池市·其他类型)如图所示，带电小球A固定在定滑轮的正下方，绕
过定滑轮的绝缘细线一端连接带电小球B，用力拉着细线另一端，使小球B静止。初始时小球B与小球A在
同一水平线上，两球间的距离小于滑轮到A球的距离，两小球和滑轮均可视为质点，改变细线拉力，使小
球B缓慢上移，在滑轮与B球间的细线变为竖直前，A、B两球间的距离()
A.保持不变
B.一直变小
C.一直变大
D.先变小后变大
【答案】A
【解析】设两球间的距离为r，滑轮与A球间的距离为h，小球B的质量为m，A、B两球的带电量分别
为q1、q2，则根据相似三角形可知，mg
h = k q1q2
r
3
，由此可见r不变，A项正确。
故选A。
【变式2】(2026·湖北省襄阳市·月考试卷)如图所示，在光滑绝缘水平面上放置3个电荷量均为q(q>0)
的相同小球，小球之间用劲度系数均为k0的轻质弹簧绝缘连接。当3个小球处在静止状态时，每根弹簧长
度为l。已知静电力常量为k，若不考虑弹簧的静电感应，则每根弹簧的原长为()
A.l+ 5k q
2
2k0l
2
B.l - k q
2
k0l
2
C.l - 5k q
2
4 k0l
2
D.l - 5k q
2
2k0l
2
【答案】C
【解析】解：对第三个小球受力分析，第三个小球受三个力的作用，即为两库仑力与弹簧的拉力，
它们的关系是k0 x =k q
2
l
2 +k
q
2
(2l)
2，
解得x = 5k q
2
4 k0l
2；
所以弹簧的原长为l0=l - x =l - 5k q
2
4 k0l
2，故C 正确，ABD 错误。
故选：C。
【变式3】(2026·安徽省合肥市·月考试卷)如图所示，一带电的A球用绝缘细线自由悬挂，另一带电的
B球在外力(未画出)作用下，从无穷远处缓慢运动到A球的初始位置，此时A球运动到图示位置。在该过程
中，下列说法正确的是()
A.A球的带电荷量大于B球的带电荷量
B.细线的拉力大小和方向均在变化
C.A球对B球做的功小于B球对A球做的功
D.外力对B球做的功小于A球、B球机械能的增加量
【答案】B
【解析】A、根据库仑定律可得：F =k q A qB
r
2
，仅从题中所给的A球和B球的受力及运动情况，无法判
断A球和B球电荷量的大小关系，故A 错误；
B、对A球进行受力分析，A球受重力mg、细线的拉力T和B球对它的库仑力F，B球从无穷远处缓慢
运动到A球的初始位置过程中，A、B间的库仑力大小和方向均发生变化，根据力的平衡条件，重力、拉
力与库仑力的合力为零，由于库仑力变化，所以细线的拉力大小和方向均在变化，故B 正确；
C、A球对B球的力与B球对A球的力是一对相互作用力，大小相等、方向相反，且根据A球和B球的
位移关系可知，这两个力做功的绝对值相等，又因为力的方向与位移方向的关系，这两个力做功一正一负，
所以A球对B球做的功与B球对A球做的功的绝对值相等，符号相反，不能说A球对B球做的功小于B球对
A球做的功，故C 错误；
D、根据功能关系，外力对B球做的功等于A、B球机械能的增加量与A、B间电势能变化量的绝对值
之和，所以外力对B球做的功大于A、B球机械能的增加量，故D 错误。
故选：B。
【方法规律】
1．对库仑定律的理解
(1)库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用。
(2)对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r 为球心间的距离。
(3)对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示。
①同种电荷：F＜k；
②异种电荷：F＞k。
(4)不能根据公式错误地认为r→0 时，库仑力F→∞，因为当r→0 时，两个带电体已不能看作点电荷了。
2．电荷分配规律：两个完全相同的带电导体球接触后再分开，二者所带电荷量平均分配：Q′1＝Q′2
＝。Q1、Q2都必须带着正、负号运算。
3．四步解决库仑力作用下的平衡问题
4．三个自由点电荷的平衡条件及规律
(1)平衡条件：每个点电荷受另外两个点电荷的合力为零，或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的电
场中合场强为零的位置。
(2)平衡规律
考点二 电场强度的理解和计算
【必备知识回顾】
1．电场
(1)定义：存在于电荷周围，能传递电荷间相互作用的一种特殊物质。
(2)基本性质：对放入其中的电荷有力的作用。
2．电场强度
(1)定义：在电场的不同位置，试探电荷所受的静电力与它的电荷量之比一般不同，它反映了电场在
各点的性质，叫作电场强度。
(2)定义式：E＝，该式适用于一切电场。
(3)单位：N/C 或V/m。
(4)矢量性：物理学中规定，电场中某点的电场强度的方向与正电荷在该点所受的静电力的方向相同。
3．点电荷的电场
(1)公式：在场源点电荷Q 形成的电场中，与Q 相距r 处的电场强度E＝k。
(2)适用条件：真空中静止的点电荷形成的电场。
一个半径为R 的均匀带电球体(或球壳)在球的外部产生的电场，与一个位于球心、电荷量相等的点电
荷在同一点产生的电场相同。
4．电场强度的叠加
(1)如果场源是多个点电荷，则电场中某点的电场强度等于各个点电荷单独在该点产生的电场强度的
矢量和，遵从平行四边形定则。
(2)一个半径为R 的均匀带电球体(或球壳)在球的外部产生的电场，与一个位于球心、电荷量相等的点
电荷在同一点产生的电场相同。
5．匀强电场：如果电场中各点的电场强度的大小相等、方向相同，这个电场叫作匀强电场。
【重难模型精讲】
考向1：电场与电场强度的概念和性质
【典例4】(2026·澳门特别行政区·单元测试)下列关于电场强度的说法中正确的是()
A.负电荷在电场中某点所受静电力的方向就是这点电场强度的方向
B.在电场中某点不放电荷，则该点的电场强度一定为零
C.电场中某点的电场强度等于试探电荷在该点受到的静电力与电荷量的比值
D.正电荷在电场中某点所受静电力的方向与电场强度方向相反
【答案】C
【解答】A.负电荷在电场中某点所受电场力的方向与这点电场强度的方向相反，故A 错误；
B.电场强度是电场自身的性质，与有无试探电荷无关，故B 错误；
C.电场中某点的电场强度等于试探电荷在该点受到的静电力与电荷量的比值，故C 正确；
D.正电荷在电场中某点所受电场力的方向与电场强度方向相同，故D 错误。
故选：C。
考向2：点电荷的电场场强与叠加
【典例5】(2026·河南省郑州市·模拟题)如图，正五角星的五个顶点各固定一个点电荷，顶点P处的电
荷量为-q，其余各顶点的电荷量均为+q。已知各顶点到中心O点的距离均为r，静电力常量为k，则中心
O处的电场强度大小为()
A.kq
r
2
B.2kq
r
2
C.
❑√2kq
r
2
D.4 kq
r
2
【答案】B
【解析】由点电荷的电场强度公式可知，各点电荷在O点产生的电场强度大小为E =k q
r
2，若P点也是
带正电且电荷量为q，由对称性可知此时五个点电荷的合场强大小为零，所以四个正点电荷的合场强大小
E' =k q
r
2，方向沿OP方向，则题中五个点电荷在O点的合场强大小为E合= E+ E' = 2kq
r
2 ，方向沿OP方向。
故选B。
考向3：带电球壳、球体的电场
【典例6】(2026·江苏省苏州市·其他类型)科学推理及实验探究均表明：①均匀带电球壳(或球体)在球
外部产生的电场，与一个位于球心、电荷量相等的点电荷产生的电场相同；②均匀带电球壳在空腔内部的
电场强度处处为零。由此可知，一个半径为R的均匀带电球体在空间的电场强度大小E与到球心距离r的关
系图像可能为()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由“均匀带电球壳(或球体)在球的外部产生的电场，与一个位于球心、电荷量相等的点电荷
在同一点产生的电场相同”可知，在r > R的区间上，均匀带电球体周围电场的场强E与r的关系应为
E =k Q
r
2，故D 错误；
在r < R的区间，因“均匀带电球壳在空腔内部的电场强度处处为零”，所以场强仅由r内球体部分所
带电荷决定，E' =k Q'
r
2 ，又因球体均匀带电，所以Q'
Q总
=
ρ⋅4
3 π ⋅r
3
ρ⋅4
3 π ⋅R
3 = r
3
R
3 ( ρ为单位体积的电荷量)，所
以E' =k Q总
R
3 ·r，即E' ∝r，所以B项正确。
【变式训练与拓展】
【变式4】(2026·安徽省蚌埠市·其他类型)如图，A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上，直径AB与
弦AC间的夹角为θ =37
∘。A、B两点分别放有电荷量大小为q A、qB的点电荷时，C点的电场强度方向恰
好沿圆的半径方向指向O点。已知sin37
∘= 3
5，cos37
∘= 4
5 。下列说法正确的是()
A.q A为正电荷，qB为负电荷，且q A
qB
= 4
3
B.q A为负电荷，qB为负电荷，且q A
qB
= 16
9
C.q A为正电荷，qB为正电荷，且q A
qB
= 64
27
D.q A为负电荷，qB为负电荷，且q A
qB
= 64
27
【答案】D
【解析】根据分析可知q A、qB均为负电荷，两电荷在C点的电场强度如图所示，
由几何知识可知
E A
EB
= 4
3 ，
r AC
rBC
= 4
3 ，而E A =k q A
r AC
2 ，EB=k qB
rBC
2 ，联立解得
q A
qB
= 64
27 。
故选D。
【变式5】（多选）(2026·山西省·单元测试)如图所示，四个电荷量分别为+Q、-Q、+q、-q的点电
荷位于半径为a的圆周上，其中-Q、-q的连线与+Q、+q的连线垂直，且Q =2q，则圆心O点处的场强
大小为(静电力常量为k )
A.2kq
a
2
B.
❑√2kq
a
2
C.kq
a
2
D.0
【答案】B
【解答】+q、-q对O点的场强大小均为E1=k q
a
2；+Q、-Q对O点的场强大小均为E2=k Q
a
2；由题
E2=2 E1；合成后EO= ❑√2( E2- E1)=
❑√2kq
a
2
；
故B 正确，ACD 错误。
【变式6】（多选）(2026·湖北省荆州市·期末考试)已知均匀带电薄壳外部空间电场与其上电荷全部集
中在球心时产生的电场一样，且内部空间的电场处处为0。如图所示，在竖直平面内有一带电量为+Q，半
径为R的均匀带电球壳，以球心为坐标原点，水平方向建立Ox轴，其中A点为壳内一点，B点坐标为2 R，
静电力常量为k，下列说法正确的是()
A.将一带正电的检验电荷由壳内A点移到O点，检验电荷的电势能增大
B.在B处沿竖直向下抛出一个电量为q的点电荷(不计重力，且电量极小)，其恰能绕O点做圆周运动，
则抛出时点电荷的动能为kQq
4 R
C.在+ R处取走极小的一块面积ΔS后，O点场强大小为E = kQΔS
4 π R
4
D.在圆心O正上方处取走极小一块面积ΔS后，B点场强大小为E = kQΔS
20 π R
4
【答案】BC
【解析】A.壳内场强处处为0，故移动试探电荷不做功，电势能不变，故A 错误；
B.点电荷绕O点做匀速圆周运动，由牛顿第二定律：k
Qq
(2 R)
2 =m v
2
2 R ，又Ek = 1
2 mv
2，联立知，则抛
出时点电荷的动能为Ek = kQq
4 R ，故B 正确；
C. 在+ R处取走极小一块面积ΔS，根据对称性，在- R处极小一块面积的电荷产生的电场
E = k
R
2 ⋅
ΔS
4 π R
2 Q = kQΔS
4 π R
4 ，故C 正确；
D.整个球壳在B点的电场E1= kQ
4 R
2，水平向右，在圆心O正上方处取走极小一块面积ΔS在B点的场强
为E2= k
5 R
2 ⋅
ΔS
4 π R
2 Q = kQΔS
20 π R
4 ，方向斜向右下，E1与E2矢量作差即为B点电场强度，故D 错误。
故选BC。
【方法规律】
1．三个场强公式的比较
表达式
比较
E＝
E＝k
E＝
公式意义
电场强度
定义式
真空中静止点电荷电
场强度的决定式
匀强电场中E 与U 的
关系式
适用条件
一切电场
①真空
②静止点电荷
匀强电场
决定因素
由电场本身决定，与q
无关
由场源电荷Q 和场源
电荷到该点的距离r 共同决
定
由电场本身决定，d 为
沿电场方向的距离
2．电场强度的叠加
如果某空间有多个点电荷同时存在，则某点的电场强度应为各个点电荷在该点产生的电场强度的矢量
和(如图所示)。
考点三 非点电荷电场强度的叠加及计算
【必备知识回顾】
方法
条件
示例
等效法
在保证效果相同的
前提下，将复杂的电场
情境变换为简单的或熟
悉的电场情境
一个点电荷＋q 与一个无限大薄金属板形成
的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电
场，如图甲、乙所示
对称法
空间上对称分布的
电荷形成的电场具有对
称性
如图所示，均匀带电的圆环在O 点产生的电
场强度，等效为弧BC 在O 点产生的电场强度，
弧BC 在O 点产生的电场强度方向，又等效为弧
的中点M 在O 点产生的电场强度方向
补偿法
将有缺口的带电圆
环补全为圆环，或将半
球面补全为球面等
将半球壳补成一个完整的球壳，且带电均
匀，设左、右半球在A 点产生的电场强度大小分
别为E1和E2，则E1＝E2
微元法
将带电圆环、带电
平面等分成许多微元电
荷，每个微元电荷可看
成点电荷，再利用公式
和电场强度叠加原理求
出合电场强度
将圆环等分为n 个小段，当n 相当大时，每
一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量为q＝
【重难模型精讲】
考向1：带电体电场的叠加
【典例7】(2026·广东省·单元测试)如图所示，电荷量为q的点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到
带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中A点的电场强度为0，静电力常量为k，则图中B点的电场强度
为()
A.k q
9d
2
B.0
C.k 8q
9d
2
D.k 10q
9d
2
【答案】D
【解析】q在A点形成的电场强度大小为：E1=k q
9d
2，方向向左，
因A点场强为零，故薄板在A点的电场强度方向向右，大小为k q
9d
2，
由对称性可知，薄板在B点的电场强度大小为k q
9d
2，方向向左，
q在B点的电场强度大小为k q
d
2，方向向左，
则B点的电场强度大小为：Eb=k q
9d
2 +k q
d
2 = 10kq
9d
2 ，所以ABC 错误，D 正确。
故选D。
考向2：立体空间电场的叠加
【典例8】(2026·山东省·月考试卷)如图所示，O点是正四棱锥P - ABCD底面的中心。在底面A、B两
点固定两个正点电荷，电荷量为q，C、D两点固定两个负点电荷，电荷量也为q。关于P点电场强度方向，
下列说法正确的是()
A.沿OP方向
B.沿PO方向
C.与O点场强方向相同
D.与O点场强方向相反
【答案】C
【解析】等量异种电荷连线的中垂面上的场强均垂直于中垂面指向负电荷所在方向，所以AC两个电
荷在P点的场强与在O点的场强方向相同，BD两个电荷在P点的场强与在O点的场强方向也相同，由电场
的叠加规律可知P点场强与O点场强方向相同，故选C。
【变式训练与拓展】
【变式7】(2026·假期作业)把一段细玻璃丝与丝绸摩擦，玻璃丝上就带上了正电荷，然后用绝缘工具
把这段玻璃丝弯曲成一个半径为R的闭合圆环，如图所示，O是圆环的圆心，A与O的距离为❑√3 R，OA连
线与圆环平面垂直，已知静电力常量为k，A点场强大小为E，则玻璃丝因摩擦所带的电荷量为()
A.
❑√3 R
2
3k
E
B.2❑√3 R
2
3k
E
C.5 ❑√3 R
2
3k
E
D.8 ❑√3 R
2
3k
E
【答案】D
【解析】设O、A之间的距离为d，均匀带电圆环均匀分成n小段，每一小段可视为一个点电荷，如图：
，
设圆环带电荷量为Q，则一小段电荷量为q = Q
n ，点电荷q在A点处产生的场强Ei=
kq
(
d
cosθ )
2，根据对
称性可知圆环上所有点电荷在A点产生的总场强竖直向上，即E =n Eicosθ = knq
d
2 cos
3θ = kQ
d
2 cos
3θ，根
据题意d = ❑√3 R，cosθ =
❑√3
2 ，解得E =
❑√3kQ
8 R
2 ，所以Q = 8 ❑√3 R
2
3k
E，故D 正确，ABC 错误。
【变式8】(2026·湖南省长沙市·其他类型)如图所示，半径为R的金属圆环固定在竖直平面上，金属圆
环所带电荷量为+Q，且均匀分布，绝缘细线的一端固定在圆环的最高点，另一端连接一个质量为m的带
电小球(视为质点)。稳定时，小球在过圆心且垂直圆环平面的轴上的P点处于静止状态，O、P两点间的距
离也为R。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g，则小球所带的电荷量为()
A.2mg R
2
kQ
B.2❑√2mg R
2
kQ
C.8mg R
2
kQ
D.16mg R
2
kQ
【答案】B
【解析】将均匀带电圆环可视为n个带有相同电荷的小球，设每个小球带电量为Δq，则每个Δq在P点
产生的场强的水平分量为Δ Ex =k
Δq
(❑√2 R)
2 cos 45° =
❑√2kΔq
4 R
2
，根据对称性可知所有Δq在P点产生的场强
的竖直分量的矢量和为零，所以对Δ Ex进行求和可得均匀带电圆环在P点产生的电场强度大小为
EP=∑Δ Ex =
❑√2kQ
4 R
2 ，由对称性可知：竖直方向的电场强度为零，小球在P点受重力、电场力、绳子的拉
力而平衡，由平衡条件有mg=qE，解得q = 2❑√2mg R
2
kQ
，故B 正确，ACD 错误。
故选B。
【变式9】（多选）(2026·辽宁省·单元测试)在正方体ABCD - A ' B' C ' D'的每条棱的中点处均放置
一个点电荷。棱AA '中点处点电荷的电荷量为-q，其余位置处点电荷的电荷量均为2q，此时正方体中心
O点处电场强度为E。下列说法正确的是
A.若将AA '中点处电荷拿走，O点处电场强度大小为2
3 E
B.若将BC中点处电荷拿走，O点处电场强度大小为
❑√19
3
E
C.若将CD中点处电荷所带电荷量变为q，则O点处电场强度大小为
❑√7
3 E
D.若将CC '中点处电荷所带电荷量变为q，则O点处电场强度为0
【答案】AC
【解析】设正方体棱长为2a，各棱中点到正方体中心O的距离r =
❑√a
2+a
2= ❑√2a，根据点电荷电场强
度公式E =k Q
r
2计算各点电荷在O点处的电场强度大小。
先分析原状态下O点电场强度E，利用电场强度的叠加原理，将各点电荷在O点产生的电场强度进行
矢量合成。
A.AA '中点处点电荷-q在O点产生的电场强度大小E AA ' =k
q
(❑√2a)
2 = kq
2a
2，设其余11个点电荷在O点
产生的电场强度为E其余，根据对称性可知，E其余等于CC '中点处点电荷产生的电场强度，方向和AA '中
点处点电荷产生的电场强度相同，ECC ' =k
2q
(❑√2a)
2 = kq
a
2 ，由题意得E1= ECC ' + E AA '，解得E AA ' = 1
3 E，
ECC ' = 2
3 E'故若将棱AA '中点处电荷拿走，O点处电场强度大小为2
3 E，故A 正确；
B.根据对称性可知，除AA '、CC '、BC、A ' D'外，其余各棱中点处点电荷在O点产生的电场强度为
0，由A项分析可知，AA '、CC '在O点产生的电场强度为E，设A ' D'在O点产生的电场强度为E A ' D'，
E A ' D' =k
2q
(❑√2a)
2 = kq
a
2 = 2
3 E，方向由O点指向BC中点，若E A ' D'与AA '、CC '在O点产生的电场强度E方
向垂直，则将BC中点处电荷拿走，O点处电场强度大小为E2= ❑√
E
2+(
2
3 E)
2
=
❑√13
3
E，但实际上E A ' D'与
AA '、CC '在O点产生的电场强度E方向间为钝角，则E2<
❑√13
3
E，故B 错误。
C.若CD中点处电荷电量变为q，则CD、A ' B'中点处点电荷在O点处产生的合场强E' = 1
3 E，方向指
向CD中点，其在水平方向上的分场强E' x = 1
3 E cos 45° =
❑√2
6 E，竖直方向的分场强
E' y = 1
3 E cos 45° =
❑√2
6 E，则水平方向合场强Ex =
❑√(E cos 45° -
❑√2
6 E)
2
+(E sin 45°)
2=
❑√26
6
E，则
E3=
❑√(
❑√26
6
E)
2
+(
❑√2
6 E)
2
=
❑√7
3 E，故C 正确；
D.若将CC '中点处电荷的电荷量变为q，则AA '、CC '在O点产生的电场强度E4= 1
3 E+ 1
3 E = 2
3 E(由
对称性可知，其余点电荷所产生的合场强为0)，故D 错误。
考点四 电场线的理解和应用
【必备知识回顾】
电场线的特点
(1)电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷。
(2)同一电场的电场线在电场中不相交。
(3)在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏。
(4)电场线上某点的切线方向表示该点的电场强度方向。
(5)沿电场线方向电势逐渐降低。
(6)电场线和等势线在相交处互相垂直。
【重难模型精讲】
【典例9】(2026·北京市·期末考试)某静电场的电场线如图中实线所示，虚线是某个带电粒子仅在静电
力作用下的运动轨迹。关于该粒子，下列说法正确的是()
A.一定带负电
B.一定从M点运动到N点
C.在M点的动能大于在N点的动能
D.在M点的加速度小于在N点的加速度
【答案】D
【解析】A、由电荷的运动轨迹可知，电荷的受电场力指向轨迹内侧，沿着电场线的方向，所以电荷
为正电荷，故A 错误；
B、根据运动的轨迹可以判断受力的方向但不能判断运动的方向一定是从M点运动到N点，故B 错误；
C、假设正电荷从M到N沿着电场的方向运动，所以电场力做正功，电荷的电势能减小，动能增大，
所以粒子在M点的动能小于它在N点的动能，故C 错误；
D、电场线密的地方电场的强度大，电场线疏的地方电场的强度小，由图可知，N点的场强大于M点
的场强的大小，在N点的受力大于在M的受力，所以粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度，故D 正
确。
故选：D。
【变式训练与拓展】
【变式10】(2026·湖北省十堰市·其他类型)如图所示，竖直平面内固定着等量同种正点电荷P、Q，在
P、Q连线的中垂线上的A点由静止释放一个负点电荷，该负点电荷仅在电场力的作用下运动，下列关于
该负点电荷在一个运动周期内的速度-时间图像，可能正确的是()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解答】BCD、当A点距离P、Q连线很远时，负点电荷受到的合力先增大后减小，加速度先增大后
减小，过P、Q连线后的加速度先增大后减小，且在某一区域内做往复运动，故C 正确、BD 错误；
A、负点电荷受到的力是变力，不会做匀变速运动，故A 错误。
【变式11】(2026·北京市·期末考试)如图所示，一试探电荷进入真空中等量的同种点电荷所形成的电
场中，A、B、C是试探电荷运动轨迹上的三个点，下列说法正确的是()
A.试探电荷一定从A点到B点再到C点
B.试探电荷在B点的加速度小于在C点的加速度
C.当试探电荷从A点到B点再到C点时，速度先增大再减小
D.试探电荷一定带负电
【答案】B
【解析】A.试探电荷可能从A点到B点再到C点，也可能从C点到B点再到A点，故A 错误；
B.C点的电场线比B点密集，故C点的场强大于B点的场强，试探电荷在B点的电场力小于在C点的电
场力，在B点的加速度小于在C点的加速度，故B 正确；
C.当试探电荷从A点到B点再到C点时，电场力与速度的夹角先是钝角后是锐角，其速度先减小后增
大，故C 错误；
D.由曲线运动的条件可知，点电荷对试探电荷的电场力一定指向曲线的凹侧，则试探电荷一定带正电
才能满足上述条件，故D 错误。
故选B。
【变式12】（多选）(2026·内蒙古自治区·单元测试)如图所示，实线为某带电体周围电场中的三条电
场线，虚线为一带电粒子只在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c为轨迹分别与三条电场线的交点。粒子
在a、b、c三点的动能分别为Eka、Ekb、Ekc。下列说法正确的是()
A.粒子的运动方向为a→b→c
B.粒子带负电
C.Eka> Ekb> Ekc
D.粒子在运动过程中动量变化越来越快
【答案】BC
【解析】A、仅根据粒子的运动轨迹，无法确定粒子是从a→b→c运动，还是从c→b→a运动，因
为两种运动方向都可能形成题中所示的轨迹，A 错误；
B、电场线的切线方向表示电场强度的方向。粒子做曲线运动时，电场力的方向指向轨迹的凹侧。观
察轨迹可知，粒子所受电场力的方向与电场线的方向相反，因此粒子带负电。B 正确；
C、根据动能定理，电场力做正功，动能增加;电场力做负功，动能减少。若粒子从a→b→c运动，
电场力方向与速度方向的夹角大于90
∘，电场力做负功，动能减小，即Eka> Ekb> Ekc；若粒子从c→b→a
运动，电场力方向与速度方向的夹角小于90
∘，电场力做正功，动能增加，即Eka> Ekb> Ekc。两种情况均
能推出Eka> Ekb> Ekc，C 正确；
D、根据动量定理，动量变化率等于合外力(此处合外力为电场力)。电场线的疏密表示电场强度的大
小，从a→b→c，电场线越来越密，电场强度越来越大，粒子所受电场力越来越大，因此动量变化越来
越快；若从c→b→a，则与之相反，D 错误。
【方法规律】
1．电场线的应用
(1)判断电场强度的大小：电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小。
(2)判断静电力的方向：正电荷受力方向与电场线在该点切线的方向相同，负电荷受力方向与电场线在
该点切线的方向相反。
(3)判断电势的高低与电势降低的快慢：沿电场线方向电势降低得最快，且电场线密集处比稀疏处降低
得更快。
2．两种等量点电荷电场线的比较
项目
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线分布
中垂线上的
电场强度
O 点最大，向外逐渐减
小；O 点两侧方向相同
O 点为零，向外先变大后
变小；O 点两侧方向相反
连线上的电
场强度
沿连线先变小后变大，中
点O 处的电场强度最小，不为
零；方向始终相同
沿连线先变小后变大，中
点O 处的电场强度为零；O 点
两侧方向相反
基础巩固练
1.(2026·湖南省·期末考试)下列说法正确的是()
A.元电荷实质就是电子(或质子)本身
B.元电荷是表示跟电子所带电荷量数值相等的电荷量
C.摩擦起电是通过摩擦创造出了等量的异种电荷的过程
D.不论是摩擦起电还是感应起电，都是创造出了电荷
【答案】B
【解析】AB.元电荷是表示跟电子所带电荷量数值相等的电荷量，故A 错误，B 正确；
CD.自然界中的电荷不会凭空被创造出来，也不会消失，不论是摩擦起电还是感应起电，都是电荷的
转移，故CD 错误。
故选B。
2.(2026·北京市市辖区·模拟题)如图所示，一对用绝缘柱支撑的金属导体A和B，使它们彼此接触。起
初它们不带电，贴在下部的两金属箔是闭合的。现将一个带正电的导体球C靠近导体A，如图所示。下列
说法正确的是()
A.导体A下面的金属箔张开，导体B下面的金属箔仍闭合
B.导体A的部分正电荷转移到导体B上，导体A带负电
C.导体A的电势升高，导体B的电势降低
D.将导体A、B分开后，再移走C，则A带负电
【答案】D
【解析】解：A、导体A、B接触，开始不带电，把带正电的物体C移近导体A，由于静电感应，则A
端带负电，B端带正电，两端金属箔片都张开，故A 错误；
B、把带正电的物体C移近导体A，由于静电感应，导体B的部分电子到导体A，导体A带负电，故B
错误；
C、达到静电平衡状态后，A、B组成的导体是等势体，A与B的电势是相等的，故C 错误；
D、先把A和B分开再移走C，导体A仍然带负电，B带正电，故D 正确。
故选：D。
3.(2026·江苏省·期中考试)如图所示，一个带正电的球体M放在绝缘支架上，把系在绝缘丝线上的带电
小球N先后挂在横杆上的P1和P2处。当小球N静止时，丝线与竖直方向的夹角分别为θ1和θ2(θ2图中未标
出)。则()
A.小球N带正电，θ1>θ2
B.小球N带正电，θ1<θ2
C.小球N带负电，θ1>θ2
D.小球N带负电，θ1<θ2
【答案】A
【解答】小球M与N相互排斥，M、N带同种电荷，M带正电，N也带正电
小球N受重力mg，绳的拉力，库仑力F，绳与竖直方向夹角为：tanθ= F
mg
库仑力：F =k Qq
r❑
2 ，
由于电荷N悬挂在P1点时距离小，库仑力大，偏角大，故θ1>θ2，故A 正确，BCD 错误
故选：A。
4.(2026·广东省·单元测试)如图所示，A、B为相互接触的用绝缘支架支撑的金属导体，在它们的下部
贴有金属箔片，起初它们不带电，C是用绝缘棒连接的带正电的小球，A、B、C均可自由移动，实验中把
C移近导体A，关于实验现象和分析下列说法正确的是()
A.A上的金属箔片张开且带正电，B上的金属箔片不张开
B.A上的金属箔片张开且带负电，B上的金属箔片不张开
C.A上的金属箔片张开且带正电，B上的金属箔片张开且带负电
D.A上的金属箔片张开且带负电，B上的金属箔片张开且带正电
【答案】D
【解析】当带正电的小球C靠近A、B时，由静电感应A带负电B带正电，A、B上的金属箔片由于同
种电荷相斥都张开。
故选D。
5.(2026·四川省成都市·其他类型)如图所示，光滑绝缘半圆轨道内有两个可视为质点的带电小球A、B，
其中B固定，A可自由滑动。初始时A球静止。现保持B小球带电量不变，使A小球所带电荷量缓慢变为原
来的一半，在新位置达到平衡后，下列说法正确的是()
A.A、B小球带异种电荷
B.半圆形轨道对A小球的支持力变小
C.两小球间库仑力变为原来的一半
D.A小球有可能静止于半圆形轨道圆心O点的正下方
【答案】B
【解析】A.带电小球静止在光滑半圆轨道内，则两小球必定带同种电荷，但不能确定电性，故A 错误;
B.对A球分析：
，
mA g
OC = N A
OA = F 库
CA ，A电荷量减小，A点沿着轨道往左下方移动，故OC增大，OA不变，则N A减小，
故B 正确；
D.若A小球处于O点正下方，轨道支持力竖直向上，B对A库仑力的水平分量无法平衡，故D 错误；
C.电荷量减半，但间距也变小，故库仑力不可能减半，故C 错误。
故选B。
6.(2026·浙江省·单元测试)如图所示，带电量分别为q1、q2的A、B小球，用绝缘细线悬挂于同一点，
两球静止时，它们位于同一水平面上，相距L，线与竖直方向的夹角分别为α、β，且β >α，重力加速度为
g，静电力常数为k。若同时剪断两根细线，空气阻力不计，两球带电量不变，则()
A.q1<q2
B.A球的质量为k q1q2
g L
2sin α
C.两球将同时落地
D.落地时，A球的水平位移更大
【答案】C
【解析】A.虽然二者之间所受的库仑力相等，但是没法判断二者之间电荷量的关系，故A 错误；
B.对A、B两球进行受力分析，均受重力、细线的拉力和库仑斥力三个力的作用而处于平衡状态，对
A球有tan α =
F
mA g ，对B有tan β =
F
mB g ，解得
mA
mB
= tan β
tan α ，由于β >α，所以mA>mB，且F =k q1q2
L
2 ，解
得mA =
k q1q2
g L
2tan α
，故B 错误；
C.二者在竖直方向上均只受重力，故在竖直方向上均做自由落体运动，运动时间相同，两球同时落地，
故C 正确；
D.剪断细线后，在水平方向上，A、B组成的系统动量守恒，故任一时刻有mA v A =mB vB，因mA>mB，
所以v A<vB；又因时间相等，所以x A< xB，故D 错误。
故选C。
7.(2026·安徽省·单元测试)如图所示，在竖直平面内有一个半径为R的光滑圆轨道，在轨道的圆心O处
固定一带电量为+Q的点电荷，一质量为m、带电量为-q的小球(可视为质点)在轨道的外侧沿着轨道运动。
已知静电力常量为k，重力加速度为g。为使小球能做完整的圆周运动，q至少为()
A.3mg R
2
kQ
B.4 mg R
2
kQ
C.5mg R
2
kQ
D.6mg R
2
kQ
【答案】C
【解析】解：根据向心力公式F向=m v
2
R ，在最高点有kQq
R
2 +mg- F N =m v
2
R ，
从最低点到最高点，根据机械能守恒定律1
2 mv0
2= 1
2 mv
2+2mgR(v0为最低点速度)，
且在最低点的能量刚好能使小球到达最高点，要使v最小，令v =0(临界情况)，
当小球在最低点仅由重力和库仑力提供向心力且速度最小时，
由kQq
R
2 -mg=m v0
2
R ，可得kQq
R
2 =5mg，
由kQq
R
2 =5mg，解关于q的方程，可得q = 5mg R
2
kQ
，
所以，为使小球能做完整的圆周运动，q至少为5mg R
2
kQ
，故ABD 错误，C 正确。
8.(2026·安徽省阜阳市·其他类型)三维坐标系yOz平面内有一圆心在坐标原点、半径为d的均匀带电细
圆环，y轴上y = ❑√3d位置有一带电量为+q的点电荷，x轴上的P点到圆心O的距离也为❑√3d。若P点场强
沿y轴负方向，则关于带电圆环说法正确的是()
A.带正电，电量为2❑√6
9
q
B.带负电，电量为2❑√6
9
q
C.带正电，电量为
❑√2
4 q
D.带负电，电量为
❑√2
4 q
【答案】B
【解析】P点的场强为+q和带电圆环在该点产生的场强的叠加。如图，+q在P点产生的场强方向与x
轴成45
∘角，因P点的合场强沿着y轴负方向，所以带电圆环在P点产生的场强水平向左，即
k
Q
(2d)
2 cos30
∘=k
q
(❑√6d )
2 sin 45
∘
，解的Q = 2❑√6
9
q，带负电。故选B。
9.(2026·江苏省·模拟题)如图，以O点为中心的等边三角形顶点A、B、C分别固定电荷量为+q、+q、
+3q的点电荷，O点电场强度为E1；将A处电荷替换成电荷量为+ 4 q的点电荷，O点电场强度为E2。则()
A.E1与E2大小不等，互成60
∘角
B.E1与E2大小不等，互成120
∘角
C.E1与E2大小相等，互成60
∘角
D.E1与E2大小相等，互成120
∘角
【答案】B
【解析】设三个点电荷到O点的距离为r，根据矢量合成可知E1= k ×3q
r
2
- kq
r
2 = 2kq
r
2 ，方向由C指向
O；
将A处电荷替换成电荷量为+ 4 q的点电荷，如图
根
据
矢
量
的
合
成
法
则
有
E2= ❑√
( 4 kq
r
2 - 3kq
r
2 cos60❑
∘- kq
r
2 cos60❑
∘)
2+( 3kq
r
2 sin 60❑
∘- kq
r
2 sin 60❑
∘)
2= ❑√7 kq
r
2 ≠E1
E2等于原来的电场强度E1和由于电荷变化3q引起的电场强度增量ΔE，ΔE的方向是由A指向O。因
为是等边三角形，所以这两个方向的夹角为120°。
故选B。
10.(2026·江苏省淮安市·其他类型)如图所示，电荷量为+q的电荷均匀地分布在半径为R的绝缘环上，
O为圆环的圆心、在过O点垂直于圆环平面的轴上有一点P，它与O点的距离OP =2 R，在P点也有一带电
荷量为+q的点电荷，A点为OP的中点，随着R的改变，下列图像中，A点的场强与相关物理量之间关系
正确的是()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解答】取圆环上的电荷元为Δq，其在A点产生的场强示意图如图所示，
E0= kΔq
2 R
2，其沿OP轴的分量E0 x =
❑√2kΔq
4 R
2
，垂直于OP方向的场强分量对称抵消，所以圆环上的电荷
+q在A点产生的沿轴方向场强Ex =
❑√2kq
4 R
2 ；
P点的电荷+q在A点处产生的场强Ex' = kq
R
2，Ex和Ex'方向相反，所以A点的场强
E = kq
R
2 -
❑√2kq
4 R
2 = (4 - ❑√2)kq
4
⋅1
R
2，即A点场强E与1
R
2成正比，A 正确。
11.(2026·河南省郑州市·模拟题)如图，光滑绝缘半球处在水平向右的匀强电场中，球心为O。将带电量
均为+q的小球A、B置于其内，平衡时，两球处于同一水平线上，且OA与OB垂直。已知球A质量为m，
球B质量为2m，重力加速度大小为g，求两小球之间的库仑力大小和匀强电场的电场强度大小。
【答案】由OA与OB垂直可知∠OAB =∠OBA = 45
°
对A球受力分析可得：
mg
tan 45° = F 库-qE
对B球受力分析可得：2mg
tan 45° = F 库+qE
整理上式得F 库= 3
2 mg，E = mg
2q 。
12.(2026·四川省成都市·模拟题)如图所示，长l =1m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点
的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ =37
∘；已知小球所带电荷量
q =1.0×10
-6C，匀强电场的场强E =3.0×10
3 N /C，取重力加速度g=10m/ s
2，sin37
∘=0.6，
cos37
∘=0.8。求：
(1)小球所受电场力F的大小；
(2)小球的质量m；
(3)将电场撤去，小球回到最低点时速度v的大小。
【答案】(1)F =qE =1.0×10
-6×3.0×10
3 N =3.0×10
-3 N
(2)小球受力情况如下图：
由几何关系可得mg= qE
tanθ ，故m=
qE
g tanθ = 4×10
-4kg
(3)由机械能守恒，有mgl(1-cos37
∘)= 1
2 m v
2，解得v =2m/ s
13.(2026·江苏省盐城市·其他类型)如图所示，在一水平向右的匀强电场中有一半径为R、圆心为O的光
滑绝缘圆弧面，圆弧面上距离弧底高度为R
2 的a处静止放着一质量为m、电荷量为q的带电小球，小球可以
看成点电荷。求：
(1)a球带正电还是负电；
(2)电场强度E的大小；
(3)圆弧面上与a点等高的最左点b的场强。(静电力常量为k )
【答案】解：(1)对球受力分析，重力、指向圆心的支持力，及电场力，根据平衡条件，则电场力必
须水平向右，
由于电场强度水平向右，因此小球带正电，如下图所示；
(2)根据矢量的合成法则，结合三角知识与几何关系，
设支持力N与水平方向的夹角为θ，则有：sinθ =
R
2
R
，解得：θ =30°，
因此F = mg
tanθ ，且F =qE，解得：E =
❑√3mg
q
；
(3)圆弧面上与a点等高的最左点b的场强为带电小球a在b处产生的场强与与匀强电场的合场强。
由几何关系知ab之间的距离r = ❑√3 R，则带电小球a在b处产生的场强大小Ea= kq
r
2 = kq
3 R
2，方向水平
向左，
则b处的场强Eb= E - Ea=
❑√3mg
q
- kq
3 R
2；
答：(1)a球带正电；
(2)电场强度E的大小是
❑√3mg
q
；
(3)圆弧面上与a点等高的最左点b的场强为
❑√3mg
q
- kq
3 R
2。
综合提升练
1．（2023·上海·高考真题）三个大小相同的带电导体球x、y 、z，带电量分别为+ 4μC、0μC和
-10μC，让x与y先接触，然后让y与z接触，最终y所带的电荷量为（）
A．- 4μC
B．-3μC
C．-2μC
D．-1μC
【答案】A
【详解】相同大小的三个带电导体球，根据电荷守恒定律得，x与y先接触后两球分别带电为
+ 4μC+0
2
=+2μC
再让y与z接触，两球最后分别带电为
-10μC+2μC
2
=- 4μC
故选A。
2．（2025·海南·高考真题）如图所示，带正电的金属球靠近不带电的验电器金属小球a，则关于验电
器金属小球a和金属箔b，下列说法正确的是（ ）
A．a和b都带正电
B．a和b都带负电
C．a带负电，b带正电
D．a带正电，b带负电
【答案】C
【详解】由图可知，验电器本来不带电，由于同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引，正金属球靠近
不带电验电器金属小球a，使得金属球a 带负电荷，从而导致金属箔b 带上正电荷。
故选C。
3．（2025·广西·高考真题）用带电玻璃棒接触验电器的金属球，移走玻璃棒，验电器内的两片金属箔
张开，稳定后如图。图中a、b、c、d 四点电场强度最强的是（）
A．a 点
B．b 点
C．c 点
D．d 点
【答案】D
【详解】bc 两点分别在金属外壳内部和金属杆的内部，则两点的场强均为零；在金属箔上的最下端电
荷分布比金属球上更密集，且d 点距离金箔的下端较近，可知d 点的场强比a 点大，则电场强度最大的点
在d 点。
故选D。
4．（2023·海南·高考真题）如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B 两点，AO=2cm，
OB=4cm，在AB 上固定两个带电量分别为Q1、Q2 的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P 点
（小球可视为点电荷），已知AP：BP=n：1，试求Q1：Q2是多少（）
A．2n2：1
B．4n2：1
C．2n3：1
D．4n3：1
【答案】C
【详解】对小球受力分析如图所示
由正弦定理有
其中
∠CPH=∠OPB，∠CHP=∠HPD=∠APO
其中△APO 中
同理有
其中
，
联立有
Q1：Q2=2n3：1
故选C。
5．（2024·安徽·高考真题）在某装置中的光滑绝缘水平面上，三个完全相同的带电小球，通过不可伸
长的绝缘轻质细线，连接成边长为d 的正三角形，如图甲所示。小球质量为m，带电量为+q，可视为点电
荷。初始时，小球均静止，细线拉直。现将球1 和球2 间的细线剪断，当三个小球运动到同一条直线上时，
速度大小分别为v1、v2、v3，如图乙所示。该过程中三个小球组成的系统电势能减少了k q
2
2d ，k 为静电力
常量，不计空气阻力。则（）
A．该过程中小球3 受到的合力大小始终不变
B．该过程中系统能量守恒，动量不守恒
C．在图乙位置，v1= v2，v3≠2v1
D．在图乙位置，v3=
❑√
2k q
2
3md
【答案】D
【详解】AB．该过程中系统动能和电势能相互转化，能量守恒，对整个系统分析可知系统受到的合外
力为0，故动量守恒；当三个小球运动到同一条直线上时，根据对称性可知细线中的拉力相等，此时球3
受到1 和2 的电场力大小相等，方向相反，故可知此时球3 受到的合力为0，球3 从静止状态开始运动，瞬
间受到的合力不为0，故该过程中小球3 受到的合力在改变，故AB 错误；
CD．对系统根据动量守恒
m v1+m v2=m v3
根据球1 和2 运动的对称性可知v1= v2，解得
v3=2v1
根据能量守恒
1
2 m v1
2+ 1
2 m v2
2+ 1
2 m v3
2= k q
2
2d
解得
v3=
❑√
2k q
2
3md
故C 错误，D 正确。
故选D。
6．（2025·湖南·高考真题）如图，两带电小球的质量均为m，小球A 用一端固定在墙上的绝缘轻绳连
接，小球B 用固定的绝缘轻杆连接。A 球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为60°，两球连线与轻绳的夹角
为30°，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．A 球静止时，轻绳上拉力为2mg
B．A 球静止时，A 球与B 球间的库仑力为2mg
C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A 球加速度大小为g
D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B 球的作用力变小
【答案】C
【详解】AB．根据题意A 球静止时，对A 球受力分析，如图所示
由平行四边形定则及几何关系，轻绳上拉力为T =mg
A 球与B 球间的库仑力F =2mgcos30° = ❑√3mg
故AB 错误；
C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A 球受到轻绳的拉力消失，其它两力保持不变，根据三力平衡知识，
此时A 球的合外力大小为mg，则加速度大小为g，故C 正确；
D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间B 球受到的库仑力、重力不变，小球仍然处在静止状态，则轻杆对B
球的作用力不变，故D 错误。
故选C。
7．（2021·浙江·高考真题）某书中有如图所示的图，用来表示横截面是“<”形导体右侧的电场线或等
势面，其中a、b 是同一条实线上的两点，c 是另一条实线上的一点，d 是导体尖角右侧表面附近的一点。
下列说法正确的是（ ）
A．实线表示电场线
B．离d 点最近的导体表面电荷密度最大
C．“<”形导体右侧表面附近电场强度方向均相同
D．电荷从a 点到c 点再到b 点电场力做功一定为零
【答案】D
【详解】A．处于静电平衡的导体，是个等势体，则整个导体为等势体，由于电场线方向总是与等势
面垂直，所以实线不是电场线，是等势面，则A 错误；
B．根据等势面的疏密表示场强的强弱，则d 点的场强较弱，并且电场强度越大的地方电荷密度越大，
所以B 错误；
C．在“<”形导体右侧表面上下部分附近电场强度方向不相同，所以C 错误；
D．由于a、b 在同一等势面上，则电荷从a 点到c 点再到b 点电场力做功一定为零，所以D 正确；
故选D。
8．（多选）（2024·湖北·高考真题）关于电荷和静电场，下列说法正确的是（ ）
A．一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变
B．电场线与等势面垂直，且由电势低的等势面指向电势高的等势面
C．点电荷仅在电场力作用下从静止释放，该点电荷的电势能将减小
D．点电荷仅在电场力作用下从静止释放，将从高电势的地方向低电势的地方运动
【答案】AC
【详解】A．根据电荷守恒定律可知一个与外界没有电荷交换的系统，这个系统的电荷总量是不变的，
故A 正确；
B．根据电场线和等势面的关系可知电场线与等势面垂直，且由电势高的等势面指向电势低的等势面，
故B 错误；
CD．点电荷仅在电场力作用下从静止释放，电场力做正功，电势能减小，根据
φ= EP
q
可知正电荷将从电势高的地方向电势低的地方运动，负电荷将从电势低的地方向电势高的地方运动，
故C 正确，D 错误。
故选AC。
9．（多选）（2025·湖北·高考真题）如图所示，在xOy 平面内有一以O 点为中心的正五边形，顶点到
O 点的距离为R。在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、5q 的正点电荷，且
电荷量为3q 的电荷在y 轴正半轴上。静电力常量为k，则O 点处的电场强度（）
A．方向沿x 轴负方向
B．方向与x 轴负方向成18°夹角斜向下
C．大小为2kq
R
2 (cos54°+cos18°)
D．大小为2kq
R
2 (2cos54°+cos18°)
【答案】AD
【详解】由题意可知，如图
将五个点电荷等效成
五个点电荷与O 点距离为R，设E0= kq
R
2
则O 点场强大小为E =2×2 E0cos5 4°+2 E0cos18°
代入可得E =2 kq
R
2 (2cos5 4°+cos18°)
方向沿x 轴负方向；
故选AD。
10．（多选）（2025·安徽·高考真题）如图，两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直
平面内，空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球（均可视为质点）在轨道
上同一高度保持静止，间距为L，甲、乙所带电荷量分别为q、2q，质量分别为m、
，静电力常量为
k，重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为
、
，匀强电场的电场强度大小为E，不
计空气阻力，则（ ）
A．F1= 1
2 F2
B．E = kq
2 L
2
C．若将甲、乙互换位置，二者仍能保持静止
D．若撤去甲，乙下滑至底端时的速度大小v =
❑√
k q
2
m L
【答案】ABD
【详解】AB．如图，对两球进行受力分析，设两球间的库仑力大小为F，倾角为θ，对甲球根据平衡
条件有FN1cosθ =mg，F = FN1sinθ+ Eq①
对乙球有F N2cosθ =2mg，FN2sinθ = F +2 Eq
联立解得F = 4 Eq②
故
同时有F = kq⋅2q
L
2
解得E = kq
2 L
2
故AB 正确；
C ．若将甲、乙互换位置，若二者仍能保持静止，同理可得对甲有FN1' cosθ =mg，
FN1' sinθ = F + Eq
对乙有FN2' cosθ =2mg，FN2' sinθ+2 Eq= F
联立可得F + 4 Eq =0，无解
假设不成立，故C 错误；
D．若撤去甲，对乙球根据动能定理2mg⋅L
2 tanθ -2 Eq⋅L
2 = 1
2 ⋅2m v
2
根据前面分析由①②可知tanθ = 3 Eq
mg
联立解得v =
❑√
k q
2
m L
故D 正确。
故选ABD。
