专题八 人造卫星变轨问题 双星模型
基础巩固
1.天舟五号与空间站天和核心舱成功对接,此次发射任务从点火发射到完成交会对接,全程仅
用2 个小时,创世界最快交会对接纪录,标志着我国航天交会对接技术取得了新突破.在交会
对接的最后阶段,天舟五号与空间站处于同一轨道上同向运动,两者的运行轨道均视为圆周.
要使天舟五号在同一轨道上追上空间站实现对接,天舟五号喷射燃气的方向可能正确的是
( )
A
B
C
D
2.[2025·湖北武汉模拟] 如图所示,要使静止卫星进入预定轨道Ⅲ,需先将卫星发射到近地轨
道Ⅰ,卫星在轨道Ⅰ的A 点变轨进入转移轨道Ⅱ,在轨道Ⅱ的远地点B 再次变轨进入轨道Ⅲ.
下列说法正确的是
( )
A.静止卫星可以静止在成都上空
B.卫星在轨道Ⅱ上经过B 点时的速率最小
C.卫星在轨道Ⅱ上经过B 点时的速率大于其在轨道Ⅲ上经过B 点时的速率
D.卫星在轨道Ⅱ上经过A 点时的加速度大于其在轨道Ⅰ上经过A 点时的加速度
3.[2025·河南郑州一中模拟] 1970 年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星,
该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动,如图所示,设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、
v2,近地点到地心的距离为r,地球质量为M,引力常量为G,则( )
A.v1>v2,v1=❑√
GM
r
B.v1>v2,v1>❑√
GM
r
C.v1<v2,v1=❑√
GM
r
D.v1<v2,v2>❑√
GM
r
4.[2024·安徽卷] 2024 年3 月20 日,我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空.当抵达
距离月球表面某高度时,鹊桥二号开始进行近月制动,并顺利进入捕获轨道运行,如图所示,轨
道的半长轴约为51 900 km.后经多次轨道调整,进入冻结轨道运行,轨道的半长轴约为9900
km,周期约为24 h.则鹊桥二号在捕获轨道运行时( )
A.周期约为144 h
B.近月点的速度大于远月点的速度
C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
5.(多选)[2025·福建厦门一中模拟] 厦门大学天文学系顾为民教授团队利用我国郭守敬望远
镜积累的海量恒星光谱,发现了一个处于宁静态的中子星与红矮星组成的双星系统,质量比约
为2∶1,同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动,研究成果于2022 年9 月22 日发表在《自
然·天文》期刊上.则此中子星绕O 点运动的
( )
A.角速度大于红矮星的角速度
B.轨道半径小于红矮星的轨道半径
C.向心力大小约为红矮星的2 倍
D.线速度小于红矮星的线速度
综合提升
6.(多选)[2025·辽宁大连模拟] 2024 年3 月20 日,长征八号遥三运载火箭成功发射,将鹊桥二
号中继星直接送入预定地月转移轨道.如图所示,鹊桥二号进入近月点为P、远月点为A 的月
球捕获椭圆轨道后,开始绕月球飞行.经过多次轨道控制,鹊桥二号最终进入近月点为P、远月
点为B、周期为24 小时的环月椭圆轨道.关于鹊桥二号的说法正确的是
( )
A.离开火箭时的速度大于地球的第一宇宙速度,小于第二宇宙速度
B.在捕获轨道运行的周期大于24 小时
C.在捕获轨道上经过P 点时,需要点火加速,才可能进入环月轨道
D.经过A 点的加速度比经过B 点时大
7.(多选)[2025·天津河东区模拟] 2023 年10 月26 日17 时46 分,我国发射的神舟十七号载人
飞船与已在轨的空间站组合体完成自主快速交会对接,它们在地球上空的运动轨迹如图所示,
则下列说法中正确的是
( )
A.神舟十七号的发射速度应大于第一宇宙速度
B.神舟十七号从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ后周期变长
C.“M 卫星”若要与空间站对接,可以在轨道Ⅲ上点火加速追上空间站
D.神舟十七号在轨道Ⅲ上经过c 点的加速度大于其在轨道Ⅱ上经过c 点的加速度
8.(多选)[2024·河北卷] 2024 年3 月20 日,“鹊桥二号”中继星成功发射升空,为“嫦娥六
号”在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯.“鹊桥二号”采用周期为24 h 的环月椭
圆冻结轨道(如图所示),近月点A 距月心约为2.0×103 km,远月点B 距月心约为1.8×104
km,CD 为椭圆轨道的短轴,下列说法正确的是( )
A.“鹊桥二号”从C 经B 到D 的运动时间为12 h
B.“鹊桥二号”在A、B 两点的加速度大小之比约为81∶1
C.“鹊桥二号”在C、D 两点的速度方向垂直于其与月心的连线
D.“鹊桥二号”在地球表面附近的发射速度大于7.9 km/s 且小于11.2 km/s
9.(多选)[2025·陕西西安一中模拟] 2024 年3 月20 日,探月工程四期鹊桥二号中继星在我国
文昌航天发射场发射升空,于4 月2 日进入周期为24 小时环月大椭圆“使命”轨道Ⅰ,为嫦
娥六号在月球背面进行月球样品采集任务提供通讯支持.如图所示,此次任务完成后,鹊桥二
号择机在P 点调整至12 小时环月椭圆轨道Ⅱ,为后续月球探测任务提供服务.已知月球自转
轴经过其表面的A 点,月球质量为地球质量的1
81
,地球同步卫星轨道半径为r,鹊桥二号24 小
时环月轨道半长轴为a1,12 小时环月轨道半长轴为a2,下列说法正确的是
( )
A.a1
3∶r3=1∶9
B.a1
3∶a2
3=4∶1
C.鹊桥二号由轨道Ⅰ调整到轨道Ⅱ,需在P 点加速
D.探测器要与鹊桥二号保持较长时间不间断通讯,需着陆在月球表面A 点附近
10.(多选)[2025·山东菏泽模拟] 农历二月二,由“角宿一”和“角宿二”组成的“龙角星”
从东方地平线上缓缓升起,仿佛“龙抬头”一样,故此有“二月二、龙抬头”的说法.实际上,
“角宿一”是由距离很近、互相围绕公转的“角宿一A”和“角宿一B”组成的双星系统.
系统内两颗恒星之间的距离为l,“角宿一A”的质量为m1、“角宿一B”的质量为m2,且
7m1=10m2,引力常量为G.根据提供的信息,下列说法正确的是( )
A.“角宿一A”的公转半径为10
17
l
B.角宿一A 和角宿一B 的公转的角速度为❑√
G(m1+m2)
l
3
C.“角宿一B”的公转线速度大小为7
17
❑√
G(m1+m2)
l
D.角宿一A 和角宿一B 的公转线速度大小之和为❑√
G(m1+m2)
l
拓展挑战
11.(多选)[2023·福建卷] 人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的
拉格朗日L2点附近,L2点的位置如图所示.在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用,始终
与太阳、地球保持相对静止.考虑到太阳系内其他天体的影响很小,太阳和地球可视为以相同
角速度围绕日心和地心连线中的一点O(图中未标出)转动的双星系统.若太阳和地球的质量
分别为M 和m,航天器的质量远小于太阳、地球的质量,日心与地心的距离为R,引力常量为
G,L2点到地心的距离记为r(r≪R),在L2点的航天器绕O 点转动的角速度大小记为ω.下列关
系式正确的是可能用到的近似:
1
( R+r )
2
≈1
R
2(1−2 r
R)
( )
A.ω=[
G( M +m)
2 R
3
]
1
2
B.ω=[
G( M +m)
R
3
]
1
2
C.r=[
3m
3 M +m]
1
3R D.r=[
m
3 M +m]
1
3R
12.(多选)[2024·江西九江模拟] 如图所示,天文观测中观测到有质量相等的四颗天体位于边
长为l 的正方形四个顶点a、b、c、d 上,四颗天体均做周期为T 的匀速圆周运动,已知引力常
量为G,不计其他天体对它们的影响,关于这个四星系统,下列说法中正确的是
( )
A.四颗天体线速度大小均为
❑√2π l
2T
B.四颗天体线速度大小均为
❑√2π l
T
C.四颗天体的质量均为π
2l
3
GT
2
D.四颗天体的质量均为4(4−❑√2)π
2l
3
7GT
2
答案解析
1.A [解析] 要想使天舟五号与空间站在同一轨道上对接,则需要使天舟五号加速,与此同时要想不脱离原轨
道,根据F=mv
2
r
,则必须要增加向心力,即喷气时产生的推力一方面有沿轨道向前的分量,另一方面还要有指
向地心的分量,因喷气产生的推力方向与喷气方向相反,故图A 是正确的.
2.B [解析] 静止卫星的轨道在赤道面上,所以不可以静止在成都上空,故A 错误;根据开普勒第二定律可知
卫星在轨道Ⅱ上经过B 点时的速率最小,故B 正确;卫星在轨道Ⅱ上经过B 点时点火加速做离心运动可以变
轨进入轨道Ⅲ,所以卫星在轨道Ⅱ上经过B 点时的速率小于其在轨道Ⅲ上经过B 点时的速率,故C 错误;根据
GMm
r
2
=ma,解得a=GM
r
2 ,可知卫星在轨道Ⅱ上经过A 点时的加速度等于其在轨道Ⅰ上经过A 点时的加速
度,故D 错误.
3.B [解析] 根据开普勒第二定律可知,从远地点到近地点卫星做加速运动,而从近地点到远地点,卫星做减
速运动,所以近地点的速度大于远地点,即v1>v2,卫星绕地心做轨道半径为r 的圆周运动时,线速度大小为
❑√
GM
r
,将卫星从半径为r 的圆轨道变轨到图示的椭圆轨道,必须在近地点加速,所以有v1>❑√
GM
r
,故选B.
4.B [解析] 冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球,根据开普勒第三定律得T 1
2
R1
3
=T 2
2
R2
3
,整理得T2=T1
❑√
R2
3
R1
3
≈288 h,A 错误;根据开普勒第二定律得,鹊桥二号在捕获轨道运行时在近月点的速度大于在远月点
的速度,B 正确;在近月点从捕获轨道到冻结轨道变轨时,鹊桥二号需要减速进行近月制动,故鹊桥二号在捕获
轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度,C 错误;在两轨道的近月点所受的万有引力相同,根
据牛顿第二定律可知,在捕获轨道运行时近月点的加速度大小等于在冻结轨道运行时近月点的加速度,D 错
误.
5.BD [解析] 双星系统中,由于两星在相同时间内转过的角度相等,则双星系统的角速度相等,即中子星绕O
点运动的角速度等于红矮星的角速度,A 错误;根据Gm1m2
L
2
=m1ω2r1,Gm1m2
L
2
=m2ω2r2,解得m1
m2
=r2
r1
,即星体
质量越大,轨道半径越小,根据题意中子星质量大,可知中子星绕O 点运动的轨道半径小于红矮星的轨道半
径,B 正确;双星系统中,由星体之间的万有引力提供向心力,可知中子星绕O 点运动的向心力大小等于红矮星
的向心力大小,C 错误;根据v=ωr,双星系统角速度相等,中子星的轨道半径小一些,则中子星绕O 点运动的线
速度小于红矮星的线速度,D 正确.
6.AB [解析] 鹊桥二号离开火箭时速度要大于第一宇宙速度,小于第二宇宙速度,才能进入环月轨道,A 正确;
由开普勒第三定律a
3
T
2
=k,鹊桥二号在捕获轨道上运行的周期大于在环月轨道上运行的周期,B 正确;在P 点
要由捕获轨道变轨到环月轨道,做近心运动,必须降低速度,经过P 点时,需要点火减速,C 错误;根据万有引力
提供向心力知G Mm
r
2 =ma,解得a=GM
r
2 ,则经过A 点的加速度比经过B 点时小,D 错误.
7.AB [解析] 第一宇宙速度是飞船的最小发射速度,小于第一宇宙速度飞船将落回地面,所以神舟十七号的
发射速度应大于第一宇宙速度,A 正确;根据开普勒第三定律,半长轴越大,周期越大,所以神舟十七号从轨道
Ⅰ进入轨道Ⅱ后周期变长,B 正确;“M 卫星”若要与空间站对接,可以在低于轨道Ⅲ的轨道上点火加速做离
心运动追上空间站,C 错误;由万有引力提供向心力有GMm
r
2 =ma,解得a=G M
r
2 ,到地心的距离相同,神舟十七
号在轨道Ⅲ上经过c 点的加速度等于其在轨道Ⅱ上经过c 点的加速度,D 错误.
8.BD [解析] “鹊桥二号”围绕月球沿椭圆轨道运动,根据开普勒第二定律可知,在近地点A 处的速度最大,
在远地点B 处的速度最小,则从C→B→D 的平均速率小于从D→A→C 的平均速率,所以从C→B→D 的运动
时间大于半个周期,即大于12 h,A 错误;在A 点,根据牛顿第二定律有G Mm
(rOA)
2
=maA,在B 点,根据牛顿第二
定律有G Mm
(rOB)
2
=maB,联立解得“鹊桥二号”在A、B 两点的加速度大小之比约为aA∶aB=81∶1,B 正确;
物体做曲线运动时速度方向沿该点的切线方向,所以“鹊桥二号”在C、D 两点的速度方向不垂直于其与月
心的连线,C 错误;“鹊桥二号”发射后围绕月球沿椭圆轨道运动,并未脱离地球引力束缚,所以“鹊桥二号”
在地球表面附近的发射速度大于7.9 km/s 且小于11.2 km/s,D 正确.
9.BD [解析] 鹊桥二号24 小时环月轨道上的周期等于半径为a1的圆轨道绕月球的运行周期,则有
G M 月m1
a1
2
=m14 π
2
T 1
2
a1,地球同步卫星的周期为24 h,可得G M 地m
r
2
=m4 π
2
T
2
r,又M 月= 1
81
M 地,联立可得
a1
3∶r3=1∶81,故A 错误;由开普勒第三定律,可得a1
3
T 1
2
= a2
3
T 2
2
,解得a1
3∶a2
3=4∶1,故B 正确;鹊桥二号由轨
道Ⅰ调整到轨道Ⅱ,需在P 点减速,做近心运动,故C 错误;由图可知,探测器要与鹊桥二号保持较长时间不间
断通讯,需着陆在月球表面A 点附近,因为在月球表面A 点附近与鹊桥二号通讯不受到月球遮挡的时间更长,
故D 正确.
10.BD [解析] 由双星间的万有引力提供向心力,双星的角速度相同,则有Gm1m2
l
2
=m1ω2r1=m2ω2r2,解得r1
r2
=m2
m1
= 7
10
,又有r1+r2=l,解得r1= 7
17
l、r2=10
17
l,A 错误;由万有引力提供向心力,可得Gm1m2
l
2
=m1ω2r1=m2ω2r2,则有Gm2=ω2r1l2、Gm1=ω2r2l2,解得ω=❑√
G(m1+m2)
l
3
,B 正确;由线速度与角速度的关系公
式v=ωr 可得,“角宿一B”的公转线速度大小为vB=ωr2=10l
17
❑√
G(m1+m2)
l
3
=10
17
❑√
G(m1+m2)
l
,C 错
误;同理可得vA= 7
17
❑√
G(m1+m2)
l
,角宿一A 和角宿一B 的公转线速度大小之和为v=vA+vB=
7
17
❑√
G(m1+m2)
l
+10
17
❑√
G(m1+m2)
l
=❑√
G(m1+m2)
l
,D 正确.
11.BD [解析] 太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中一点O(图中未标出)转动的双星系
统,则有G Mm
R
2
=Mω2r1,G Mm
R
2
=mω2r2,r1+r2=R,联立解得ω=[
G( M +m)
R
3
]
1
2,故A 错误,B 正确;在L2点的
航天器受太阳和地球引力共同作用,始终与太阳、地球保持相对静止,则有G Mm'
( R+r )
2 +Gmm'
r
2
=m'ω2(r+r2),根据选项A、B 分析可知Mr1 = mr2,r1+r2=R,ω=[
G( M +m)
R
3
]
1
2,利用近似关系式
1
( R+r )
2
≈1
R
2(1−2 r
R)
,代入可得GM
R
2 (1−2r
R )
+Gm
r
2
=G( M +m)
R
3
(r +
M
M +m R)
,解得r=
[
m
3 M +m]
1
3R,故C 错误,D 正确.
12.BD [解析] 四颗天体均做周期为T 的匀速圆周运动,其圆心在边长为l 的正方形的几何中心,由几何关系
可得轨道半径均为r=
❑√2l
2
,由线速度与角速度关系公式v=ωr,可得四颗天体线速度大小均为v=ωr=2π
T
r=
❑√2π l
T
,A 错误,B 正确;以其中一颗天体为研究对象,其所需向心力由其他三颗天体的万有引力的合力提供,
则有F 合=❑√2 Gm
2
l
2
+ G m
2
(❑√2l)
2
=(2❑√2+1)G m
2
2l
2
,由牛顿第二定律可得(2❑√2+1)G m
2
2l
2
=m4 π
2
T
2
r,解得
四颗天体的质量均为m=4(4−❑√2)π
2l
3
7GT
2
,C 错误,D 正确.
