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第1讲 空间几何体的截面图形
1．（2025·云南曲靖·一模）已知正三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， ， ，
过棱 作球 的截面，则所得截面面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，作 平面 ，垂足为 ，取 的中点 ，外接球的球心为 ，连接 ，
易得 为 的中心，则 ，所以 ，
设外接球半径为 ，则 ，即 ，解得 ，
当 垂直过 的截面时，截面的面积最小，此时截面圆的直径为 长，
最小面积为 ，
当截面过球心 时，截面圆的面积最大，最大面积为 ，
故截面面积的取值范围是 .
故选：B.
2．（2025·高三·广东清远·开学考试）正方体 中， 分别是 、 、 的中点，
则（ ）
A．直线 与 是平行直线
B．过 三点的平面与正方体的截面是六边形
C．直线 与平面 所成角的正切值是D．若正方体的棱长为2，则点 到平面 的距离是
【答案】B
【解析】
对于B, 如图，取各边的中点，根据正方体的结构特征及平面的基本性质知，过 三点的截面为正六
边形 ，正确；
对于A，由B知截面为六边形 ， 平面 ， 面 ，
而 不经过点 ，故 与 是异面直线，错误，
对于C，因为 平面 ,所以 是 与平面 所成的角，
设正方体 的棱长为2，所以 ，
所以 ，所直线 与平面 所成角的正切值是 ，错误，
对于D，因为正方体 的棱长为2，
设 到平面 的的距离为 ， , ,
故 ,
因此 ，错误，
故选：B3．（2025·高二·上海·期中）如图，在三棱锥 中，棱 的中点为 ，棱 的中点为 ，棱
的中点为 ，经过 、 、 的截面一定是（ ）
A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形
【答案】D
【解析】取 的中点 ，连接 ，
因为棱 的中点为 ，棱 的中点为 ，棱 的中点为 ，
所以 ， ，
故 ，
所以四边形 为平行四边形，
故经过 、 、 的截面为平行四边形 .
故选：D
4．（2025·四川资阳·二模）已知球O的体积为 ，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面 被球O所截的截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设球O的半径为R，则 ，解得 .
因为点A到球心O的距离为3，
所以过点A的平面 被球O所截的截面圆的半径的最小值为 ，
则所求截面面积的最小值为 .
故选：C
5．（2025·高三·全国·专题练习）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面
对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周
期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数 图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率
为 ，则 的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．2
【答案】B
【解析】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数 图象的一部分，可得 ．
设圆柱底面半径为r，
则 ，所以 ，
设椭圆长轴长为 ，短轴长为 ，
因为离心率为 ，得 ，则 ，
即 ，所以 ，
得 ，
又由勾股定理得 ，解得 ，故 ．
故选：B.
6．（2025·河南·模拟预测）如图，已知直三棱柱 的体积为4，AC⊥BC， ，D为
的中点，E为线段AC上的动点（含端点），则平面BDE截直三棱柱 所得的截面面积的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直三棱柱 的体积为4，AC⊥BC， ，所以
，解得 ，
过 作 ，交 于 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，设 ，
①当 时，平面BDE截直三棱柱 所得的截面为正方形 ，面积为 ，
②当 时，因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，则 ，
，
因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ， ，
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，且
则 ， ，即平面BDE截直三棱柱 所得的截面为梯形
在 中， ， ， ，则 ，
在 中， ， ， ，则 ，
在 中， ， ， ，则 ，则
过 作 垂足为 ，过 作 垂足为 ，所得平面图形如下;则 ， ， ， ，
设 ，则
所以 ， ，因为 ，
化简可得： ，则 ，
所以 ，
因为当 ，所以 ，则 ，
综上，平面BDE截直三棱柱 所得的截面面积的范围为
故选：A
7．（2025·高二·北京·期中）如图，正四面体 的棱长2，过棱AB上任意一点 做与AD，BC都平
行的截面，将正四面体分成上下两部分，记 ，截面上方部分的体积为 ，则函数
的图象大致为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】
设截面分别于 交于点 ，连接 ，
取 的中点 ，连接 ，分别交 于点 ，
交 于点 ，
由于 ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，同理 ， ， ，所以 ，
则四边形 为矩形，
平面 平面 ，所以 ，则 为 的中点，
又 ，则 ，则 ，
平面 ，所以 平面 ，
则点 到平面 的距离为 ，
因为 ，则 ，
在 中， ，又 ，则 ，即 ，则 ，
所以 ，
而正四面体的高 ，
所以
，
则 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
则 在 切线斜率增大，在 切线斜率减小，故选择图象D.
故选：D
8．（多选题）（2025·高三·安徽芜湖·期末）在棱长为2的正方体 中， 为棱 的中点，
为棱 上一动点， ，点 在平面 内运动，下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B．在动点 由 运动至 的过程中，二面角 先增大后减小
C．平面 截正方体 所得截面图形可能是等腰梯形D．若 为棱 的中点， 与平面 所成角为 ，则点 的轨迹长度为
【答案】ACD
【解析】对于A，如图，以 为原点建立空间直角坐标系，连接 ，
在棱长为2的正方体 中，则 ， ，
，而 为棱 的中点，由中点坐标公式得 ， ，
由题意得 为棱 上一动点，则设 ，且 ，
而 ，易得面 的法向量为 ，
设 到面 的距离为 ，由点到平面的距离公式得 ，
则 ，即三棱锥 的体积为定值，故A正确，
对于B，易得面 的法向量为 ， ， ，
则 ，设 ，故 ，
因为 ，所以 ，解得 ，即 ，
得到 ， ，设面 的法向量为 ，
则 ， ，
令 ，解得 ， ，得到 ，设二面角 为 ，且 ，则 ，解得 ，
得到 是定值，则二面角 不可能先增大后减小，故B错误，
对于C，如图，令 与 重合，找 中点 ，连接 ，
因为 为棱 的中点，所以 是 的中位线，
由中位线性质得 ，由题意得四边形 是平行四边形，
故 ，即 ，得到 四点共面，
则面 为所求截面，且由勾股定理得 ，
即四边形 是等腰梯形，故C正确，
对于D，因为 为棱 的中点，所以由中点坐标公式得 ，
此时 ， ，设面 的法向量为 ，
则 ， ，
令 ，解得 ， ，则 ，
而 ， ，则 ，设 到面 的距离为 ，
由点到平面的距离公式得 ，
如图，作 面 ，连接 ，因为 与平面 所成角为 ，所以 ，
则 ，解得 ，而点 在平面 内运动，
则 的轨迹为半径为 的圆，由弧长公式得长度为 ，故D正确.
故选：ACD
9．（多选题）（2025·高三·青海玉树·开学考试）在长方体 中，已知
，点P是线段 上的动点．则下列说法正确对的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则点P到平面 的距离是
C．若 ，则直线AP与直线 所成角的范围是
D．若 ，分别经过 且平分三棱锥 体积的截面面积依次为 ，则
【答案】ABD
【解析】若 ，即 为正方体，由 ，又 面 ， 面 ，则 ，
又 都在面 内，故 面 ， 面 ，
所以 ，同理可证 ，又 都在面 内，
所以 面 ，而 面 ，则 ，A对；
由正方体的结构特征易知， 为平行四边形，则 ，
面 ， 面 ，则 面 ，而 ，
所以点P到平面 的距离，即为 到面 的距离 ，
若 到面 的距离为 ，则 ，可得 ，
所以 ，B对；
由 ，则直线AP与直线 所成角，即为直线AP与直线 所成角，
当 与 重合时，由 面 ， 面 ，即 ，
此时 ，即直线AP与直线 所成角为 ，不在 内，C错；
由经过 且平分三棱锥 体积的截面分别为 、 、 ，
所以 ， ， ，又 ，显然 ，D对；
故选：ABD
10．（多选题）（2025·高三·云南昭通·开学考试）如图，正方体 的棱长为 分别是
的中点，点 是底面 内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．存在点 ，使得 平面
B．过 三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
C．三棱锥 的体积不为定值
D．三棱锥 的外接球表面积为
【答案】ABD
【解析】当P为BD中点时，由中位线可得： ，
不在平面 ， 在平面 内，
所以 平面 ，A正确；
由中位线易知 ，在正方体中，易证 ，所以 ，所以截面为梯形 ，B正确；
因为 ，所以体积为定值，C错误；
三棱锥 的外接球可以补形为长方体外接球，半径 ，所以表面积 D正确，
故选：ABD.
11．（多选题）（2025·高三·福建福州·期末）已知正四棱锥 ，底面边长为1，侧棱长为 分
别是 中点，过点 的截面将四面体的体积平分，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 平面
B．直线 与直线 异面
C．正四棱锥外接球表面积为
D．截面不可能为等边三角形
【答案】AC
【解析】对于A，∵ 分别是 中点，∴ ，又 平面 ， 平面 ，
故直线 平面 ，故A正确；
对于B，由 得 四点共面，所以，直线 与直线 不异面，故B不正确；
对于C，设 是正四棱锥底面的中心，正四棱锥外接球的球心为 ，半径为 ，根据对称性， 在 上，
因为底面边长为1，侧棱长为 ，则 ，
由 得 ，解得 ，外接球表面积，故C正确；
对于D，∵过点 的截面将四面体的体积平分，所以截面必过 ，且截面为等腰三角形，设其顶角为 .
当截面过 时，截面的顶角 最大，且 ， ，故 ，所以
截面不可能为等边三角形，故D不正确.
故选：AC.
12．（多选题）（2025·四川南充·一模）如图，在边长为2的正方体 中，E为AD的中点，
F为 的中点，过点 、E、B作正方体的截面α，则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积为
B． 与 所成角的余弦值为
C．
D．二面角 的余弦值为【答案】ACD
【解析】对于A， ，故A正确；
对于B，以 为原点，以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
所以 ， ， ， ， ， ，
则 ， ，
则 ，
所以 与 所成角的余弦值为 ，故B错误；
对于C，由B知， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，可得 ，
所以 ，即 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
即 ，故C正确；对于D，在正方体 中， 平面 ，
所以平面 的一个法向量为 ,
所以 ，
所以二面角 的余弦值为 ，故D正确.
故选：ACD.
13．（多选题）（2025·高三·江苏南京·学业考试）如图，棱长为2的正方体 中，E，F分
别是 的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B．存在点P，使得 平面
C．若点P到直线BB 与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分
1
D．若直线DP与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为
1
【答案】AC
【解析】对于A，连接 ， ， 分别是棱 ， 的中点，则 ，
且 ，又 ，则 ，且 ，
因此过 ， ， 三点的平面截正方体所得截面为梯形 ，A正确；以点 为坐标原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ，设点 ，其中 ，
， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，得 ，
对于B, ，若存在点 ，使得 平面 ，则 ，
于是 ，即 ，无解，因此不存在点 ，使得 平面 ，B错误；
对于C， 平面 平面 ，则 ，
若点 到直线 与到直线 的距离相等，则 ，
平方整理得 ，则点 的轨迹为抛物线的一部分，C正确；
对D，依题意， 平面 ，因此点 的轨迹是过点 与平面 平行的平面交正方形 所得线段，
而 ，则 ，令 ，得 ；令 ，得 ，
线段 的中点 ，于是P点轨迹为线段 ，
所以点 的轨迹长度为 ，D错误.
故选：AC
14．（多选题）（2025·高一·安徽阜阳·期末）如图，在棱长为2的正方体 中，已知N，Q
分别是棱 的中点， ，P分别是棱 上的动点，下列结论正确的是（ ）
A．四面体 的体积为定值
B．不存在动点M，P，使得
C．直线CM与平面 所成角的范围是
D．若M，P分别是棱 的中点，由平面MNQ分割该正方体，其中截面MNQ上方的部分为几
何体 ，某球能够被整体放入几何体 ，则该球半径的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A， ,A正确，
对于B，连接 相交于 ，当P是棱 上的动点时，
过 作 交 于 ，过 作 交 于 ，连接 ,由于 ,故 ,
由于 ， 平面 ，
故 平面 , 平面 ,
故 , 平面 ， 平面 ，
故 ，
由于N，Q分别是棱 的中点，所以 ，
所以 ，故B错误，
对于C，由于 平面 ， 平面 ，故 ，
又 ， 平面 ，
故 平面 ,故 到平面 的距离为 ，
又平面 ， 平面 ，
故 平面 ，
因此 到平面 的距离与 到平面 的距离相等，即距离为 ，
由于 ,
设直线CM与平面 为 ，则 ，由于 ，故 ，C正确，
对于D，
， 分别是棱 ， 的中点，点 为 中点时，平面 在正方体上的截面为正六边形 ，
某球能够被整体放入 ，该球的半径最大时，是以 为顶点，底面为正六边形 的正六棱锥的内
切球，
正六边形 的边长为 ，面积为 ，
正六棱锥 ，侧棱长 ，每个侧面面积为 ，棱锥的高为 ，
设该球的半径为 ，由体积法可得 ，解得 ，
D正确．
故选：ACD
15．（多选题）（2025·江西九江·三模）如图，正方体 的棱长为1，点 在截面 内，且 ，则（ ）
A．三棱锥 的体积为 B．线段 的长为
C．点 的轨迹长为 D． 的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A，在正方体中，易证 平面 ，平面 平面 ，且两平面间的距离为
，
又 的面积 ，所以三棱锥 的体积 故A正
确；
对于B，如图①所示，设 的中心为 ，则 ，
故B错误；
对于C，如图②所示，由 知， ，
点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆的一部分，由三段 劣弧构成，其长度为圆 周长的一半 故C正确；
对于D， ，
为 在 方向上的投影，由图①可知，
当 位于点 或 的位置时， 最小，
此时 取得最大值，如图②所示，建立空间直角坐标系，
则 ， ，故D正确.
故选：ACD.
16．（多选题）（2025·高三·青海·期末）如图，在长方体 中， ，E，
F分别是棱 的中点，点G在棱 上，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点G，使得B．点B到平面CEF的距离是
C．存在点G，使得 平面CEF
D．过CF作该长方体外接球的截面，所得截面面积的最小值是
【答案】ABD
【解析】以 为原点， 的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图：
设 ，则 ，
，
对于A，由 ，得 ，解得 ，A正确；
对于B，设平面CEF的法向量为 ，则 ，令 ，
得 ，则点B到平面CEF的距离是 ，B正确；
对于C，当 平面CEF时， ，则 ，即 ，此方程组无解，C错误；
对于D，设该长方体外接球的球心为O，则 ， ，点O到直线CF的距离 ，设该截面圆的半径为r，
则 ，所得截面面积的最小值是 ，D正确.
故选：ABD
17．（多选题）（2025·高二·河北衡水·阶段练习）在圆锥 中，已知高 ，底面圆的半径为 为
母线 的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，
下面四个选项，正确的是（ ）
A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为
C．双曲线两渐近线的夹角正切值为 D．抛物线的焦点到准线的距离为
【答案】ABD
【解析】对于A，依题意，截面圆的半径为底面圆半径的一半，则圆的面积为 ，A正确；
对于B，如下图轴截面 中，作 于 ，则长轴长 ，
又 ，则 ，B正确；
对于C，如下图，与面 垂直且过M的平面内，建立平面直角坐标系，
坐标原点 、点P与底面距离相等，均为2，则 ，双曲线与底面一个交点 ，设双曲线为 ，且 ，则 ，解得 ，
所以其中一条渐近线为 ，若其倾斜角为 ，则 ，
所以两条渐近线夹角正切值为 ，C错误；
对于D，如下图，建立平面直角坐标系，设抛物线与底面圆的一个交点为H，
则 ，点 ，
设抛物线方程为 ，则 ，解得 ，
所以抛物线的焦点到准线的距离为 ，D正确.
故选：ABD
18．（多选题）（2025·安徽·一模）如图，已知圆台的轴截面为 ，其中
为圆弧 的中点， ，则（ ）A．圆台的体积为
B．圆台母线所在直线与平面 所成角的最大值为
C．过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为
D．过 三点的平面与圆台下底面的交线长为
【答案】ABD
【解析】A.∵ ，∴圆台上底面圆半径为 ，下底面圆半径为 ，
∴圆台的高 ，
∴圆台的体积 ，A正确.
B.由 ， ，得 ，由 得， .
如图，将圆台补成圆锥，顶点记为 ，底面圆的圆心记为 ，连接 ，
∵ 为圆弧 的中点，∴ .
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
∵ 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 ，
此时母线所在直线 与平面 所成的角最大，最大为 ， ，B正确.
C.由 得， ，∴ ，
当两条母线所在直线夹角为 时，截面面积最大，最大值为 ，C错误.D.如图，在梯形 中，连接 并延长交 的延长线于点 ，连接 交底面圆于点 ，则 为截
面与底面圆的交线.
由 得， ， ，∴ ， ，
取 中点 ，则 ，
∴ ，D正确.
故选：ABD.
19．（多选题）（2025·江西新余·一模）如图，在棱长为 的正方体 中， 、 、 分别
是 、 、 的中点， 是线段 上的动点（不包含端点），则（ ）
A．四面体 的外接球的表面积为
B．存在点 ，使 、 、 、 四点共面
C．过 且与 垂直的平面截正方体 所得截面面积取值范围为
D．点 是四边形 内的动点，且直线 与直线 夹角为 ，则点 的轨迹长度为
【答案】ACD【解析】对于A选项，将四棱锥 补成长方体 ，
所以，四面体 的外接球的直径即为长方体 的体对角线长，
即四面体 的外接球的直径为 ，
所以，四面体 的外接球的表面积为 ，A对；
对于B选项，连接 、 、 ，
因为 且 ，故四边形 为平行四边形， 所以， ，
因为 、 分别是 、 中点，则 ，所以 ，
即 、 、 、 四点共面，
当 与 重合时满足 、 、 、 四点共面，
但 是线段 上的动点（不包含端点），B错；
A B C D
1 1 1 1
对于C选项，如图，在平面 上作 ⊥ ，垂足为点 ，过点 作在平面 内 ⊥ 交 或者 于 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
A B C D
1 1 1 1
且 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
平面 截正方体 截面为平行四边形 ，
当 与点 重合时，面积最大，此时 ， ，面积为 ，
当 与点 无限接近时，面积接近于 ，
过 且与 垂直的平面截正方体 所得截面面积取值范围为 ，C对；
对于D选项，取 的中点 ，连接 ，则 ，
则 平面 ，取 的中点 ，以 为圆心， 为半径作圆，
交 、 于 、 ，
则点 的轨迹为以 为圆心， 为半径的部分圆弧 ，
此时满足直线 与直线 夹角为 ，
如图， ，故 ，所以点 的轨迹长度为 ，D对.
故选：ACD.
20．（多选题）（2025·广东汕头·二模）用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成
的角不同时，可以得到不同的截口曲线，也即圆锥曲线.探究发现：当圆锥轴截面的顶角为 时，若截面
与轴所成的角为 ，则截口曲线的离心率 .例如，当 时， ，由此知截口曲线是抛物线.如
图，圆锥 中， 、 分别为 、 的中点， 、 为底面的两条直径，且 、 ，
.现用平面 （不过圆锥顶点）截该圆锥，则（ ）
A．若 ，则截口曲线为圆
B．若 与 所成的角为 ，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分
C．若 ，则截口曲线为抛物线的一部分
D．若截口曲线是离心率为 的双曲线的一部分，则
【答案】BCD
【解析】对于A，由题意知过MN的平面与底面不平行，则截口曲线不为圆，故A错误；
对于B， 与 所成的角为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，所以平面 截该圆锥得的截口曲线为椭圆或椭圆的一部分，
故B正确；
对于C，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， ， SOD，
所以 平面SOD，又因为 平面SOD，所以
又 为 、 的中点，所以 ，
平面MAB，
所以 平面MAB，所以 与SO所成的角为 ，
所以 ， ，故C正确；
对于D， 截口曲线是离心率为 的双曲线的一部分，
则 ，
所以平面 ，故平面 不经过原点O，故D正确．
故选：BCD.
21．（多选题）（2025·高三·黑龙江大庆·期中）如图，在棱长为2的正方体 中，M，N，
P分别是 ， ， 的中点，Q是线段 上的动点（不包含端点），则（ ）A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B．存在点Q，使 平面BMN
C．过Q且与BN垂直的平面截正方体 所得截面面积取值范围为
D．点H是四边形 内的动点，且直线PH与直线AD夹角为 ，则点H的轨迹长度为
【答案】BCD
【解析】选项A，连接 ， ， ，正方体中易知 ，
P，N分别是 ， 中点，则 ，所以 ，即 四点共面，
当 与 重合时满足B，N，P，Q四点共面，
但Q是线段 上的动点（不包含端点），故A错误；
选项B，如图，取 中点为 ，连接 ， ， ，因为M，N分别是 ， 中点，则 与 平行且相等，
故四边形 是平行四边形，
所以 ，又 是 中点，所以 ，所以 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，B正确；
A B C D
1 1 1 1
选项C，如图，在平面 上作 ⊥ 于K，
过K作 ⊥ 交BC或者 于T，
A B C D A B C D
1 1 1 1 1 1 1 1
因为平面 ⊥平面 ，交线为 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面QKT，
平面QKT截正方体 截面为平行四边形 ，当T与点C重合时，面积最大，此时 ， ，面积为 ，
当Q与点 无限接近时，面积接近于0，
过Q且与BN垂直的平面截正方体 所得截面面积取值范围为 ，C正确；
选项D，取 的中点 ，连接 ，则 ，
则 平面 ，取 的中点 ，以 为圆心， 为半径作圆，
交 ， 于X，Y，
则点H的轨迹为以O为圆心，2为半径的部分圆弧 ，
此时满足直线PH与直线AD夹角为 ，
如图， ，故 ，
所以点H的轨迹长度为 ，D正确.
故选：BCD
22．（多选题）（2025·高二·全国·开学考试）在长方体 中，已知 ，
分别为 的中点，则下列结论正确的是（ ）A．异面直线 与 所成角的余弦值为
B．点 为长方形 内一点，满足 平面 时， 的最小值为
C．三棱锥 的外接球的体积为
D．过点 的平面截长方体 所得的截面周长为
【答案】BD
【解析】A． ， 直线 与 所成角，
在 中，根据余弦定理可知 ，
，
代入求得 ，A错误；
B．取 的中点 ，取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ，
， ，所以四边形 是平行四边形，
且 ， ， 平面 ，
同理可得 平面 ，
平面 ， 平面 ，所以点 的运动轨迹为线段 ，
在 中，过点 作 ，此时 取得最小值，
由题意可知， ，
，B正确；
C．取 的中点 ，连接 ，则 ，
过点 作 ，且 ，
为外接球的半径，在 中， ，
，
，C错误；
D．由平面 平面 得，过点 的平面必与 有交点，
设过点 的平面与平面 和平面 分别交于，同理可得
过点 的平面截长方体 所得的截面图形为五边形 ，
如图所示，以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，
，
， ，
，解得 ，
，
所以五边形 的周长为
，D正确．
故选：BD
23．（多选题）（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，正方体 的棱长为1，动点 在对角线
上，过 作垂直于 的平面 ，记平面 与正方体 的截面多边形（含三角形）的周
长为 ，面积为 ， ，下面关于函数 和 的描述正确的是（ ）A． 最大值为 ；
B． 在 时取得极大值；
C． 在 上单调递增，在 上单调递减；
D． 在 上单调递增，在 上单调递减
【答案】AD
【解析】当 时，截面为等边三角形，如图：
因为 ，所以 ，
所以： ， ， .
此时 ， 在 上单调递增，且 ， .当 时截面为六边形，如图：
设 ，则
所以六边形 的周长为： 为定值；
做 平面 于 ， 平面 于 .
设平面 与平面 所成的角为 ，则易求 .
所以 ，
所以 ，
在 上递增，在 上递减，
所以截面面积的最大值为 ，此时 ，即 .
所以 在 上递增，在 上递减. 时， 最大，为 .
当 时，易得：
，此时 ， 在 上单调递减， ， .
综上可知：AD是正确的，BC错误.
故选：AD
24．（多选题）（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 中，M为平面
ABCD内一动点，则（ ）
A．若M在线段AB上，则 的最小值为
B．平面 被正方体内切球所截，则截面面积为
C．若 与AB所成的角为 ，则点M的轨迹为椭圆
D．对于给定的点M，过M有且仅有3条直线与直线 ， 所成角为
【答案】ABD
【解析】对于A，延长 到 使得 ，则 ，等号在
共线时取到；故A正确；对于B，由于球的半径为 ，球心到平面 的距离为 ，故被截得的圆的半径为 ，故面
积为 ，故B正确；
对于C， 与 所成的角即为 和 所成角，所以 ，易知 平面 ，
当 位于线段 上时，则 平面 ，得 ，所以 的轨迹为直线 ，故C错误；
对于D，显然过 的满足条件的直线数目等于过 的满足条件的直线 的数目，
在直线 上任取一点 ，使得 ，不妨设 ，
若 ，则 是正四面体，所以 有两种可能，直线 也有两种可能，
若 ，则 只有一种可能，就是与 的角平分线垂直的直线，
所以直线 有三种可能，故D正确.
故选：ABD
25．（多选题）（2025·云南昆明·一模）在长方体 中，底面 是边长为 的正方形，
，点 是 的中点，点 是 上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线 与 所成角的余弦值为
B．当 时，过点 、 、 的截面是梯形
C．当点 运动到某点时，过点 、 、 的截面是五边形D．当 时，过点 、 、 的截面是矩形
【答案】ABC
【解析】对于A选项，连接 、 ，如下图所示：
因为 且 ，所以，四边形 为平行四边形，
所以， ，
所以， 与 所成的角为 或其补角，
在 中， ，同理可得 ， ，
由余弦定理可得 ，
所以，异面直线 与 所成角的余弦值为 ，A对；
对于B选项，连接 、 、 ，当 时， 为 的中点，
因为 、 分别为 、 的中点，则 ，且 ，
因为 且 ，所以，四边形 为平行四边形，
所以， ，且 ，所以， 且 ，
所以， 、 、 、 四点共面，
所以，当 时，过点 、 、 的截面是梯形，B对；
对于C选项，当 时，设平面 交直线 于点 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，所以， ，
因为 ，由等角定理结合图形可知， ，
则 ，即 ，可得 ，
设平面 交直线 于点 ，
A B C D
1 1 1 1
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，则 ，因为 ，由等角定理结合图形可得 ，
所以， ，则 ，
且 ，所以， ，
故当 时，过点 、 、 的截面是五边形，C对；
对于D选项，当 时，点 与点 重合，设平面 交棱 于点 ，连接 ，
A B C D
1 1 1 1
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，所以， ，
因为 ，由等角定理结合图形可知， ，
即 ，所以， ，所以， ，
则点 为 的中点，
由勾股定理可得 ，
同理可得 ， ，则四边形 为平行四边形，
因为 ，所以， ，
所以， 不是直角，故四边形 不是矩形，因此，当 时，过点 、 、 的截面不是矩形，D错.
故选：ABC.
26．（2025·高三·北京·开学考试）如图，已知正四面体 的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱 ，
于E，F两点，且四面体 的体积为四面体 体积的 ，则 ， 的最小值为
.
【答案】 / /
【解析】因为 ，则 ，
记 ，
因为 ，即 。
又因为 ，
当且仅当 ，即 时，取等号.
所以a的最小值为 .
故答案为： ； .27．（2025·甘肃兰州·一模）正方体 的棱长为2，平面 截正方体内切球所得的截面面
积为 ．
【答案】
【解析】正方体 的中心是内切球球心，设为O，O到平面 的距离为d，
设A到平面 的距离为 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
正方体内切球半径 ，正方体内切球被平面 截球面所得的截面是一个圆半径为r的圆，
所以 ，所以圆的面积为 ．
故答案为： ．
28．（2025·北京丰台·二模）如图，正方体 的棱长为2， 分别为 的中点，
为过直线 的平面．从下列结论①，②中选择一个，并判断该结论的真假．你选的结论是 （填
“①”或“②”），该结论是 命题（填“真”或“假”）．①平面 截该正方体所得截面面积的最大值为 ；
②若正方体的12条棱所在直线与平面 所成的角都等于 ，则 ．
【答案】 ①（答案不唯一） 假（答案不唯一）
【解析】若选①，平面 是过直线 的平面．此时四边形 即为该平面截正方体所得截面，
由于四边形 的面积为 ,故①为假命题，
若选②，由于三棱锥 为正三棱锥，所以 与平面 所成角均相等，故平面 平
面 ，
设 到平面 的距离为 ，则
所以 与平面 所成角的正弦值为 ，故 ，②为真命题
故答案为：①（答案不唯一），假（答案不唯一）29．（2025·高二·上海·期中）已知圆锥底面半径为 ，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为
．
【答案】
【解析】依题意，设圆锥的母线长为 ，
圆锥的底面半径为 ，高为1，
，
设圆锥的轴截面的两母线夹角为 ，则 ，
， ，
则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为 ，
故截面的面积为 ，当且仅当 时，等号成立，
故截面的面积的最大值为2．
故答案为：2.
30．（2025·高一·福建厦门·期中）已知正四棱锥 的所有棱长都为2，点 在侧棱SC上且
，过点 且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形 ，则 的边数为 ， 的面积为 ．
【答案】 5
【解析】取 中点 且 ， 平面 ，可知 平面 ，
根据平面的基本性质，作平面与平面 平行，如图为五边形 .
因为 ，所以 ，则 ，
可得 ，
则 ，可得 ，
所以 ，
又因为 与 的夹角为 与 夹角，而 与 垂直，
易知 且 ， ，即 为矩形，则 ，
可得 ，故答案为：5； .
