压轴05隐零点问题的4大核心题型（压轴题专练）（全国通用）（原卷版）_三轮冲刺_2026年试卷教辅资源等多个文件_上好课2026版高中《终极冲刺讲练测》（数学）（全国通用）

压轴05 隐零点问题的4 大核心题型
隐零点问题是指一个函数的零点存在但无法直接解出.在函数、不等式与导数的综合题目中经常会遇到.
涉及隐零点问题，一般对函数的零点设而不求，借助整体代换和过渡，再结合题目条件，利用函数的性质
巧妙求解.
题型01 利用隐零点解决最值
1．（2026·湖南益阳一模）已知函数

2
2
e
e
x
x
f x
ax
-
=
-
-
，若
0
x
" ³
，

0
f x ³
，则实数a 的取值范围是
（    ）
A．

,2
-¥
B．

,4
¥
-
C．

,2e
¥
-
D．

4,4
-
2．（2026·山东泰安期末）设函数
( )
(
)
(
)
2
1 ln
1
f x
x
x
x
=
+
+
- ，若当
0
x ³
时

2
f x
mx
³
恒成立，则实数m 的
取值范围是（  ）
A．3 ,
2
é
ö
+¥÷
êë
ø
B．
3
, 2
æ
ù
-¥
ç
ú
è
û
C．3 ,
4
é
ö
+¥÷
êë
ø
D．
3
, 4
æ
ù
-¥
ç
ú
è
û
题型02 不含参函数的隐零点问题
3.（2025·江苏镇江二模节选）已知函数

ln
f
x
x x
mx
=
-
（其中mÎR ），当
1
x ³
时，不等式

2
0
f
x
x
m
+
+
³
技法指导
利用隐零点解决最值的基本步骤：
第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程
, 并结合
的单
调性得到零点的范围;
第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数
 的正负, 进而得到
的最值表达式;
第 3 步: 将零点方程
适当变形, 整体代入
最值式子进行化简:
（1）要么消除
最值式中的指对项
（2）要么消除其中的参数项;从而得到
最值式的估计.


0
0
f
x
¢
=
( )
f x
( )
f
x
¢
( )
f x


0
0
f
x
¢
=
( )
f x
( )
f x
( )
f x
技法指导
已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0 的根存在，却无法求出，利用零点存在定理判断零点存在，设
方程f′(x)＝0 的根为x0，则①有关系式f′(x0)＝0 成立，②注意确定x0 的范围.
恒成立，求整数m 的最大值．
4.（2025·辽宁鞍山模拟）已知函数

ln
1
f x
x
ax
=
-
+ ，


x
g x
x e
x
=
-
.
（1）若直线
2
y
x
=
与函数

f x 的图象相切，求实数a 的值；
（2）当
1
a = - 时，求证：


2
f x
g x
x
£
+
.
题型03 含参函数的隐零点问题
5.已知函数f（x）＝ex－a－ln x＋x.当a≤0 时，证明：f（x）＞x＋2.
6.已知函数
( )
2e sin
x
f x
x
ax
=
-
．（e 是自然对数的底数）
(1)若
0
a =
，求
( )
f x 的单调区间；
(2)若0
6
a
<
<
，试讨论
( )
f x 在(0, )
p 上的零点个数．（参考数据：
2
e
4.8
p
»
）
题型04 含参函数的隐零点问题
7.（2025·江西萍乡·模拟）已知函数
( )
ln
f x
x
a
x
=
+
，( )
e
ln
2
x
g x
x
x
-
=
-
-
.
(1)讨论函数

f x 的单调性；
(2)若

0
g x
=0，求
0
0
ln
x
x
+
的值；
(3)证明：
2
ln
e x
x
x
x
x
-
-
£
+
.
技法指导
已知含参函数f（x，a），其中a 为参数，导函数方程f'（x，a）＝0 的根存在，却无法求出，设方程f'
（x）＝0 的根为x0，则（1）关系式f'（x0）＝0 成立，该关系式给出了x0，a 的关系；（2）注意确定x0
的合适范围，往往和a 的范围有关.
技法指导
隐零点的同构
实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们
看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换
化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析
所以在解决形如 
, 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.






2
ln
ln
ln
1
ln
1
ln
ln
ln
0
x
x
x
x
x
xe
x
x
f x
x
e
f
x
x
x
e
x
x
x
x
f x
xe
f
x
x e
x
x




=
+

=
+




-
-
-
-


=

-
= -

+
=
1
ln
0
xe
x
x
x
=
Û
+
=
8.已知函数

2 ln
f x
x
x
= -
，
2
1
2
g x
x
x
=
+
.
(1)求

f x 的极值；
(2)证明：当
1
x > 时，


0
f x
g x
+
>
.（参考数据：ln2
0.69
»
）
1.若函数



e
ln
x
f x
x
m
=
-
+
的最小值为2
ln2
+
，则m = （    ）
A．2
-
B．1
ln2
2 -
C．
1
2
-
D．1
ln2
2 +
2．（2026·湖北武汉·期中）已知函数

ln
2 (
0)
f x
a x
x a
=
-
>
，若不等式

2
e
3
1
a
x
x
f x
-
³
+ 对
0
x >
恒成立，则
实数a 的取值范围为__________.
3．（2025·黑龙江牡丹江·三模）已知函数

2sin
cos
f x
x
x
x
x
=
-
-
，

f
x
¢
为

f x 的导数．
(1)求

0
f
；
(2)证明：

f
x
¢
在区间

0,p 上存在唯一零点．
4.已知函数



e
ln
x
f x
x
m
=
-
+
，当
2
m„ 时，求证

0
f x >
.
5.（2025·江西萍乡·三模）已知函数

e
ln
ax
f x
x
a
=
-
+
．
(1)讨论函数

f x 的极值点个数；
(2)若




1
1
1
f x
a
x
³
-
-
+ 恒成立，求实数a 的取值范围．
6.（2025·广东珠海二模）已知函数

e
ln
.
x
f x
x
ax
a x
a
=
-
-
+
(1)若
e
a =
，判断函数

f x 的单调性，并求出函数

f x 的最值.
(2)若函数

f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.
7.（2025·山东聊城·一模）已知函数

e
1
x
f x
x
=
- ，
ln
g x
x
mx
=
-
，
ln
1
ex
x
x
x
x
j
=
-
-
.
(1)求

f x 的单调递增区间；
(2)求
x
j
的最小值；
(3)设


h x
f
x
g x
=
-
，讨论函数
h x 的零点个数.
8.（2026·浙江·开学考试）已知函数


e ,
ln
x
f x
x
g x
x
=
=
．
(1)求

f x 在点

1,e 处的切线方程；
(2)当
0
a >
，对任意的



2
1
0,
,
2
x
g x
ax
Î
+¥
£
-
恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)证明：


1
e
2
x
f x
g x
>
+
-
．
9．已知函数



1 ex
f x
x
a
x
=
+
-
-
，aÎR ．
(1)若
1
a = ，求曲线

y
f x
=
在点



0,
0
f
处的切线方程；
(2)若

0
f x ³ 恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)若0
1
a
<
< ，
0
x >
，证明：


ln
1
f x
a
x
a
x
a
-
+
-
>
+
- ．
10．已知函数
2
( )
ln
e
ln 2
x
f x
x
x
x
-
=
-
+
-
.
(1)求曲线
( )
y
f x
=
在点(2,
(2))
f
处的切线方程；
(2)求
( )
f
x
¢
的零点个数；
(3)探究
( )
f x 是否存在最值，若存在，求出最值，若不存在，说明理由.