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专题10.5 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
重难点题型1 条件概率
1．（25-26 高二上·全国·单元测试）设
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·云南·模拟预测）某高中举行科技节活动，有甲、乙、丙、丁4 名同学去参加九连环、数独和汉
诺塔三个活动，其中每个活动都有人参加，且每个同学只能参加一项活动，则在甲参加九连环活动的条件
下，甲和乙都参加九连环活动的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·山西朔州·模拟预测）已知事件A，B 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·上海·三模）抛掷两颗骰子，观察掷得的点数．用
表示事件“两个点数不同”，
表示事件
“至少出现一个点”，则
．（结果用最简分数表示）
5．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知随机事件
． 若
，
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
条件概率
重难点题型2
相互独立事件的判断
重难点题型3
相互独立事件概率的计算与应用
重难点题型4
全概率公式及其应用
重难点题型5
贝叶斯公式及其应用
重难点题型6
全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
1
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则
6．（2025·天津武清·模拟预测）在一个口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5 的五张卡片，这些卡片除编
号不同外其他都相同，从口袋中有放回地摸卡片三次，每次摸一个.则三次摸出卡片的数字有两次不超过3
的概率 ；在已知三次摸出卡片的数字有两次不超过3 的前提下，这三次中有一次摸出编号为2 的卡
片的概率 .
7．（2025·甘肃白银·模拟预测）汤圆是汉族传统小吃的代表之一，同时也是中国的传统节日元宵节最具有
特色的食物，表达了人民对幸福生活的一种向往和期盼．在广东省流行四式汤圆，这四式汤圆指的是四种
不同的馅：绿豆、红豆、糖冬瓜、芋头，小王在今年元宵节时，盛了一碗（10 个）汤圆，其中绿豆馅、红
豆馅的汤圆各4 个，糖冬瓜馅、芋头馅的各1 个，则小王在碗里随机取的4 个汤圆中，在吃到1 个芋头馅
的前提下，4 个汤圆中恰有3 种不同馅的概率为 ．
重难点题型2 相互独立事件的判断
1．（2025·河北石家庄·三模）已知随机事件A、B，
表示事件B 的对立事件，
，
，
则下面结论正确的是（ ）
A．事件A 与B 一定是对立事件
B．
C．
D．若事件A、B 相互独立，则
2．（2025·上海青浦·模拟预测）一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，
，，
.任意掷一
次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间
，记事件
，事件
，事件
，则（ ）
2
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A．事件
两两独立，事件
相互独立
B．事件
两两独立，事件
不相互独立
C．事件
不两两独立，事件
相互独立
D．事件
不两两独立，事件
不相互独立
3．（24-25 高二下·福建莆田·阶段练习）有6 个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放
回地随机取两次，每次取1 个球．用
表示第一次取到的小球的标号，用y 表示第二次取到的小球的标号，
记事件
为偶数，
为偶数，
，则下列不正确的是（ ）
A．
B．
与
相互独立
C．
与
相互独立
D．
与
相互独立
4．（24-25 高三下·湖南长沙·阶段练习）
为随机事件，已知
，下列结论中正确的
是（ ）
A．若
为互斥事件，则
B．若
为互斥事件，则
C．若
是相互独立事件，则
D．若
，则
5．（2025·河南信阳·模拟预测）（多选题）有甲，乙两个袋子，甲袋中有大小和质地相同的2 个红球，2
个黑球，乙袋中有大小和质地相同的2 个红球、1 个黑球．现从甲、乙两个袋子中各随机一次取出2 个球，
设事件
“甲袋中取出2 个红球”，
“甲袋中取出1 个红球、1 个黑球”，
“乙袋中取出2 个
红球”，
“乙袋中取出1 个红球、1 个黑球”，
“甲、乙两个袋子中取出3 个红球、1 个黑球”．
则下列说法正确的是（ ）
3
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A．事件
与
是对立事件
B．事件
与
是对立事件
C．事件
与C 相互独立
D．事件
与C 相互独立
6．（2025·贵州贵阳·模拟预测）（多选题）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件
：两次的点数
之和为偶数，
：两次的点数之积为奇数，
：第一次的点数小于，则（ ）
A．
B．
C．
与
相互独立
D．
与
互斥
4
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重难点题型3 相互独立事件概率的计算与应用
1．（24-25 高二下·山东烟台·期中）某公司有甲，乙两个部门，每个部门各有7 名员工，其中甲部门有5 名
经验丰富的员工和2 名新员工，乙部门有4 名经验丰富的员工和3 名新员工，现从甲部门和乙部门各随机
选出一名员工进行交换，交换完成后，再从甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·河南郑州·三模）拋掷一枚质地均匀的正四面骰子（骰子为正四面体，四个面上的数字分别为
1，2，3，4），若骰子与桌面接触面上的数字为1 或2，则再抛郑一次，否则停止抛掷（最多抛掷2 次）．
则抛掷骰子所得的点数之和至少为4 的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·广东深圳·模拟预测）有A、B、C、D 四位同学按照逆时针方向站在一个正方形的四个顶点，进
行传球游戏．持球者将球传给相邻顶点的人的概率是
，传给不相邻顶点的人的概率是
，例如
将球传
给
和
的概率均为
，传给
的概率为
．若游戏开始时，球在
同学手里，则经过3 次传球后，球回
到A 同学手里的概率为 ．
4．（2025·湖南·模拟预测）甲、乙两人进行投篮比赛，谁先投篮是随机的，一个人投完一球就要换成另一
个人投篮，共投个球，投中次数多者为胜．每次投篮，甲投中的概率为
，乙投中的概率为
，则甲
获胜的概率为 ．
5．（25-26 高三上·河南驻马店·开学考试）某批产品来自A，B 两条生产线，A 生产线占
，次品率为
；B 生产线占
，次品率为
，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自A 生产线的
概率是 ．
6．（2025·四川·二模）小杨上的高中食堂有3 种套餐，小王第一次选择A，B，C 三种套餐的概率相等，若
某次选择A 之后，下一次仍会在三种套餐以相等概率继续选择，若某次选择B 套餐之后，下一次只会在
B，C 两种套餐中以相等概率去选择，在某次选择C 套餐之后，以后只会选择C 套餐，根据以上规则回答
下列问题：
(1)试写出第n 次选择时，小王选A 套餐的概率表达式，并求出第3 次选择B 套餐的概率.
(2)试写出第n 次选择时，小王选B 套餐的概率表达式，并求出选A 套餐的均值.
5
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7．（2025·陕西西安·模拟预测）某芯片加工厂对其生产的芯片采用AI 质检系统进行检测，该厂芯片的次品
率为
，系统检测到次品时，有95%的概率正确标记为“不合格”，检测到正品时有90%的概率
正确标记为“合格”
(1)现从生产线上随机抽取1 件芯片进行检测，若
，求被系统标记为合格品的概率；
(2)若质检系统把次品标记为“合格”或把正品标记为“不合格”，则称系统检测误判，且将单件产品被系
统检测误判的概率称之为系统检测误判率.已知该工厂通过技术升级使芯片的次品率
有所降低，那么随着
的降低，系统检测误判率是升高还是降低?并说明理由.
重难点题型4 全概率公式及其应用
1．（25-26 高三上·陕西西安·开学考试）全概率公式指的是：设
为样本空间，若事件
两两互
斥，
，则对任意的事件
，有
.小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西
安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，
则小张一家去游乐园的概率为（ ）
A．0.48
B．0.49
C．0.52
D．0.54
2．（24-25 高二下·宁夏·期中）某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B 两个箱子中．A
箱中有4 道代数题和2 道几何题，B 箱中有3 道代数题和3 道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个
箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2 道题（不放回）作答．若乙同学选择A 箱，答题结束后工作人员失
误将乙抽取的题目放回了B 箱，接着丙同学选择从B 箱抽取题目，则丙抽取的2 道题中至少有一道代数题
的概率为（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·四川德阳·阶段练习）某汽车4S 店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，
400，100 辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从
该4S 店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承
担的责任比为（ ）
A．2：3：5
B．10：12：5
C．5：12：10
D．5：4：1
4．（25-26 高三上·天津·阶段练习）某学校有A，B 两家餐厅，王同学第1 天午餐时随机地选择一家餐厅用
餐，如果第1 天去
餐厅，那么第2 天去
餐厅的概率为0.6；如果第1 天去
餐厅，那么第2 天去
餐厅
的概率为0.8．则王同学第2 天去
餐厅用餐的概率为 ．
5．（25-26 高三上·重庆·阶段练习）已知有A，B 两个盒子，其中A 盒装有2 个黑球和1 个白球，B 盒装有
1 个黑球和2 个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从A 盒、乙从B 盒各随机取出一个球，若2 个球同色，
则甲胜，并将取出的2 个球全部放入A 盒中；若2 个球异色，则乙胜，并将取出的2 个球全部放入B 盒中.
按上述方法重复操作两次后，A 盒，B 盒中球的个数保持不变的概率是 .
6．（2025·河南许昌·三模）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1 车间的次品率为0.15，第2 车
间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2 车间生产的成品比例为
.今有
一客户从成品仓库中随机提一台产品，若取到的是合格品，则此合格品由第1 车间生产的概率是 .
重难点题型5 贝叶斯公式及其应用
1．（2025·江西·模拟预测）已知编号为1，2，3 的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且
各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3 号箱中分别占
．从3 个箱中的所有球中随机
取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3 号箱中的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
7
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2．（25-26 高二·江苏·假期作业）已知贝叶斯公式：
．某视频网站利用AI 换脸掺入
了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI 对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的
真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有
的可能鉴定为“AI”；它的误报
率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有
的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该
视频是“AI”合成的可能性约为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·江西景德镇·三模）一质点落在三棱锥
的顶点
处，每次均以相同的可能性沿着某条棱
移动到另一个顶点处，记事件
表示“该质点移动次后落在顶点
”，
为
的对立事件，则
．
4．（2025·广东佛山·二模）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为
四个外观相同的空
箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个
箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增
加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开
号箱子的概率为 ，在主持人打开
号箱子
的情况下，奖品在
号箱子的概率为 ．
8
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重难点题型6 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
1．（2025·山东·二模）甲乙二人进行比赛，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
，各局比赛的结果相互独立．为决出最终获胜的一方，有以下两种方案可供选择：
方案一：规定每局比赛的胜方得1 分，败方得0 分，则首次比对手高两分的一方获胜．
方案二：首次连胜两局比赛的一方获胜．
(1)若
，且采用方案一，求第四场比赛结束时恰好分出胜负的概率．
(2)若
，为使甲获胜的概率更大，则应该选择哪种比赛方案？请说明理由．
附：当0 < q < 1 时，
．
3．（2025·吉林·模拟预测）某游戏有三个骰子，其面数如下：骰子
：四个面，分别标有数字1，1，3，
4；骰子
：四个面，分别标有数字2，4，5，6；骰子
：六个面，分别标有数字1，3，5，7，9，11；玩
家按骰子面数比例随机选择一个骰子（即选择概率等于其面数占总面数的比例），然后掷该骰子两次，记
录两次结果的最大值．请解答以下问题：
(1)若玩家选择骰子
，求两次投掷的最大值为4 的概率；
(2)求两次投掷的最大值为4 的概率；
(3)设奖金为最大值的平方（单位：元），若玩家获得的奖金超过16 元，求玩家选择骰子
的概率．
9
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4．（2025·上海黄浦·二模）一盒子中有大小与质地均相同的20 个小球，其中白球
个，其余为
黑球．
(1)当盒中的白球数
时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用
表示事件“第一次取到白
球”，用
表示事件“第二次取到白球”，求
和
，并判断事件
与
是否相互独立；
(2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10 个球，若其中恰有3 个白球，则获奖，否
则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量
？
5．（2025·福建·模拟预测）电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的．某体育用品
供应商在甲电商平台推广新品
和
，在乙电商平台推广新品
．已知甲平台向一用户推送
的概率为
0.7，推送
的概率为0.5，同时推送
和
的概率为0.3；乙平台向该用户推送
的概率为0.6，且甲平台
的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响．
(1)在甲平台没有向该用户推送
的条件下，求它向该用户推送
的概率；
(2)求这两个平台至少向该用户推送A、B、C 中的一种的概率．
10
