文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题10 立体几何综合
目录一览
2023 真题展现
考向一 求二面角
考向二 求距离
真题考查解读
近年真题对比
考向一 求三棱锥体积
考向二 求二面角
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 求二面角
1．（2023•新高考Ⅱ•第20 题）如图，三棱锥A﹣BCD 中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝
60°，E 为BC 中点．
（1）证明BC⊥DA；
（2）点F 满足EF
→
= DA
→，求二面角D﹣AB﹣F 的正弦值．
考向二 求距离
2．（2023•新高考Ⅰ•第18 题）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D 中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，
D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（1）证明：B2C2∥A2D2；
（2）点P 在棱BB1上，当二面角P﹣A2C2﹣D2为150°时，求B2P．
【命题意图】
考查线面平行与垂直、空间几何体的表面积与体积、空间角等．
【考查要点】
命题会涉及到线面平行与垂直的证明，等体积法求空间几何体的体积，空间向量法求空间距离、空间
角，考查空间想象力、运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想．
【得分要点】
1．直线与平面平行
（1）直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若
a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
（2）直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符
号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2．直线与平面垂直
（1）直线与平面垂直的定义：
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
如果一条直线l 和一个平面α 内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l 和平面α 互相垂直，记作
l⊥α，其中l 叫做平面α 的垂线，平面α 叫做直线l 的垂面．
（2）直线与平面垂直的判定：
定义法：对于直线l 和平面α，l⊥α⇔l 垂直于α 内的任一条直线．
判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
（3）直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，
b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
3．二面角的平面角求法：
（1）定义法．
（2）三垂线定理及其逆定理．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两
个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．
（4）平移或延长（展）线（面）法．
（5）射影公式．
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角．
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α 和β 的法向量分别为u
→和v
→，若两个平面的夹角为θ，则
①当0≤＜u
→，v
→
＞≤π
2 ，θ=＜u
→，v
→
＞，cosθ＝cos＜u
→，v
→
＞=
u
→
⋅v
→
|u
→
|| v
→
|
．
②当π
2 ＜＜u
→
，v
→
＞＜π 时，cosθ＝﹣cos＜u
→
，v
→
＞=−
u
→
⋅v
→
|u
→
|| v
→
|
考向一 求三棱锥体积
3．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A﹣BCD 中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O 为BD 的中点．
（1）证明：OA⊥CD；
（2）若△OCD 是边长为1 的等边三角形，点E 在棱AD 上，DE＝2EA，且二面角E﹣BC﹣D 的大小为
45°，求三棱锥A﹣BCD 的体积．
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
考向二 求二面角
4．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC 的面积为
．
（1）求A 到平面A1BC 的距离；
（2）设D 为A1C 的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C 的正弦值．
5．（2022•新高考Ⅱ）如图，PO 是三棱锥P﹣ABC 的高，PA＝PB，AB⊥AC，E 为PB 的中点．
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（1）证明：OE∥平面PAC；
（2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C﹣AE﹣B 的正弦值．
6．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥Q﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝
，QC＝
3．
（Ⅰ）求证：平面QAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣QD﹣A 的平面角的余弦值．
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
本章内容是高考必考内容之一，多考查空间几何体的表面积与体积，空间中有关平行与垂直的判定，
空间角与距离的求解，空间向量的应用等问题。
高考对本章内容的考查比较稳定，针对这一特点，复习时，首先梳理本章重要定理、公式与常用结论，
扫清基础知识和公式障碍；然后分题型重点复习，重视向量法求解空间角、距离问题的思路与解题过程
一．棱柱、棱锥、棱台的体积（共20 小题）
1．（2023•保定二模）如图，四棱台ABCD﹣EFGH 的底面是菱形，且∠BAD＝
，DH⊥平面ABCD，
EH＝2，DH＝3，AD＝4．
（1）求证：AE∥平面BDG；
（2）求三棱锥 F﹣BDG 的体积．
2．（2023•乌鲁木齐模拟）在△ABC 中，∠ACB＝45°，BC＝3，过点A 作AD⊥BC，交线段BC 于点D
（如图1），沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC＝90°（如图2）点E，M 分别为棱BC，AC 的中点．
（1）求证：CD⊥ME；
（2）求三棱锥A﹣BCD 的体积最大值．
3．（2023•松江区校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝4，BC＝3，AB＝5．
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）设AC1与底面ABC 所成角的大小为60°，求三棱锥C﹣ABC1的体积．
4．（2023•平罗县校级二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，且PA
＝AD＝CD＝2，BC＝3，E 是PD 的中点，点F 在PC 上，且PF＝2FC．
（1）证明：DF∥平面PAB；
（2）求三棱锥P﹣AEF 的体积．
5．（2023•新城区校级一模）在四棱锥P﹣ABCD 中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD 是菱形，E 是
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
PD 的中点，PA＝PD，AB＝2，∠ABC＝60°．
（1）证明：PB∥平面EAC．
（2）若四棱锥P﹣ABCD 的体积为
，求cos∠PCD．
6．（2023•开封三模）如图，四边形ABCD 是圆柱OO1的轴截面，EF 是圆柱的母线，P 是线段AD 的中点，
已知AB＝4，BC＝6．
（1）证明：BF⊥平面EPF；
（2）若直线AB 与平面EPF 所成角为60°，求三棱锥B﹣EPF 的体积．
7．（2023•咸阳模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BB1C1C 是边长为1 的正方形，侧面BB1C1C⊥侧
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
面AA1B1B，AB＝4，∠A1B1B＝60°，G 是A1B1的中点．
（1）求证：平面GBC⊥平面BB1C1C；
（2）若P 为线段BC 的中点，求三棱锥A﹣PBG 的体积．
8．（2023•河南三模）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝1，
CD＝2，M 是DD1的中点．
（1）证明：BC⊥B1M；
（2）若B1M⊥CM，求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．
9．（2023•南关区校级模拟）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1，AB⊥BC，AC⊥BB1，平面ABB1A1⊥平面
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
ABC，AB＝6，BC＝4，BB1＝2，AC1与A1C 相交于点D，
，且DE∥平面BCC1B1．
（1）求三棱锥C﹣A1B1C1的体积；
（2）求直线CC1与平面A1B1C 所成角的正弦值．
10．（2023•琼山区校级三模）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1，AB⊥BC，AC⊥BB1，平面ABB1A1⊥平面
ABC，AB＝6，BC＝4，BB1＝2，AC1与A1C 相交于点D，
，且DE∥平面BCC1B1．
（1）求三棱锥C﹣A1B1C1的体积；
（2）平面A1B1C 与平面ABC 所成角为α，CC1与平面A1B1C 所成角为β，求证：
．
11．（2023•兴庆区校级四模）在如图所示的几何体中，DE∥AC，AC⊥平面BCD，AC＝2DE＝4，BC＝
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2，DC＝1，∠BCD＝60°．
（1）证明：BD⊥平面ACDE；
（2）过点D 作一平行于平面ABE 的截面，画出该截面（不用说明理由），并求夹在该截面与平面ABE
之间的几何体的体积．
12．（2023•遂宁模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC 中，H 为△ABC 的内心，直线AH 与BC 交于M，∠PAB
＝∠PAC，∠PCA＝∠PCB．
（1）证明：平面PAM⊥平面ABC；
（2）若AB⊥BC，PA＝AB＝3，BC＝4，求三棱锥M﹣PAC 的体积．
13．（2023•郑州三模）已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积为
，其中AB＝2A1B1＝4．
（1）求侧棱AA1与底面ABCD 所成的角；
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）在线段CC1上是否存在一点P，使得BP⊥A1D？若存在请确定点P 的位置；若不存在，请说明理
由．
14．（2023•广州三模）如图，四棱锥P﹣ABCD 的底面为正方形，AB＝AP＝2，PA⊥平面ABCD，E，F 分
别是线段PB，PD 的中点，G 是线段PC 上的一点．
（1）求证：平面EFG⊥平面PAC；
（2）若直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值为
，且G 点不是线段PC 的中点，求三棱锥E﹣ABG 体积．
15．（2023•江西模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AB＝BC＝B1A＝B1C，D 是AC 的中点，
AB1⊥BD．
（1）证明：B1D⊥平面ABC；
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）若
，点B1到平面ACC1A1的距离为
，求三棱锥C1﹣A1B1C 的体积．
16．（2023•成都模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△A1B1C1与△AB1C1均是边长为2 的正三角形，且
AA1＝
．
（Ⅰ）证明：平面AB1C1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求四棱锥A﹣BB1C1C 的体积．
17．（2023•宛城区校级三模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2a 的正三角形，侧棱AA1
的长为
，D，D1分别是棱BC，B1C1的中点，平面ADD1A1⊥平面CBB1C1，且∠ADD1≠90°．
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（1）求证：BC⊥CC1；
（2）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为
，求它的体积．
18．（2023•长沙模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为4 的菱形，∠PAB＝∠DAB＝
，PA⊥PB，点E 在线段PB 上，CD⊥DE，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求四面体E﹣PAD 的体积；
（2）求直线DE 与平面CDP 所成角的正弦值．
19．（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥底面ABC，PA＝2，AB＝AC＝1，将
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
△PAB 绕着PA 逆时针旋转
到△PAD 的位置，得到如图所示的组合体，M 为PD 的中点．
（1）当∠BAC 为何值时，该组合体的体积最大，并求出最大值；
（2）当PC∥平面MAB 时，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值．
20．（2023•睢宁县校级模拟）在三棱台ABC﹣DEF 中，G 为AC 中点，AC＝2DF，AB⊥BC，BC⊥CF．
（1）求证：BC⊥平面DEG；
（2）若AB＝BC＝2，CF⊥AB，平面EFG 与平面ACFD 所成二面角大小为
，求三棱锥E﹣DFG 的体
积．
二．平面与平面垂直（共3 小题）
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
21．（2023•江西模拟）如图所示，圆锥的高
，底面圆O 的半径为1，延长直径AB 到点C，使得
BC＝1，分别过点A，C 作底面圆O 的切线，两切线相交于点E，点D 是切线CE 与圆O 的切点．
（1）证明：平面PDE⊥平面POD；
（2）点E 到平面PAD 的距离为d1，求d1的值．
22．（2023•开福区校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，点D 是BC 的中点，
点E 在AA1上，AD∥平面BC1E．
（1）求证：平面BC1E⊥平面BB1C1C；
（2）当三棱锥B1﹣BC1E 的体积最大时，求直线AC 与平面BC1E 所成角的正弦值．
23．（2023•奉贤区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD 的体积为
，
求PB 与平面ABCD 所成的线面角的大小．
三．直线与平面所成的角（共7 小题）
24．（2023•花都区校级模拟）图①是直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D＝90°，四边形ABCE 是边长为2 的
菱形，并且∠BCE＝60°，以BE 为折痕将△BCE 折起，使点C 到达C1的位置，且AC1＝
．
（1）求证：平面BC1E⊥平面ABED；
（2）在棱DC1 上是否存在点P，使得点P 到平面ABC1 的距离为
？若存在，求出直线EP 与平面
ABC1所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．
25．（2023•雅安三模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中、四边形ABB1A1是菱形，且∠ABB1＝60°，AB＝BC
＝2，CA＝CB1，CA⊥CB1，
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（1）证明：平面CAB1⊥平面ABB1A1；
（2）求直线BB1和平面ABC 所成角的正弦值；
26．（2023•白山四模）在四棱锥P﹣ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB||CD，AD＝DC＝1，AB＝
2，AC⊥PC．
（1）证明：平面ABCD⊥平面PBC．
（2）若
，求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值．
27．（2023•宁夏三模）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AB
＝AP＝BC＝1，AD＝2．
（1）求证：CD⊥平面PAC；
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）若E 为PC 的中点，求PD 与平面AED 所成角的正弦值．
28．（2023•贵阳模拟）如图所示，在四棱锥E﹣ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB∥CD，AB＝
CD，CD⊥CE，∠ADC＝∠EDC＝45°，AD＝
，BE＝
．
（1）求证：平面ABE⊥平面ABCD；
（2）设M 为AE 的中点，求直线DM 与平面ABCD 所成角的正弦值．
29．（2023•温州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AB∥CD，∠ABC＝90°，△ADP 是等边三角形，
AB＝AP＝2，BP＝3，AD⊥BP．
（Ⅰ）求BC 的长度；
（Ⅱ）求直线BC 与平面ADP 所成的角的正弦值．
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
30 ．（2023• 分宜县校级一模）在正△ABC 中，E ，F ，P 分别是AB ，AC ，BC 边上的点，满足
，将△AEF 沿EF 折起到△A1EF 的位置，使二面角A1﹣EF﹣B 成直二面角，连接
A1B，A1P．
（1）求证：A1E⊥平面BEP；
（2）求直线A1E 与平面A1BP 所成角的大小．
四．二面角的平面角及求法（共23 小题）
31．（2023•广西模拟）如图，在直角梯形ABCD 中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E 为AB
的中点，沿DE 将△ADE 折起，使得点A 到点P 位置，且PE⊥EB，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点
（与点B，C 不重合）．
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（Ⅰ）求证：平面EMN⊥平面PBC；
（Ⅱ）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M 的余弦值
？若存在，确定N 点位置；若不存在，说明
理由．
32．（2023•龙华区校级模拟）如图所示，四棱锥S﹣ABCD 中，平面SAD⊥平面ABCD，底面ABCD 是边
长为2 正方形，
，AC 与BD 交于点O，点E 在线段SD 上．
（1）求证：SA⊥平面ABCD；
（2）若OE∥平面SAB，求平面SAC 与平面EAC 所成夹角的余弦值．
33．（2023•商丘三模）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，四边形ABCD 为梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝AP
＝2DC＝4，PB＝2AD＝4
，M，N 分别是PD，PB 的中点．
（1）求证：直线MN∥平面ABCD；
（2）求平面MCN 与平面ABCD 夹角的余弦值．
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
34．（2023•保定三模）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，D1，F 分别是BC，B1C1，A1B1的中点，
，△ABC 的边长为2．
（1）求证：EF∥平面ADD1A1；
（2）若三棱柱的高为1，求二面角B﹣EF﹣C1的正弦值．
35．（2023•唐县校级二模）如图，在三棱台ABC﹣DEF 中，侧面ABED 与ACFD 均为梯形，AB∥DE，
AC∥DF，AB⊥BE，且平面ABED⊥平面ABC，AC⊥DE．已知AB＝BE＝AC＝1，DE＝DF＝2．
（1）证明：平面ABED⊥平面ACFD；
（2）求平面BEFC 与平面FCAD 的夹角的大小．
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
36．（2023•道里区校级四模）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AD＝4，BC＝2，∠DAB＝60°，
点E，F 在以AD 为直径的半圆上，且
＝
＝
，将半圆沿AD 翻折如图2．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）当多面体ABE﹣DCF 的体积为4 时，求平面ABE 与平面CDF 夹角的余弦值．
37．（2023•万州区校级模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，BC＝BB1，BC1∩B1C＝O，AO⊥平面
BB1C1C．
（1）求证：AB⊥B1C；
（2）若∠B1BC＝60°，直线AB 与平面BB1C1C 所成的角为30°，求二面角A1﹣B1C1﹣A 的正弦值．
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
38．（2023•杭州模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A′B′C′中，已知CB⊥平面ABB′A′，AB＝2，且
AB⊥BB′，A′C⊥AB′．
（1）求AA′的长；
（2）若D 为线段AC 的中点，求二面角A﹣B′C′﹣D 的余弦值．
39．（2023•徐州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，侧棱PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD 是矩形，
PA＝AD＝4，点M，N 分别为棱PB，PD 的中点，点E 在棱AD 上，AD＝3AE．
（1）求证：直线AM∥平面BNE；
（2）从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立．
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
①平面PAB 与平面PCD 的交线l 与直线BE 所成角的余弦值为
；
②二面角N﹣BE﹣D 的余弦值为
．
注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分．
40．（2023•锦州一模）如图一，△ABC 是等边三角形，CO 为AB 边上的高线，D，E 分别是CA，CB 边上
的点，
；如图二，将△CDE 沿DE 翻折，使点C 到点P 的位置，PO＝3．
（1）求证：OP⊥平面ABED；
（2）求二面角B﹣PE﹣F 的正弦值．
41 ．（2023• 武功县校级模拟）如图，四边形ACC1A1 与四边形BCC1B1 是全等的矩形，AB ＝
．
（1）若P 是AA1的中点，求证：平面PB1C1⊥平面PB1C；
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）若P 是棱AA1 上的点，直线BP 与平面ACC1A1 所成角的正切值为
，求二面角B1﹣PC﹣C1
的余弦值．
42．（2023•海淀区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD 为菱形，E，F 分
别为AB，PD 的中点．
（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）若
，二面角E﹣FC﹣D 的大小为45°，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为
已知．求PD 的长．
条件①：DE⊥PC；条件②：PB＝PC．
43．（2023•枣强县校级模拟）如图，△ABC 和△BCD 都是边长为2 的正三角形，且它们所在平面互相垂
直．DE⊥平面BCD，且
．
（1）设P 是DE 的中点，证明：AP∥平面BCD．
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）求二面角B﹣AE﹣C 的正弦值．
44．（2023•密云区三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，
AD⊥MN，AB＝2，AD＝AP＝4，M，N 分别是BC，PD 的中点．
（1）求证：MN∥平面PAB；
（2）求二面角N﹣AM﹣B 的余弦值．
45．（2023•日喀则市模拟）如图，已知直角梯形ABCD 与ADEF，2DE＝2BC＝AD＝AB＝AF＝2，
AD⊥AF，ED∥AF，AD⊥AB，BC∥AD，G 是线段BF 上一点．
（1）平面ABCD⊥平面ABF；
（2）若平面ABCD⊥平面ADEF，设平面CEG 与平面ABF 所成角为θ，是否存在点G，使得
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，若存在确定G 点位置；若不存在，请说明理由．
46．（2023•郑州模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，D 为AC 的中点，AB＝BC＝2，∠AA1B1＝
∠B1BC．
（1）证明：BB1⊥AC；
（2）若BB1⊥BC，直线AB1 与平面BCC1B1 所成的角的正弦值为
，二面角A﹣BB1﹣C 的大小为
60°，求二面角B﹣B1D﹣C1的余弦值．
47．（2023•招远市模拟）如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，BC＝2，∠ACB＝60°，E 为AB 中点，过点E
作ED 垂直AC 于D，将△ADE 沿ED 翻折，使得面ADE⊥面BCDE，点M 是棱AC 上一点，且BM∥面
ADE．
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（1）求
的值；
（2）求二面角M﹣BE﹣C 的余弦值．
48．（2023•凯里市校级模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，AB1＝B1C．
（1）证明：AC⊥B1B；
（2）若AB＝BB1＝2，AB1＝
，∠ABC＝120°，求二面角A﹣BB1﹣C 的余弦值．
49．（2023•合肥三模）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD 和侧面ABB1A1都是边长为2 的
菱形，平面ABCD⊥平面ABB1A1，A1B⊥B1D．
（1）求证：四边形ABCD 是正方形；
（2）若∠A1AB＝60°，求二面角A﹣B1C﹣B 的余弦值．
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
50．（2023•安徽模拟）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，
．
（1）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；
（2）设E 为棱BC 的中点，线段AC，DE 交于点F，C1F⊥平面ABCD，且C1F＝2，求平面ABC1与平
面CBC1的夹角的余弦值．
51．（2023•盱眙县校级四模）如图，在平面五边形ABCDE 中△ADE 是边长为2 的等边三角形，四边形
ABCD 是直角梯形，其中AD∥BC，AD⊥DC，BC＝1，CD＝
．将△ADE 沿AD 折起，使得点E 到达
点M 的位置，且使BM＝
．
（1）求证：平面MAD⊥平面ABCD；
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）设点P 为棱CM 上靠近点C 的三等分点，求平面PBD 与平面MAD 所成的二面角的正弦值．
52．（2023•市中区校级模拟）在直角梯形AA1B1B 中，A1B1∥AB，AA1⊥AB，AB＝AA1＝2A1B1＝6，直角
梯形AA1B1B 绕直角边AA1旋转一周得到如下图的圆台A1A，已知点P，Q 分别在线段CC1，BC 上，二
面角B1﹣AA1﹣C1的大小为θ．
（1）若θ＝120°，
，AQ⊥AB，证明：PQ∥平面AA1B1B；
（2）若θ＝90°，点P 为CC1上的动点，点Q 为BC 的中点，求PQ 与平面AA1C1C 所成最大角的正切值，
并求此时二面角Q﹣AP﹣C 的余弦值．
53．（2023•安徽模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D 为A1B 上一点，AD⊥平面A1BC．
（1）求证：BC⊥A1B；
（2）若
，AB＝BC＝2，P 为AC 的中点，求二面角A﹣A1B﹣P 的余弦值．
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
五．点、线、面间的距离计算（共7 小题）
54．（2023•郑州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥AB，PD＝DC＝
4，AB＝AD＝2．
（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（2）求点D 到平面PBC 的距离．
55．（2023•琼海校级模拟）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝4，AB＝2，点M，N，P 分
别是BB1，B1C1，BC 的中点，点Q 为棱CC1上一点，且直线AA1和PQ 所成的角为
．
（1）求证：PQ∥平面AMN；
32
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）求点P 到平面AMN 的距离．
56．（2023•安康模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD 是正方形，E，F，G
分别是棱BC，AD，PA 的中点．
（1）证明：PE∥平面BFG；
（2）若AB＝2，求点C 到平面BFG 的距离．
57．（2023•甘肃模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB＝PD．
（1）证明：BD⊥PC；
（2）若
，PB＝AB＝BD＝2，求点A 到平面PCD 的距离．
33
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
58．（2023•新余二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝
2，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 的中点．
（1）证明：AE⊥平面PBC；
（2）求点P 到平面AEF 的距离．
59．（2023•红桥区二模）如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC
＝4．E 是PD 的中点，
（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）求平面EAC 与平面ACD 夹角的余弦值；
34
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（Ⅲ）求B 点到平面EAC 的距离．
60．（2023•陵水县模拟）已知四棱锥S﹣ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA⊥底面ABCD，E 是SC 上的任
意一点．
（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（2）设SA＝4，AB＝2，求点A 到平面SBD 的距离．
1.求点到平面的距离的四步骤
35
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；
(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；
(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角．
3.利用向量法求两平面夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；
(3)求两个法向量的夹角；
(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)
4．表面积与体积公式
（1）棱柱的体积公式：设棱柱的底面积为S，高为h，V 棱柱＝S×h．
（2）棱锥的体积公式：设棱锥的底面积为S，高为h，V 棱锥= 1
3Sh．
（3）棱台的体积公式：设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V 棱台= 1
3 ×(S+ S' +√S×S' )×h．
（4 ）圆柱的体积和表面积公式：设圆柱底面的半径为r ，高为h(母线长l)，则
{
V 圆柱= π r
2h
S圆柱=2×π r
2+2πrl =2πr(r +l)．
（5 ）圆锥的体积和表面积公式：设圆锥的底面半径为r ，高为h(母线长l)，母线长为l ：
{
V 圆锥= 1
3 π r
2h
S圆锥= π r
2+ πrl = πr(r +l)
．
（6）圆台的体积和表面积公式：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
36
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
{
V 圆台= 1
3 πh(r
2+ R
2+ Rr )
S圆台= π r
2+ π R
2+ πrl+ πRl = π(r
2+ R
2+rl+ Rl)
．
（7）球的体积和表面积：设球体的半径为R，V 球体= 4
3 π R
3，S 球体＝4πR2．
5．直线和平面所成的角：
一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为
两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的
环节：
（1）作出斜线与射影所成的角．
（2）论证所作（或找到的）角就是要求的角．
（3）常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）回答求解问题．
6．线面角的求解方法：
传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解
直角三角形求得．
向量求法：设直线l 的方向向量为a
→，平面的法向量为u
→，直线与平面所成的角为θ，a
→与u
→的夹角为
φ，则有sinθ＝|cos φ|=| a
→
⋅u
→
|
| a
→
||u
→
|
．
37
