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知识点4：运动的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
运动追及相遇问题的解题方法：
（1）物理法（临界条件法）：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审
题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图。
物体B 追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若
xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB<xA＋x0，则不能追上．
（2）数学法（二次函数法）：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距
离Δx 与时间t 的二次函数关系，Δx＝0 时，表示两者相遇．
①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇．
当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值．
（3）图象法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．若用位移—时间图像求解，如果两
个物体的位移—时间图像相交，则说明两物体相遇。v－t 图象在已知出发点的前提下，可
由图象“面积”判断相距最远、最近及相遇．
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经
停止运动。
考点一：运动图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
常规运动图像中的追及相遇问题的处理技巧：
（1）识图像画草图：首先用函数斜率面积法，对给出运动图像的截距、交点、拐点、面积、
斜率进行识别，然后根据图像所反映的物体的运动情况，画出物体的运动草图。
（2）找关系列方程：根据运动草图反映的物理过程，找出物体运动的时间关系、位移关系、
速度关系。列出物体的运动学方程，求出结果并对结果的合理性进行讨论。
题型一：xt 图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
x－t 图像中的追及相遇问题：xt 图像中两图线的交点表示两物体相遇。
【典例1 基础题】甲、乙两物体零时刻开始从同一地点向同一方向做直线运动，位移—时
间图像如图所示，则在0～t1时间内( )
A．甲的速度总比乙大 B．甲、乙位移相同
C．甲经过的路程比乙小 D．甲、乙均做加速运动
【典例1 基础题】【答案】B
【解析】位移—时间图像中，图线斜率大小等于物体速度大小。由图可知，甲做匀速直线
运动，乙做变速直线运动，D 错误；靠近t1时刻时乙的斜率大于甲的斜率，即乙的速度大
于甲的速度，故A 错误；在该时间段内，甲、乙物体的初位置和末位置相同，故位移相同，
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B 正确；由于甲、乙物体做的是单向直线运动，故位移大小等于路程，两者的路程也相同，
故C 错误。
【典例1 基础题对应练习】（多选）甲、乙两物块在同一直线上运动的x－t 图像如图所
示，乙物块做匀变速运动，加速度大小为0.2 m/s2，两图线相切于坐标点(5 s，－3
m)，下列说法正确的是( )
A. 前5 s 内甲、乙的运动方向一直相同
B. t＝5 s 时甲、乙相遇且速度相同
C. 乙的初速度大小为1.8 m/s
D. t＝0 时甲、乙相距2.8 m
【典例1 基础题对应练习】【答案】AB
【解析】x-t 图像斜率表示速度，前5 s 内甲、乙的斜率一直为负，运动方向一直相同，
A 项正确；t＝5 s 时甲、乙斜率相同，位移、时间都相同，所以甲、乙相遇且速度相同，
B 项正确；由甲图线知t＝5 s 时，速度大小为0.6 m/s，乙做匀变速运动，有v＝v0＋
at，解得乙的初速度v0＝－1.6 m/s，C 项错误；乙的位置坐标x＝x0＋v0t＋at2，代入(5
s，－3 m)及v0的值，可得x0＝2.5 m，D 项错误。
题型二：vt 图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
v－t 图像中的追及相遇问题：
①vt 图像中两图线的交点表示该时刻两物体的速度相等，并非相遇。
②v－t 图线(或切线)的斜率表示物体的加速度．v－t 图线与t 轴所围“面积”表示这段时间
内物体的位移．
③有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．
【典例2 基础题】（多选）甲、乙两车在一条平直的公路上同向并排行驶，t＝0 时刻甲车
开始刹车，甲车的速度随时间变化的图像如图甲所示；以t＝0 时刻甲车所在位置为坐标原
点，以甲车速度方向为正方向，乙车的位置随时间变化的图像如图乙所示，图像为顶点在
x＝30 m 处的抛物线的一部分．下列说法正确的是( )
A. 乙车在做匀变速直线运动，加速度大小为4.5 m/s2
B. 当t＝2 s 时，乙车在甲车前方10 m 处
C. 当t＝4 s 时，两车速度大小相等
D. 在0～7 s 内，两车共相遇两次
【典例2 基础题】【答案】CD
【解析】由题意结合题图乙知，乙车做初速度为零的匀加速直线运动，根据运动学公式及
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题图乙中数据，由x＝30 m＋a2t2，可得a2＝2.5 m/s2，故A 错误；由v－t 图像的斜率可得
甲车的加速度大小为a1＝
＝2.5 m/s2，t＝0 时，甲车在x1＝0 处，乙车在x2＝30 m 处，t
＝2 s 时，甲车的位置x1′＝v0t－a1t2＝35 m，乙车的位置x2′＝x2＋a2t2＝35 m＝x1′，即两
车在t＝2 s 时相遇，故B 错误；t＝4 s 时，甲车的速度v1＝v0－a1t＝10 m/s，乙车的速度v2
＝a2t＝10 m/s＝v1，故C 正确；t＝2 s 时甲车追上乙车，t1＝7 s 时甲车的位置x1″＝v0t1－
a1t1
2＝78.75 m，乙车的位置x2″＝x2＋a2t1
2＝91.25 m>x1″＝78.75 m，所以在0～7 s 内，两
车共相遇两次，故D 正确．
【典例2 基础题对应练习】一辆汽车出厂前需经过多项严格的质量检测，才能被贴上“产
品合格证”和“3C 强制产品认证”标识，其中的转翼检测就是进行低速实验，检测多项安
全性能，在水平平行的两条车道上检测甲、乙两车，在t＝0 时刻，甲、乙两车并排，两车
的速度－时间关系图像如图所示，则0～6 s 内( )
A. 在t＝1 s 时，两车相距最远
B. 在t＝2 s 时，乙车改变运动方向
C. 在t＝4 s 时，甲车在乙车前
D. 甲、乙两车相遇两次
【典例2 基础题对应练习】【答案】D
【解析】由题意知在t＝0 时刻，甲、乙两车并排，由题图可知当t＝1 s 时和t＝4 s 时两车
共速．因为v－t 图像中图线与t 轴所围面积表示位移，由题图知当t＝1 s 时甲车在乙车前
面且两车距离为Δx1＝×1×10 m＝5 m，t＝4 s 时乙车在甲车前面且两车距离为Δx2＝
×2×10 m＝10 m，所以t＝4 s 时两车相距最远，故A、C 错误；由题图知0～6 s 内乙车速度
一直为正，故速度方向未改变，故B 错误；因为v－t 图像中图线与t 轴所围面积表示位移，
由题图可得甲、乙两车相遇两次，分别是t＝2 s 和t＝6 s，故D 正确．
考点二：行车安全与生活实际的追及相遇问题
题型一：行车安全中速度小者追速度大者
情景
图像
说明
匀加速追匀速
①t＝t0 以前，后面物体与前面物体间距离增
大
②t＝t0时，两物体相距最远，为x0＋Δx(x0为
两物体初始距离)
③t＝t0 以后，后面物体与前面物体间距离减
小
④能追上且只能相遇一次
匀速追匀减速
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匀加速追匀减速
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已
经停止运动.
类型一：匀加速追匀速模型
【典例1a 基础题】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度
开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s 的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车
从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
【典例1a 基础题】【答案】2 s 6 m
【解析】解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，
两车间的距离为Δx，则有v＝at，所以t＝＝2 s，Δx＝vt－at2＝6 m。解法二(极值法)：设
汽车在追上自行车之前经过时间t 两车相距最远，则Δx＝vt－at2，代入已知数据得Δx＝6t
－t2
由二次函数求极值的条件知：t＝2 s 时，Δx 有最大值6 m，所以t＝2 s 时两车相距最远，为
Δx＝6 m。解法三(图像法)：自行车和汽车的v－t 图像如图所示，由图可以看出，在相遇
前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，
v1＝6 m/s，所以有t1＝＝ s＝2 s，Δx＝＝ m＝6 m.
【典例1a 基础题对应练习】一辆值勤的警车停在一条长直公路的路边，当警员发现从他旁
边以v＝8 m/s 的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经Δt＝2.5 s 警车发动
起来，以加速度a＝2 m/s2做匀加速直线运动。
（1）警车发动起来后要多长时间才能追上违章的货车？
（2）若警车能达到的最大速度vmax＝12 m/s，达到最大速度后以该速度匀速行驶，则警车
发动起来后要多长时间才能追上违章的货车？
（3）警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？
【典例1a 基础题对应练习】【答案】(1)10 s（2）14 s(3)36 m
【解析】解法一：物理分析法
(1)设警车经时间t1追上违章货车，则对警车有x1＝at
对货车有x1＝v(t1＋Δt)联立解得t1＝10 s(另一解不合题意已舍去)。
(2)设警车发动起来后经t0时间速度达到最大，经t2时间追上货车，则有vmax＝at0
t0＋vmax(t2－t0)＝v(t2＋Δt)联立上述两式，并代入数据解得t2＝14 s。
(3)警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时，它们之间的距离最大，设警车发动后经
过t3时间两车的速度相等，有v＝at3，则t3时间内，货车的位移大小x1＝v(t3＋Δt)
则t3时间内，警车的位移大小x2＝at，两车间的最大距离Δx＝x1－x2＝36 m。
解法二：图像法
(1)警车、货车的速度—时间图像如图甲所示。
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警车追上货车时，图甲中两块阴影面积相等，则8×(t1＋2.5)＝v1t1，对警车有v1＝2t1
联立以上两式，并代入数据解得t1＝10 s(另一解不合题意已舍去)。
故警车发动起来后经过10 s 才能追上违章的货车。
(2)若警车能达到的最大速度是vmax＝12 m/s，则警车、货车的速度—时间图像如图乙所示。
警车追上货车时，图乙中两块阴影面积相等，则8×(t2＋2.5)＝[(t2＋2.5－8.5)＋t2]×12
解得t2＝14 s。故此种情况下，警车发动起来后经过14 s 才能追上违章的货车。
(3)由图甲知，警车在追赶货车的过程中，当t＝6.5 s 时两车间的距离最大，且为Δx＝×(2.5
＋6.5)×8 m＝36 m。
类型二：匀加速追匀减速模型
【典例1b 基础题】某公交车从站点出发，由静止开始做匀加速直线运动，行驶10m 时，
发现站点上还有一名乘客没有上车，正不停向司机招手示意公交车停下，司机立即刹车做
匀减速直线运动至停车。与此同时乘客立即由静止开始匀加速追赶，公交车停止运动时该
乘客恰好赶到。公交车从启动到停止总共历时10s，行进了25m。人和车均可视为质点。
求：
（1）公交车运行的最大速度；
（2）追赶公交车过程中该乘客的加速度大小。(结果保留2 位有效数字)
【典例1b 基础题】【答案】(1)4s；(2)1.4m/s2
【解析】(1)设公交车运行的最大速度为v，加速过程所用时间为t1，位移为x1，减速过程所
用时间为t2，由运动学规律可得
，
，其中
，联
立解得
，
(2)设人追赶车的加速度为a，由运动学公式有
，得
【典例1b 基础题】公交车已成为现代城市交通很重要的工具，它具有方便、节约、缓解城
市交通压力等许多作用．某日，某中学黄老师在家访途中向一公交车站走去，发现一辆公
交车正从身旁平直的公路驶过，此时，他的速度是1 m/s，公交车的速度是15 m/s，黄老师
距车站的距离为50 m．假设公交车在行驶到距车站25 m 处开始刹车，刚好到车站停下，
停车时间为8 s．而黄老师因年龄、体重、体力等因素最大速度只能达到6 m/s，最大起跑
加速度只能达到2.5 m/s2.
（1）若公交车刹车过程视为匀减速运动，其加速度大小是多少？
（2）试计算分析，黄老师是应该上这班车，还是等下一班车．
【典例1b 基础题】【答案】（1）4.5 m/s2（2）黄老师应该上这班车
【解析】(1)公交车刹车的加速度a1＝＝ m/s2＝－4.5 m/s2，故其加速度的大小为4.5 m/s2.
(2)公交车从相遇处到开始刹车用时t1＝＝ s＝ s，公交车刹车过程用时t2＝＝ s，黄老师以
最大加速度加速达到最大速度用时t3＝＝ s＝2 s，黄老师加速过程中的位移x2＝t3＝7 m，
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以最大速度跑到车站的时间t4＝＝ s≈7.2 s，t1＋t2<t3＋t4<t1＋t2＋8 s 所以黄老师应该上这班
车。
【典例1b 基础题对应练习】某天，强强同学在上学途中沿平直人行道以v1＝1 m/s 速度向
到校的3 路公交站台走去，发现3 路公交车正以v2＝15 m/s 速度从身旁的平直公路同向匀
速驶过，此时他距站台x＝50 m。为了乘上该公交车去学校，他开始尽全力加速向前跑
去，其最大加速度为a1＝2.5 m/s2，能达到的最大速度vm＝6 m/s。假设公交车在行驶到距
站台x0＝25 m 处开始刹车，刚好到站台停下。强强上车后公交车再启动向前开去。(不计
车长)求：
（1）若公交车刹车过程视为匀减速运动，其加速度a 的大小；
（2）公交车刚停下时，强强距站台至少还有多远。
【典例1b 基础题对应练习】【答案】(1)4.5 m/s2 (2)25 m
【解析】(1)由v2－v＝2ax0得公交车加速度为：a＝－4.5 m/s2(2)公交车从相遇处到开始刹
车所用时间：t1＝＝ s＝ s，刹车过程所用时间：t2＝＝ s，公交车从相遇到停下所用时间t
＝t1＋t2＝5 s，强强以最大加速度加速达到最大速度所用时间：t3＝＝ s＝2 s，通过的位
移：x1＝(v1＋vm)t3＝7 m，匀速运动的时间：t4＝t－t3＝3 s，匀速运动的位移：x2＝vmt4＝18
m，Δx＝x－x1－x2＝25 m。
类型三：匀速追匀减速模型
【典例1c 基础题】小明到汽车站时，车已经沿平直公路驶离车站，司机听到呼喊后汽车马
上以2 m/s2的加速度匀减速刹车，设小明同时以4 m/s 的速度匀速追赶汽车，汽车开始刹
车时速度为8 m/s，减速前距离小明12 m．则小明追上汽车所需的时间为( )
A．6 s B．7 s C．8 s
D．9 s
【典例1c 基础题】【答案】B
【解析】汽车速度减为0 的时间为t1＝＝4 s，汽车速度减为0 的位移为x＝＝ m＝16 m，
小明追上汽车的位移x′＝x0＋x＝(12＋16) m＝28 m，小明追上汽车的时间t＝＝ s＝7
s>t1，所以小明追上汽车所需的时间为7 s，故B 正确，A、C、D 错误．
【典例1c 基础题对应练习】汽车A 以vA＝4 m/s 的速度向右做匀速直线运动，发现前方相
距x0＝7 m 处、以vB＝10 m/s 的速度同向运动的汽车B 正开始匀减速刹车直到静止后保持
不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2.从刚刹车开始计时．求：
（1）A 追上B 前，A、B 间的最远距离；
（2）经过多长时间A 恰好追上B.
【典例1c 基础题对应练习】【答案】(1)16 m (2)8 s
【解析】汽车A 和B 的运动过程如图所示．
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(1)当A、B 两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即v＝vB－at＝vA，触得t＝3 s 此时汽
车A 的位移xA＝vAt＝12 m，汽车B 的位移xB＝vBt－at2＝21 m，故最远距离Δxmax＝xB＋x0
－xA＝16 m.(2)汽车B 从开始减速直到静止经历的时间t1＝＝5 s，运动的位移xB′＝＝25 m
汽车A 在t1时间内运动的位移xA′＝vAt1＝20 m，此时相距Δx＝xB′＋x0－xA′＝12 m，汽
车A 需再运动的时间t2＝＝3 s，故A 追上B 所用时间t 总＝t1＋t2＝8 s.
题型二：行车安全中速度大者追速度小者
【知识思维方法技巧】
情景
图像
说明
匀减速追匀速
开始追赶时，两物体间距离为x0，之后两物体间的
距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：
①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，
这也是避免相撞的临界条件
②若Δx<x0，则不能追上，此时两物体最小距离为
x0－Δx
③若Δx>x0，则相遇两次，设t1 时刻Δx＝x0，两物
体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇(t2－t0＝
t0－t1)
匀速追匀加速
匀减速追匀加速
类型一：匀减速追匀速模型
【典例2a 基础题】一辆轿车在平直公路的一条车道上以72 km/h 的速度匀速行驶，突然发
现其正前方120 m 处有一辆货车同向匀速前进，于是轿车紧急刹车做匀减速运动，若轿车
刹车过程的加速度大小为a＝1 m/s2，两车相距最近时，距离为22 m，忽略司机的反应时
间，则货车的速度大小为( )
A. 21.6 km/h
B. 18 km/h
C. 16 km/h
D. 12 km/h
【典例2a 基础题】【答案】A
【解析】轿车速度为v 轿＝72 km/h＝20 m/s，设货车速度为v 货，当二者速度相等时，距离
最近，有t＝
；
t＋22 m＝v 货t＋120 m，解得：v 货＝6 m/s＝21.6 km/h，故A
正确，B、C、D 错误．
【典例2a 基础题对应练习】A、B 两辆列车在能见度很低的雾天里在同一轨道上同向行驶，
A 车在前，速度vA＝10 m/s，B 车在后，速度vB＝30 m/s.当B 车发现A 车时就立刻刹车．
已知B 车在进行刹车测试时发现，若车以30 m/s 的速度行驶时，刹车后至少要前进1800 m
才能停下，假设B 车刹车过程中加速度恒定．为保证两辆列车不相撞，则能见度至少要达到
( )
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A．400 m B．600 m C．800 m
D．1600 m
【典例2a 基础题对应练习】【答案】C
【解析】解法一：基本公式法
对B 车，由运动学公式有0－v＝2ax，解得a＝ m/s2＝－0.25 m/s2，所以B 车刹车的最大加
速度为0.25 m/s2，当B 车速度减小到v＝10 m/s 时，两车相距最近，此时B 车的位移为x1
＝，A 车的位移x2＝vAt，t＝，联立解得x1＝1 600 m，x2＝800 m，能见度至少为Δx＝x1－
x2＝800 m，选项C 正确．
解法二：相对运动法
对B 车，由运动学公式有0－v＝2ax，解得a＝ m/s2＝－0.25 m/s2，选A 车为参考系，B 车
相对A 车的初速度为v0 相对＝vB－vA＝30 m/s－10 m/s＝20 m/s，相对加速度为－0.25 m/s2，
当两车速度相等时相距最近，此时两车不相撞，则以后也不能相撞，所以此时B 车相对A
车的速度为v 相对＝0，由运动学公式有v－v＝2ax 相对，代入数据得相对位移x 相对＝800 m，
选项C 正确．
解法三：图象法
对B 车，由运动学公式有0－v＝2ax，解得a＝ m/s2＝－0.25 m/s2，作出A、B 两车运动过
程中的速度—时间图象如图所示，
图线的交点的横坐标为两车速度相等的时刻，有t＝＝80 s，当两车速度相等时相距最近，
此时两车不相撞，则以后也不能相撞，由v－t 图象与时间轴所围面积表示位移可知，图象
中阴影三角形的面积为能见度的最小值，则xmin＝×(30－10)×80 m＝800 m，选项C 正确．
答案：C
方法感悟：解法一注重对过程的分析，抓住两车间距离为极值时速度应相等这一关键条件
来求解；解法二通过巧妙地选取参考系，使两车的运动关系变得简明；解法三通过图象使
两车的速度和位移关系更直观．运动学问题虽然处理方法较多，但同学们仍要以最为常规
的解法为主，如本题的解法一，不必过于纠结其他解法．
类型二：匀减速追匀加速模型
【典例2b 基础题】一汽车在直线公路段上以54 km/h 的速度匀速行驶，突然发现在其正前
方14 m 处有一辆自行车以5 m/s 的速度同向匀速行驶。经过0.4 s 的反应时间后，司机开始
刹车，则：
（1）为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
（2）若汽车刹车时的加速度只为4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速
度匀加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
【典例2b 基础题】【答案】(1)5 m/s2 (2)1 m/s2
【解析】(1)设汽车的加速度大小为a，初速度v 汽＝54 km/h＝15 m/s，初始距离d＝14 m
自行车的位移为x 自＝v 自(t＋t0)汽车的位移为x 汽＝v 汽(t＋t0)－at2，假设汽车能追上自行车，
此时有x 汽＝x 自＋d 代入数据整理得at2－10t＋10＝0，要保证不相撞，即此方程至多只有一
个解，即得Δ＝102－20a≤0 解得a≥5 m/s2所以，为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为5
m/s2。
(2)设自行车加速度为a′，同理可得v 汽(t＋t0)－a 汽t2＝v 自(t＋t0)＋a′t2＋d，整理得(a′＋2)t2－
10t＋10＝0，要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得Δ＝102－20a′－80≤0，解得
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a′≥1 m/s2，所以，自行车的加速度至少为1 m/s2才能保证两车不相撞。
【典例2b 基础题对应练习】在水平轨道上有两列火车A 和B 相距x，A 车在后面做初速度
为v0、加速度大小为2a 的匀减速直线运动，而B 车同时做初速度为零、加速度为a 的匀加
速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A 车的初速度v0满足什么条件．
【典例2b 基础题对应练习】【答案】v0≤
【解析】(图象法)：利用速度—时间图象求解，先作A、B 两车的速度—时间图象，其图象
如图所示，设经过t 时间两车刚好不相撞，则对A 车有vA＝v＝v0－2at，对B 车有vB＝v＝
at，
以上两式联立解得t＝.经t 时间两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离x，它可用图
中的阴影面积表示，由图象可知x＝v0·t＝v0·＝，所以要使两车不相撞，A 车的初速度v0应
满足的条件是v0≤．
类型三：匀减速追匀减速模型
【典例2c 基础题】交通路口是交通事故的多发地，驾驶员到交通路口时应格外小心。现有
甲、乙两汽车正沿同一平直马路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均
为v0＝9 m/s。当两车快要到十字路口时，甲车司机看到路灯已转换成黄灯，立即紧急刹
车，乙车司机为了避免与甲车相撞也紧急刹车。已知甲车刹车时的加速度大小为a1＝5
m/s2，乙车紧急刹车时的加速度大小为a2＝4.5 m/s2，乙车司机的反应时间为Δt＝0.5 s(乙车
司机看到甲车刹车0.5 s 后开始刹车)。
（1）若甲车司机看到路灯转换成黄灯时车头距离停车线9 m，他采取上述措施能否避免闯
停车线？
（2）为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车在行驶过程中应保持多大的距离？
【典例2c 基础题】【答案】(1)甲车能避免闯停车线 (2)5.4 m
【解析】(1)设甲车减速到零的位移大小为x 甲，根据速度位移公式可得v0
2＝2a1x 甲，代入数
据可解得x 甲＝8.1 m<9 m，由此可知甲车能避免闯停车线。(2)由题意分析可知，在刹车的
整个过程中两车间的距离在逐渐减小。设乙车减速到零的位移大小为x 乙，则有v0
2＝2a2x
乙，代入数据解得x 乙＝9 m，乙车在司机反应时间内的位移大小为x 乙′＝v0Δt＝4.5 m。设
甲、乙两车应保持的距离为Δx，由题分析可知，要保证不相撞，应满足x 乙＋x 乙′≤x 甲＋
Δx，代入数据可得Δx≥5.4 m。
类型四：匀速追匀速模型
【典例2d 基础题】有一人在平直马路边漫步(速度不变)，他发现每隔t1时间有一路公共汽
车迎面开过，他还发现每隔t2时间有一辆这路公共汽车从身后开过(公共汽车匀速行驶)，于
是他计算出这路车从汽车站发车的时间间隔是( )
A． B． C．
D．
【典例2d 基础题】【答案】D
【解析】设车的速度是a，人的速度是b，每隔t 时间发一辆车。两辆车之间的距离是：at
车从前面来是相遇问题，人与车之间的距离也是：at，那么：at＝t1(a＋b)，车从背后超过
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是一个追及问题，那么：at＝t2(a－b)。则可知，t1(a＋b)＝t2(a－b)，化简得：b＝
所以，at＝t1(a＋b)＝t1化简得：t＝t1，从而得出t＝，故D 正确，A、B、C 错误。
类型五：匀速追匀加速模型
【典例2e 基础题】一步行者以6.0 m/s 的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距
汽车25 m 处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则( )
A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m
B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m
C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m
D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远
【典例2e 基础题】【答案】B
【解析】在跑到距汽车25 m 处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2 的加速度匀加速启动前
进，当汽车加速到6.0 m/s 时二者相距最近．汽车加速到6.0 m/s 所用时间t＝6 s，人运动
距离为6×6 m＝36 m，汽车运动距离为18 m，二者最近距离为18 m＋25 m－36 m＝7
m，A、C 错误，B 正确；人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离先减小后增大，D
错误．
题型三：体育运动的追及相遇问题
类型一：足球运动的追及相遇问题
【典例3a 基础题】足球比赛中，经常使用“边路突破、下底传中”的战术，即攻方队员带
球沿边线前进，到底线附近进行传中。如图所示，某足球场长90 m、宽60 m，攻方前锋
在中线处将足球沿边线向前踢出，足球在地面上的运动可视为初速度为12 m/s 的匀减速直
线运动，减速过程的加速度大小为2 m/s2。
（1）足球从开始减速到停下来的位移为多大？
（2）若足球开始做匀减速直线运动的同时，该前锋队员沿边线向前追赶足球，该队员的启
动过程可视为初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，他能达到的最大速度为8
m/s，则该前锋队员经过多长时间才能追上足球？
【典例3a 基础题】【答案】(1)36 m (2)6.5 s
【解析】(1)设足球初速度大小为v0，加速度大小为a1，足球做匀减速直线运动的时间为
t1，位移为x1，则有v0＝a1t1，x1＝t1，代入数据可解得t1＝6 s，x1＝36 m。
(2)设前锋队员的加速度大小为a2，最大速度为vm，前锋队员加速到最大速度所用时间为
t2，位移为x2，则有vm＝a2t2，x2＝t2，代入数据可解得t2＝4 s，x2＝16 m。
前锋队员加速到最大速度时，足球的位移x1′＝v0t2－a1t2
2＝32 m，故此时队员没有追上足
球。之后前锋队员做匀速直线运动，到足球停止运动时，设前锋队员匀速运动的位移为
x3，则有x3＝vm(t1－t2)，解得x3＝16 m。由于x1>x2＋x3，故当足球停止运动时，前锋队员
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仍没有追上足球，设前锋队员又运动了t3时间才追上足球，则有x1－(x2＋x3)＝vmt3，代入
数据解得t3＝0.5 s。故前锋队员追上足球所用的总时间t＝t1＋t3＝6.5 s。
【典例3a 基础题】如图所示，某标准足球场长105 m、宽68 m。攻方前锋在中线处将足球
沿边线向前踢出，足球的运动可视为在地面上做初速度为12 m/s 的匀减速直线运动，加速
度大小为3 m/s2。则：
(1)足球从开始做匀减速直线运动到停下来的位移大小？
(2)足球开始做匀减速直线运动的同时，该前锋队员沿边线向前追赶足球。他的启动过程可
以视为初速度为零、加速度大小为4 m/s2的匀加速直线运动，他能达到的最大速度为8
m/s，该前锋队员至少经过多长时间能追上足球？
【典例3a 基础题】【答案】(1)24 m (2)4 s
【解析】(1)根据运动学公式有x＝
＝
m＝24 m，(2)该队员的速度达到最大速度
所用时间t1＝
＝
s＝2 s，此时队员的位移为x1＝a2t1
2＝×4×22m＝8 m。此时足球的
位移为x1′＝v0t1＋a1t1
2＝12×2 m－×3×22m＝18 m，足球的速度v1′＝v0＋a1t1＝6 m/s，此时
队员与足球相距s＝10 m。设此后用时t2追上足球，则有vmt2＝v1′t2＋a1t2
2＋s，解得t2＝2
s(另一解不符合实际，舍去)此时足球速度v1″＝v1′＋a1t2＝0，足球恰好停止，故前锋队员追
上足球至少经过t＝t1＋t2＝4 s。
类型二：接力运动的追及相遇问题
【典例3b 基础题】如图所示，甲、乙两个同学在直跑道上练习4×100 m 接力，他们在奔
跑时有相同的最大速度。乙从静止开始全力奔跑需跑出25 m 才能达到最大速度，这一过程
可看成匀变速直线运动。现在甲持棒以最大速度向乙奔来，乙在接力区伺机全力奔出。若
要求乙接棒时奔跑达到最大速度的80%，则：
（1）乙在接力区需跑出多少距离？
（2）乙应在距离甲多远时起跑？
【典例3b 提高题】【答案】(1)16 m (2)24 m
【解析】(1)乙起跑后做初速度为零的匀加速直线运动，设其加速度为a，v2＝2ax。
乙接棒时奔跑达到最大速度的80%，得v1＝v×80%，v＝2ax 乙，x 乙＝＝16 m。
乙在接力区需跑出的距离为16 m。(2)乙的运动为匀加速直线运动，乙从起跑到接棒的时
间为t，t＝＝，x 乙＝t；甲做匀速直线运动，其在乙从起跑到接棒的时间t 内的位移为x
甲＝vt；乙起跑时距离甲的距离为Δx＝x 甲－x 乙＝24 m。
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