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知识点8：弹力与摩擦力的临界极值问题
考点一：弹力的临界与极值问题
【知识思维方法技巧】
（1）临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平
衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”
等。常见弹力临界状态有绳子恰好绷紧，拉力F＝0。刚好离开接触面，支持力FN＝0。
（2）极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
（3）平衡中涉及弹力的临界与极值问题解题方法：
①物理分析方法（极限法、三角形图解法及动态圆图解法）：正确进行受力分析和变化过
程分析，找到平衡的临界点和极值点或者根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过
程的分析，利用三角形图解法及动态圆图解法进行动态分析，确定最大值和最小值．
②数学分析法（正交分解解析法）：通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函
数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
题型一：应用物理分析法解决弹力的临界与极值问题
【典例1a 基础题】（多选）如图所示，一根L 形轻杆OAB 用铰链固定在天花板上，且
OA 与AB 相互垂直，在A 点下方用一根轻质细线悬挂重力为G 的物体．现在B 点施加拉
力F，使轻杆的OA 段由竖直向下的位置缓慢转到偏离竖直方向60°角的位置．若拉力F 始
终沿AB 方向，则在变化过程中( )
A．拉力F 逐渐增大 B．轻杆OA 段中的作用力不断增大
C．铰链对轻杆OAB 的作用力不断减小 D．轻杆OA 段中的最小作用力为
【典例1a 基础题对应练习】如图所示，两质量均为m 的小球a、b 固定在轻杆两端，用等
长的细线悬挂在O 点，整个系统静止时，细线和轻杆构成正三角形。用力F 缓慢拉动小球
b，保持两细线张紧，最终使连接a 球的细线竖直。重力加速度大小为g。则连接a 球的细
线竖直时，力F 的最小值是( )
A．mg B．mg C．mg D．mg
题型二：应用数学分析法解决涉及弹力的临界与极值问题
考点二：摩擦力的临界与极值问题
【知识思维方法技巧】
（1）平衡中涉及摩擦力的临界与极值问题常见的有：静摩擦力达到最大值。
（2）平衡中涉及摩擦力的临界与极值问题的解题方法：
①物理分析方法（极限法、三角形图解法及动态圆图解法）：正确进行受力分析和变化过
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程分析，找到平衡的临界点和极值点或者根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过
程的分析，利用三角形图解法及动态圆图解法进行动态分析，确定最大值和最小值．
②数学分析法（正交分解解析法）：通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函
数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
题型一：应用物理极限分析法解决摩擦力的临界极值问题
【知识思维方法技巧】
物体相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值
类型一：单个物体模型
【典例1a 基础题】如图所示，游乐场中有一半球形的碗状装置固定在水平地面上，装置的
内半径为R，在其内表面有一个小孩(可视为质点，图中未画出)从底部向上爬行，小孩与
内表面之间的动摩擦因数为0.75，设小孩所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则小孩沿
该装置缓慢向上爬行的最大高度是( )
图
A．0.2R B．0.25R C．0.75R D．0.8R
【典例1a 基础题对应练习】某位同学用筷子将均匀球夹起悬停在空中，如图所示，已知球
心O 与两根筷子在同一竖直面内，小球质量为m，筷子与竖直方向之间的夹角均为θ，筷
子与小球表面间的动摩擦因数为μ(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，重力加速度为g.每根筷
子对小球的压力至少为( )
A.
mg
2( μsinθ−cosθ)
B.
mg
2( μcosθ−sinθ)
C.
mg
2( μcosθ+sinθ)
D.
mg
2(sinθ−μcosθ)
类型二：连接体模型
【典例1b 基础题】北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，某粮仓由
于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示．若支
撑点距水平地面的高度为
m，木棍与水平地面间的动摩擦因数为
，木棍重力不计，
粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使木棍下端不发生侧
滑，则木棍的长度最多为( )
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A. 1.5 m
B.
m
C. 2 m
D. 2
m
【典例1b 基础题对应练习】如图所示，在竖直墙壁间有半圆球A 和圆球B，其中圆球B 的
表面光滑，半圆球A 与左侧墙壁之间的动摩擦因数为.两球心之间连线与水平方向成30°的
夹角，两球恰好不下滑，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则半球圆A 和圆球B 的质量之
比为( )
A. B． C． D．
题型二：应用物理极限分析法解决摩擦力突变的临界与极值问题
【知识思维方法技巧】
分析摩擦力突变问题的方法：
①分析临界状态，物体由相对静止变为相对运动，或者由相对运动变为相对静止，或者受
力情况发生突变，往往是摩擦力突变问题的临界状态．
②确定各阶段摩擦力的性质和受力情况，做好各阶段摩擦力的分析．
类型一：静—静突变模型
【知识思维方法技巧】
静—静突变模型的特点：
物体在静摩擦力和其他力的共同作用下处于静止状态，当作用在物体上的其他力的合力发
生变化时，物体虽然仍保持相对静止，但物体所受的静摩擦力将发生突变。
【典例2a 基础题】兴趣课堂上，某同学将完全相同的甲、乙两个条形磁铁水平放在粗糙的
水平木板上(N 极正对)，如图所示，并缓慢抬高木板的右端至倾角为θ，这一过程中两磁铁
均保持静止状态。请对该同学提出的说法进行分析，其中正确的是( )
A．甲受到的摩擦力相对木板的方向可能发生变化
B．乙受到的摩擦力相对木板的方向可能发生变化
C．继续增大倾角，甲、乙将会同时发生滑动
D．若减小甲、乙间距，重复上述过程，增大倾角时乙会先发生向上滑动
【典例2a 基础题对应练习】如图所示，质量为10 kg 的物体A 拴在一个被水平拉伸的弹簧
一端，弹簧的拉力为5 N 时，物体A 处于静止状态。若小车以1 m/s2的加速度向右运动，
则(g＝10 m/s2)( )
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A.物体A 相对小车向右运动 B.物体A 受到的摩擦力减小
C.物体A 受到的摩擦力大小不变 D.物体A 受到的弹簧的拉力增大
类型二：静—动突变模型
【知识思维方法技巧】
静—动突变模型的特点：
物体在静摩擦力和其他力作用下处于静止状态，当其他力变化时，如果物体不能保持静止
状态，则物体受到的静摩擦力将“突变”成滑动摩擦力，“突变”点为静摩擦力达到最大
值时。
【典例2b 基础题】（多选）将力传感器A 固定在光滑水平桌面上，测力端通过轻质水平
细绳与滑块相连，滑块放在较长的小车上，如图(甲)所示。传感器与计算机相连接，可获
得力随时间变化的规律。一水平轻质细绳跨过光滑的定滑轮，一端连接小车，另一端系沙
桶，整个装置开始处于静止状态。在滑块与小车分离前缓慢向沙桶里倒入细沙，力传感器
采集的Ft 图象如图(乙)所示。则( )
A．2.5 s 前小车做变加速运动 B．2.5 s 后小车做变加速运动(假设细沙仍在加注
中)
C．2.5 s 前小车所受摩擦力不变 D．2.5 s 后小车所受摩擦力不变
【典例2b 基础题对应练习】(多选)某同学用如图所示的装置开展探究实验，固定在墙壁上
的一个力传感器通过一根水平绳与小木块B 相连，A、B 都放在质量可以忽略的长薄板C
上，地面光滑。已知A 的质量为0.8 kg，B 的质量为0.4 kg，A、C 间与B、C 间的动摩擦
因数都为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。重力加速度g＝10 m/s2，当施加一个力F 作
用在A 上，下列说法正确的是( )
A．F＝1 N 时，力传感器示数为1 N B．F＝3 N 时，力传感器示数为3 N
C．F＝4 N 时，力传感器示数为4 N D．F＝5 N 时，力传感器示数为2 N
类型三：动—静突变模型
【知识思维方法技巧】
动—静突变模型的特点：
物体在摩擦力和其他力作用下，两物体相对做减速滑动的过程中，若相对速度变为0，则
物体将不再受滑动摩擦力作用，滑动摩擦力可能“突变”为静摩擦力，“突变”点为两物
体相对速度为0 时。
【典例2c 基础题】如图所示，质量为1 kg 的物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，从t＝0
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时刻开始以初速度v0沿水平地面向右滑行，同时受到一个水平向左的恒力F＝1 N 的作用，
取向右为正方向，该物体受到的摩擦力Ff 随时间变化的图象是下列图中的(g＝10 m/s2)(
)
【典例2c 基础题对应练习】(多选)如图所示，用水平力F 拉着一物体在水平地面上做匀速
直线运动，从t＝0 时刻起水平力F 的大小随时间均匀减小，到t1时刻，F 减小为零．物体
所受的摩擦力Ff随时间t 变化的图像可能是( )
A.
B.
C.
D.
类型四：动—动突变模型
【知识思维方法技巧】
动—动突变模型的特点：
在滑动摩擦力作用下运动直到达到共同速度后，如果在静摩擦力作用下不能保持相对静止
则物体将继续受滑动摩擦力作用，且其方向发生反向．
【典例2d 基础题】(多选)如图所示，将一质量为m 的滑块轻轻放置于传送带的左端，已知
传送带以速率v0顺时针运动，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ，传送带左右距离足够长，
重力加速度为g。当滑块速度达到v0时突然断电，传送带以大小为a 的加速度匀减速至停
止。关于滑块放上去后受到的摩擦力，下列说法正确的是( )
A.滑块始终没有受到静摩擦力作用
B.滑块刚放上去时受到的滑动摩擦力大小为μmg
C.滑块受到的摩擦力一直不变
D.传送带减速时滑块受到的摩擦力大小可能变为ma
【典例2d 基础题对应练习】(多选) 如图所示，足够长的传送带与水平面夹角为θ，以速度
v0逆时针匀速转动．在传送带的上端轻轻放置一个质量为m 的小木块，小木块与传送带间
的动摩擦因数μ＜tan θ，则图中能客观地反映小木块的运动情况的是( )
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题型三：应用数学分析法解决涉及摩擦力的临界与极值问题
【典例3 基础题】质量为5 kg 的木块与水平地面间的动摩擦因数为，一人欲用最小的作用
力F 使木块沿地面做匀速直线运动，如图所示，则此最小作用力的大小F 和F 与水平地面
的夹角θ 分别为(g 取10 m/s2)( )
A．10 N 30°
B. N 0° C．25 N 30°
D．25 N 60°
【典例3 基础题对应练习】(多选) 如图所示，质量为m＝5 kg 的物体放在水平面上，物体
与水平面间的动摩擦因数μ＝，g 取10 m/s2，当物体做匀速直线运动时，下列说法正确的
是( )
A．牵引力F 的最小值为25 N
B．牵引力F 的最小值为 N
C．最小牵引力F 与水平面的夹角为45°
D．最小牵引力F 与水平面的夹角为30°
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