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专题14 立体几何常见压轴小题全面总结与归纳解析
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................6
05 核心精讲·题型突破.........................................................................................................................9
题型一：球与截面面积问题
9
题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题
10
题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题
12
题型四：立体几何中的交线问题
15
题型五：空间线段以及线段之和最值问题
17
题型六：空间角问题
18
题型七：轨迹问题
21
题型八：翻折问题
22
1
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重难点突破：以立体几何为载体的情境题
25
高考对这一部分的考察主要集中在两个关键点：一是判断与空间线面位置关系相关的命题真伪；二是
涉及一些经典且常出现于压轴位置的小题，这些小题通常具有中等或偏上的难度。
考点要求
目标要求
考题统计
考情分析
球与截面面积问题
掌握球截面性
质，会求截面面
积
2021 年天津卷第6 题，5 分
2018 年I 卷第12 题，5 分
对于2025 年高考的
预测，关于几何题目的出
现形式和热点，可以重新
表述为：
（1）预计几何题目
将以选择题或填空题的精
炼形式呈现，旨在全面检
验学生的逻辑推理与综合
分析能力。
（2）考试的几何热
点内容可能会聚焦于基础
几何体的表面积与体积计
算、空间中的最短路径求
解，以及几何体的截面形
状与性质等关键问题。
最值与范围问题
掌握求解方法，
解决最值与范围
问题
2023 年甲卷第16 题，5 分
2022 年乙卷第9 题，5 分
2022 年I 卷第8 题，5 分
2021 年上海卷第9 题，5 分
角度问题
掌握角度计算，
解决立体几何难
题
2024 年II 卷第7 题，5 分
2023 年天津卷第8 题，5 分
2023 年乙卷第9 题，5 分
2022 年浙江卷第8 题，4 分
2022 年甲卷第9 题，5 分
2
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3
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1、几类空间几何体表面积的求法
（1）多面体：其表面积是各个面的面积之和．
（2）旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．
（3）简单组合体：应弄清各构成部分，并注意重合部分的删、补．
2、几类空间几何体体积的求法
（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算．
（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，
有时可采用等体积转换法求解．
（3）锥体体积公式为
，在求解锥体体积时，不能漏掉
3、求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆
锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形．
4、球的截面问题
球的截面的性质：
①球的任何截面是圆面；
②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；
③球心到截面的距离
与球的半径
及截面的半径
的关系为
．
注意：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数
量关系；选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素
之间的关系），达到空间问题平面化的目的．
5、立体几何中的最值问题有三类：一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面
的面积和体积的最值；二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；三是在空间几
何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系．
6、解决立体几何问题的思路方法：一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置
关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法
4
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求最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题；涉及
某些角的三角函数的最值，借助模型求解，如正四面体模型、长方体模型和三余弦角模
（
为平面的斜线与平面内任意一条直线所成的角，
为该斜线与该平面所成的角，
为该斜线在平面
上的射影与直线所成的角）．
7、立体几何中的轨迹问题，这是一类立体几何与解析几何的交汇题型，既考查学生的空间想象能力，
即点、线、面的位置关系，又考查用代数方法研究轨迹的基本思想，培养学生的数学运算、直观想象等素
养．
8、解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法．对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体
中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，
熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法（解析法）．在图形中，建立恰当的空间直角
坐标系或平面直角坐标系．
9、以立体几何为载体的情境题大致有三类：
（1）以数学名著为背景设置问题，涉及中外名著中的数学名题名人等；
（2）以数学文化为背景设置问题，包括中国传统文化，中外古建筑等；
（3）以生活实际为背景设置问题，涵盖生产生活、劳动实践、文化精神等．
10、以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来
解决问题．图形怎么阅读?一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将
所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将
研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，
动态地去阅读图形．
5
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1．（2024 年北京高考数学真题）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为4 的正方形，
，
，该棱锥的高为（ ）.
A．1
B．2
C．
D．
2．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知正三棱台
的体积为
，
，
，则
与平面ABC 所成角的正切值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
3．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）在正方体
中，
为
的中点，若该
正方体的棱与球
的球面有公共点，则球
的半径的取值范围是 ．
4．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）在正方体
中，E，F 分别为AB，
的中点，
以EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
5．（2023 年北京高考数学真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可
以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，
两个面是全等的等腰三角形．若
，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平
面与平面
的夹角的正切值均为
，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
6．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知四棱锥
的底面是边长为4 的正方形，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（多选题）（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的
正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为
的球体
B．所有棱长均为
的四面体
C．底面直径为
，高为
的圆柱体
D．底面直径为
，高为
的圆柱体
8．（多选题）（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB 为底面直径，
，
，点C 在底面圆周上，且二面角
为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为
B．该圆锥的侧面积为
C．
D．
的面积为
9．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知
为等腰直角三角形，AB 为斜边，
为等边三
角形，若二面角
为
，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2022 年新高考浙江数学高考真题）如图，已知正三棱柱
，E，F 分别是棱
7
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上的点．记
与
所成的角为
，
与平面
所成的角为
，二面角
的平面角
为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2022 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点
均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2022 年新高考北京数学高考真题）已知正三棱锥
的六条棱长均为6，S 是
及其内部
的点构成的集合．设集合
，则T 表示的区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2022 年新高考全国I 卷数学真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的
体积为
，且
，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（多选题）（2022 年新高考全国II 卷数学真题）如图，四边形
为正方形，
平面
，
，记三棱锥
，
，
的体积分别为
，则（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
9
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题型一：球与截面面积问题
【典例1-1】（24-25 高三上·江苏常州·期末）已知正方体
的棱长为2，点
为棱
的中
点，则平面
截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）
A．
B．
C．π
D．
【典例1-2】已知棱长为3 的正四面体的几何中心为
，平面
与以
为球心的球相切，若
与该正四面
体的截面始终为三角形，则球
表面积的取值范围为（ ）.
A．
B．
C．
D．
球的截面问题
球的截面的性质：
①球的任何截面是圆面；
②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；
③球心到截面的距离
与球的半径
及截面的半径
的关系为
．
【变式1-1】（2024·河南开封·二模）已知经过圆锥
的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆
锥
分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之
比是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【变式1-2】（2024·江苏南通·二模）在棱长为2 的正方体
中，
，
，
分别为棱
，
，
的中点，平面
截正方体
外接球所得的截面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
1．已知四面体
的各个顶点都在球O 的表面上，
，
，
两两垂直，且
，
，
，E 是棱BC 的中点，过E 作四面体
外接球O 的截面，则所得截面圆的面积的最大值与最小
值之差是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题
【典例2-1】半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围
成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的.它由八个
正三角形和六个正方形构成（如图所示），点
满足
，则直线
与平面
所
成角的正弦值（ ）
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A．为定值
B．存在最大值，且最大值为1
C．为定值1
D．存在最小值，且最小值为
【典例2-2】如图，已知正方体
，点P 是四边形
A1B1C1D1的内切圆上一点，O 为四边形
ABCD 的中心，给出以下结论：
①存在点P，使
平面DOP；
②三棱锥
的体积为定值；
③直线
与直线OP 所成的角为定值.
其中，正确结论的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
几类空间几何体体积的求法
（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算．
（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，
有时可采用等体积转换法求解．
（3）锥体体积公式为
，在求解锥体体积时，不能漏掉
【变式2-1】（2024·广东广州·模拟预测）已知正方体
的边长为1，现有一个动平面
，且
平面
，当平面
截此正方体所得截面边数最多时，记此时的截面的面积为，周长为，则
（ ）
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A．不为定值，为定值
B．为定值，不为定值
C．与均为定值
D．与均不为定值
【变式2-2】（多选题）如图，在正方体
中，
为线段
的中点，
为线段
上的动
点（不包括端点），则（ ）
A．存在点
，使得
B．存在点
，使得
平面
C．对于任意点Q，
均不成立
D．三棱锥
的体积是定值
1．如图，正方体
的棱线长为1，线段
上有两个动点E，F，且
，则下列结论
中错误的是（ ）
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A．
B．
平面ABCD
C．三棱锥
的体积为定值
D．异面直线AE，BF 所成的角为定值
题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题
【典例3-1】（多选题）如图，在正四面体
中，已知
，
为棱
的中点. 现将等腰直角三角
形
绕其斜边
旋转一周（假设
可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正确的
是（ ）
A．三角形
绕斜边
旋转一周形成的旋转体体积为
B．
四点共面
C．点
到
的最近距离为
D．异面直线
与
所成角的范围为
【典例3-2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2 的正方体
中，E 为
的中点，若一点P 在底面
内（包括边界）移动，且满足
，则（ ）
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A．
与平面
的夹角的正弦值为
B．
点到
的距离为
C．线段
的长度的最大值为
D．
与
的数量积的范围是
几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐
标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值.
【变式3-1】（多选题）已知正方体
棱长为
为正方体
内切球
的直
径，点
为正方体
表面上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当
为
中点时，
与
所成角余弦值为
B．当
面
时，点
的轨迹长度为
C．
的取值范围为
D．
与
所成角的范围为
【变式3-2】（多选题）如图，在棱长为2 的正方体
中，已知N，Q 分别是棱
的
中点，
，P 分别是棱
上的动点，下列结论正确的是（ ）
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A．四面体
的体积为定值
B．不存在动点M，P，使得
C．直线CM 与平面
所成角的范围是
D．若M，P 分别是棱
的中点，由平面MNQ 分割该正方体，其中截面MNQ 上方的部分为几
何体
，某球能够被整体放入几何体
，则该球半径的最大值为
1．（多选题）（2024·云南昆明·模拟预测）如图，已知正四棱柱
的底面边长为1，侧棱长
为2，点
为侧棱
（含端点）上的动点，直线
平面
，则下列说法正确的有（ ）
A．直线
与平面
不可能平行
B．直线
与平面
不可能垂直
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C．若
且
，则平面
截正四棱柱所得截面多边形的周长为
D．直线
与平面
所成角的正弦值的范围为
题型四：立体几何中的交线问题
【典例4-1】阅读材料：空间直角坐标系
中，过点
且一个法向量为
的平面
的
方程为
．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面
的方程为
，直线是两平面
与
的交线，则直线与平面
所成角的正弦值为
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【典例4-2】（2024·江西景德镇·一模）甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为
，它是由四个氢原子
和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷
分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点
处，碳原子位于正四面体的
中心
处.若正四面体
的棱长为1，则平面
和平面
位于正四面体内部的交线长度为（ ）
A．
B．
C．
D．1
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几何法
【变式4-1】（2024·广东广州·模拟预测）在正六棱柱
中，
，
为棱
的中点，以
为球心，
为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）在正方体
中，点
为线段
上的动点，直线
为平面
与平面
的交线，现有如下说法
①不存在点
，使得
平面
②存在点
，使得
平面
③当点
不是
的中点时，都有
平面
④当点
不是
的中点时，都有
平面
其中正确的说法有（ ）
A．①③
B．③④
C．②③
D．①④
1．用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂
直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角
不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、
拋物线、双曲线．因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．记圆锥轴截面半顶角为
，
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截口曲线形状与
有如下关系：当
时，截口曲线为椭圆；当
时，截口曲线为抛物线：当
时，截口曲线为双曲线．如图1 所示，其中
，现有一定线段
，其与平面
所成角
（如图
2），
为斜足，
上一动点
满足
，设
点在
的运动轨迹是
，则（ ）
A．当
时，
是抛物线
B．当
时，
是双曲线
C．当
时，
是圆
D．当
时，
是椭圆
题型五：空间线段以及线段之和最值问题
【典例5-1】棱长为1 的正方体
中，点
在棱
上运动，点
在侧面
上运动，满
足
平面
，则线段
的最小值为 .
【典例5-2】已知
是大小为
的二面角，
为二面角内一定点，且到半平面
的距离分别为
，
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分别是半平面
､
内的动点.则
周长的最小值为 .
几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐
标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值.
【变式5-1】如图，棱长为1 的正方体
中，
为线段
的中点，
，
分别为线段
和棱
上的动点，则
的最小值为 ．
【变式5-2】如图，八面体
的每一个面都是边长为4 的正三角形，且顶点
在同一个平面内．若
点
在四边形
内（包含边界）运动，当
时，点
到
的最小值为 .
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1．如图，在棱长为4 的正方体
中，已知
是
上靠近
的四等分点，点
分别在
上，则
周长的最小值为 .
题型六：空间角问题
【典例6-1】如图，正三棱锥
的侧面和底面
所成的角为
，正三棱锥
的侧面和底面
所成的角为
，
，P 和
位于平面
的异侧，且这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面
上，则
，
的最大值为 .
【典例6-2】如图1，
是圆
的直径，点
是圆
上异于
，
的点，直线
平面
，
，
分
别是
，
的中点，记平面
与平面
的交线为，直线与圆
的另一个交点为
，且点
满足
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.（如图2）.记直线
与平面
所成的角为
，异面直线
与
所成的角为
，二面角
的大小为
，则下列四个判断中，正确的个数有 个.
①
②
③
④
.
1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三
角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：
（1）作图：作出空间角的平面角．
（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的．
（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．
简称：一作、二证、三算．
2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移
到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．
3、求直线与平面所成角的常见方法
（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影
所成的角即为所求．
（2）等积法：公式
，其中
是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，是斜线段的长，其
中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来
求垂线段的长．
（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°．
4、作二面角的平面角常有三种方法
22
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（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线
所成的角，就是二面角的平面角．
（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上
的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．
（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角
就是二面角的平面角．
【变式6-1】在正方体
中，点
是
上的动点，
是平面
内的一点，且满足
，则平面
与平面
所成角余弦值的最大值为 .
【变式6-2】如图所示，几何体由正方体和正四棱锥组合而成，若该组合体内接于半径为
的球
(即所有
顶点都在球上)，记正四棱锥侧棱
与正方体底面
A1B1C1D1所成的角为
，则
．
1．如图，边长为2 的正方形
中，
分别是
的中点，将
分别沿
折起，使
重合于点
，则三棱锥
的外接球的体积为 ；设直线
与平面
所成角分别为
，则
.
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题型七：轨迹问题
【典例7-1】（2024·浙江台州·一模）已知球
的半径为，
是球
表面上的定点，是球
表面上的动
点，且满足
，则线段
轨迹的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例7-2】（24-25 高三上·北京西城·期末）如图，在棱长为2 的正方体
中，
为棱
的中点，
为正方体表面上的动点，且
.设动点
的轨迹为曲线
，则（ ）
A．
是平行四边形，且周长为
B．
是平行四边形，且周长为
C．
是等腰梯形，且周长为
D．
是等腰梯形，且周长为
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解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法．对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的
不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟
悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法（解析法）．在图形中，建立恰当的空间直角坐
标系或平面直角坐标系．
【变式7-1】已知点
是正四面体
内的动点，
是棱
的中点，且点
到棱
和棱
的距离相
等，则点
的轨迹被平面
所截得的图形为（ ）
A．线段
B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分
【变式7-2】（多选题）（24-25 高三上·河南·开学考试）如图，在棱长为2 的正方体
中，
为棱
的中点，
为线段
上的动点，
为底面
内的动点，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则动点
的轨迹长度为
C．若直线
与平面
所成的角为
，则点
的轨迹为双曲线的一部分
D．若直线
与平面
所成的角为
，则点
的轨迹为椭圆的一部分
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1．在直四棱柱
中，底面
是菱形，边长为2，
，侧棱长
，点
为四
边形
内动点，若
，则点
的轨迹长为 ．
题型八：翻折问题
【典例8-1】在正方形
中，
，
为
中点，将
沿直线
翻折至
位置，点
为线段
中点.在翻折的过程中，若
为线段
的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥
的体积最大值为
B．异面直线
、
所成角始终为
C．翻折过程中存在某个位置，使得
大小为
D．点
在某个圆上运动
【典例8-2】如图，在菱形ABCD 中，
，线段AD，BD 的中点分别为E，F．现将
沿对
角线BD 翻折，则异面直线BE 与CF 所成角的取值范围（ ）.
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A．
B．
C．
D．
【变式8-1】如图，在矩形
中，
为
的中点，将
沿
翻折．在翻折过
程中，当二面角
的平面角最大时，其正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-2】（多选题）在菱形
中，
，
，E 为AB 的中点，将
沿直线DE 翻
折至
的位置，使得二面角
为直二面角，若
为线段
的中点，则（ ）
A．
平面
B．
C．异面直线
，
所成的角为
D．
与平面
所成角的余弦值为
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1．（多选题）在正方形
中，
，
为
中点，将
沿直线
翻折至
位置，使得
二面角
为直二面角，若
为线段
的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若点
在线段
上，则
的最小值为
B．三棱锥
的体积为
C．异面直线
、
所成的角为
D．三棱锥
外接球的表面积为
重难点突破：以立体几何为载体的情境题
【典例9-1】（2024·青海·模拟预测）如图，在正方体
中，
，
，
，
，
，
分别
为棱
，
，
，
，
，
的中点，
为
的中点，连接
，
．对于空间任意两点
，
，若线段
上不存在也在线段
，
上的点，则称
，
两点“可视”，则与点
“可视”的点为
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【典例9-2】（22-23 高三上·河北·期末）由空间一点
出发不共面的三条射线
，
，
及相邻两射
线所在平面构成的几何图形叫三面角，记为
．其中
叫做三面角的顶点，面
，
，
叫做三面角的面，
，
，
叫做三面角的三个面角，分别记为
，
，
，二面角
、
、
叫做三面角的二面角，设二面角
的平面角大小为
，则一
定成立的是（）
A．
B．
C．
D．
以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决
问题．图形怎么阅读？一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读
出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究
图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动
态地去阅读图形．
【变式9-1】（多选题）（2024·江西·三模）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，
球
的半径为R，A，B，
为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为
，设
表示以
为圆心，且过B，C 的
圆，同理，圆
的劣弧
的弧长分别记为
，曲面
（阴影部分）叫做曲面三角形，
，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC 与曲面
围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，
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记为球面
．设
，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面
是面积为
的等边三角形，则
B．若
，则
C．若
，则球面
的体积
D．若平面
为直角三角形，且
，则
【变式9-2】（多选题）设
为多面体
的一个顶点，定义多面体
在点
处的离散曲率为
，其中
，
为多面体
的所有与点
相邻的顶点，且平面
，平面
，平面
和平面
为多面体
的所有以
为公共
点的面.已知在直四棱柱
中，四边形
为菱形，
，则下列说法正确的是
（ ）
A．四棱柱
在其各顶点处的离散曲率都相等
B．若
，则四棱柱
在顶点
处的离散曲率为
C．若四面体
在点
处的离散曲率为
，则
平面
D．若四棱柱
在顶点
处的离散曲率为
，则直线
与平面
所成的角的正弦值
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为
1．将
个棱长为1 的正方体如图放置，其中上层正方体下底面的顶点与下层正方体上底面棱
的中点重合.设最下方正方体的下底面
的中心为
，过
的直线与平面
垂直，以
为顶点，
为对称轴的抛物线
可以被完全放入立体图形中.若
，则
的最小值为 ；
若
有解，则
的最大值为 .
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