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2.7 函数模型及其应用
思维导图
知识点总结
知识点一 一次函数模型
形如 的函数为一次函数模型，其中 .
知识点二 二次函数模型
1．一般式：
．
2．顶点式：
．
3．两点式：
．
知识点三 幂函数模型
1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α 为常数，a≠0)．
2．单调性：其增长情况由xα中的α 的取值而定．
知识点四 几类已知函数模型
1
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函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b 为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且a≠1)
幂函数型模型
f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
知识点五 应用函数模型解决问题的基本过程
1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立
相应的数学模型；
3．求模——求解数学模型，得出数学模型；
4．还原——将数学结论还原为实际问题．
典型例题分析
考向一 一次函数模型的应用实例
例1 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24 元，卖出的价格是每份0.40 元，卖不掉
的报纸可以以每份0.08 元的价格退回报社．在一个月(以30 天计算)里，有20 天每天可卖
出400 份，其余10 天每天只能卖出250 份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问
报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大．
反思感悟 一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．
考向二 二次函数模型的应用实例
例2 牧场中羊群的最大蓄养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最
大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y 只和实际蓄养量x 只与空闲率
的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值)
2
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(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值；
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围．
反思感悟 利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函
数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．
考向三 幂函数与分段函数模型
例3 (1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存
在的关系为y＝xα(α 为常数)，其中x 不超过5 万元，已知去年投入广告费用为3 万元时，药
品利润为27 万元，若今年广告费用投入5 万元，预计今年药品利润为________万元．
(2)手机上网每月使用量在500 分钟以下(包括500 分钟)、60 分钟以上(不包括60 分钟)按30
元计费，超过500 分钟的部分按0.15 元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1 分钟以
下不计费，在1 分钟以上(包括1 分钟)按0.5 元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费．
①12 月份小王手机上网使用量20 小时，要付多少钱？
②小舟10 月份付了90 元的手机上网费，那么他上网时间是多少？
③电脑上网费包月60 元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？
3
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反思感悟 (1)处理幂函数模型的步骤
①阅读理解、认真审题．
②用数学符号表示相关量，列出函数解析式．
③根据幂函数的性质推导运算，求得结果．
④转化成具体问题，给出解答．
(2)应用分段函数时的三个注意点
①分段函数的“段”一定要分合理，不重不漏．
②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
③分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
考向四 指数型函数模型
例4 目前某县有100 万人，经过x 年后为y 万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下
列问题：(已知：1.01210≈1.126 7，1.01211≈1.140 2，lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005)
(1)写出y 关于x 的函数解析式；
(2)计算10 年后该县的人口总数(精确到0.1 万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120 万(精确到1 年)．
反思感悟 在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指
数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)
的形式．
考向五 对数型函数模型
例5 我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁
燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中O 表示燕子的耗氧量．
(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80 个单位时，它的飞行速度是多少？
4
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反思感悟 有关对数型函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函
数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据值回
答其实际意义．
考向六 建立拟合函数模型解决实际问题
例3 某纪念章从2019 年1 月6 日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场
价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：
上市时间x 天
4
10
36
市场价y 元
90
51
90
(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y
与上市时间x 的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx；
(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．
反思感悟 建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、
较简便的模型．
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出
正确结论．
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功
能，能回到具体问题中解决问题．
基础题型训练
一、单选题
1．函数
的零点是（ ）
5
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A．2
B．
C．
D．
2．函数
的一个零点为
，则它的另一个零点是（ ）
A．
B．1
C．
D．2
3．函数
在下列区间内一定有零点的是
A．
B．
C．
D．
4．方程
的实数解的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
5．函数
的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．如果关于x 的方程
有实数根，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．用二分法找函数
在区间
上的零点近似值，取区间中点
，则下一
个存在零点的区间为（ ）．
A．
B．
C．
D．
8．在用二分法求方程3x+3x
8=0
﹣
在（1，2）内近似根的过程中，已经得到
，则方程的根落在区间（ ）
A．（1，1.25）
B．（1.25，1.5）
C．（1.5，2）
D．不能确定
9．设
是函数
的零点，若
，则
的值满足（ ）
A．
B．
C．
D．以上都有可能
10．据统计，第x 年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）近似满足
6
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.观测发现第1 年有越冬白鹤3000 只，估计第7 年有越冬白鹤（ ）
A．4000 只
B．5000 只
C．6000 只
D．7000 只
11．某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为y=5x+3000，而
图书出厂价格为每本10 元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（ ）
A．200 本
B．400 本
C．600 本
D．800 本
12．某商场出售一种商品，每天可卖1 000 件，每件可获利4 元．据经验，若这种商品每
件每降价0.1 元，则比降价前每天可多卖出100 件，为获得最好的经济效益，每件售价应
降低的价格为( )
A．2 元
B．2.5 元
C．1 元
D．1.5 元
二、解答题
13．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园
，
已知院墙
长为25 米，篱笆长50 米（篱笆全部用完），设篱笆的一面
的长为
米．
(1)当
的长为多少米时，矩形花园的面积为300 平方米？
(2)若围成的矩形
的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？
14．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°
（无水状态不考虑）.
(1)试将横断面中水的面积
（
）表示成水深（m）的函数；
(2)当水深为1.2m 时，求横断面中水的面积.
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15．某公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要
3 万元，之后每生产x 万件产品，还需另外投入原料费及其他费用
万元，产量不同其
费用也不同，且
已知每件产品的售价为8 元且生产的该产品可
以全部卖出.
(1)写出年利润
（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
(2)该产品年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？其最大利润为多少万元？
16．吉祥物“冰墩墩”在北京2022 年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手
办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200 万
元．每生产
万盒，需投入成本
万元，当产量小于或等于50 万盒时
；
当产量大于50 万盒时
，若每盒玩具手办售价200 元，通过市场分析，
该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投
入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润
（万元）关于产量
（万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
17．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”
养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）表示为养
殖密度x（单位：尾/立方米）的函数.当
时，v 的值为2；当
时，v 是关于
x 的一次函数.当x＝20 时，因缺氧等原因，v 的值为0.
(1)当
时，求函数
的表达式；
(2)当x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）
可以达到最大？并
求出最大值.
18．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单
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位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用
的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400 吨，最多为600 吨，月处理成本
(元)与
月处理量
(吨)之间的函数关系可近似的表示为
，且处理每吨二氧
化碳得到可利用的化工产品价值为100 元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多
少元才能使单位不亏损？
19．为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4
米，底面为24 平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，
无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400 元，左右两侧报
价为每平方米300 元，屋顶和地面报价共计9600 元，设应急室的左右两侧的长度均为x 米
（
），公司甲的整体报价为y 元．
(1)试求y 关于x 的函数解析式；
(2)现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为
元，若
采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．
20．2016 年4 月16 日00 时25 分日本九州发生7.3 级地震．地震发生后，停水断电，交通
受阻．已知A 地到B 地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10 km
长的线路，每隔50 m 有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？
21．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法
证明方程f(x)＝0 在区间[0,1]内有两个实根．
22．已知函数
在区间
上有个零点.
（1）求实数a 的取值范围；
（2）若
，用二分法求方程
在区间
上的根.
23．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产
量x（吨）之间的函数关系式可以近似表示为
，已知此生产线年产量最
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大为210 吨，若每吨产品平均出厂价为40 万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大
利润？最大利润是多少？
24．某厂推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000 元，每生产一
件“玉兔”需要增加投入100 元，根据统计数据，总收益P（单位：元）与月产量x（单位：
件）满足
（注：总收益=总成本+利润）
（1）请将利润y（单位：元）表示成关于月产量x（单位：件）的函数；
（2）当月产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
25．牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大
畜养量，必须留出适当的空闲量,已知羊群的年增长量y（只）和实际畜养量x（只）与空闲
率的乘积成正比，比例系数为
.
（1）写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域；
（2）求羊群年增长量的最大值.
26．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30 人或30 人以下，飞机票
价格为900 元；若旅行团人数多于30 人，则给予优惠：每多1 人，飞机票价格就减少10
元，直到达到规定人数75 人为止.旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000 元.
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
27．下表表示的是某款车的车速与刹车距离的关系，试分别就
，
，
三种函数关系建立数学模型，并探讨最佳模拟，根据最佳模拟求车速为
120km/h 时的刹车距离．
车
速/（km/h）
10
15
30
40
50
刹车距离/m
4
7
12
18
25
车
速/（
60
70
80
90
100
10
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（km/h）
刹车距离/m
34
43
54
66
80
提升题型训练
一、单选题
1．某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30 000.而出
厂价格为每套12 元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（ ）
A．2 000 套
B．3 000 套
C．4 000 套
D．5 000 套
2．函数
的单调递减区间是
A．
B．
C．
D．
3．某商场以每件30 元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量
（件）与每件的售价
（元）满足一次函数：
．若要每天获得最大的销售利润，
每件商品的售价应定为
A．30 元
B．42 元
C．54 元
D．越高越好
4．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：
）与小球运动时间（单位：
）之间的关系式为
，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是
A．
B．
C．
D．
5．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量
与大气压强
成正比例函数关系．当
时，
，则
与
的函数关
系式为
A．
B．
C．
D．
11
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6．某地固定电话市话收费规定：前三分钟
元（不满三分钟按三分钟计算），以后每
加一分钟增收
元（不满一分钟按一分钟计算），那么某人打市话用时550 秒，应支付
电话费
A．
元
B．
元
C．
元
D．
元
7．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（ ）
①这几年生活水平逐年得到提高；
②生活费收入指数增长最快的一年是2014 年；
③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015 年；
④虽然2016 年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的
改善．
A．1
B．2
C．3
D．4
8．若函数
经过点
，则函数
的零点是（ ）
A．0，2
B．0，
C．0，
D．2，
9．当x 越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据.现准备用下列四个函数
中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
x
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
12
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A．y=2x
B．y=log2x
C．y=
(x2-1)
D．y=2.61x
11．函数
在下列区间内一定有零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数
，若函数
恰有两个零点，则实
数m 不可能是（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
二、填空题
13．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方
法如表所示，若某户居民某月交纳水费60 元，则该月用水量_______m3．
每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
3 元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6 元/m3
超过18m3的部分
9 元/m3
14．若
成立，则
的取值范围是___________．
15．图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费
（元）与通话时间
之
间的函数关系的图像，根据图像判断：通话
，需付电话费______元；通话
，需
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付电话费______元；如果
，电话费
（元）与通话时间
之间的函数关系式是
_______．
16．把长为12cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形最小
的面积之和是________．
17．若函数
有两个不同的零点，则实数
的取值范围为_______．
18．函数
在区间
和
内各有一个零点，则实数
的取值范围是
___________.
19．函数
零点的个数为___________.
20．已知函数f(x)＝
有3 个零点，则实数a 的取值范围是_________．
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