文档文本内容
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第25 讲 实验验证动量守恒定律
目录
考情探究...........................................................................................................................
知识梳理...........................................................................................................................
探究核心考点...................................................................................................................
考点一 平抛法验证........................................................................................................................
考点二 摆动法验证........................................................................................................................
考点三 频闪法验证........................................................................................................................
考点四 气垫导轨、光电门验证....................................................................................................
考点五 利用反冲验证....................................................................................................................
三阶突破训练...................................................................................................................
基础过关..........................................................................................................................................
能力提升..........................................................................................................................................
真题感知..........................................................................................................................................
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024 年新课标卷，第9 题
利用平抛
2024 年山东卷，第13 题
2022 年全国甲卷，第10 题
利用气垫导轨、光电门
2023 年辽宁卷，第11 题
利用摩擦力
1
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2022 年浙江1 月卷，第23 题
利用传感器
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容。
【备考策略】1.理解、掌握验证动量守恒定律的实验原理、实验装置、实验步骤、数据分析、误差分析。
2.熟悉验证动量守恒定律的各种创新实验。
3.具备数形结合的思想意识。
【命题预测】本讲内容是新高考卷的常考内容。
一、实验原理
在一维碰撞中，测出相碰的两物体的质量m1、m2和碰撞前、后物体的速度v1、v2、v1′、v2′，算出碰撞
前的动量p＝m1v1＋m2v2及碰撞后的动量p′＝m1v1′＋m2v2′，比较碰撞前、后动量是否相等。
二、实验方案及实验过程
方案一：研究气垫导轨上滑块碰撞时的动量守恒
1．实验器材
气垫导轨、数字计时器、天平、滑块(两个)、弹簧、细绳、弹性碰撞架、胶布、撞针、橡皮泥等。
2．实验过程
(1)测质量：用天平测出滑块的质量。
(2)安装：正确安装好气垫导轨，如图所示。
(3)实验：接通电源，利用配套的光电计时装置测出两滑块各种情况下碰撞前、后的速度。
(4)改变条件，重复实验：
①改变滑块的质量；
②改变滑块的初速度大小和方向。
(5)验证：一维碰撞中的动量守恒。
3．数据处理
(1)滑块速度的测量：v＝，式中Δx 为滑块上挡光片的宽度(仪器说明书上给出，也可直接测量)，Δt 为数字
计时器显示的滑块(挡光片)经过光电门的时间。
(2)验证的表达式：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′。
方案二：研究斜槽末端小球碰撞时的动量守恒
2
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1．实验器材
斜槽、小球(两个)、天平、复写纸、白纸、圆规、铅垂线等。
2．实验过程
(1)测质量：用天平测出两小球的质量，并选定质量大的小球为入射小球。
(2)安装：按照如图甲所示安装实验装置。调整固定斜槽使斜槽末端水平。
(3)铺纸：白纸在下，复写纸在上，且在适当位置铺放好。记下铅垂线所指的位置O。
(4)放球找点：不放被撞小球，每次让入射小球从斜槽上某固定高度处自由滚下，重复10 次。用圆规画尽
量小的圆把所有的小球落点圈在里面。圆心P 就是小球落点的平均位置。
(5)碰撞找点：把被撞小球放在斜槽末端，每次让入射小球从斜槽同一高度[同步骤(4)中的高度]自由滚下，
使它们发生碰撞，重复实验10 次。用步骤(4)的方法，标出碰后入射小球落点的平均位置M 和被撞小球落
点的平均位置N，如图乙所示。
(6)验证：连接ON，测量线段OP、OM、ON 的长度。将测量数据填入表中，最后代入m1·OP＝m1·OM＋
m2·ON，计算并判断在误差允许的范围内是否成立。
(7)整理：将实验器材放回原处。
3．数据处理
验证的表达式：m1·OP＝m1·OM＋m2·ON。
三、注意事项
1．前提条件：碰撞的两物体应保证“水平”和“正碰”。
2．方案提醒
(1)若利用气垫导轨进行验证，调整气垫导轨时，应确保导轨水平。
(2)若利用平抛运动规律进行验证：
①斜槽末端的切线必须水平；
②入射小球每次都必须从斜槽同一高度由静止释放；
③选质量较大的小球作为入射小球；
④实验过程中实验桌、斜槽、记录的白纸的位置要始终保持不变。
二、共同点
1．不变的实验原理
两个物体发生碰撞，测量出两个物体的质量以及碰撞前后两个物体的速度。
2．通用的数据处理方法
计算碰撞之前的总动量m1v1＋m2v2和碰撞之后的总动量m1v1′＋m2v2′。
3
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3．共同的注意事项
(1)碰撞的两物体应保证“水平”和“正碰”。
(2)选质量较大的小球作为入射小球，即m 入＞m 被碰。
4．一致的误差分析思路
(1)主要来源于质量m1、m2的测量。
(2)小球落点的确定。
(3)小球水平位移的测量。
考点一 平抛法验证
典例1．（2025·山东省济南市·一模）碰撞恢复系数
，其中
和
分别为碰撞前两物体的速
度，
和
分别为碰撞后两物体的速度。某同学利用如图所示的实验装置测量半径相同的钢球A 和玻璃球
B 的碰撞恢复系数。实验步骤如下：
①用电子天平测量出钢球A 和玻璃球B 的质量分别为m1、m2。
②调节斜槽末端水平并找到斜槽末端在白纸上的竖直投影点O。
③将钢球A 从斜槽上某一位置S 由静止释放，落到复写纸上并在白纸上留下痕迹。重复上述操作多次，得
到多个落点痕迹，找到平均落点P。
④将玻璃球B 放在斜槽末端，再将钢球A 从位置S 由静止释放，两球碰撞后落到复写纸上并在白纸上留下
痕迹：重复上述操作多次，分别找到A、B 两球
平均落点M、N。
⑤用刻度尺测量出线段OP、OM 和ON 的长度分别记为
、
和
。试分析下列问题。
（1）关于实验操作和过程，下列说法正确的是（ ）
4
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A. 实验时需测量小球开始释放时距离斜槽末端的高度h
B. 实验装置中的铅垂线是用来判断斜槽末端是否水平的
C. 实验时每次释放钢球A 的位置必须相同，斜槽是否光滑对实验结果无影响
（2）两球的碰撞恢复系数
__________（用
、
、
表示）；
（3）将玻璃球B 换成大小相同的其它材质小球，测得其质量为
。重复实验，发现落点N 和P 重合，
则两球的碰撞恢复系数
__________（结果保留2 位有效数字）。
【答案】（1）C （2）
（3）0.33
【解析】
【小问1 详解】
A．本实验需要测量碰撞恢复系数，由碰撞恢复系数
可知，本实验实际是要测量小球的速度，
由装置可以确定本实验采用平抛运动规律测量速度，考虑到所有小球平抛运动下落高度相同，运动时间相
同，故只需要测量水平位即可用以代替平抛初速度，故不需要测量小球开始释放时距离斜槽末端的高度
h，故A 错误；
B．实验装置中的铅垂线是一方面是用来判断斜槽末端是否水平，另一方面也是用以确定初始位置，故B
错误；
C．实验时每次释放钢球A 的位置必须相同，只要释放位置相同斜槽是否光滑对小球到达斜槽末端时的速
度无影响，对实验结果无影响，故C 正确。
故选C。
【小问2 详解】
设小球做平抛运动的时间为t，碰撞前，钢球A 的速度
玻璃球B 的速度为0，碰撞后，球A 的速度
玻璃球B
速度为
故碰撞恢复系数
【小问3 详解】
5
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将玻璃球B 换成大小相同的，质量为
的小球后，碰撞前后瞬间，钢球A 与小球组的系统动量守恒有
由于落点N 和P 重合，故
，故
故两球的碰撞恢复系数
典例2．（2025·宁夏回族自治区吴忠市盐池县·二模）某实验小组想用多种方式验证动量守恒定律。
小明同学选取两个体积相同、质量不等的小球，先让质量为
的小球从轨道顶部由静止释放，由轨道末端
的
点飞出并落在斜面上。再把质量为
的小球放在
点，让小球
仍从原位置由静止释放，与小球
碰后两小球均落在斜面上，分别记录落点痕迹，其中
、
三个落点的位置距离
点的长度分别
为
、
、
。
（1）用游标卡尺测得两小球的直径均如图乙所示，则小球直径
___________cm。
（2）关于该实验，下列说法正确的是___________。
A. 必须满足
B. 轨道必须光滑
C. 轨道末端必须水平
D. 落点位置需要多次测量取平均值
（3）在实验误差允许的范围内，若满足关系式___________，则可认为两球碰撞过程中动量守恒（用题目
中的物理量表示）。
（4）若两小球的质量满足
，若满足
___________
（用
表示），则可证明两球间的碰
撞是弹性的。
（5）小帅同学利用该套装置做了一个新实验，仅改变小球
的质量（两小球质量关系仍符合题干条件），
其他条件均不变，将小球
多次从轨道顶部由静止释放，与不同质量的小球
相碰，分别记录对应的落
点到
点距离
，以
为横坐标、
为纵坐标作出图像，若该碰撞为弹性碰撞，则
下列图像正确的是___________。
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A.
B.
C.
【答案】（1）1.070 （2）ACD
（3）
（4）
（5）C
【解析】
【小问1 详解】
游标卡尺的读数
【小问2 详解】
A．为了保证小球
碰后不被反弹，所以
，故A 正确；
B．只要保证小球
每次到达
点的速度相同即可，轨道无须光滑，故B 错误；
C．为了保证小球做平抛运动，轨道末端必须水平，故C 正确；
D．多次测量可以减小偶然误差，故D 正确。
故选ACD。
【小问3 详解】
小球从
点飞出后均为平抛运动，假设小球位移为
，由平抛运动的知识可得
，
解得
由碰撞规律可知，
点是小球
第一次的落点，
和
分别是碰后小球
和
的落点，碰撞过程满足
动量守恒
带入可得
【小问4 详解】
若为弹性碰撞，则碰撞前后动能守恒
动量守恒
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联立解得
带入前问解析中的速度可得
【小问5 详解】
小球
的碰前速度保持不变，则
不变，根据前问解析动量守恒关系式可写成
能量守恒关系式可写成
联立可得
故选C。
跟踪训练1．（2025·吉林省白城市第一中学·一模）某同学用如图所示的装置验证动量守恒定律。将斜槽轨
道固定在水平桌面上，轨道末段水平，右侧端点在水平木板上的垂直投影为O，木板上叠放着白纸和复写
纸。实验时先将小球a 从斜槽轨道上Q 处由静止释放，a 从轨道右端水平飞出后落在木板上；重复多次，
测出落点的平均位置P 与O 点的距离
，将与a 半径相等的小球b 置于轨道右侧端点，再将小球a 从Q 处
由静止释放，两球碰撞后均落在木板上；重复多次，分别测出a、b 两球落点的平均位置M、N 与O 点的距
离
、
。
完成下列填空：
（1）记a、b 两球的质量分别为
、
，实验中须满足条件
______
（填“>”或“<”）；
（2）如果测得的
、
、
、
和
在实验误差范围内满足关系式______，则验证了两小球在碰撞
中满足动量守恒定律。实验中，用小球落点与O 点的距离来代替小球水平飞出时的速度，依据是______。
【答案】（1）> （2） ①.
②. 小球离开斜槽末端后做平抛运动，竖直方
向高度相同故下落时间相同，水平方向匀速运动直线运动，小球水平飞出时的速度与平抛运动的水平位移
成正比。
【解析】
【小问1 详解】
为了保证小球碰撞为对心正碰，且碰后不反弹，要求
；
【小问2 详解】
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[1]两球离开斜槽后做平抛运动，由于抛出点的高度相等，它们做平抛运动的时间t 相等，碰撞前a 球的速
度大小
碰撞后a 的速度大小
碰撞后b 球的速度大小
如果碰撞过程系统动量守恒，则碰撞前后系统动量相等，则
整理得
[2]小球离开斜槽末端后做平抛运动，竖直方向高度相同故下落时间相同，水平方向匀速运动直线运动，小
球水平飞出时的速度与平抛运动的水平位移成正比。
跟踪训练2．（2025·黑龙江省大庆市大庆中学·三模）在“验证动量守恒定律”中，三个实验小组分别设计
了如图（a），（b），（c）三个实验装置。
（1）为了保证小球A 碰撞小球B 之前
速度不变，每次由静止释放小球A 时必须从斜槽上______滚下。
（2）两个小球碰撞之后都直接向前作平抛运动，则小球A 的质量
与小球B 的质量
应满足
______
（填“>”“<”或“=” ）。
（3）一实验小组采用图（a）所示装置进行实验，则能验证两个小球碰撞过程动量守恒的关系式为______
（用
、
、
、
、
表示）。
（4）另外两实验小组分别采用图（b），图（c）所示装置进行实验，要验证两个小球碰撞过程动量守恒，
以下有两个关系式：关系式①：
；关系式②：
，则采用图
（b）实验装置验证应该是关系式______（填“①”或“②”）。
【答案】（1）同一位置静止
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（2）> （3）
（4）②
【解析】
【小问1 详解】
为了保证小球A 碰撞小球B 之前的速度不变，每次由静止释放小球A 时必须从斜槽上同一位置静止静止滚
下。
【小问2 详解】
为了避免入射小球发生反弹，使两个小球碰撞之后都直接向前作平抛运动，则小球A 的质量
与小球B
的质量
应满足
>
。
【小问3 详解】
小球做平抛运动，则有
，
，
，
根据动量守恒定律有
解得
【小问4 详解】
图（b）中令木板与小球飞出点之间的间距为L，则有
，
，
竖直方向有
，
，
根据动量守恒定律有
解得
可知，采用图（b）实验装置验证应该是关系式②。
考点二 摆动法验证
典例1．（2025·河北省保定市定州中学·一模）某实验小组采用如图所示的装置验证动量守恒定律，小球
a、b 均为质量均匀分布的弹性小球，小球a 自由悬垂状态时恰好与支架上的小球b 接触，已知两小球的质
量关系为
，两小球的球心位于同一水平线上。
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（1）除了图中画出的器材之外，实验还需要的器材有__________（填正确答案标号）。
A. 天平和砝码
B. 刻度尺
C. 秒表
D. 弹簧测力计
（2）除了图中标识的小球a 由静止释放时细悬线与竖直方向的角度
、小球b 在支架上静止时小球到地面
的距离h、碰撞后小球b 的水平位移x 之外，实验中还需要测量的物理量有__________（填正确答案标
号）。
A. 小球a、b 的质量
B. 释放时小球a 的球心到悬点的距离L
C. 小球a 从释放到与小球b 碰撞前运动的时间
D. 碰撞后细悬线偏离竖直方向的最大角度
E. 从碰撞到落地过程小球b 运动的时间
（3）在误差允许的范围内，如果验证的关系式____________________（用图中标出的物理量及（2）中提
到的物理量的字母表示）成立，则说明小球a、b 对心碰撞过程中满足动量守恒定律。
【答案】（1）AB （2）ABD
（3）
【解析】
【小问1 详解】
验证动量守恒定律需要用天平和砝码称出两个小球的质量，需要刻度尺测量高度、长度等物理量，不需要
秒表和弹簧测力计，实验还需要的器材有AB
【小问2 详解】
根据机械能守恒定律有
解得碰前瞬间小球a 的速度
同理根据机械能守恒定律有
解得碰后瞬间小球a 的速度
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根据平抛运动规律对小球b 有
解得
如果碰撞过程中满足动量守恒定律，则有
结合上述分析，可知还需要测量的物理量有ABD。
【小问3 详解】
将
，
，
代入
化简可得
在误差允许范围内，满足此关系式即可验证小球a、b 对心碰撞过程中动量守恒。
跟踪训练1．（2025·湖南省长沙市湖南师大附中·一模）利用图甲装置验证动量守恒定律，将钢球
用细线
悬挂于
点，钢球
放在离地面高度为
的支柱上，
点到
球球心的距离为
。将
球拉至悬线与竖直线夹角为
，由静止释放后摆到最低点时恰与
球正碰，碰撞后
球运动到竖直线夹角
处，
球落到地面上，测出
球的水平位移，当地重力加速度为
。
（1）改变
角的大小，多次实验，发现钢球
、
碰撞过程不仅动量守恒，机械能也守恒，得到
的关系图线如图乙，则钢球
、
的质量之比
___________。（保留2 位有效数字）
（2）若在钢球
的被碰位置贴一小块棉布，依然将
球拉至悬线与竖直线夹角为
由静止释放，增大的
物理量是（ ）
A. 碰后
球的水平位移
B. 碰后
再次到达最高点的夹角
C. 碰撞过程中系统的总动量
D. 碰撞过程中系统动能的损失
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（3）某同学观察到，在台球桌面上，台球
以初速度
和静止的球
发生斜碰时，碰后两球的速度方向
将不在同一直线上，如图乙所示。已知两球大小相同，质量相等，若两球碰撞过程无能量损失，碰后两球
速度方向与初速度的夹角分别为
和
，则
和
满足的关系为_____________。
【答案】（1）3.0 （2）BD
（3）
【解析】
【小问1 详解】
选取向左为正方向，碰撞过程中动量守恒和机械能守恒，则有
，
联立解得
当
时，
，则
由乙图可知，
时，有
做平抛运动，则
代入数据得
联立可得
【小问2 详解】
AB．碰撞过程中，动量守恒，两球作用的时间变长，
球获得的速度变小，则碰撞后
球水平位移减小，
球碰后速度较之前变大，则碰后夹角
变大，
故A 错误，B 正确；
C．若在钢球
的被碰位置贴一小块棉布，依然将
球拉至悬线与竖直线夹角为
由静止释放，碰撞过程
中，动量守恒，碰撞过程中系统总动量不变，故C 错误；
D．贴一小块棉布后，碰撞过程中，动量守恒，碰撞过程中系统总动量不变，系统动能损失变大，故D 正
确。
故选BD。
【小问3 详解】
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设两球的质量均为
，在
方向与垂直
方向上由动量守恒定律可得
，
又由能量守恒得
结合以上三式可得
即
考点三 频闪法验证
典例1．（2025·北京市东城区·一模）如图所示，某同学用频闪相机记录P、Q 两球的碰撞过程。图中共记
录了连续7 次闪光的照片，碰撞前相邻两曝光时刻P 球的球心间距为
；碰后相邻两曝光时刻，P 球的球
心间距为
，Q 球的球心间距为
。碰撞后P、Q 两球的运动方向与P 球原运动方向的夹角分别为
、
。
已知两球的质量相等，不计一切摩擦。下列说法正确的是（ ）
A. 若碰撞过程中动量守恒，则一定有
B. 若碰撞过程中动量守恒，则一定有
C. 若碰撞过程中机械能、动量都守恒，则一定有
，且
D. 若碰撞过程中机械能、动量都守恒，则一定有
，且
【答案】D
【解析】设闪光的时间间隔为：
AB．若碰撞过程中动量守恒，需要满足
，
约分后有
，
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故AB 错误；
CD．若碰撞过程中机械能、动量都守恒，还需要满足
整理可得
碰撞前后总动量方向在同一直线上，如图所示
由于
可知
故D 正确，C 错误。
故选D。
考点四 气垫导轨、光电门验证
典例1．（2025·长沙雅礼中学·二模）某学习小组利用如图甲所示的装置验证动量守恒定律，其中左、右两
侧的光电门可以记录挡光片通过光电门的挡光时间，两滑块上挡光片的宽度相同。
主要步骤如下：
a.测得滑块
（含挡光片）的总质量为
，根据挡光片调节光电门到合适的高度；
b.将力传感器固定在气垫导轨左端支架上，加速度传感器固定在滑块
上；
c.接通气源，放上滑块，调节气垫导轨，使滑块能
导轨上保持静止状态；
d.弹簧处于原长时右端位于
点，将滑块
向左水平推动，使弹簧右端压至
点，稳定后由静止释放滑块
，并开始计时；
e.计算机采集获取数据，得到滑块
所受弹力大小
、加速度大小
随时间变化的图像如乙所示；
f.滑块
与弹簧分开后，从导轨的左侧向右运动，穿过左侧光电门与静止在两光电门之间的滑块
发生碰
撞，光电门记录的挡光片挡光时间如下表所示。
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（1）在调节气垫导轨水平时，开启充气泵，将一个滑块轻放在导轨上，轻推滑块，让滑块从左向右运动，
先后通过光电门1 和光电门2。若滑块通过光电门1 时的挡光时间比通过光电门2 时的挡光时间长，应调节
旋钮使气垫导轨右侧高度________（选填“升高”或“降低”）。
（2）通过计算机处理数据可得
和
图像与坐标轴围成的面积分别为
、
，则滑块
（含挡光
片与加速度传感器）的总质量
________。
（3）若
、
、
、
、
满足关系式________，则可验证滑块
、
组成的系统碰撞前后动量守恒。
光电门
1
光电门
2
碰
前
无
碰
后
【答案】（1）升高 （2）
（3）
【解析】
【小问1 详解】
若滑块通过光电门1 时的挡光时间比通过光电门2 时的挡光时间长，说明滑块加速运动，左端抬得过高，
则应调节旋钮使气垫导轨右侧高度升高。
【小问2 详解】
根据
由题意
，
可知
【小问3 详解】
以碰前A 的速度为正，由表中数据可知碰前A 的速度
碰后A 再次经过光电门１，说明碰后A 反弹，则碰后A 的速度
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碰后B 的速度
若动量守恒则满足
带入可知
典例2．（2025·河南省名校联盟·二模）某实验小组利用气垫导轨及手机软件“掌声计”（可以连续记录声
响产生的时刻，未画出）验证碰撞过程中动量守恒，导轨右端O 处有挡板，实验装置如图甲所示。该实验
小组选用完全相同的3 个滑块（每个滑块上都有粘扣，可使滑块碰撞后粘在一起）进行实验，主要的实验
步骤如下：
①调整底脚使气垫导轨水平，打开充气机，将滑块1、2 放置在导轨的A、B 位置，使OA=AB，打开“掌声
计”，轻推滑块3，直至1 与挡板发生碰撞，关闭“掌声计”，“掌声计”记录的时间如图乙所示；
②改变1、2 滑块在长木板上放置
位置，始终使OA=AB，重复①步骤，获取多组数据。
根据实验，完成下列问题：
（1）由图乙可知，滑块在B、A 之间运动的时间t1=________s，滑块在A、O 之间运动的时间
t2=________s；（均保留2 位有效数字）
（2）本实验中________（选填“需要”或“不需要”）测量并记录AB 和OA 的长度x；
（3）若实验所测物理量满足关系式________，则验证了两物体碰撞前后动量守恒（用所测物理量的字母
表示）。
【答案】（1） ① 4.0##4.1 ②. 6.0
（2）不需要 （3）
【解析】
【小问1 详解】
每个凸起就是一次碰撞的时刻，第1 个凸起是3 和2 碰撞的时刻，要估读，约为4.9s 或5.0s，第2 个凸起
是2、3 与1 发生碰撞的时刻，约为9.0s，第3 个凸起是1、2、3 与O 碰撞的时刻，约为15.0s，故
，
；
【小问2 详解】
设AB=OA=x，根据
整理有
17
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可知x 可消去，故不需要测量x；
【小问3 详解】
若碰撞前后动量守恒，则有
即
整理有
跟踪训练1．（2025·云南省怒江州民族中学·二模）某同学用气垫导轨验证动量守恒定律，实验装置如图1
所示。
（1）实验室有两组滑块装置。甲组两个滑块的碰撞端面装上弹性碰撞架，乙组两个滑块的碰撞端面分别
装上撞针和橡皮泥。若要求碰撞过程动能损失最小，应选择__________（填“甲”或“乙”）组的实验装
置。
（2）用螺旋测微器测量遮光条宽度d，如图2 所示，并将两块宽度均为d 的遮光条安装到两滑块上，可知
遮光条的宽度
__________
。
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（3）安装好气垫导轨和光电门，接通气源后，在导轨上轻放一个滑块，给滑块一初速度，使它从轨道右
端向左运动，发现滑块通过光电门2 的时间小于通过光电门1 的时间。为使导轨水平，可调节P 使轨道左
端__________（填“升高”或“降低”）一些。
（4）用天平测得滑块A、B 的质量（均包括遮光条）分别为
、
；调整好气垫导轨后，将滑块A 向
左弹出，与静止的滑块B 发生碰撞，碰后两滑块没有粘连，与光电门1 相连的计时器显示的挡光时间为
，与光电门2 相连的计时器显示的先后挡光时间为
和
。从实验结果可知两滑块的质量满足
_______（填“>”“<”或“=”）
；滑块A、B 碰撞过程中满足表达式_______（用所测物理量的符号
表示），则说明碰撞过程中动量守恒。
【答案】 ①. 甲 ②. 6.790##6.791##6.789 ③. 升高 ④.
⑤.
【解析】
【详解】（1）[1]乙组中两滑块碰撞后连成一体运动，是完全非弹性碰撞，动能损失较大，根据题意，应
选择甲组的实验装置。
（2）[2]螺旋测微器的读数为
（3）[3]滑块通过光电门2 的时间小于通过光电门1 的时间，说明滑块从右到左加速运动，为使导轨水平，
可调节
使轨道左端升高一些。
（4）[4]滑块
向左运动，先通过光电门1，与滑块
碰撞后，滑块A 通过光电门2，接着滑块
通过光电
门2，说明碰撞后滑块
向左运动，所以
[5]滑块A、B 碰撞前后动量守恒，则
又
、
、
，代入可得
跟踪训练2．（2025·湘豫名校联考·三模）学习小组利用如图1 所示的装置，测量滑块1、2 的质量
、
（含遮光板）。
实验器材：气垫导轨、滑块1、2（含宽度相同的遮光板）、配重块（质量已知）、弹簧、细线、光电门、
计时器等。
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实验步骤：
①打开光电门及计时装置，接通气源，调节气垫导轨水平；
②在滑块1 上固定数量不等的配重块，在两个滑块中间压缩轻质弹簧，再用细线把两个滑块连接；
③开始时让两滑块在两光电门中间处于静止状态，然后烧断细线，滑块1、2 分别向左右弹开，经过光电门
时，记录遮光板
挡光时间分别为
、
及配重片的总质量
；
④改变滑块1 上配重片的质量，多次重复实验，记录多组
、
及
值。
数据处理：在坐标纸上以
为纵轴，以配重片总质量
为横轴，画出
图如图2 所示，为一条倾斜
直线，测出纵截距为
，斜率为
。
请回答下列问题：
（1）若每次滑块弹开过程系统动量守恒，根据图像可求出滑块1 质量
___________，滑块2 质量
___________。（均用
、
表示）
（2）每次实验，弹簧的压缩量___________。（选填“可以不同”或“必须相同”）
（3）若某次实验在烧断细线前，两滑块没有处于静止状态，而是有向左的微小速度，则此次测量的数据
点处在理论直线的___________侧。（选填“上”或“下”）
【答案】（1） ①.
②.
（2）可以不同 （3）下
【解析】
【小问1 详解】
[1][2]设遮光板宽度为d，弹簧弹开后，滑块1、2 的速度大小分别为
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滑块弹开过程系统动量守恒，有0=(
可得
整理可得
可知
图为一条倾斜的直线，斜率与纵截距的意义为
，
可得
，
【小问2 详解】
由于
，与弹簧压缩量大小无关，所以每次实验，弹簧的压缩量可以不同
【小问3 详解】
若某次实验在烧断细线前，两滑块有向左的微小速度，烧断细线后，滑块1 向左的速度比理想值偏大，遮
光时间
比理想值偏小，滑块2 向右的速度比理想值偏小，遮光时间
比理想值偏大，
比理想值偏小，
此次测量的数据点处在理论直线的下侧
考点五 利用反冲验证
典例1．（2025·四川省成都市新津中学·一模）如图甲所示，某同学制作了一个弹簧弹射装置，轻弹簧两端
各放一个金属小球（小球与弹簧不连接），压缩弹簧并锁定，该系统放在内壁光滑的金属管中（管内径略
大于两球直径），金属管水平固定在离水平地面一定高度处，解除弹簧锁定，两小球向相反方向弹射，射
出管时均已脱离弹簧。现要测定弹射装置锁定时具有的弹性势能，并探究弹射过程遵循的规律，实验小组
配有足够的基本测量工具，重力加速度大小为g，按以下步骤进行实验：
①用天平测出小球P 和Q 的质量分别为m1、m2；
②用刻度尺测出管口离地面的高度H；
③解除锁定，分别记录两小球在水平地面上的落点M、N。
根据该同学的实验，回答下列问题：
（1）除上述测量外，要测定弹射装置锁定时具有的弹性势能，还需要测量的物理量是_________。
A．金属管的长度L
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B．弹簧的压缩量∆x
C．两小球从弹出到落地的时间t1、t2
D． P、Q 两小球的落地点M、N 到对应管口的水平距离x1、x2
用测量的物理量表示弹簧的弹性势能：Ep=_______________________________。
（2）若满足关系式
____________，则说明弹射过程中轻弹簧和两金属小球组成的系统动量守恒。
（用测得的物理量符号表示）
（3）若在金属管口安装光电门，则可以通过测量小球的直径得到小球离开金属管口的速度大小。若用螺
旋测微器测得小球的直径的示数如图乙所示，则小球的直径d=____________mm。
【答案】（1） ①. D ②.
（2）
（3）2.756（2.754~2.758）
【解析】
【小问1 详解】
[1][2]根据能量守恒定律有
小球离开金属管后做平抛运动，由于下落高度相同，则下落时间相等，根据平抛运动的规律有
联立可得
由此可知，需要测量的量为小球P 和Q 的质量；管口离地面的高度；两小球的落地点M、N 到对应管口的
水平距离x1、x2。
故选D。
【小问2 详解】
若两小球弹射过程中动量守恒，则
所以
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【小问3 详解】
螺旋测微器
读数为固定刻度与可动刻度之和，所以
跟踪训练1．（2025·湖南省长沙市湖南师范大学附属中学·三模）如图所示为某小组验证动量守恒的实验，
在内壁光滑、水平固定的金属管中放有轻弹簧，弹簧压缩并锁定，在金属管两端各放置一个金属小球1 和
2（两球直径略小于管径且与弹簧不相连），现解除弹簧锁定，两个小球同时沿同一直线向相反方向弹射，
然后按下列步骤进行实验：
①用天平测出两球质量
、
；
②用刻度尺测出小球1 的落点P 到管口M 的水平距离
③用刻度尺测出两管口离地面的高度h；
回答下列问题：
(1)还需要测量的一个物理量是____________；
(2)利用上述测得的实验数据，验证动量守恒的表达式是_________________；
(3)已知当地重力加速度为g，则解除弹簧锁定前，弹簧的弹性势能是______________。
【答案】 ①. 还需要测量球2 的落点Q 到管口N 的水平距离x2； ②. m1x1=m2x2 ③.
【解析】
【详解】解：(1)[1] 题中已测出两小球的质量m1、m2，两管口离地面的高度h，又测出球1 落点P 到管口
M 的水平距离x1，要验证动量守恒定律，还需要测量球2 的落点Q 到管口N 的水平距离x2。
(2)[2]两小球弹出后，做平抛运动，平抛运动时间
两小球平抛运动的初速度为
若弹射运动中系统动量守恒，则有
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代入时间得
解得
(3)[3]弹射装置将两小球弹射出金属管运动中，弹簧的弹性势能转化为两小球的动能，则
因此解除弹簧锁定前，弹簧的弹性势能是
1．（2025·甘肃省白银市·三模）某同学用如图所示的装置做验证动量守恒定律的实验．先将
球从斜槽轨
道上某固定点处由静止开始滚下，在水平地面上的记录纸上留下压痕，重复10 次；再把同样大小的b 球放
在斜槽轨道末端水平段的最右端上，让
球仍从固定点由静止开始滚下，和b 球相碰后，两球分别落在记
录纸的不同位置处，重复10 次．
（1）本实验必须测量的物理量有________．（填写选项对应的字母）
A．斜槽轨道末端距水平地面的高度H
B．小球a、b 的质量ma、mb
C．小球a、b 的半径r
D．小球a、b 离开斜槽轨道末端后平抛飞行的时间t
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E．记录纸上O 点到A、B、C 各点的距离OA、OB、OC
F．
球
固定释放点到斜槽轨道末端水平部分间的高度差h
（2）放上被碰小球b，两球（ma>mb）相碰后，小球a、b 的落地点依次是图中水平面上的_______点和
________点．
（3）某同学在做实验时，测量了过程中的各个物理量，利用上述数据验证碰撞中的动量守恒，那么判断
的依据是看________和________在误差允许范围内是否相等。
【答案】 ①. BE ②. A ③. C ④.
⑤.
【解析】（1）[1]小球离开轨道后做平抛运动，小球在空中的运动时间t 相等，如果碰撞过程动量守恒，则
有
两边同时乘以时间t 得
则
因此A 实验需要测量：两球的质量，两球做平抛运动的水平位移，故ACD 错误，BE 正确。
（2）[2][3]由图所示装置可知，小球a 和小球b 相撞后，小球b 的速度增大，小球a 的速度减小，b 球在前，
a 球在后，两球都做平抛运动，由图示可知，未放被碰小球时小球a 的落地点为B 点，碰撞后a、b 的落点
点分别为A、C 点。
（3）[4][5]由（1）可知，实验需要验证的表达式为
因此比较
，与
即可判断动量是否守恒。
2．（2025·天津市河西区·一模）如图为验证动量守恒定律的实验装置图。实验时，将斜槽固定在铁架台上，
使槽末端水平。先让质量为
的入射球多次从倾斜轨道上由静止释放，记录其在水平桌面上的平均落点位
置。然后把质量为
的被碰小球静置于槽的末端，再将入射球从倾斜轨道上由静止释放，与
相碰，并
多次重复，记录两小球在桌面上的平均落点位置。用刻度尺测量O 点到三个平均落点位置M、P、N 的距
离，分别记为
、
、
。
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（1）关于该实验，下列说法中哪些是正确的？___________（填正确答案标号）
A. 入射球和被碰球的质量必须满足
B. 入射球每次可从斜槽上任意位置释放
C. 实验中还必须测量出斜槽末端到水平地面的高度
D. 将小球静置于斜槽末端，若小球能保持静止，则说明斜槽末端水平
（2）在测量
的过程中，直尺的O 刻度与白纸上O 点对齐，测量时如图所示，则
___________cm。
（3）在误差允许范围内，表达式___________成立，则两个小球的碰撞满足动量守恒定律。（用
、
、
、
和
表示）。
【答案】（1）AD （2）43.90（43.88～43.92）
（3）
【解析】
【小问1 详解】
A．为了避免碰撞后入射球被反弹，所以要求入射球的质量大于被碰球的质量，即
，故A 正确；
B．为保证入射球每一次获得相同的初速度，故每一次入射球都要从同一位置静止释放，故B 错误；
C．小球从斜槽末端飞出后，做平抛运动，由于高度相同，所以在空中运动时间相同，即可用水平位移表
示速度，所以不需要测量小球抛出点的离地高度，故C 错误；
D．为保证小球做平抛运动，所以要将小球静置于斜槽末端，若小球能保持静止，则说明斜槽末端水平，
故D 正确。
故选AD
【小问2 详解】
由图乙所示刻度尺可知，其分度值是1mm，故读数为43.90 cm。
【小问3 详解】
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小球离开斜槽后做平抛运动，由于抛出点的高度相等，小球做平抛运动的时间t 相等，由题意可知，P 点
为碰撞前入射球的落点，M 点为碰撞后入射球的落点，N 点为碰撞后被碰球的落点，则碰撞前入射球的速
度大小
碰撞后入射球的速度大小
碰撞后被碰球的速度大小
两球碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得
整理得
3．（2025·云南省丽江市第一高级中学·二模）某同学用如图所示的装置做“验证动量守恒定律”的实验，
图中O 是斜槽末端在记录纸上的垂直投影点，P 为未放被碰小球时入射小球的平均落点，M 为与被碰小球
碰后入射小球的平均落点，N 为碰后被碰小球的平均落点。
（1）关于本实验，下列说法正确的是______（填正确答案标号）。
A. 斜槽轨道末端必须水平
B. 斜槽轨道必须光滑
C. 需要用刻度尺测量入射小球开始释放高度h 及抛出点距地面的高度H
D. 需要用天平测出入射小球的质量
和被碰小球的质量
E. 需要用秒表测量小球离开斜槽末端到落地的时间
（2）本实验中入射小球的半径
______（填“小于”“等于”或“大于”）被碰小球的半径
。要使两
小球碰撞后都向前运动，需要使入射小球的质量
______（填“小于”“等于”或“大于”）被碰小球的
质量
；如果不满足上述条件，入射小球被弹回，当斜槽轨道光滑时______（填“也会影响”或“不影
响”）实验结果。
（3）若测量
物理量满足关系式______（用所测物理量的字母表示），则入射小球和被碰小球碰撞前后
的总动量不变。
【答案】（1）AD （2） ①. 等于 ②. 大于 ③. 不影响
（3）
【解析】
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【小问1 详解】
A．要保证每次小球都做平抛运动，则轨道的末端必须水平，故A 正确；
B．斜槽轨道没必要光滑，只需要每次小球从同一高度滚下，保证抛出的初速度相等即可，故B 错误；
CDE．小球碰撞后做平抛运动，由于小球抛出点的高度相等，小球做平抛运动的时间相等，小球水平位移
与初速度成正比，可以用小球的水平位移代替小球的初速度，实验要测量入射小球的质量
和被碰小球的
质量
以及水平位移，需要刻度尺与天平，本实验不需要测量时间，不需要秒表，不需要用刻度尺测量
入射小球开始释放高度h 及抛出点距地面的高度H，故CE 错误，D 正确。
故选AD
【小问2 详解】
[1][2][3]为保证对心碰撞，本实验中入射小球的半径
等于被碰小球的半径
。为防止入射小球碰后反弹，
使两小球碰撞后都向前运动，需要使入射小球的质量
大于被碰小球的质量
；如果不满足上述条件，
入射小球被弹回，当斜槽轨道光滑时，入射小球再次从轨道射出时速度与碰后速度大小相同，不影响实验
结果。
【小问3 详解】
如果碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得
小球离开轨道后做平抛运动，它们抛出点的高度相等，在空中的运动时间t 相等，上式两边同时乘以t 得
即
4．（2025·云南省丽江市第一高级中学·一模）遵义市南白中学一实验小组某同学用如图所示的装置做验证
动量守恒定律实验。先让a 球从斜槽轨道上某固定点由静止开始滚下，在水平地面上的记录纸上留下压痕，
重复10 次；再把同样大小的b 球放在斜槽轨道末端水平段的最右端附近静止，让a 球仍从原固定点由静止
开始滚下，和b 球相碰后两球分别落在记录纸的不同位置处，重复10 次。多次实验完成后，应该用一个尽
量小的圆把多次落点圈在其中，其圆心为落点的平均位置。图中A、B、C 是各自10 次落点的平均位置。
（1）本实验必须测量的物理量有__________（填选项前的字母）。
A. 小球a、b 的半径
、
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B. 小球a、b 的质量
、
C. 斜槽轨道末端到水平地面的高度H
D. 纸上O 点到A、B、C 各点的平均距离OA、OB、OC
（2）下列说法中符合本实验要求的是__________。
A. 安装轨道时，轨道末端必须水平
B. 需要使用的测量仪器有秒表和刻度尺
C. 两球相碰时，两球心必须在同一水平面上
D. 在同一组实验的不同碰撞中，每次入射球必须从同一高度由静止释放
（3）若入射小球a 质量
，半径为
，被碰小球b 质量为
，半径为
，则实验中要求
__________
，
__________
。（选填“<”、“>”、“=”）
（4）甲同学测量得到入射球a 的质量为
，被碰撞小球b 的质量为
。图中O 点是小球抛出点在水平地
面上的垂直投影，测得图中A、B、C 与O 点的距离分别为
、
、
。用这些测量数据，写出下列相应
表达式：
①当所测物理量满足表达式__________时，即说明两球碰撞中动量守恒。
②当所测物理量满足表达式__________时，即说明两球碰撞为完全弹性碰撞。
【答案】（1）BD （2）ACD
（3） ①. > ②. =
（4） ①.
②.
（或
）
【解析】
【小问1 详解】
要验证动量守恒，需要知道碰撞前后的动量，所以要测量小球a、b 的质量
、
及碰撞前后小球的速度。
碰撞前后小球都做平抛运动，速度可以用水平位移代替。所以需要测量的量为：小球a、b 的质量
、
；
纸上O 点到A、B、C 各点的平均距离OA、OB、OC。
故选BD。
【小问2 详解】
A.斜槽轨道的末端切线必须水平，以保证小球能做平抛运动，A 正确；
B．测量平抛射程时，需要使用刻度尺。小球平抛运动高度相同，运动时间相等，不需要秒表，B 错误；
C．为了保证两球发生对心正碰，两球心必须在同一水平面上，C 正确；
D．入射球每次必须从斜槽轨道的同一位置由静止释放，从而保证到达底端时速度相同，D 正确；
故选ACD。
【小问3 详解】
入射球的质量要大于被碰球的质量，防止入射球碰后反弹，且半径相同，保证两球正碰，则实验中要求
29
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>
，
=
。
【小问4 详解】
若两球碰撞中动量守恒，则有
小球平抛运动高度相同，运动时间相等，则有
纸上O 点到A、B、C 各点的平均距离OA、OB、OC，即
。
若两球碰撞为完全弹性碰撞，则满足
根据
联立上两式可解得
当所测物理量满足表达式为
时，即可说明两球碰撞为完全弹性碰撞。
若两球碰撞为完全弹性碰撞，则满足
联立
可得
两边乘以运动时间，可得
当所测物理量满足表达式为
时，即可说明两球碰撞为完全弹性碰撞。
1．（2025·山西省晋中市·二模）实验小组要验证两滑块在碰撞过程中的动量守恒。方案设计如图1 所示，
固定在水平面上的长木板左侧带有挡板，挡板固定一个轻质弹簧，在长木板上弹簧原长O 处依次并排放置
质量分别为
、
底面粗糙程度相同的铁块A、B（此时弹簧无压缩）。
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操作过程如下：
①保持B 不动手，拿铁块A 将弹簧压缩，至某位置P 由静止释放；
②弹簧恢复原长时铁块A 与B 发生碰撞，碰后两铁块分别向右运动一段距离停下，如图2 所示，测得A、
B 静止时与O 点的距离分别为
、
；
③拿走铁块B，重复步骤①，测得铁块A 停下时到O 点的距离为
，如图3 所示，又测得A、B 沿运动方
向的宽度分别为
、
。
（1）为保证实现上述实验目标，应使
_________
（填“>”“=”或“<”），若等式_________（用
、
及以上步骤中测得的物理量表示）成立，则说明碰撞过程A、B 组成系统动量守恒。
（2）若两铁块与木板间的动摩擦因数为
，重力加速度为g，忽略偶然因素造成的误差，则可求得碰撞过
程系统损失的机械能为_________。
【答案】（1） ①. > ②.
（2）
【解析】
【小问1 详解】
[1]由于碰后两铁块分别向右运动，为保证实现上述实验目标，应使
>
[2]若等式
成立，则说明碰撞过程A、B 组成系统动量守恒。因为离开弹簧后A、B 都做
匀减速直线运动到速度减为零，且根据牛顿第二定律
知
相同，根据运动学公式
可推得
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根据题意拿走铁块B，测得铁块A 停下时位移为
， A 与B 发生碰撞后两铁块分别向右运动一段距离停
下时位移分别为
、
，故
故可表示为
【小问2 详解】
若两铁块与木板间的动摩擦因数为
，重力加速度为g，忽略偶然因素造成的误差，根据能量守恒，可求
得碰撞过程系统损失的机械能为
离开弹簧后，对各铁块分别运用动能定理
，
，
联立解得
1．（2024 年山东卷第13 题）在第四次“天宫课堂”中，航天员演示了动量守恒实验。受此启发，某同学
使用如图甲所示的装置进行了碰撞实验，气垫导轨两端分别安装a、b 两个位移传感器，a 测量滑块A 与它
的距离xA，b 测量滑块B 与它的距离xB。部分实验步骤如下：
①测量两个滑块的质量，分别为200.0g 和400.0g；
②接通气源，调整气垫导轨水平；
③拨动两滑块，使A、B 均向右运动；
④导出传感器记录的数据，绘制xA、xB随时间变化的图像，分别如图乙、图丙所示。
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回答以下问题：
（1）从图像可知两滑块在t=_________s 时发生碰撞；
（2）滑块B 碰撞前的速度大小v=_____________ m/s （保留2 位有效数字）；
（3）通过分析，得出质量为200.0g 的滑块是________（填“A”或“B”）。
【答案】（1）1.0 （2）0.20 （3）B
【解析】【小问1 详解】
由
图像的斜率表示速度可知两滑块的速度在
时发生突变，即这个时候发生了碰撞；
【小问2 详解】
根据
图像斜率的绝对值表示速度大小可知碰撞前瞬间B 的速度大小为
【小问3 详解】
由题图乙知，碰撞前A 的速度大小
，碰撞后A 的速度大小约为
，由题图丙可
知，碰撞后B 的速度大小为
，A 和B 碰撞过程动量守恒，则有
代入数据解得
所以质量为200.0g 的滑块是B。
2．（2024 年新课标卷第9 题）某同学用如图所示的装置验证动量守恒定律。将斜槽轨道固定在水平桌面
上，轨道末段水平，右侧端点在水平木板上的垂直投影为O，木板上叠放着白纸和复写纸。实验时先将小
球a 从斜槽轨道上Q 处由静止释放，a 从轨道右端水平飞出后落在木板上；重复多次，测出落点的平均位
33
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置P 与O 点的距离x，将与a 半径相等的小球b 置于轨道右侧端点，再将小球a 从Q 处由静止释放，两球
碰撞后均落在木板上；重复多次，分别测出a、b 两球落点的平均位置M、N 与O 点的距离
、
。
完成下列填空：
（1）记a、b 两球的质量分别为
、
，实验中须满足条件
______
（填“>”或“<”）；
（2）如果测得的
、
、
、
和
在实验误差范围内满足关系式______，则验证了两小球在碰撞
中满足动量守恒定律。实验中，用小球落点与O 点的距离来代替小球水平飞出时的速度，依据是______。
【答案】（1）> （2） ①.
②. 小球离开斜槽末端后做平抛运动，竖直方
向高度相同故下落时间相同，水平方向匀速运动直线运动，小球水平飞出时的速度与平抛运动的水平位移
成正比。
【解析】【小问1 详解】
了保证小球碰撞为对心正碰，且碰后不反弹，要求
；
【小问2 详解】
[1]两球离开斜槽后做平抛运动，由于抛出点的高度相等，它们做平抛运动的时间t 相等，碰撞前a 球的速
度大小
碰撞后a 的速度大小
碰撞后b 球的速度大小
如果碰撞过程系统动量守恒，则碰撞前后系统动量相等，则
整理得
[2]小球离开斜槽末端后做平抛运动，竖直方向高度相同故下落时间相同，水平方向匀速运动直线运动，小
球水平飞出时的速度与平抛运动的水平位移成正比。
3．（2023 年辽宁卷第11 题）某同学为了验证对心碰撞过程中的动量守恒定律，设计了如下实验：用纸板
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搭建如图所示的滑道，使硬币可以平滑地从斜面滑到水平面上，其中OA 为水平段。选择相同材质的一元
硬币和一角硬币进行实验。
测量硬币的质量，得到一元和一角硬币的质量分别为
和
(
)。将硬币甲放置在斜面一某一位置，
标记此位置为B。由静止释放甲，当甲停在水平面上某处时，测量甲从O 点到停止处的滑行距离OP。将
硬币乙放置在O 处，左侧与O 点重合，将甲放置于B 点由静止释放。当两枚硬币发生碰撞后，分别测量甲
乙从O 点到停止处的滑行距离OM 和ON。保持释放位置不变，重复实验若干次，得到OP、OM、ON 的平
均值分别为
、
、
。
（1）在本实验中，甲选用的是____（填“一元”或“一角”）硬币；
（2）碰撞前，甲到O 点时速度的大小可表示为_____（设硬币与纸板间的动摩擦因数为μ，重力加速度为
g）；
（3）若甲、乙碰撞过程中动量守恒，则
_____（用
和
表示），然后通过测得
具体数
据验证硬币对心碰撞过程中动量是否守恒；
（4）由于存在某种系统或偶然误差，计算得到碰撞前后甲动量变化量大小与乙动量变化量大小的比值不
是1，写出一条产生这种误差可能的原因____。
【答案】 ①. 一元 ②.
③.
④. 见解析
【解析】（1）[1]根据题意可知，甲与乙碰撞后没有反弹，可知甲的质量大于乙的质量，甲选用的是一元
硬币；
（2）[2]甲从
点到
点，根据动能定理
解得碰撞前，甲到O 点时速度的大小
（3）[3]同理可得，碰撞后甲的速度和乙的速度分别为
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若动量守恒，则满足
整理可得
（4）[4]由于存在某种系统或偶然误差，计算得到碰撞前后甲动量变化量大小与乙动量变化量大小的比值
不是1，写出一条产生这种误差可能的原因有：
1.测量误差，因为无论是再精良的仪器总是会有误差的，不可能做到绝对准确；
2.碰撞过程中，我们认为内力远大于外力，动量守恒，实际上碰撞过程中，两个硬币组成的系统合外力不
为零。
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