专题4.2 任意角和弧度制、三角函数的概念（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1
终边相同的角】...........................................................................................................................................1
【题型2
象限角及其判定】.......................................................................................................................................2
【题型3
弧度制】....................................................................................................................................................... 4
【题型4
扇形的弧长与面积的计算】.......................................................................................................................6
【题型5
任意角的三角函数的定义及应用】...........................................................................................................8
【题型6
三角函数值符号的判定】...........................................................................................................................9
第二部分分层突破
A 组
基础跟踪练
B 组
培优提升练
C 组
真题·实战演练
【题型1
终边相同的角】
1．（25-26 高一上·云南楚雄·期末）与−2025°角的终边相同的最小正角是（
）
A．45°
B．135°
C．225°
D．2025°
【答案】B
【解题思路】根据角度制的运算法则，得到−2025° =−360° × 6 + 135°，即可求解.
【解答过程】根据角度制的运算法则，可得−2025° =−360° × 6 + 135°，
所以与−2025°角的终边相同的最小正角是135°.
故选：B.
2．（25-26 高一上·天津·期末）下列各角中与420°终边相同的角是（
）
A．30°
B．60°
C．120°
D．240°
【答案】B
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【解题思路】根据终边相同的角的定义判断即可.
【解答过程】与420°终边相同的角�可以表示为�= 420° + �× 360°, �∈�，
当�=−1 时�= 60°，当�= 1 时�= 780°，当�=−2 时�=−300°，
当�<−2 且�∈�时�<−300°，当�> 1 且�∈�时�> 780°，
故符合题意的只有60°.
故选：B.
3．（25-26 高一上·湖南湘潭·期末）与
π
6终边相同的角所构成的集合是（
）
A．��= 2�π + 30° , �∈�
B．��= �⋅360° +
π
6 , �∈�
C．��= �⋅180° + 30° , �∈�
D．��= 2�π +
π
6 , �∈�
【答案】D
【解题思路】根据终边相同的角的集合的表示方法求解即可.
【解答过程】由各选项分析可知，弧度制和角度在同一集合内不可混合出现，故A、B 错误.
与
π
6终边相同的角的集合为��= 2�π +
π
6 , �∈�，表示为角度制为��= 30° + �⋅360°, �∈�，C 错误，
D 正确.
故选：D.
4．（25-26 高一上·甘肃兰州·期末）与2026°角终边相同的角是（
）
A．26°
B．116°
C．134°
D．226°
【答案】D
【解题思路】利用终边相同的角表达式�= �+ �⋅360° �∈�，将2026°拆分成360°的整数倍加上一个0° ∼
360°之间的角，则这个角就是与2026°角终边相同的角.
【解答过程】因为2026° = 226° + 5 × 360°，
所以与2026°角终边相同的角是226°.
故选：D.
【题型2
象限角及其判定】
5．（25-26 高一上·陕西咸阳·期末）−2025∘30'是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
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【答案】B
【解题思路】通过将角度−2025°30′ 表示为−360°×6+134°30′，利用终边相同的角的性质，判断出它是第二
象限角.
【解答过程】因为−2025∘30' =−360∘× 6 + 134∘30'，所以−2025°30'与134°30'终边相同，
因为134°30'是第二象限角，所以−2025°30'是第二象限角．
故选：B.
6．（25-26 高一下·黑龙江·开学考试）已知角�=−1670∘，则角�为（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】B
【解题思路】根据题意可得�= 130∘−5 × 360∘，进而判断角�所属象限即可.
【解答过程】已知角�=−1670∘，所以�=−1670∘= 130∘−5 × 360∘，故角�为第二象限角.
故选:B.
7．（25-26 高一下·全国·课堂例题）若�是第二象限角，则
�
3是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第四象限角
D．第一象限或第二象限或第四象限角
【答案】D
【解题思路】根据第二象限角的范围，求出30° + 120° ⋅�<
�
3 < 60° + 120° ⋅�，再分类讨论得出象限即可.
【解答过程】∵90° + �⋅360° < �< 180° + 360° ⋅�，�∈Z，
∴30° + 120° ⋅�<
�
3 < 60° + 120° ⋅�，�∈Z，
当�= 0 + 3�, �∈Z 时，30° + �× 360° <
�
3 < 60° + �× 360°, �∈�，
�
3是第一象限角；
当�= 1 + 3�, �∈Z 时，150° + �× 360° <
�
3 < 180° + �× 360°, �∈Z，
�
3是第二象限角；
当�= 2 + 3�, �∈Z 时，270° + �× 360° <
�
3 < 300° + �× 360°, �∈Z，
�
3是第四象限角.
故选：D.
8．（2026 高三·全国·专题练习）设�是第三象限角，且cos
�
2 =−cos
�
2，则
�
2是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】B
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【解题思路】由�是第三象限角推断
�
2是第二或第四象限角，结合cos
�
2 =−cos
�
2即可判断
�
2所在象限.
【解答过程】因�是第三象限角，则π + 2�π < �<
3
2 π + 2�π, �∈Z，
所以
π
2 + �π <
�
2 <
3
4 π + �π, �∈Z，
当�= 2�, �∈Z 时，
π
2 + 2�π <
�
2 <
3
4 π + 2�π, �∈Z，即
�
2是第二象限角；
当�= 2�+ 1, �∈Z 时，
3π
2 + 2�π <
�
2 <
7
4 π + 2�π, �∈Z，即
�
2是第四象限角.
又由cos
�
2 =−cos
�
2可知cos
�
2 ≤0，
所以
�
2是第二象限角.
故选：B.
【题型3
弧度制】
9．（25-26 高一上·重庆万州·阶段检测）将钟表的分针拨快20 分钟，则时针转过的角的弧度数为（
）
A．
π
18
B．−
π
18
C．
π
3
D．−
π
3
【答案】B
【解题思路】根据任意角的概念即可求解.
【解答过程】将钟表的分针拨快20 分钟，时针顺时针旋转
2π
12 ×
20
60 =
π
18，
所以时针转过的角度为−
π
18.
故选：B.
10．（25-26 高一上·福建厦门·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48 齿，小轮有20 齿，已知大轮6
秒转动一周，小轮1 秒转动的角度大小是（
）
A．
5π
36
B．
π
3
C．
4π
5
D．
12π
5
【答案】C
【解题思路】根据相互啮合的齿轮，转过的齿数相等求解即可.
【解答过程】两个啮合的齿轮，线速度相同，单位时间内通过的齿数相等.
大轮有48 齿，6 秒转动一周，则每秒转过齿数为48 ×
1
6 = 8 齿，
小轮有20 齿，每秒同样转过8 齿，
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因此小轮每秒转过的周数为
8
20 =
2
5周，每周转过的角度为2π弧度，
故小轮每秒转动的角度大小为
2
5 × 2π =
4π
5 弧度.
故选：C.
11．（25-26 高二上·江西宜春·期末）时钟的分针在8 点20 分到8 点30 分这段时间里转过的弧度数为（
）
A．
π
6
B．−
π
6
C．
π
3
D．−
π
3
【答案】D
【解题思路】求出分针旋转的速度，乘以10 分钟，即可得到分针在8 点20 分到8 点30 分这段时间里转过
的弧度数.
【解答过程】因为分针旋转的速度是
−2π
60 rad/分钟，
所以在8 点20 分到8 点30 分这段时间，分针旋转了10 ×
−2π
60 rad =−
π
3 rad.
故选：D.
12．（25-26 高三下·海南·阶段检测）现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上
的位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置，根据描述，从立冬到立春对
应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（
）
A．−
π
3
B．
π
3
C．
5π
12
D．
π
2
【答案】D
【解题思路】由弧度与角度的关系即可得解.
【解答过程】根据题意，从立冬到立春对应地球在黄道上逆时针运动所对圆心角的度数为6 × 15° = 90°，即
弧度数为
π
2．
故选：D．
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【题型4
扇形的弧长与面积的计算】
13．（25-26 高三上·湖南长沙·期末）扇子发源于我国，我国的扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的
一个组成部分，历来我国有“制扇王国”之称.现有某工艺厂生产的一款优美的扇环形扇子，如图所示，其扇
环面是由画有精美图案的油布构成，扇子对应的扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm，油布径长
（外环半径与内环半径之差）为24cm，则该扇子的油布面积大约为（油布与扇子骨架皱折部分忽略不计）
A．1024cm2
B．768cm2
C．640cm2
D．512cm2
【答案】B
【解题思路】设扇子对应的扇形的圆心角为��> 0 ，内环的半径为�cm，外环的半径为�cm，利用扇形面积
公式计算即可得出结果.
【解答过程】设扇子对应的扇形的圆心角为��> 0 ，内环的半径为�cm，外环的半径为�cm，
则�−�= 24，因为扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm，
所以��= 48
��= 16 ，则��+ �= 64，所以该扇子的油布面积为�=
1
2 ��2 −�2 =
1
2 ��+ �
�−�=
1
2 × 64 ×
24 = 768cm2.
故选：B.
14．（2026·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是
△���的外接圆的圆弧，另一个是以AB 为直径的圆的一部分圆弧，已知∠���=
2π
3 ，��= ��= 1，则该
月牙形即阴影部分面积为（
）
A．
3
4 +
π
24
B．
3
4 −
π
24
C．
1
4 +
π
24
D．
3 3
4 −
π
8
【答案】A
【解题思路】根据圆和扇形面积的计算方法，分别求出弓形的面积和半圆的面积，作差可得月牙形面积.
【解答过程】
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如图所示，根据已知和图形知��=
��2 + ��2 −2��⋅��cos∠���=
3，
设以△���为外接圆的圆心为�，直径2�由正弦定理得2�=
��
sin2�
3
=
3
3
2
= 2，即�= 1，
在圆�中，根据圆心角和圆周角的关系，可知∠���=
2π−2∠���
2
=
2�
3 ，
由扇形面积公式可得�弓形���= �扇形−�△���=
1
2 ⋅�2 ⋅
2π
3 −
1
2 ⋅�⋅�⋅sin
2π
3 =
π
3 −
3
4 ，
易知以��直径的半圆的半径为�=
3
2 ，即�半圆=
1
2 π�2 =
1
2 π ⋅
3
2
2
=
3π
8 ，于是
�月牙=
3π
8 −
π
3 −
3
4
=
3
4 +
π
24，
故选：A.
15．（2026·广东江门·模拟预测）已知扇形的周长为10，当扇形面积取得最大值时，圆心角的大小是
__________.
【答案】2 弧度
【解题思路】设扇形的半径为�，则弧长为�= 10 −2�，结合面积公式计算面积取得最大值时�的取值，再用
圆心角公式即可得弧度数.
【解答过程】设扇形的半径为�，弧长为�，圆心角的弧度数为�，则�+ 2�= 10，即�= 10 −2�，
所以扇形面积�=
1
2 ��=
1
2 �(10 −2�) =−�2 + 5�=−�−
5
2
2
+
25
4 ，
所以当�=
5
2时，�取得最大值为
25
4 ，此时�= 10 −2 ×
5
2 = 5，
所以圆心角为�=
�
�=
5
5
2
= 2（弧度）.
故答案为：2 弧度.
16．（2026·山西·三模）如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转．主
动轮有20 齿，被动轮有48 齿，主动轮的转速为240r/min（转/分），被动轮的半径为24 cm，则被动轮周
上一点每1 s 转过的弧长是__________cm．
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【答案】80π
【解题思路】把分钟转速转换成秒转速问题，然后借助比例来求出被动轮的转速，最后利用弧长公式求解即
可.
【解答过程】由题意知，主动轮的转速为4r/s，则被动轮1 s 转过的角度大小为
20
48 × 4 × 2π =
10
3 π，
所以弧长为24 ×
10
3 π = 80π cm .
故答案为：80π cm .
【题型5
任意角的三角函数的定义及应用】
17．（25-26 高三上·湖南娄底·期末）在平面直角坐标系���中，角�的始边为�轴的非负半轴，终边为射线��，
已知点�
3
5 ,
4
5 ，则tan�的值为（
）
A．
4
3
B．
3
4
C．
3
5
D．
4
5
【答案】A
【解题思路】根据三角函数的定义计算可得.
【解答过程】因为角�的终边过点�
3
5 ,
4
5 ，所以tan�=
4
5
3
5
=
4
3.
故选：A.
18．（25-26 高三上·北京朝阳·期中）已知角�的终边经过点
1
2 , −
1
2 ，则cos�=（
）
A．
1
2
B．−
1
2
C．
2
2
D．−
2
2
【答案】C
【解题思路】根据余弦函数的定义，代入计算，即可得答案.
【解答过程】因为角�的终边经过点
1
2 , −
1
2 ，所以cos�=
1
2
1
2
2
+ −1
2
2 =
2
2 .
故选：C.
19．
（25-26 高三上·贵州铜仁·期末）已知角�的顶点与原点重合，始边与�轴的非负半轴重合，终边经过点1, −
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2 ，则
cos2�+sin�cos�
cos2�
=（
）
A．−2
B．−1
C．
1
4
D．
1
3
【答案】D
【解题思路】根据三角函数的定义求出tan�=−2，利用二倍角公式和商数关系化简原式即可求解.
【解答过程】角�的终边经过点1, −2 ，则tan�=−2，
所以
cos2�+sin�cos�
cos2�
=
cos2�+sin�cos�
cos2�−sin2�
=
1+tan�
1−tan2�=
1+(−2)
1−(−2)2 =
1
3.
故选：D.
20．（2026 高一·全国·专题练习）在平面直角坐标系���中，角�与角�均以x 轴的非负半轴为始边，它们的
终边关于直线�=−�对称．若sin�=
3
5，则cos�=（
）
A．
3
5
B．−
3
5
C．
4
5
D．−
4
5
【答案】B
【解题思路】分别讨论角�的终边在第一象限和第二象限，由三角函数的定义求解即可.
【解答过程】因为sin�=
3
5，
所以角�的终边在第一象限或第二象限
若角�的终边在第一象限，设终边上一点��, �，则�关于�=−�对称点�′ −�, −�在�终边上，
此时cos�=
−�
−�2+ −�2 =
−�
�2+�2 =−sin�=−
3
5；
若角�的终边在第二象限，设终边上一点��, �，则�关于�=−�对称点�′ −�, −�在�终边上，
此时cos�=
−�
−�2+ −�2 =
−�
�2+�2 =−sin�=−
3
5.
故选：B.
【题型6
三角函数值符号的判定】
21．（25-26 高三上·黑龙江·阶段检测）已知cos�> 0,tan�< 0，则�为（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】D
【解题思路】直接由三角函数在各象限的符号取交集得答案.
【解答过程】根据三角函数的定义，由tan�< 0，可得�为第二或第四象限角；
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由cos�> 0，可得�为第一、第四象限及�轴非负半轴上的角，
综上可得，�是第四象限角．
故选：D.
22．（25-26 高三下·四川德阳·阶段检测）若π < �<
3π
2 ，则点�cos�, tan�位于第（
）象限．
A．一
B．二
C．三
D．四
【答案】B
【解题思路】根据象限角判断三角函数值的符号，即可得结果.
【解答过程】因为π < �<
3π
2 ，则cos�< 0, tan�> 0，
所以点�cos�, tan�位于第二象限.
故选：B.
23．（25-26 高三上·天津西青·期中）若�为第四象限角，则下列结论正确的是（
）
A．sin2�> 0
B．sin2�< 0
C．cos2�> 0
D．cos2�< 0
【答案】B
【解题思路】根据条件求2�所在象限，再由三角函数在各象限符号求解.
【解答过程】由α为第四象限角，可得
3π
2 + 2�π < �< 2π + 2�π, �∈Z，
所以3π + 4�π < 2�< 4π + 4�π, �∈Z
此时2�的终边落在第三、四象限及�轴的非正半轴上，所以sin2�< 0
故选：B.
24．（25-26 高一下·北京·阶段检测）已知角�终边上有一点�(2sin3, −2cos3)，则�为（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】A
【解题思路】利用三角函数值的符号判断点�所在象限即可.
【解答过程】依题意，
π
2 < 3 < π，则sin3 > 0, cos3 < 0，即2sin3 > 0, −2cos3 > 0，
所以点�在第一象限，即�为第一象限角.
故选：A.
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一、单选题
1．（25-26 高三上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（
）
A．第二象限角比第一象限角大
B．60°角与600°角是终边相同的角
C．sin
12π
5 与tan
6π
5 都是正数
D．将表的分针拨慢10 分钟，则分针转过的角的弧度数为
π
6
【答案】C
【解题思路】根据终边相同的角的定义及三角函数值在各象限的符号可得.
【解答过程】对于A：如−200°是第二象限角，30°是第一象限角，−200° < 30°，所以A 错误；
对于B：因为600° = 360° + 240°，所以600°角与240°角是终边相同的角，所以B 错误；
对于C：因为
12π
5 = 2π+
2π
5 ，所以
12π
5 与
2π
5 是终边相同的角，是第一象限角，
所以sin
12π
5 是正数，因为
6π
5 是第三象限角，所以tan
6π
5 是正数，所以C 正确；
对于D：将表的分针拨慢10 分钟，则分针转过的角的弧度数为
π
3，所以D 错误.
故选：C.
2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知�为第一象限角，且�的终边经过点�sin�, 6cos�，则tan�=（
）
A．
6
2
B．6
C．2 6
D．6
【答案】B
【解题思路】根据终边相同的角的定义，即可得解.
【解答过程】由题得tan�=
6cos�
sin�，所以tan2�= 6，
又�为第一象限角，所以tan�> 0，所以tan�=
6.
故选：B.
3．（2026·贵州安顺·二模）已知角�的终边经过点�−3,4 ，则cos
π
2 + �=（
）
A．−
3
5
B．−
4
5
C．
3
5
D．
4
5
【答案】B
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【解题思路】根据三角函数值的定义求sin�，再结合诱导公式运算求解.
【解答过程】因为角�的终边经过点�−3,4 ，则sin�=
4
−3 2+42
=
4
5，
所以cos
π
2 + �=−sin�=−
4
5.
故选：B.
4．（25-26 高一上·甘肃白银·期末）春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的24 节气．它
将黄道（地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆）分为24 等份，每等份为一个节气，2022
年10 月8 日为寒露，经过霜降､立冬､小雪及大雪后，便是冬至，则从寒露到冬至，地球公转的弧度数约为
（
）
A．
π
4
B．
π
3
C．
5π
12
D．
π
2
【答案】C
【解题思路】求出每一等份的度数，从寒露到冬至经历了5 个节气，进而可得答案
【解答过程】由题意知，把圆分成24 等份，每一等份为
2π
24 =
π
12，从寒露到冬至经历了5 个节气，所以地球公
转的弧度数约为
π
12 × 5 =
5π
12．
故选：C.
5．（2026·山东·一模）已知角�的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，角�的终边过点�6, �，�∈�，
若cos
π
2 + �=
4
5，则tan�的值是（
）
A．
3
4
B．−
3
4
C．
4
3
D．−
4
3
【答案】D
【解题思路】根据三角函数的定义可得�=−8，进而可求正切，
【解答过程】因为cos
π
2 + �=
4
5，所以−sin�=
4
5，
由三角函数定义得sin�=
�
62+�2 =−
4
5，
两边平方解得�2 = 64，又sin�=−
4
5 < 0，故�< 0 ，
∴�=−8 ．即tan�=
�
�=
−8
6 =−
4
3．
故选：D.
6．（2026·广东·模拟预测）已知扇形的圆心角�=
π
3，半径�= 100．若仅将�减小30∘，则扇形的面积减小
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了（
）
A．
125π
9
B．
301π
7
C．
7π
81
D．
2500π
3
【答案】D
【解题思路】由扇形的面积公式即可.
【解答过程】因为30∘=
π
6 ，
π
3 −
π
6 =
π
6，半径�= 100．且减小的部分也为扇形，
则由扇形面积公式可得则扇形的面积Δ�=
1
2 ��2 =
1
2 ×
π
6 × 1002 =
2500π
3
.
故选：D.
7．（25-26 高三·全国·一轮复习）扇子是引风用品，夏令必备之物：我国传统扇文化源远流长，是中华文化
的一个组成部分．历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工
艺品．扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇，如图1 是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或
线绢做扇面而制成的．完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2 中∠���= �，�、�分别在��、��上，
��= ��= �，��
Ⴃ的长为�，则该折扇的扇面����的面积为（
）
A．
��−�
2
B．
��−��
2
C．
�2�−�
2
D．
�2�−��
2
【答案】D
【解题思路】求出扇形���的半径，可求出扇形���的面积�1，求出扇形���的半径，可得出扇形���的面
积�2，由此可得出该折扇的扇面����的面积为�= �1 −�2，即为所求.
【解答过程】因为��= ��= �，��
Ⴃ的长为�，∠���= �，
设扇形���的半径为�，则�= ��，所以�=
�
�，
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所以扇形���的面积为�1 =
1
2 × �⋅�=
1
2 × �×
�
�=
�2
2�，
��= ��= �−�=
�
�−�=
�−��
�，
所以扇形���的面积�2 =
1
2 ��2 ⋅�=
�−��2
2�
，
所以折扇的扇面����的面积�= �1 −�2 =
�2
2�−
(�−��)2
2�
=
�2�−��
2
．
故选：D．
二、填空题
8．（2026·甘肃平凉·一模）已知角�的终边经过点�−8, −6 ，则�的正弦值为__________．
【答案】−
3
5
【解题思路】由正弦函数定义即可计算求解.
【解答过程】由题可得�= ��=
−8 2 + −6
2
= 10，
所以�的正弦值为sin�=
−6
10 =−
3
5.
故答案为：−
3
5.
9．（25-26 高一下·北京·期中）已知角�的终边与单位圆交于点P �, −
4
5 ，则cos�⋅tan�=___________.
【答案】−
4
5
【解题思路】本题可先根据三角函数的定义求出sin�,再根据同角三角函数关系式化简计算cos�⋅tan�.
【解答过程】已知点�(�, −
4
5 )在单位圆上，单位圆的半径�= 1，根据三角函数的定义，sin�=
�
�=−
4
5.
所以cos�⋅tan�= sin�=−
4
5.
故答案为：−
4
5.
10．（25-26 高一下·河北张家口·开学考试）周长为4cm 的扇形取得面积最大值时的半径为__________cm.
【答案】1
【解题思路】利用扇形周长公式和面积公式，由二次函数性质可得当�= 1 时，面积最大.
【解答过程】设扇形的半径为�，圆心角为�，
因此��+ 2�= 4，即�=
4−2�
�,
扇形面积为�=
1
2 ��2 =
1
2 ×
4−2�
�
�2 =−�2 + 2�=−�−1 2 + 1，
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可知当�= 1 时，面积最大为1.
故答案为：1.
11．（2026·上海黄浦·一模）已知角�的顶点与坐标原点重合，始边与�轴的正半轴重合，终边与以坐标原点
为圆心、1 为半径的圆交于点�，若点�的横坐标与纵坐标之和为
1
2，则tan�+ cot�的值为__________．
【答案】−
8
3
【解题思路】设��, �，根据条件求解出��的值，再根据
�2+�2
��
= tan�+ cot�，代入数值可求结果.
【解答过程】设��, �，由题意可知
�2 + �2 = 1
�+ �=
1
2
，所以��=
�+�2−�2+�2
2
=
−3
4
2 =−
3
8，
所以
�2+�2
��
=
�
�+
�
�= tan�+ cot�=
1
−3
8
=−
8
3，
故答案为：−
8
3.
12．（25-26 高三上·河南濮阳·阶段检测）如图，��= ��= 24cm，∠���= 135∘，�为��的中点，则扇
面（图中扇环）部分的面积是___________cm2．
【答案】162�
【解题思路】运用扇环的定义，两个同心扇形（圆心相同）的面积差利用扇形面积公式求解两个扇形的面积
差.
【解答过程】由题意知，∠���= 135∘=
3�
4 ，��=
��
2 = 12cm，
因为�扇环= �扇形
���−�扇形
���，
由扇形面积公式得:
�扇形���= 1
2 × 3�
4 × 242 = 216�cm2 ，
�扇形���= 1
2 × 3�
4 × 122 = 54�cm2
所以�扇环= 216�−54�= 162�cm2 ．
故答案为：162�.
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一、单选题
1．
（25-26 高一下·辽宁·期中）受鲁洛克斯三角形的启发，我们可以得到没有尖点的圆弧图形.如图，已知△���
的所有边长均为�，把△���的各边分别向两个方向延伸长度为�的一段，然后以三个顶点为圆心分别画圆
弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为�+ �，内角的对顶角所对的圆弧的半径均为�，由这样的六条圆弧
组成圆弧六边形.已知该圆弧六边形的面积为13π −8 3，周长为6π，则�−�=（
）
A．2
B．
5
2
C．
8
3
D．3
【答案】D
【解题思路】根据扇形的面积公式及弧长公式列出方程计算即可.
【解答过程】由题意可得圆弧六边形的面积为：
�= 3 × 1
2 × π
3 × �+ �2 + 3 × 1
2 × π
3 × �2 −2 ×
3
4 �2
=
π
2 �2 + 2��+ 2�2 −
3
2 �2 = 13π −8 3①，
圆弧六边形的周长为：
�= 3 ×
π
3 × �+ �+ 3 ×
π
3 × �= π �+ 2�= 6π，即�+ 2�= 6②，
联立①②，解得�= 4，�= 1，所以�−�= 3.
故选：D.
2．（2026·北京·模拟预测）如图，半径为1 的圆�与直线�相切于点�，点�，�同时从�点出发，点�沿着直
线�向右、点�沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当点�运动到点�时，点�，�同时停止运动．连接
��，��，��与圆�交于点�，记扇形���的面积为�1，��
Ⴃ与线段��，��围成的面积记为�2，点�，�运动
过程中，下列关系中正确的是（
）
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A．�1 + �2 ≤π
B．�2 <
3π
4
C．�1 = �2
D．�1 < �2
【答案】C
【解题思路】分别表示出两个图形的面积，结合选项判断即可.
【解答过程】设�, �运动路程为�，��
Ⴃ= ��= �，设∠���= �, ∠���= �，
由弧长公式：�= �⋅�= �，
�1 =
1
2 �−�⋅�2 =
1
2 �−�=
1
2 �−�，�△���=
1
2 ��⋅��=
1
2 �，
扇形���的面积为
1
2 �⋅�2 =
1
2 �，所以�2 =
1
2 �−
1
2 �=
1
2 �−�，即�1 = �2，C 正确，D 不正确；
因为�最大可取2π，�∈0,
π
2 ，所以�1 + �2 = �−�<
3π
2 ，A 不正确；
当�取2π时，��= 2π,此时tan�= 2π，故存在�2 =
1
2 �−�≥
3π
4 ，B 不正确.
故选：C.
二、填空题
3．（25-26 高一下·贵州遵义·阶段检测）如图1，这是杭州第19 届亚运会会徽，名为“潮涌”．如图2，这是
“潮涌”的平面图，若��= 2��，则图形����的面积与扇形���的面积的比值是__________．
【答案】
3
4
【解题思路】利用扇形面积公式�=
1
2 ��2，分别求出扇形���和扇形���的面积，作差得图形����的面积，
再求比值即可.
【解答过程】设扇形的圆心角∠���= ∠���= �，��= �，则��= 2�，
由扇形面积公式可知�扇���=
1
2 ��2，�扇���=
1
2 �2�2 = 2 ��2，
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所以�����= �扇���−�扇���=
3
2 ��2，
所以
�����
�扇���
=
3
2 ��2
2 ��2 =
3
4.
故答案为：
3
4.
4．（25-26 高一上·湖南邵阳·阶段检测）如图，“水滴”是由线段��, ��和圆的优弧��所围成的封闭图形，其
中��, ��恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点�到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该“水滴”的面
积为__________.
【答案】4 3 +
8π
3
【解题思路】取优弧��
Ⴃ所在圆的圆心�，连接��, ��, ��，易得��⊥��, ��⊥��，进而结合扇形的面积公
式求解即可.
【解答过程】如图，取优弧��
Ⴃ所在圆的圆心�，连接��, ��, ��，
则��⊥��, ��⊥��，则��= 4, ��= ��= 2，
所以∠���= ∠���=
π
6，则∠���=
2π
3 ，
故优弧��
Ⴃ对应的圆心角为
4π
3 ，对应的扇形面积为
1
2 ×
4π
3 × 22 =
8π
3 ．
而��= ��=
42 −22 = 2 3，
故�△���= �△���=
1
2 × 2 3 × 2 = 2 3，
所以该“水滴”的面积为
8
3 π + �△���+ �△���= 4 3 +
8π
3 ．
故答案为：4 3 +
8π
3 .
三、解答题
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5．（25-26 高一上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，角�、�的顶点与原点�重合，始边与�轴
的非负半轴重合，终边��、��分别与单位圆交于�、�两点，
π
4 < �<
π
2，
π
2 < �< π，∠���=
π
2.
(1)若�的横坐标为
3
5，求
sin π−�
cos
π
2+�的值；
(2)若sin�+ sin�=
5
4，求tan�的值.
【答案】(1)−
4
3
(2)
16+5 7
9
【解题思路】（1）由三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系可求得sin�，由题意得出�=
π
2 + �，可
求出sin�的值，再利用诱导公式化简可求得所求代数式的值；
（2）由诱导公式结合已知条件可得出sin�+ cos�=
5
4，利用同角三角函数的平方关系可求出sin�−cos�的
值，联立方程组求出sin�、cos�的值，再利用同角三角函数的商数关系可求得tan�的值.
【解答过程】（1）因为点�在单位圆上且横坐标为
3
5，所以cos�=
3
5，
因为
π
4 < �<
π
2，所以sin�=
1 −cos2�=
4
5.
因为∠���=
π
2，所以�=
π
2 + �，所以sin�= sin
π
2 + �= cos�=
3
5.
所以
sin π−�
cos
π
2+�=
sin�
−sin�=
4
5
−3
5
=−
4
3.
（2）因为sin�= sin
π
2 + �= cos�，所以sin�+ cos�=
5
4①，
由sin�+ cos�2 = 1 + 2sin�cos�=
25
16，得2sin�cos�=
9
16，
所以sin�−cos�2 = 1 −2sin�cos�=
7
16.
因为
π
4 < �<
π
2，所以sin�> cos�，所以sin�−cos�=
7
4 ②，
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联立①②得，sin�=
5+ 7
8 ，cos�=
5−7
8 ，
所以tan�=
sin�
cos�=
5+ 7
8
⋅
8
5−7 =
5+ 7
2
5+ 7
5−7 =
16+5 7
9
.
6．（25-26 高一下·湖南怀化·期末）为了美化城市，某部门计划在一处绿化带做一个“福地怀化”字样的园圃，
如图所示，该园圃的形状是扇形���挖去半径为其一半的扇形���后得到的扇环����，园圃的外围周长为
50m，其中圆心角�小于π，��的长不超过10m．设��= �（单位：m），园圃的面积为�（单位：m2）．
(1)写出�关于x 的函数表达式，并求出该函数的定义域；
(2)当x 为多少时，园圃的面积�最大，求出y 的最大值及此时��
Ⴃ与��
Ⴃ的长．
【答案】(1)�= 25�−�2，定义域为�∈(
50
3π+2 , 10].
(2)�max = 150，��
Ⴃ= 20，��
Ⴃ= 10.
【解题思路】（1）利用扇形的弧长公式和面积公式求解解析式即可.
（2）利用二次函数的性质求解最值即可.
【解答过程】（1）在扇形���中，由题意得��= �，��= 2�，
由扇形面积公式得扇形���的面积为2�× 2�×
1
2 × �= 2�2�，
扇形���的面积为�× �×
1
2 × �=
1
2 �2�，
故�= 2�2�−
1
2 �2�=
3
2 �2�，由弧长公式得��
Ⴃ的长度为��，
��
Ⴃ的长度为2��，而园圃的外围周长为50m，
故��+ 2��+ �+ �= 50，解得�=
50−2�
3�，
因为圆心角�小于π，所以0 <
50−2�
3�
< π，
解得
50
3π+2 < �< 25，而�∈0,10 ，故�∈
50
3π+2 , 10 ，
故�=
3
2 �2 ×
50−2�
3�
=
1
2 �× (50 −2�) = 25�−�2，该函数的定义域为�∈
50
3π+2 , 10 .
（2）由二次函数性质得�在
50
3π+2 , 10 内单调递增，
当�= 10 时，�的最大值为�= 25 × 10 −(10)2 = 150，
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��
Ⴃ的长度为2�×
50−2�
3�
=
2(50−2×10)
3
= 20，
��
Ⴃ的长度为�×
50−2�
3�
=
50−2×10
3
= 10.
7．（25-26 高一下·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，已知角�的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负
半轴重合，终边经过点�3, �，且sin�=
�
5.
(1)求实数�及相应cos�的值；
(2)当�> 0 时，化简
sin �+π +cos �+5π
2
sin
π
2−�−cos �+3π 并求值.
【答案】(1)
当�= 0 时，cos�= 1，
当�=± 4 时，cos�=
3
32+�2 =
3
32+42 =
3
5.
(2)−
4
3
【解题思路】（1）由三角函数的定义建立方程，求得解，分情况求得函数值，可得答案；
（2）由题意求得正弦值与余弦值，利用诱导公式与同角三角函数关系式，可得答案.
【解答过程】（1）根据三角函数的定义得sin�=
�
32+�2 =
�
5，解得�= 0 或�=± 4，
当�= 0 时，�3,0 ，cos�= 1，
当�=± 4 时，cos�=
3
32+�2 =
3
32+42 =
3
5.
（2）由�> 0 可知�= 4，此时sin�=
4
5，cos�=
3
5，
原式=
sin �+π +cos �+5
2π
sin
π
2−�−cos �+3π
=
−sin�+cos �+π
2
cos�−cos �+π
=
−sin�−sin�
cos�+cos�=−
sin�
cos�=−
4
5
3
5
=−
4
3.
8．（25-26 高一下·贵州遵义·阶段检测）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形���截去同心扇形���所得部分.
已知扇环周长为300cm，大扇形半径��= �cm，小扇形半径��= 10cm, ∠���= �rad，则
(1)求�关于x 的函数关系式；
(2)若雕刻费用关于x 的解析式为��= 10�+ 400，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值.
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【答案】(1)�=
320−2�
�+10
�∈
160−10π
π+1
, 160
；
(2)5.
【解题思路】（1）利用扇形弧长公式计算即可；
（2）先计算扇环面积，再化简变形利用基本不等式计算最值即可.
【解答过程】（1）由题意可知：��
Ⴃ= ��, ��
Ⴃ= 10�, ��= ��= �−10，
则300 = ��+ 10 + 2 �−10 ，即�=
320−2�
�+10 ，
又�=
320−2�
�+10 ∈0,2π ，所以即�∈
160−10π
π+1
, 160 ，
所以�=
320−2�
�+10
�∈
160−10π
π+1
, 160
；
（2）易知大扇形���与小扇形���的面积分别为：�1 =
1
2 ��2, �2 =
1
2 �× 102，
所以扇环的面积为�= �1 −�2 =
1
2 ��−10
�+ 10 ，
结合（1）得�=
1
2 ×
320−2�
�+10
�−10
�+ 10 = �−10
160 −�，
则砖雕面积与雕刻费用之比为�=
160−�
�−10
10�+400
，
整理得�=−
�+40−200
�+40−50
10 �+40
=−
�+40
10 + 25 −
1000
�+40
≤25 −2
�+40
10 ⋅
1000
�+40 = 5，当且仅当�= 60cm 时等号成立，
所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5.
一、单选题
1．（2025·天津·高考真题）设�∈�，则“�= 0”是“sin2�= 0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得.
【解答过程】由�= 0 ⇒sin2�= sin0 = 0，则“�= 0”是“sin2�= 0”的充分条件；
又当�= π时，sin2�= sin2π = 0，可知sin2�= 0⇒�= 0，
故“�= 0”不是“sin2�= 0”的必要条件，
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综上可知，“�= 0”是“sin2�= 0”的充分不必要条件.
故选：A.
二、填空题
2．（2025·北京·高考真题）已知�, �∈[0,2π]，且sin(�+ �) = sin(�−�)，cos(�+ �) ≠cos(�−�).写出满
足条件的一组�, �的值�=________，�=_________．
【答案】
π
2；
π
6（答案不唯一）
【解题思路】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解.
【解答过程】因为sin �+ �= sin �−�，cos �+ �≠cos �−�，
所以�+ �, �−�的终边关于�轴对称，且不与�轴重合，
故�+ �+ �−�= π + 2�π, �∈Z 且�+ �≠
π
2 + �π, �∈Z，
即�=
π
2 + �π, �∈Z，
故取�=
π
2 , �=
π
6可满足题设要求；
故答案为：
π
2；
π
6（答案不唯一）.
3．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系���中，角�与角�均以��为始边，它们的终边关于原点对称.
若�∈
π
6 ,
π
3 ，则cos�的最大值为________．
【答案】−
1
2
【解题思路】首先得出�= �+ π + 2�π,�∈Z，结合三角函数单调性即可求解最值.
【解答过程】由题意�= �+ π + 2�π,�∈Z，从而cos�= cos �+ π + 2�π =−cos�，
因为�∈
π
6 ,
π
3 ，所以cos�的取值范围是
1
2 ,
3
2 ，cos�的取值范围是−
3
2 , −
1
2 ，
当且仅当�=
π
3，即�=
4π
3 + 2�π,�∈Z 时，cos�取得最大值，且最大值为−
1
2.
故答案为：−
1
2.
4．（2023·北京·高考真题）已知命题�:若�, �为第一象限角，且�> �，则tan�> tan�．能说明p 为假命题
的一组�, �的值为�=__________，�= _________．
【答案】
9π
4 ；
π
3
【解题思路】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.
【解答过程】因为��= tan�在0,
π
2 上单调递增，若0 < �0 < �0 <
π
2，则tan�0 < tan�0，
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取�= 2�1π + �0, �= 2�2π + �0, �1, �2 ∈�，
则tan�= tan 2�1π + �0 = tan�0, tan�= tan 2�2π + �0 = tan�0，即tan�< tan�，
令�1 > �2，则�−�= 2�1π + �0 −2�2π + �0 = 2 �1 −�2 π + �0 −�0 ，
因为2 �1 −�2 π ≥2π, −
π
2 < �0 −�0 < 0，则�−�= 2 �1 −�2 π + �0 −�0 >
3π
2 > 0，
即�1 > �2，则�> �.
不妨取�1 = 1, �2 = 0, �0 =
π
4 , �0 =
π
3，即�=
9π
4 , �=
π
3满足题意.
故答案为：
9π
4 ；
π
3.
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