文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2025 年高考数学押题预测卷
高三数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题：本题共10 小题，每小题4 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用补集的定义直接求解.
【详解】全集
，集合
，所以
.
故选：C
2．抛物线
的准线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将抛物线的方程化成标准形式，确定其焦点位置和焦准距，即可求得.
【详解】由
可得
，抛物线的焦点在
轴的负半轴上，且
，
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故其准线方程为
.
故选：A.
3．若
，
、
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用复数的运算和复数相等可求得
、
的值，即可得解.
【详解】因为
，所以，
，
，故
.
故选：D.
4．已知直线：
与圆
：
交于
，
两点，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．2
【答案】B
【分析】求出圆的圆心及半径，再利用圆的弦长公式求解.
【详解】圆
：
的圆心
，半径
，
点
到直线：
的距离
，
直线与圆
相交，则
.
故选：B
5．设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】首先判断充分性，可用特值法进行验证；再判断必要性，结合不等式的性质可判断.
【详解】若已知
，令
，则
，
所以“
”是“
”不充分条件；
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
若已知
，因为
，则
，即
，
所以“
”是“
”必要条件；
综上所述，“
”是“
”必要不充分条件.
故选：B.
6．在
中，角
的对边分别为
，若
，
，则
的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等腰非等边三角形
C．等边三角形
D．钝角三角形
【答案】C
【分析】根据正弦定理可得
，再由已知条件判断
的形状.
【详解】由正弦定理，
，则
，
再由
则
故
，即
，
故
，所以
为等边三角形.
故选：C.
7．2023 年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS
（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek 的算力每年增长
．截止至2025 年，其算力已提
升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek 的算力预计在哪一年首次突破
7500PetaFLOPS？（ ）
（参考数据：
，
，
）
A．
年
B．
年
C．
年
D．
年
【答案】C
【分析】利用归纳可知，从
年起，到第
年，DeepSeek 的算力提升至
PetaFLOPS，
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
解不等式
，即可得出结论.
【详解】由题意可知，截止至2025 年，DeepSeek 的算力已提升至2250PetaFLOPS，
到
年，其算力提升至
PetaFLOPS，
到
年，其算力提升至
PetaFLOPS，
，
以此类推可知，从
年起，到第
年，DeepSeek 的算力提升至
PetaFLOPS，
由
，可得
，
所以，
，
所以，DeepSeek 的算力预计在
年首次突破
PetaFLOPS，
故选：C.
8．若向量
在向量
上的投影向量为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用投影向量公式得
，结合
，利用数量积的运算律求得
，代入
数量积的夹角公式即可得解.
【详解】因为向量
在向量
上的投影向量为
，所以
，所以
，
又
，所以
，即
，
所以
，所以
，所以
.
故选：A
9．图①中的“马头墙”是我国江南传统民居建筑的重要特色之一，它的顶部称之为垛．每只垛的结构如
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
图②，可近似看成由一个正三棱柱和两个完全相同的正四面体构成的几何体．已知
，
，
，现计划覆以小青瓦，覆盖面为“前”“后”两面，“前面”如图③阴影部分，则小青瓦所要
覆盖的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】小青瓦所要覆盖的面由两个矩形及四个正三角形组成，分别求解即可.
【详解】由题意，
，且
，则
，
则正四面体的一个面为边长为
的正三角形，其面积为
；
又
，
则正三棱柱的一个侧面为长为
，宽为的矩形，其面积为
；
所以小青瓦所要覆盖的面积为
个正三角形与
个矩形的面积和，
则
.
故选：A.
10．已知数列
的前n 项和为
，
且
，则（ ）
A．数列
是等比数列 B．
C．
D．数列
是等比数列
【答案】B
【分析】由题意可得
，又
判断AB；计算可得
判断C；计算可得
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
判断D.
【详解】对于A，由
，可得
，
两式相减得
，所以
，
所以
，所以
，
当
时，
，又
，所以
，所以
，
所以数列
不是等比数列，故A 错误；
对于B，由A 可知，数列
去掉第一项，可构成以
为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，故B 正确；
对于C，由A 可得
，
所以
，
所以
，故C 错误；
对于D，由C 可得
，
所以
，所以数列
不是等比数列，故D 错误.
故选：B.
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题：本题共5 小题，每小题5 分，共25 分．
11．
．
【答案】18
【分析】利用指数运算及指数式与对数式的互化关系计算得解.
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】
.
故答案为：18
12．双曲线C：
的离心率为 ．
【答案】2 或
【分析】分
或
两种情况计算即可.
【详解】当
，所以
；
当
，
，
故答案为：2 或
．
13．在
的展开式中，第7 项为常数，则
，最大的二项式系数是 ．
【答案】 8 70
【分析】根据通项公式，结合第7 项为常数可解得n，然后由二项式系数的性质可得.
【详解】
，
∴
，解得
．∴最大的二项式系数为
．
故答案为：8；70
14．已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则
，函数
的所有零点之和为 .
【答案】 1
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】结合奇函数的性质分段代入计算得解；按
分段求出方程的解，进而求出所有根的和.
【详解】依题意，
，因此
；
，当
时，
，则
，解得
或
；
当
时，若
，则
，
，
由
，得
，解得
；
若
，则
，
，
由
，得
，解得
或
，
所以函数
的所有零点之和为
.
故答案为：1；
15．已知数列
满足
，
，且
，若记数列
的前
项的积为
，
，
的前
项和为
，则下列结论正确的有
①．数列
是等比数列
②．
③．当
为奇数时，
④．当
为偶数时，
【答案】①②④
【分析】利用数列
的递推关系式以及
，根据等比数列定义即可判断①正确，利用等比
数列前
项和公式计算可得②正确，由
的通项公式可得
，对
为奇数或偶数时进行分组
计算可判断③错误，④正确.
【详解】对于①，由
，
可得：
，
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即
，又
，
可得数列
是以
为首项，公比为
的等比数列，可得①正确；
对于②，由选项①分析可知，
，即②正确；
对于③，易知
，所以
；
当
为奇数时，
，可知③错误；
对于④，当
为偶数时，
，可得④正确.
故选：①②④
三、解答题：本题共5 小题，共85 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题13 分）如图，在直三棱柱
中，
，
，
⊥
，
交
于点
，
为
的中点．
(1)求证：
平面
；
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)求直线
与平面
所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
√15
15
【分析】（1）由直三棱柱得到
⊥
，根据
⊥
，得到线面垂直，故
⊥
，结合
得到线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，结合（1），求出平面
的一个法向量为
，利
用线面角的求解公式得到答案.
【详解】（1）因为三棱柱
为直三棱柱，
所以
⊥平面
，
又
平面
，所以
⊥
，
因为
⊥
，
，
平面
，
所以
⊥平面
，
因为
平面
，所以
⊥
，
因为
，
，
平面
，
所以
平面
；...............................6 分
（2）由（1）知，
两两垂直，
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
，
设
，
，
因为
，所以
，
解得
，则
，
由（1）知，平面
的一个法向量为
，
又
，
设直线
与平面
所成角的大小为
，
则
故直线
与平面
所成角正弦值为
√15
15
................................13 分
17．（本小题满分13 分）如图，点
是单位圆与
轴正半轴的交点，点
和点
都在单位圆上，且点
的
纵坐标为
，
，
，
，
．
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求
和
的值；
(2)若
，求点
的坐标；
(3)若四边形
为平行四边形且面积为，求
的最大值．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】（1）由三角函数定义可得
和
的值，（2）由三角函数定义可得点
的坐标为（
），再利用
以及两角差正余弦公式求解（3）根据三角形面积公式以及数量积
得
，再利用辅助角公式求最大值
【详解】（1）由点
的纵坐标为
，
，可知
，
又
，所以
；................................4 分
（2）因为
，
，所以
，
于是由
，可得
．
=
，
=
，故点
的坐标为
．................................8 分
（3）
，
．因
，故
．
因
为平行四边形，故
．
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(
)．
当
时，
取最大值
．................................13 分
18．（本小题满分14 分）DeepSeek 是由中国杭州的DeepSeek 公司开发的人工智能模型，其中文名“深度
求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek 主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多
模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．
为提高DeepSeek 的应用能力，某公司组织A，B 两部门的50 名员工参加DeepSeek 培训．
(1)此次DeepSeek 培训的员工中共有6 名部门领导参加，恰有3 人来自
部门．从这6 名部门领导中随机选
取2 人，记
表示选取的2 人中来自
部门的人数，求
的分布列和数学期望；
(2)此次DeepSeek 培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为
，每
轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek 培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30 万元，不合格的员
工每人每年平均为公司创造利润20 万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3 万元的其他成本
和费用．试估计该公司
两部门培训后的年利润（公司年利润
员工创造的利润-其他成本和费用）．
【答案】(1)分布列见解析，1
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）1100
【分析】（1）
服从超几何分布，利用
即可求解；
（2）（ⅰ）记
“每位员工经过培训合格”，
“每位员工第轮培训达到优秀”（
），
，
即可求解；
（ⅱ）记
两部门开展DeepSeek 培训后合格的人数为
，则
，
，求出合格人数
的数学期望，即可求解
【详解】（1）
的所有可能取值为0，1，2，且
服从超几何分布．
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
的分布列为
0
1
2
的数学期望
．................................5 分
（2）（ⅰ）记
“每位员工经过培训合格”，
“每位员工第轮培训达到优秀”（
），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．
即每位员工经过培训合格的概率为
．................................11 分
（ⅱ）记
两部门开展DeepSeek 培训后合格的人数为
，则
，
，则
（万元）
即估计
两部门的员工参加DeepSeek 培训后为公司创造的年利润为1100 万元．................................14 分
19．（本小题满分15 分）已知椭圆
的离心率为
，右焦点为
，过
的直线与
椭圆
交于
两点，当直线垂直于
轴时，
．
(1)求
的方程；
(2)记
的左顶点为
，求
面积的最大值；
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(3)设
，直线
分别交
于
两点，证明：直线
过定点．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）先根据椭圆离心率得出
、
与的关系，再把
代入椭圆方程求出
关于
、
的表
达式，结合
，联立方程解出、
、
，进而得到椭圆方程.
（2）先确定
、
坐标，设出直线方程，与椭圆方程联立，用韦达定理求出
和
，算出
，根据三角形面积公式得出
面积表达式，再利用均值不等式求出面积最大值.
（3）先把直线与椭圆方程联立，用韦达定理求出
，再代入直线方程得
，从而确定
点坐标，同理得
点坐标.因为直线MN 过定点
，利用两点斜率相等列等式，又已知
，
，代入等
式化简，让等式恒成立求出
的值，进而得到直线MN 过的定点.
【详解】（1）设
（
），由
的离心率为
，得
，
，①
在
中，令
，得
，
则当垂直于
轴时，
，②
由①，②，解得
，则
，
，
∴
的方程为
．................................4 分
（2）由题意，知
，
，
显然与
轴不重合，可设：
，设
，
，
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
联立
，消去x 并整理，得
，
由韦达定理，得
，
，
则
，
则
面积
，
而
，当且仅当
，即
时等号成立，∴
面积的最
大值为
．................................9 分
（3）设
，
，
，
直线
与椭圆联立可得，
，
根据韦达定理可得，
，∴
，
，
即
，同理，
，
根据对称性，直线
过定点
，
则
，∵
，
，
∴
，∴
，解得
，
即直线
过定点
．................................15 分
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
20．（本小题满分15 分）设函数
，其中
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)在（1）的条件下，证明曲线
在曲线
的上方；
(3)已知导函数
在区间
上存在零点,证明：当
时，
．
【答案】(1)增区间为
，减区间为
(2)证明见解析 (3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，结合条件，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；
（2）根据条件，将问题转化成求证
，构造函数
，利用导数与函数单调性
间的关系，求得
恒成立，结合条件，即可证明结果；
（3）根据导函数在
上存在零点，则
在
上有解，则有
，即
，得到函数
的最小值，构造函数
，
，利用导数判断出其单调性，结合不等
式传递性可证．
【详解】（1）函数
的定义域是
，
，
又
，则
，令
，解得：
，令
，解得：
，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.................................4 分
（2）因为
，
要证曲线
在曲线
的上方，即证
恒成立，
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即证
，令
，则
，
当
时，
，当
，
，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
则
，所以
恒成立，又
恒成立，
，
所以
恒成立，即曲线
在曲线
的上方................................8 分
（3）因为
，
又因为导函数
在
上存在零点，所以
在
上有解，
则有
，即
，
又当
时，
，则
在区间
上单调递减，
当
时，
，则
在区间
上单调递增，
所以
，
设
，
，则
，
令
，
，则
，
所以
在区间
上单调递减，又
，则
在区间
恒成立，
所以
在区间
上单调递减，
又
，所以
，
则根据不等式的传递性可得，当
时，
................................15 分
21．（本小题满分15 分）已知数列
中每一项
（其中
，
）构成
数组
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
.定义运算如下：
，其中当
时，
，
；当
时，
，
；用
表示
层嵌套运算
，
.现取
，记
中相邻两项组成的数对
满足
的数对个数为
.
(1)写出
，
，以及
，
；
(2)证明：数列
是等比数列；
(3)若
，证明：对任意的
都有
.
【答案】(1)
，
；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析；
【分析】（1）根据数列新定义直接写出答案即可；
（2）分析得
，在作差相除即可证明；
（3）分
为奇数和偶数讨论得到
，再次对
分类讨论并合理放缩即可证明.
【详解】（1）由题意得
，
所以
．...............................4 分
（2）由题得
，
所以
，
，
，
，
因此
中的数对
必由
中的数对
经运算得到，
中的数对
必由
中的0 或数对
经运算得到，
因为
是
数组，其中有一半的项为0，即
个0，经过两次运算能在
中产生
个数对
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
因为
中数对
的个数为
个，经过两次运算能在
中产生
个数对
，
所以
，即
，
所以
，
所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列．...............................8 分
（3）当
为奇数时，
，
累加得
，
因为
，所以
（
为奇数）．
当
为偶数时，
，
累加得
，
因为
，所以
（
为偶数）．
所以
，
故
．
因为当
且
为偶数时，
.
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
①当
时，
；
②当
且
为奇数时，
；
③当
且
为偶数时，因为对任意的
都有
，
所以
综上所述，对任意的
都有
．................................15 分
21
