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专题六 导数（解答题10 种考向）
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考向一 含参函数单调性的讨论
【例1-1】（24-25 高三下·广东·开学考试）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性.
4
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【例1-2】（2025·江西萍乡·一模）已知函数
，其中
.
(1)若
的图象在
处的切线经过点
，求a 的值；
(2)讨论
的单调性.
【例1-3】（2025·广东江门·一模）已知函数
．
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)当
时，求函数
的极值．
5
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【例1-4】（2025·山东菏泽·一模）已知函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)当
时，存在
，使得
，求a 的取值范围.
【例1-5】（2025·江西·一模）已知函数
，
(1)若
，求函数
的最小值；
(2)设函数
，讨论函数
的单调性；
(3)若在区间
上存在一点
，使得
成立，求
的取值范围．
6
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【例1-6】（2025·陕西安康·二模）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)当
时，
恒成立，求实数
的最小值．
考向二 切线
【例2-1】（24-25 高三下·辽宁·开学考试）已知函数
(1)若
的图象在点
处的切线方程为
，求a 与b 的值；
(2)若
在
处有极值
，求a 与b 的值.
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【例2-2】（2025·云南昆明·一模）已知函数
，
，其中
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处的切线平行，求
的值.
【例2-3】（2025·北京平谷·一模）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，求
的单调区间；
(3)当
变化时，曲线
在点
处的切线斜率能否为1？若能，求
的值，若不能，说明理由.
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【例2-4】（2025·陕西榆林·二模）已知函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)已知直线
是曲线
的切线，且
对
恒成立，求
的最大值.
【例2-5】（2024·河南）已知函数
，
．
(1)若曲线
在
处的切线与曲线
相交于不同的两点
，
，曲线
在
A，B 点处的切线交于点
，求
的值；
(2)当曲线
在
处的切线与曲线
相切时，若
，
恒成
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立，求a 的取值范围．
【例2-6】（2025·山西）已知
，函数
.
(1)若
是增函数，求
的取值范围；
(2)证明：当
，且
时，存在三条直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线.
考向三 零点
【例3-1】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数
.
(1)若
，求函数
在
处的切线方程；
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(2)讨论函数
在
上零点的个数.
【例3-2】（2025·贵州毕节·二模）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若方程
有两个根，求
的取值范围.
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【例3-3】（2025·河北保定·模拟预测）已知函数
在点
处的切线与
轴垂
直.
(1)求
的值；
(2)求
的极值；
(3)求方程
的实数根的个数.
【例3-4】（2025·山东泰安·一模）已知函数
.
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)若方程
有两个不同的实数根，求实数
的取值范围.
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【例3-5】（2025·广东湛江·一模）已知函数
，其中
．
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)当
时，试判断
的零点个数并证明．
考向四 极值点
【例4-1】（2025·河北石家庄·一模）已知函数
.
(1)讨论
的极值点个数；
(2)若存在实数
使得
轴为
的切线，求
的最大值.
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【例4-2】（2024·河南）已知函数
.
(1)证明：
恰有一个零点；
(2)设函数
.若
至少存在两个极值点，求实数
的取值范围.
【例4-3】（2024·贵州）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有两个极值点
，
，证明：
.
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考向五 恒成立
【例5-1】（2025·福建·模拟预测）已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线为l，l 不过原点，且l 在坐标轴上的截距相等，求a 的值；
(2)当
时，若
恒成立，求实数a 的取值范围．
【例5-2】（2025·河北邯郸·一模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若
在
上恒成立，求
的取值范围.
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【例5-3】（24-25 河北保定·期末）已知函数
，
，其中
为
的导函
数.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围.
【例5-4】（2024·江西）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
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(2)若
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
考向六 不等式的证明---单变量
【例6-1】（2025·山东青岛·一模）已知函数
，
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m，证明：
.
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【例6-2】（2025·河北·模拟预测）已知
，曲线
与曲线
在它们的交点
处的切线相互垂直.
(1)求a，b 的值；
(2)当
时，求证：
.
【例6-3】（2025·陕西西安·二模）已知函数
．
(1)若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)若
是函数
的极值点，求证：
．
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【例6-4】（2025·河南安阳·一模）已知函数
.
(1)求
的极值；
(2)若当
时，
，求实数
的取值范围；
(3)设实数
，
满足
，证明：
.
考向七 不等式证明---双变量
【例7-1】（2025·江西赣州·一模）已知函数
（其中为自然对数的底数）有两个零点
，
．
(1)求
的取值范围：
(2)（ⅰ）证明：对一切的
且
，都有
；
（ⅱ）证明：
．
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【例7-2】（2025·天津·模拟预测）已知函数
，
.
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)若
，
（i）当
时，求函数
的最小值；
（ii）若
有两个实根
，
，且
，证明：
.
【例7-3】（2025·安徽合肥·一模）已知函数
，其中
(1)讨论
的单调性；
(2)若函数
有两个极值点
，
，证明：
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【例7-4】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
.
(1)若
是定义域上的增函数，求
的取值范围；
(2)当
时，证明：
；
(3)若函数
有两个极值点
，证明：
.
考向八 导数与数列
【例8-1】（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数
有两个不同的零点
.
(1)证明：
；
(2)当
时，求
的最大值；
(3)若
，数列
满足
，证明：
.
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【例8-2】（2025·云南大理·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求函数
在点
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)求证：
，
.
【例8-3】（2024·四川·一模）已知函数
，
与
在函数
的图象上，
回答下列问题：
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(1)当
时，证明
；
(2)
上有
三点（
均不为
且互不相等），满足
成等差数列且
．
①若不存在
三点，使
成等差数列，求
的取值范围；
②若
，证明：
．
考向九 求参数
【例9-1】（2025·江西·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，证明：
；
(2)若
在区间
上有且只有一个极值点，求实数
的取值范围.
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【例9-2】（2025·黑龙江·一模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
有极小值，且
的极小值小于
，求实数
的取值范围．
【例9-3】（24-25 高三上·江苏淮安·阶段练习）已知
.
(1)当
时，过原点作函数
的切线，求切线的方程；
(2)讨论函数
的导函数
的单调性；
(3)当
时，
，求实数
的取值范围.
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【例9-4】（2025·陕西渭南·一模）已知
，函数
．
(1)讨论
的单调性：
(2)若
恒成立．求
的取值范围．
【例9-5】（2025·黑龙江·模拟预测）函数
，
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若不等式
对任意的
，
恒成立，求
的取值范围.
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考向十 新定义
【例10-1】（2025·山东青岛·一模）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立
坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数
的图象.现定义双曲正弦函数
，回答以下问
题：
(1)类比三角函数的导数关系：
，
，写出
与
的导数关系式，并证明
；
(2)对任意
，恒有
成立，求实数a 的取值范围；
(3)求
的最小值．
【例10-2】（2025·陕西榆林·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的，用有理多项式近似特定函数
的方法.给定两个正整数
，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，其中
和
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分别是
和
次多项式，且满足
.其中
为
的导数.已知
在
处的
阶帕德近似为
.
(1)求实数
的值，利用
的
阶帕德近似估计
的近似值（结果保留3 位有效数字）；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)证明：当
时，
.
【例10-3】（2025·福建莆田·二模）若函数
在区间
上有意义，且存在正实数，使得
，均有
，则称
在
上具有性质
．设
．
(1)求
的单调区间：
(2)判断
在
上是否具有性质
，并说明理由；
(3)当
时，
在
上具有性质
，证明：
．
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【例10-4】（2025·广东江门·一模）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，在重力的作用下自然下垂，那
么项链所形成的曲线是悬链线．在17 世纪，惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利等得到悬链线方程是
，其中c 为参数．当
时，该方程就是双曲余弦函数
．相应地就有双曲正弦
函数
．已知三角函数的三个关系式：①平方关系：
；②二倍角关系：
；③导数关系：
(1)类比关系式①②③，写出
和
之间的三种关系式（不需要证明）；
(2)当
时，不等式
恒成立，求
的取值范围；
(3)设无穷数列
满足
，是否存在实数
，使得
？若存在，求
的值；若不存在，
说明理由．
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