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增长相关拓展进阶二 特殊增长率 主讲教师：左宏帅 授课时间：2025.06.16 粉笔公考·官方微信 1 增长相关拓展进阶二 特殊增长率（笔记） 【答案汇总】 1-5：BBCAB；6-10：BABCB；11-15：BAABC；16-20：DBADD；21-25：BBBBD 目录 01 间隔增长率计算 02 间隔增长率逆向计算 03 间隔基期量计算 04 间隔增长量计算 05 混合增长率口诀法 06 混合增长率什么时候不能用现期量替代 07 混合增长率多者混合 08 年均增长率 09 乘积增长率 说在课前：先学理论课方法技巧，此节课为刷题课，先自己做一遍题目再听 效果更好！ 【注意】 1.目录： （1）间隔增长率计算。 （2）间隔增长率逆向计算：拔高→间隔的两段时间不一样。 （3）间隔基期量计算。 （4）间隔增长量计算。 （5）混合增长率口诀法。 （6）混合增长率什么时候不能用现期量替代：必须用基期量。 （7）混合增长率多者混合：如三者混合。 （8）年均增长率。 2 （9）乘积增长率：理论阶段没有讲解，名师课中有讲解。 2.说在课前：先学理论课方法技巧，此节课为刷题课，先自己做一遍题目再 听效果更好！ 间隔增长率计算 间隔增长率：r=r1+r2+r1*r2 识别：2020 年比2018 年增长+%（隔一年，求增长率） 现期=基期*（1+r） 2020 年=2019 年*（1+r1）=2018 年*（1+r2）*（1+r1） r=（现期− 基期）/基期=（2020 年-2018 年）/2018 年 【注意】间隔增长率计算： 1.公式：r=r1+r2+r1*r2。 2.识别：2020 年比2018 年增长+%（隔一年，求增长率）；时间不一定是隔 一年，只要是隔一期即可，如前边是半年，后边是一年；前边是三个月，后边是 九个月。材料所给时间和问题所要时间有3 个时间，只要这3 个时间连续即可使 用公式（起点对中间，中间对末点，起点对末点），如给出2020 年8 月较2020 年1 月的增速为r1，2020 年8 月较2019 年8 月的增速为r 间，问2020 年1 月较 2019 年8 月的增速（r2）。2020 年8 月=2020 年1 月*（1+r1）=2019 年8 月*（1+r2） *（1+r1）。r=（现期- 基期）/基期=[2019 年8 月*（1+r2）*（1+r1）-2019 年8 月]/2019 年8 月=（1+r2）*（1+r1）-1=r1+r2+r1*r2。 3 3.速算：若r1、r2的绝对值均小于10%，乘积可以忽略（10 -%*10 -%=1 -%），若 不满足（其中一个或两个的绝对值＞10%），则将其中一个百化分或化为小数。 【例1】（2019 广东）2018 年，我国全社会用电量68449 亿千瓦时，同比增 长8.5%，增幅同比提高1.9 个百分点。具体来看，第一产业用电量728 亿千瓦 时，同比增长9.8%；第二产业用电量47235 亿千瓦时，同比增长7.2%；第三产 业用电量10801 亿千瓦时，同比增长12.7%；城乡居民生活用电量9685 亿千瓦 时，同比增长10.4%。 2018 年，我国全社会用电量较2016 年增加了约： A.13.7% B.15.7% C.17.9% D.19.9% 【解析】1.问2018 年较2016 年的增长率，如果材料直接给出2018 年和2016 年的数据，可以列式为“（2018 年-2016 年）/2016 年”，主体为“全社会用电 量”，材料给出同比数据，2018 年同比是与2017 年相比，中间隔了2017 年， 间隔增长率问题。“同比增长8.5%，增幅同比提高1.9 个百分点”，已知2018 年较2017 年的增速r1=8.5%，2018 年增幅比2017 年的增幅高1.9 个百分点，2017 年较2016 年的增速r2=8.5%-1.9%=6.6%，r 间=r1+r2+r1*r2，代入数据，所求 =8.5%+6.6%+8.5%*6.6%=15.1%+1 -%，结果比15.1%大了不到1%，对应B 项。 【选B】 4 【例2】（2024 联考）2022 年，全国共有260 家银行机构和29 家理财公司 累计新发理财产品2.94 万只，同比下降38.23%，降幅比上年同期扩大7.22 个 百分点；累计招募资金89.62 万亿元，同比减少32.57 万亿元。 2022 年，全国银行机构和理财公司累计新发理财产品数与2020 相比约： A.下降45% B.下降57% C.下降66% D.下降69% 【解析】2.主体为“全国银行机构和理财公司累计新发理财产品数”，本篇 材料还涉及“存续”的数据，重点是找“新发”，问2022 年较2020年的增长率， 如果分别给出2022 年和2020 年的数据，可以直接套公式“（2022 年-2020 年） /2020 年”计算；材料给出2022 年同比的数据，同比是与2021 年相比，2022 年与2020 年中间隔了2021 年，为间隔增长率问题。已知2022 年较2021 年的增 速r1=-38.23%，选项的差距为百分之几，则小数点可以无需关注，r1≈-38%，“降 幅比上年同期扩大7.22 个百分点”，2021 年降幅≈38%-7%=31%，2021 年较2020 年的增速r2=-31%，r 间=r1+r2+r1*r2，代入数据：所求=-38%-31%+（-38%）*（-31%） ≈-69%+40%*30%=-69%+12%=-57%，对应B 项。【选B】 间隔增长率逆向计算 公式：r2=（r 间-r1）/（1+r1） 【注意】间隔增长率逆向计算： 1.材料中直接给出r1和r 间，要求r2（给出今年比去年，今年比前年，要求 去年比前年的增速；或是给出起点的同比增速和环比增速，问环比时间较去年时 间的增速），如果代入间隔增长率公式“r 间=r1+r2+r1*r2”再求解会比较复杂。推 5 导：r 间=r1+r2+r1*r2→r 间-r1=（1+r1）*r2→r2=（r 间-r1）/（1+r1）。 2.公式：r2=（r 间-r1）/（1+r1）；计算时往往可以结合选项。 【例3】（2023 国考）2021 年，全国纺织品服装出口3155 亿美元，同比增 长8.4%。其中，纺织品出口1452.2 亿美元，同比下降5.6%，较2019 年增长22.0%； 服装出口1702.8 亿美元，同比增长24.0%，较2019 年增长16.0%。 2020 年，全国服装出口额比2019 年： A.增长了不到10% B.增长了10%以上 C.下降了不到10% D.下降了10%以上 【解析】3.要求2020 年较2019 年的增长率，主体为“全国服装出口额”， 对应材料找数据，不要错找“纺织品出口”的相关数据，材料给出2021 年较2020 年的增速r1=24%，以及2021 年较2019 年的增速r 间=16%，问2020 年较2019 年 的增长率r2，间隔增长率的逆向考查。公式：r2=（r 间-r1）/（1+r1）=（16%-24%） /（1+24%）=-8%/1 +=-8 -%，结果为负，说明是下降，则下降不到10%，对应C 项。 【选C】 间隔增长率逆向计算（间隔时间不同） 【例4】（2018 国考）2017 年1～2 月，全国造船完工936 万载重吨，同比 6 增长123%；承接新船订单221 万载重吨，同比增长133%。2 月末，手持船舶订 单9207 万载重吨，同比下降22.6%，比2016 年末下降7.6%。 2016 年末全国手持船舶订单较同年2 月末： A.降低16.2% B.降低2.2% C.增加16.2% D.增加2.2% 【解析】4.问“2016 年末全国手持船舶订单较同年（2016 年）2 月末的增 速”，如果直接给出2016 年末和2016 年2 月末的数据，可以代入公式“（现期- 基期）/基期”计算，主体为“全国手持船舶订单”，对应材料找数据，材料没 有给出2016年的数据，而是给出2017年2月末较2016年2月末的增速r 间=-22.6%， 2017 年2 月末较2016 年末的增速r1=-7.6%，问2016 年末较2016 年2 月末的增 速r2，公式：r2=（r 间-r1）/（1+r1）=[-22.6%-（-7.6%）]/[1+（-7.6%）]=-15%/1 -=-15 +%， 结果为负，说明是降低，降低15%以上，对应A 项。【选A】 【注意】本题利用基本公式也可以做，r=（现期- 基期）/基期=现期/基期 -1，r=9207/（1-7.6%）÷[9207/（1-22.6%）]-1=（1-22.6%）/（1-7.6%）-1， 这么做也是可以的，但相对较慢。 7 【拓展】（2024 四川）2018 年7 月，我国摩托车销量约比上月下降了： A.18% B.12% C.6% D.1% 【解析】拓展.课堂正确率为48%。问2018 年7 月较2018 年6 月的增速， 主体为“摩托车销量”。 方法一：材料给出2018 年7 月的数据，还给出同比增速，2018 年6 月的数 据未知，若给出2018 年6 月，就相当于给出现期和基期再求增长率，已知2019 年6 月的现期和同比增速，则2018 年6 月≈147/（1+6.7%），截取三位转化为 147/107，首位商1，次位商3，第三位商7，则2018 年6 月≈137，r=（130-137） /137=-7/137≈-6%，对应C 项。 方法二：给出2019 年6 月较2018 年6 月的增速r 间=6.7%，2019 年6 月较 2018 年7 月的增速r1=（147-130）/130=17/130≈13%，问2018 年7 月较2018 年6 月的增速r2，公式：r2=（r 间-r1）/（1+r1）=（6.7%-13%）/（1+13%）≈-6%， 对应C 项。【选C】 【注意】 8 1.r=6.7%≈1/15，2019 年6 月增长量=现期量/（n+1）≈147/16，2018 年6 月≈147-147/16≈147-10=137。 2.间隔时间可以不同，只要三个时间连续即可（起点比中间，中间比末点， 起点比末点）。 3.公式中的r1、r2的位置可以互换，如r1=（r 间-r2）/（1+r2）。 间隔增长率逆向计算（两年平均增长率） 【注意】两年平均增长率：这个名词在“疫情”之后才出现，浙江和四川考 查过。疫情时2020 年比2019 年的增速数据不好看，大概率是负数或正增长的比 较少，为了掩盖这一点，所以出现了“两年平均增长”，但现在已经处于正常阶 段，最新的统计公报中已经没有这个词，未来不会再出现类似的表述。 【例5】（2024 四川）2021 年1～2 月，全国网上零售额17587 亿元，同比 增长32.5%，两年平均增长13.3%。其中，实物商品网上零售额14412 亿元，同 比增长30.6%，两年平均增长16.0%，占社会消费品零售总额的比重为20.7%。 在2020 年1～2 月①全国网上零售额和②实物商品网上零售额中： A.仅①同比正增长 B.仅②同比正增长 C.①和②均同比正增长 D.①和②均未同比正增长 【解析】5.已知2021 年1～2 月较2020 年1～2 月的增速r1=32.5%，要求 2020 年1～2 月较2019 年1～2 月的增速r2，如果给出2021 年1～2 月较2019 年1～2 月的增速（r 间）即可求出r2。①全国网上零售额：“两年平均增长13.3%”， 本质是年均增长率，2019 年1～2 月*（1+r）²=2021 年1～2 月，即2021 年1～ 2 月较2020 年1～2 月的增速与2020 年1～2 月较2019 年1～2 月的增速均为 13.3%，r 间=13.3%+13.3%+13.3%*13.3%≈26.6%+1.7%=28 +%，r2=（r 间-r1）/（1+r1） =（28 +%-32.5%）/（1+32.5%）＜0，结果为负，说明①为负增长；②实物商品网 上零售额：“两年平均增长16.0%”，则r 间=16%+16%+16%*16%=32 +%，r1=30.6%， r2=（r 间-r1）/（1+r1）=（32 +%-30.6%）/（1+30.6%）＞0，则②为正增长，对应 B 项。【选B】 9 【注意】 1.r2=（2*r 年+r 年²-r1）/（1+r1）。 2.课后可以再将浙江的题目练习下。 3.本题将两年平均增长误认为是算术平均数计算也勉强能够做对（将r²忽 略），是由于①中r 间与32.5%距离较远。 间隔基期量计算 【注意】间隔基期量计算：2024、2025 年的联考中各考查了1 道题，以前 的国考中有考查。材料给出今年的数据和r1、r2，要求前年；间隔基期=现期/（1+r1） ÷（1+r2），如果选项差距大，感觉这么估算比较快是可以的；但如果口算能力 不强，可以先算出r 间=r1+r2+r1*r2，间隔基期=现期/（1+r 间）。 【例6】（2024 联考）2023 年，全国软件和信息技术服务业规模以上企业超 3.8 万家，累计完成软件业务收入123258 亿元，同比增长13.4%，较上年同期增 长2.2 个百分点。 2021 年，全国软件和信息技术服务业规模以上企业的软件业务收入约为： A.不到9 万亿元 B.9～10 万亿元 C.10～11 万亿元 D.11 万亿元以上 【解析】6.主体为“全国软件和信息技术服务业规模以上企业的软件业务收 入”，给2023 年，问2021 年，选项为范围，不好估算，可以先求出r 间（如果 给出具体数据，出题人往往将去年的数据在选项中给出，可以借助再求前年的数 据），已知 r1=13.4% ，根据高减低加，r2=13.4%-2.2%=11.2% ，间隔 r=13.4%+11.2%+13.4%*11.2%=24.6%+1 +%，现期=123258 亿≈12.3 万亿，所求=12.3 万亿/（1+24.6%+1 +%）≈12.3 万亿/1.26=10 -万亿，结果比10 万亿略小，但不会 比9 万亿小（要比9 万亿小，分母大概要除以1.4，而1+24.6%+1 +%≈1.26），对 应B 项。【选B】 【例7】（2025 联考）2023 年全国著作权（包括作品著作权、计算机软件著 作权、著作权质权）登记总量达8923901 件，同比增长40.46%，增速比上年同 10 期增加39 个百分点。根据各省、自治区、直辖市版权局和中国版权保护中心作 品登记信息统计，2023 年全国共完成作品著作权登记6428277 件，同比增长 42.30%。 2021 年全国著作权登记总量约为： A.626 万件 B.656 万件 C.685 万件 D.728 万件 【解析】7.给2023 年，问2021 年。 方法一：选项不是范围，可以考虑去年的值，“2023 年全国著作权（包括 作品著作权、计算机软件著作权、著作权质权）登记总量达8923901 件，同比增 长40.46%”，2022 年≈892 万/（1+40.46%）≈892 万/1.4≈630 万，“同比增 长40.46%，增速比上年同期增加39 个百分点”，上年增速=40.46%-39%=1 +%，所 求=630 万/（1+1 +%）＜630 万，只有A 项满足。 方法二：r 间=r1+r2+r1*r2，已知r1=40.46%≈40.5%，r2=40.46%-39%≈1.5%， 则r 间=40.5%+1.5%+40.5%*1.5%=42 +%，间隔基期=现期/（1+r 间）≈892万/（1+42 +%）， 选项不存在量级，分母1+42 +%约为143 开头，看作1/7，原式＜900*7=63 开头， 对应A 项。【选A】 【拓展】截至2014 年12 月底，全国实有各类市场主体6932.22 万户，比上 年末增长14.35%，增速较上年同期增加4.02 个百分点；注册资本（金）129.23 万亿元，比上年末增长27.70%。 截至2012 年12 月底，全国实有各类市场主体户数最接近以下哪个数字？ A.6100 万 B.5500 万 C.5100 万 D.4500 万 【解析】拓展.课堂正确率为68%。 方法一：“全国实有各类市场主体6932.22 万户，比上年末增长14.35%，增 速较上年同期增加4.02 个百分点”，r1=14.35%≈14%，r2=14.35%-4.02%≈10%， 则r 间=14%+10%+14%*10%≈25%，所求=6932/（1+25%），将分母（1+25%=1.25）看 作1/8，原式=7000 -*8=56 -开头，结果比56 开头略小，最接近B 项。 方法二：结合选项估算。2013 年≈6932/（1+14%）≈6100，A 项为2013 年 11 的坑；2013 年同比增速=14.35%-4.02%≈10% ，2012 年=6100/ （1-10% ） ≈6100*0.9=6100-610≈5500，对应B 项。【选B】 间隔增长量计算 【注意】间隔增长量计算： 1.要求今年较前年的增长量，则需要先算出r 间，|r 间|=1/n，从而百化分计 算，间隔增长量=现期/（n+1）。 2.近几年没有考查过间隔增长量的计算问题，了解即可。 【例8】（2014 陕西）2013 年3 月末，金融机构人民币各项贷款余额65.76 万亿元，同比增长14.9%，增速比上年同期低0.8 个百分点。 2013 年3 月末，金融机构人民币各项贷款余额比2011 年同期大约增长了多 少万亿元？ A.8.53 B.16.29 C.11.51 D.25.91 【解析】8.选项差距比较大，无需精确计算，大致估算即可。问2013 年较 2011 年的增长量，间隔增长量问题。“同比增长14.9%，增速比上年同期低0.8 个百分点”，2013 年增速=14.9%≈15%，2012 年增速14.9%+0.8%≈16%，r 间 =15%+16%+15%*16%≈1/3，间隔增长量=现期/（n+1）=65.76/（3+1）=16 +，对应 B 项。【选B】 【注意】|r 间|=1/n，间隔增长量=现期/（n+1）。 混合增长率口诀法 【注意】混合增长率口诀法：混合增长率会考查1 题。混合可以是混合增长 率、混合比重、混合平均数。混合的本质是盐水混合（混合后的浓度介于两个部 分浓度之间，如两个部分量分别为一杯和一滴，混合后的浓度肯定偏向于一杯溶 12 液的浓度）。 1.识别：部分增速与整体增速之间的关系（大于小的、小于大的）。如拔河 比赛和天平，哪边的量大就往哪边偏。 2.口诀：居中但不正中；偏向基期量较大的。 【例9】（2023 山东）近年来，我国跨境电商市场规模保持稳定增长态势， 数据显示，2021 年，市场规模从2017 年的8.06 万亿元增长至14.2 万亿元，占 我国货物进出口总额的比例为36.3%。其中出口跨境电商交易规模11 万亿元， 同比增速13.4%；进口跨境电商交易规模3.2 万亿元，同比增速14.3%。 2021 年，我国跨境电商交易规模同比增长： A.12.8% B.13.4% C.13.6% D.14.3% 【解析】9.增长+%，求增长率；主体为“跨境电商交易规模”，材料只给出 现期量，没有给出基期量，无法直接求解；“其中”后给出出口和进口的数据， 跨境电商=出口跨境电商+进口跨境电商，考查混合增长率。根据混合后居中：总 体增速介于13.4%～14.3%之间，对应C 项。【选C】 【例10】（2020 深圳）2018 年，全市年末常住人口1302.66 万人，其中常 住户籍人口454.70 万人，增长4.6%，占常住人口比重34.9%；常住非户籍人口 847.97 万人，增长3.6%，占比重65.1%。年末城镇登记失业率为2.3%。全年居 民消费价格比上年上涨2.8%。 2018 年，该市年末常住人口同比增长约： A.3.6% B.3.9% C.4.1% D.4.2% 【解析】10.问题时间2018 年，增长+%，求增长率；主体为“年末常住人口”， 只给出现期量，没有给出基期量，无法直接求解；常住非户籍人口+常住户籍人 口=常住人口（A+B=C），考查混合增长率。混合后居中：介于3.6%～4.6%之间， 排除A 项；偏向量大的：常住非户籍人口的比重为65.1%，常住户籍人口的比重 为34.9%，常住非户籍人口的比重更大（量更大），则总体增速更偏向3.6%，即 13 左边距离更短，结合选项，只有B 项满足（如果答案为C 项=4.1%，会发现左右 长度均为0.5%，不满足偏向关系；D 项更偏向常住户籍人口）。【选B】 【例11】（2024 四川）2021 年1～2 月，限额以下单位餐饮收入同比约增长 了： A.67% B.71% C.76% D.83% 【解析】11.增长+%，求增长率；主体为“限额以下单位餐饮收入”，没有 直接给出相关数据，无法利用公式“r=（现期- 基期）/基期”求解；材料给出 14 餐饮收入和限额以上单位餐饮收入的数据，限额以上+限额以下=餐饮收入 （A+B=C），考查混合增长率。餐饮收入增速68.9%写中间，限额以上增速为61.8%， 则限额以下增速＞68.9%，排除A 项；偏向量大的：总体约为7000，限额以上为 1000 +，则限额以下为5000 +，左边距离更远，右边距离更近，左边距离 =68.9%-61.8%=7.1%，所求=68.9%+7.1 -%=76 -%，结果比76%小，排除C、D 项；对 应B 项。【选B】 【注意】 1.判定偏向后，可以代入选项验证，如代入C 项：发现左右两边的距离均为 7.1%，不满足偏向，排除C、D 项；代入B 项，发现满足偏向关系，当选。 2.线段法：量→限额以下/限额以上≈5 倍，量之间为5 倍关系，左边线段 长度是右边线段长度的5 倍，则右侧距离=7.1%/5≈1.4%，所求=68.9%+1.4%≈71%。 【拓展】（2025 四川）2023 年上半年，全国新注册登记机动车1688 万辆， 同比增长1.9%。新注册登记汽车1175 万辆，同比增长5.8%。其中，新注册登记 载客汽车1034 万辆，同比增长5.6%；新注册登记载货汽车133 万辆，同比增长 8.1%。新注册登记新能源汽车313 万辆，同比增长41.6%。 2023 年上半年，全国新注册登记非汽车类机动车数量比上年同期： A.增长了不到2% B.增长了2%以上 C.减少了不到2% D.减少了2%以上 【解析】拓展.课堂正确率为57%。主体为“非汽车类”，属于混合的典型 15 特征，汽车类+非汽车类=机动车（A 与非A），机动车为混合后的总体（增速为 1.9%），汽车类增速5.8%，混合后的增速介于两个部分增速之间，r 非汽车＜1.9% ＜5.8%，非汽车类增速＜1.9%，排除B 项；汽车类的量为1175，机动车的量为 1688，非汽车类的量为1688-1175=500 +，利用线段法计算，量之比为1175/500 +≈2， 则右边距离是左边距离的2 倍，左边距离=5.8%-1.9%=3.9% ，右侧距离 =3.9%*2=7.8%，所求=1.9%-7.8%≈-6%，负号代表减少，则减少了2%以上，对应 D 项。【选D】 【注意】 1.偏向量大的：汽车类的量更大，总体增速更偏向左边，左边距离 =5.8%-1.9%=3.9%，右边距离＞3.9%，所求=1.9%-3.9 +%=-2 +%（如果想不清楚，就 举个数据，假设右边距离为4.9%，所求=1.9%-4.9%=-3%，则减少了2%以上），即 减少了2%以上。 2.原理：汽车类基期量*汽车类增长率+非汽车类基期量*非汽车类增长率= （汽车类基期量+非汽车类基期量）*总体增长率=总体增长量，A*a+B*b=（A+B） 16 *r，A*a-A*r=B*r-B*b，A*（a-r）=B*（r-b）→左边的量*左边的线段长度=右边 的量*右边的线段长度，A/B=（r-b）/（a-r）。 2023 年3 月，我国机器人设备出口金额0.7 亿美元，较上年增长110.3%， 进口金额2.4 亿美元，较上年增长68.5%。2023 年1～3 月我国机器人设备累计 出口金额1.9 亿美元，较上年增长62.1%，累计进口金额6.9 亿美元，较上年增 长55.1%。 【例12】（2024 国考）2023 年一季度，我国机器人设备进出口贸易逆差比 上年同期： A.上升了30%以上 B.上升了不到30% C.下降了30%以上 D.下降了不到30% 【解析】12.选项为上升/下降+%，求增长率，问逆差的增长率，需要先求出 2023 年一季度的逆差（现期量）、2022 年一季度的逆差（基期量），再代入增长 率公式“（现期量- 基期量）/基期量”求解，但普通解法太慢，转化为求和的增 长率，快速求解。顺差就是赚钱，出口＞进口；逆差就是亏钱，进口＞出口，逆 差=进口-出口→出口+逆差=进口，满足“A+B=C”的形式，用混合增长率口诀。 混合在中间→进口、部分在两边→出口、逆差，一季度对应1～3 月，不要错找 成3 月的数据，定位材料可知出口额的增长率为62.1%，进口额的增长率为55.1%， 混合后居中：r 出口（62.1%）＞r 进口（55.1%）＞r 逆差，即r 逆差＜55.1%，无法排除 选项。 方法一：线段法。进口金额为6.9 亿美元、出口金额为1.9 亿美元，则逆差 =6.9-1.9=5.0 亿美元，量之比为1.9：5.0=1：2 +，距离和量成反比，则距离之 比为2 +：1，左边线段长度=62.1%-55.1%=7%，右边线段长度=7%/2 +≈3%，r 逆差≈ 17 55.1%-3%≈52%，结果为正，说明上升，上升了30%以上，对应A 项。 方法二：看偏向，正负号一定要搞清楚。进口金额为6.9 亿美元、出口金额 为1.9 亿美元，则逆差=6.9-1.9=5.0 亿美元，混合后的增长率偏向量大的逆差， 即往右边偏，左边线段长度=62.1%-55.1%=7%，则右边线段长度＜7%，r 逆差 =55.1%-7 -%＞48%，对应A 项。【选A】 【注意】 1.考试中大多数是求和的增长率，能够快速判定考查混合增长率，如果给出 差的关系，求增长率，需要转化为和的关系，用混合增长率口诀“秒杀”。 2.如果线段法熟练，建议用线段法，因为符号不会出错，线段法的普适性更 强。 混合增长率什么时候不能用现期量替代 【注意】混合增长率什么时候不能用现期量替代：材料中出现“增长+倍数 （r＞100%）”，换句话讲，两个增长率之间相差太远。基期量=现期量/（1+r）， 如r1=20%、r2=100 +%，基期量1=现期量1/（1+20%）、基期量2=现期量2/（1+100 +%）， 此时忽略分母做不对。考试时先看材料数据，如果两个增长率都是百分之几十， 可以用现期量代替基期量；如果出现一个增长率是百分之几十、另一个增长率是 “增长+倍数”的形式，用基期量做题。 2016 年女性参加生育保险的人数达8020 万人，比2010 年增长49%。2016 年，参加城镇职工基本医疗保险的女性1.4 亿人，比2011 年增长21.5%；参加 城镇居民基本医疗保险的女性1.9 亿人，比2011 年增长了1.5 倍。 18 【例13】（2021 北京）2016 年参加城镇职工和城镇居民基本医疗保险的女 性比2011 年增长了约多少倍？ A.0.7 B.1.2 C.1.7 D.2.2 【解析】13.本题中，出现“增长了1.5 倍”→r=1.5=150%，由于150%大于 100%，表述为倍数的形式，此时不能看现期量，认为谁的现期量大就偏向谁。问 增长了多少倍→求增长率，参加城镇职工和城镇居民基本医疗保险的女性=参加 城镇职工基本医疗保险的女性+参加城镇居民基本医疗保险的女性，考查混合增 长率。定位材料找数据，混合后居中：r 城镇职工（21.5%）＜r 总体＜r 城镇居民（1.5）， 排除C、D 项；城镇职工基期量=1.4/（1+21.5%）≈1.4/1.2＞1，城镇居民基期 量=1.9/（1+150%）=1.9/2.5＜1，r 总体偏向量大的城镇职工，即往左侧偏，对应 A 项（1.2 偏向右边的1.5）。【选A】 【注意】增长n 倍→r=n。 混合增长率多者混合 【注意】混合增长率多者混合： 1.两者混合，混合后的增长率介于两者之间。 2.三者混合，A+B+C=D，混合后的增长率介于最小和最大的增长率之间，比 如浓度为10%、15%、20%的三种盐水混合，混合后的盐水浓度介于10%和20%之 间。如果需要看偏向，先两两混合，混合后再和第三者混合，即先混合A+B，再 将（A+B）和C 混合。 19 【例14】（2022 江苏）2020 年7 月～2021 年6 月，我国原油季度产量同比 增速超过2.5%的季度个数是： A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】14.问题时间是2020 年7 月～2021 年6 月，问其中同比增速超过 2.5%的季度，一个季度有3 个月，一季度对应1、2、3 月，二季度对应4、5、6 月，三季度对应7、8、9 月，四季度对应10、11、12 月。三者混合，2020 年第 三季度：2020 年7 月、8 月、9 月三者混合，混合后的增长率介于0.6%和2.4% 之间，没有超过2.5%，排除；2020 年第四季度：2020 年10 月、11 月、12 月三 者混合，混合后的增长率介于0.9%和1.4%之间，没有超过2.5%，排除；2021 年第一季度：1～2 月是一个整体，两者混合，混合后的增长率介于0.4%和3.3% 之间，需要看偏向，注意问的是季度产量，1～2 月产量+3 月产量=第一季度产量， 材料给的是日均产量，1～2 月的产量约为54.4*60，3 月的产量为55.1*31，1～ 2 月的产量＞3 月的产量，混合后的增长率偏向量大的1～2 月，即偏向左侧的 0.4%，中点=（0.4%+3.3%）/2＜2.5%，混合后的增长率没有超过2.5%，排除； 2021 年第二季度：2020 年4 月、5 月、6 月三者混合，混合后的增长率介于2.8% 和3.5%之间，超过2.5%。综上，只有1 个季度满足，对应B 项。【选B】 20 【注意】三者混合考查非常少，因为浪费时间，考生都不做，没有意义。 混合增长率线段法： 1.部分在两边，总体在中间。 2.距离和量成反比。 2020 年上半年，我国农产品进出口总额达1159.0 亿美元。农产品进口额为 807.5 亿美元，同比增长13.2%。受新冠肺炎疫情影响，我国农产品出口额同比 下降3.8%，为351.5 亿美元。 【例15】（2021 广东）2020 年上半年，我国农产品进出口额同比增长约： A.2.5% B.5.0% C.7.5% D.10.0% 【解析】15.进出口额=进口额+出口额，求增长率，考查混合增长率。定位 材料找数据，已知进口额为807.5 亿美元、r=13.2%，出口额为351.5 亿美元、 r=-38%，增长率有正数、有负数，建议直接用线段法；807.5：351.5≈2：1，则 左边线段长度：右边线段长度≈1：2，可以将整个线段长度分成3 份，或者代入 选项，代入D 项：r 进出口=10%，（13.2%-10%）：（10%+3.8%）=3.2%：13.8%≈1：4， 排除；代入C 项：r 进出口=7.5%，（13.2%-7.5%）：（7.5%+3.8%）=5.7%：11.3%≈1： 2，C 项当选。【选C】 2022 年，中国国内旅游总人次达25.30 亿。其中，城镇居民国内旅游人次 19.28 亿，同比下降17.7%；农村居民国内旅游人次6.02 亿，同比下降33.5%。 21 2022 年，中国国内旅游收入（旅游总消费）2.05 万亿元，为2019 年的35.8%。 【例16】（2024 山东）2022 年，中国国内旅游总人次同比约下降： A.17% B.19% C.20% D.22% 【解析】16.下降+%，求增长率。定位材料找数据，出现“其中”，说明中国 国内旅游总人次分为城镇居民国内旅游人次、农村居民国内旅游人次，城镇居民 和农村居民都是下降的，可以将负号省略。城镇+农村=中国，混合后居中：r 城镇 （17.7%）＜r 中国＜r 农村（33.5%），排除A 项；看偏向：城镇居民有19.28 亿、农 村居民有6.02 亿，偏向量大的城镇，即偏向左边的17.7%，无法确定答案；线 段法，量之比为19.28：6.02≈3：1，则右边线段长度/左边线段长度≈3：1， 代入选项，优先代入好算的C 项→r 中国=20%，右边线段长度=33.5%-20%=13.5%， 左边线段长度=20%-17.7%=2.3%，右边线段长度/左边线段长度=13.5%：2.3%≈6： 1，排除；同理，排除C 项，选择D 项。【选D】 【注意】 1.线段法山东每年都考，联考中大多数用口诀，2024 年联考题需要用线段 法；江苏每年都考查线段法，但不考混合增长率，考的是混合平均数、混合比重。 2.如果正负号搞不清楚，建议用线段法。 混合增长率当期和累计的关系 只要累计不滑坡，当期就比累计多 【注意】混合增长率当期和累计的关系：只要累计不滑坡，当期就比累计多。 如给出1～2 月、1～3 月、1～4 月、1～5 月……的增长率，问当月增长率和当 22 月累计增长率的大小关系。 【例17】（2018 陕西）2017 年哪个季度全国规模以上文化及相关产业收入 合计数同比增速最高？ A.一季度 B.二季度 C.三季度 D.四季度 【解析】17.问2017 年哪个季度的同比增长率最高，问的是“合计数”，定 位材料“总计”处找数据，材料给出1～3 月、1～6 月、1～9 月、1～12 月的累 计增速。已知1～3 月的累计增速为11.0%、1～6 月的累计增速为11.7%，一季 度+二季度=1～6 月，r 一季度（11%）＜r1～6 月（11.7%）＜r 二季度，r 二季度就是当期增 速，r1～6 月就是当期累计增速，只要满足r 累计＞r 前一个累计，则r 当期＞r 累计，本质是 “混合后居中”，但不需要一个一个计算，直接数，r 二季度＞11.7%；三季度：11.7% →11.4%滑坡，说明r 三季度＜11.4%；四季度：11.4%→10.8%滑坡，说明r 四季度＜10.8%； 综上，增速最大的是二季度，对应B 项。【选B】 23 【例18】（2025 联考）2024 年3～11 月，全国啤酒当期产量增长率高于累 计增长率的有几个？ A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】18.问题时间是2024 年3～11 月，要求当期产量增长率高于累计增 长率，材料给的是月份的累计值，即r 当月＞r 累计。问的是啤酒产量，不要错找白 酒的数据，3 月：8%→2.3%滑坡，说明r3 月＜r1～3 月，原因→r3 月＜r1～3 月（2.3%）＜ r1～2 月（8%），排除；同理，看累计增速上升的即可，满足的有8 月、9 月、11 月 共3 个月，对应A 项。【选A】 24 【拓展】（2022 国考）2020 年3～12 月，J 省当月发电量同比增速快于当月 累计发电量同比增速的月份有几个？ A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】拓展.材料给的是累计数据，要求2020 年3～12 月期间当月发电量 同比增速快于当月累计发电量同比增速，口诀：只要累计不滑坡，当期就比累计 25 多。想要当月增长率＞累计增长率，只需要累计增长率大于前面的即可，本题找 累计增长率上升的，一共有7 个月份满足，对应C 项。【选C】 年均增长率比较 【注意】年均增长率：考查比较少，一般考查年均增长率比较，计算不太考 查。 1.比较识别：年均增长最快、年均增速从高到低排序。 2.公式：（1+r） n=现期量/基期量。 3.比较方法：n 相同时，比较“现期量/基期量”。 4.年均增长率比较必须掌握，偶尔考查；年均增长率计算广东、深圳是必考 点，国联考不太考。 26 【例19】（2022 四川）将①同城快递、②异地快递、③国际/港澳台快递按 2016～2019 年业务量年均增速（以2016 年为基期）从高到低排列，以下正确的 是： A.①②③ B.①③② C.③①② D.③②① 【解析】19.年均增速从高到低排列→年均增速比较，问题时间是2016～ 2019 年，n 相同，比较“现期量/基期量”。无论是否给出“（以2016 年为基期）”， 基期都是开头的时间→2016 年，①同城快递：110.4/74.1=1 +；②异地快递： 510.4/232.5=2 +；③国际/港澳台快递：14.4/6.2=2 +，①最小，从高到低排在最 后，只有D 项符合。【选D】 【注意】排序题，先看选项。 27 【例20】（2025 联考）以下国家和地区中，2014～2023 年新增光伏装机规 模平均增速（以2014 年为基准）最快的是： A.欧洲 B.美国 C.拉美 D.中东及北非 【解析】20.国考、联考出题越来越规范，年均增长率/量的题，开头的时间 就是基期，不需要前推，只有江苏省考、涉及五年规划基期需要前推。年均增长 率比较问题，n 相同，比较“现期量/基期量”，基期是2014 年；只需要看选项 中的四个主体，欧洲：61.2/7.2=9 -；美国：31.1/6.7=5 -；拉美：25.4/0.5≈50； 中东及北非：18.2/0.3≈60，中东及北非年平均增速最快，对应D 项。【选D】 年均增长率计算 （1）选项≥10%——结合选项居中代入，与“现期/基期”比较 （2）选项＜10%——5%～10%，利用不等式（1+r） n＞1+n*r； 小于5%，（1+r） n≈1+n*r。 【注意】年均增长率计算：考查比较少。 28 1.选项≥10%：结合选项居中代入（代入20%、30%、40%这样好算的数），与 “现期/基期”比较。代入的过程中，如果平方数能记住，就代入百分数；如果 平方数没有背下来，可以用分数算。 2.选项＜10%： （1）5%～10%：利用不等式（1+r） n＞1+n*r。 （2）小于5%：（1+r） n≈1+n*r。计算出“现期量/基期量”，r 年均≈（现期 量/基期量-1）÷n。 【例21】（2025 广东）2021～2023 年，国家铁路旅客周转量年均增长率： A.不到15% B.在15%到30%之间 C.在30%到45%之间 D.超过45% 【解析】21.求年均增长率，公式： （1+r） n=现期量/基期量。问题时间是2021～ 2023 年，年份差n=2023-2021=2，（1+r）²=2023 年/2021 年；定位材料找数据， 列式：（1+r）²=14717.12/9559.09≈1.5（选项范围的端点离得远，可以估算）， （1+20%）²=1.2²=1.44，（1+30%）²=1.3²=1.69，1.5 介于1.44 和1.69 之间， 说明年均增长率介于15%～30%之间，对应B 项。【选B】 2017 年全年马拉松直接从业人口数72 万，间接从业人口数200 万。年度产 29 业总规模达700 亿元，比去年同期增长约20%。中国田径协会设置的发展目标是 到2020 年，全国马拉松规模赛事超过1900 场，其中中国田径协会认证赛事达到 350 场，各类赛事参赛人数超过1000 万人次，马拉松运动产业规模达到1200 亿 元。 【例22】（2019 联考）在2017 年马拉松运动年度产业总规模的基础上，从 2018 年开始，每年大约需要平均增长多少才能实现中国田径协会设置的2020 年 马拉松运动产业规模目标？ A.15% B.20% C.25% D.30% 【解析】22.出现“每年平均增长”，选项是百分数，求年均增长率。“在 2017……的基础上，从2018 年开始”→2017 年是基期、从2018 年开始计算增 长率，2018 年的增长率要算，要有2018 年比2017 年增长的过程，所以基期是 2017 年；或者根据材料，没有给出2018 年的数据，给的是2017 年的数据，所 以基期是2017 年。2017 年→2020 年一共有3 个增长过程，则（1+r）³=2020 年 /2017 年=1200/700=1.7 +；居中代入，优先代入好算的B 项：r=20%，（1+20%）³ =1.2²*1.2=1.44*（1+0.2）=1.44+0.288≈1.7，B 项当选；或者代入分数，20%=1/5， （1+20%）³=（1+1/5）³=（6/5）³=6³/5³=216/125，除以125 转化为乘8，即 216*8=1700 +，B 项当选。【选B】 【注意】年均增长率计算国考从未考查过，联考近十年只有2019 年考过1 道题，考查的可能性非常小（50%以下），不需要花时间在年均增长率计算上，平 常刷题时联系1～2 题即可。 乘积增长率计算 若C=A*B，则rc=ra+rb+ra*rb 例如总价=单价*销量；总产量=单产*面积 简单推导：（了解即可） 2020 年：总价基期C=单价基期A*销量基期B 2021 年：总价基期C*（1+rc）=单价基期A*（1+ra）*销量基期B*（1+rb） 30 【注意】乘积增长率计算：考查不多。A±B（加减法）的增长率→混合增长 率，A/B（除法）的增长率→平均数的增长率=（a-b）/（1+b）。 1.若C=A*B，则rc=ra+rb+ra*rb（和+积）。 2.例如总价=单价*销量、总产量=单产*面积、销售总额=销售面积*单价。 3.简单推导（了解即可）：总价=单价*销量，假设单价的增长率为ra、销量 的增长率为rb、总价的增长率为rc；2020 年：总价基期C=单价基期A*销量基期 B，现期量=基期量*（1+r），2021 年：总价基期C*（1+rc）=单价基期A*（1+ra） *销量基期B*（1+rb），2021 年总价C 的增长率=（2021 年-2020 年）/2020 年=[A* （1+ra）*B*（1+rb）-A*B]/（A*B）=（1+ra）*（1+rb）-1=1+ra+rb+ra*rb-1=ra+rb+ra*rb， 和间隔增长率的公式形式一样。 31 【例23】（2023 联考）假设羊肉每年以零售价格全部售罄，那么，2021 年 羊肉销售收入同比增长约： A.5.2% B.10.4% C.17.6% D.22.7% 【解析】23.问销售收入的增长率，销售收入=销量*价格；材料给的是产量， “全部售罄”即产多少卖多少，“假设羊肉每年以零售价格全部售罄”→销量= 产量。没有直接给出销量和价格的增长率，估算，销量=产量，产量增长率= （514-492）/492≈22/500=4 +%；价格为零售价格，价格增长率=（81.4-77） /77=4.4/77≈6%，则销售收入增长率=4 +%+6%+4 +%*6%，乘积可以忽略，结果为10 +%， 对应B 项。【选B】 【注意】2021 年销售收入=81.4*514，2020 年销售收入=77*492，然后再求 增长率，所求=（81.4*514.1-77*492）/（77*492），乘积增长率比该方法简单。 2019 年1～8 月，全国房地产开发投资84589 亿元，同比增长10.5%，增速 比1～7 月回落0.1 个百分点。其中，住宅投资65187 亿元，增长14.9%，增速 回落0.2 个百分点。 32 1～8 月，房地产开发企业土地购置面积12236 万平方米，同比下降25.6%， 每平方米土地价格同比上涨4.5%，土地成交额6374 亿元。 【例24】（2019 辽宁）2019 年1～8 月，房地产开发企业土地成交额与去年 同期相比增长约： A.-17% B.-22% C.-27% D.1.2% 【解析】24.问土地成交额的增长率，材料给出土地购置面积、每平方米土 地价格的数据，成交额=购置面积*每平方米价格，考虑乘积增长率。定位材料找 数据，所求=r 面积+r 价格+r 面积*r 价格=-25.6%+4.5%+（-25.6%）*4.5%≈-21%-1/4*4.5% ≈-21%-1%=-22%，对应B 项。【选B】 【注意】原来用平均数增长率做，每平方米土地价格=成交额（a）/面积（b）， 平均数的增长率=（a-b）/（1+b），列式：4.5%=[a-（-25.6%）]/[1+（-25.6%）]。 2020 年我国数字经济规模达到39.2 万亿元，保持9.7%高位增长，占GDP 比重为38.6%，同比提升2.4 个百分点。 【例25】（2022 联考）2020 年，产业数字化规模同比增长约： A.9.2% B.9.8% C.10% D.10.7% 33 【解析】25.问2020 年产业数字化规模的同比增长率，文字材料给出我国数 字经济规模及其增长率；图形材料给出我国数字经济内部结构， “结构”即占比， 浅灰色条形图表示数字产业化占比（数字产业化占数字经济的比重）、深灰色条 形图表示产业数字化占比（产业数字化占数字经济的比重），产业数字化占比= 产业数字化/数字经济规模。 方法一：两期比重。求产业数字化的增长率，相当于求部分增长率a，材料 给出2020 年的比重为80.9%、2019 年的比重为80.2%，今年比重比去年比重上 升→部分增长率a＞整体增长率b，文字材料给出数字经济规模的增长率b=9.7%， 则a＞9.7%，排除A 项；两期比重差=80.9%-80.2%=0.7%，比重差＜|a-b|，即0.7% ＜|a-9.7%|→a＞9.7%+0.7%=10.4%，排除B、C 项，选择D 项。 方法二：乘积增长率。产业数字化占比=产业数字化/数字经济规模→产业数 字化=数字经济规模*产业数字化占比，已知数字经济规模的增长率为9.7%，产 业数字化占比的增长率=（80.9%-80.2%）/80.2%=0.7%/80.2%≈0.9%，所求≈ 9.7%+0.9%+9.7%*0.9%=10.6%+乘积，结果对应D 项。【选D】 【注意】 1.也可以用基期比重公式“A/B*[（1+b）/（1+a）]”求解，列式： 80.2%=80.9%*[（1+9.7%）/（1+a）]，但比较慢。 2.有占比的题目，往往会求部分增长率，部分量=整体量*比重，已知整体量 的增长率，求出比重的增长率，利用乘积增长率求解。 2018 年，中国茶叶国内销售量为191 万吨，同比增长5.1%，国内销售总额 为2661 亿元，出口量为36.5 万吨，同比增长2.8%，出口总额为17.89 亿美元 （合人民币120 亿元），同比增长（？）。 34 【拓展】（2021 北京）资料中“（？）”处应当填入的数值最可能是以下哪一 个？ A.12% B.16% C.20% D.24% 【解析】拓展.课堂正确率为70%。“（？）”表示出口总额的增长率，材料给 出出口量、出口均价，出口总额=出口量*出口均价，如果硬算，需要把今年、去 年的出口总额计算出来，再代入增长率公式求解，有点慢；已知出口量的增长率 为2.8%，出口均价的增长率可以求，2018 年出口均价的增长率=（4.9-4.5） /4.5=0.4/4.5≈1/11≈9%，考虑乘积增长率，所求≈2.8%+9%+2.8%*9%=11.8%+ 乘积，结果比11.8%略大，对应A 项。【选A】 35 【注意】 1.间隔增长率（常考，套路）： （1）识别：时间上隔一年，求增长率/倍数/基期。不一定隔一年，可以两 个时间段不相等，给出起点比中间的增长率、中间比末点的增长率，前后两个时 间段可以不一样，只要是三个连续的时间即可。 （2）公式：r1+r2+r1*r2（和＋积）。 （3）技巧：根据选项观察数据，看怎么做更快。 ①计算很简单，结合选项。 ②间隔倍数=间隔r+1。 ③间隔基期=现期/（1+间隔r）。 ④逆向考查：给r1、r 间，求r2，r2=（r 间−r1）/（1+r1）。 2.年均增长率（常考比较，计算极少）：重点掌握年均增长率比较。 （1）识别：年均+增长率。 （2）公式：（1+r） n=现期量/基期量。 （3）技巧： ①比较：比较“现期量/基期量”。 ②计算：居中代入。 3.混合增长率（必考，重难点）： （1）识别：有加和或作差的关系（作差转化为加和），求其中某个量的增长 率。 （2）技巧： ①混合总体居中：最小r＜总体r＜最大r。 ②偏向量较大的：总体增速离基数大的更近。“量”是指基期量，做题时可 以用现期量替代，如果出现“增长+倍数”，不能用现期量代替基期量。 ③线段法（要掌握）：距离与量成反比（很少用到）。 4.乘积增长率： （1）识别：有乘积的关系→A=B*C。 （2）公式：ra=rb+rc+rb*rc（和+积）。 36 遇见不一样的自己 Be your better self
