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盈亏法 （笔记） 主讲教师：林凡 授课时间：2025.07.02 粉笔公考·官方微信 1 盈亏法（笔记） 【答案汇总】 1-5：CD 不选B 不选；6-10：AABDB；11-14：ADBC 目录 01 初识盈亏法 02 盈亏法在资料分析中的应用 03 盈亏法在数量关系中的应用 【注意】目录：一方面是了解盈亏思维，另一方面是了解盈亏法在资料分析 中和数量关系中的应用，进而帮助大家提升做题速度。 1.初识盈亏法：盈亏法核心是什么、代表的量是什么。 2.盈亏法在资料分析中的应用。 3.盈亏法在数量关系中的应用。 01 初识盈亏法 盈亏法——方法介绍 含义：盈余亏补 核心：平衡 应用：平均数问题、物品分配问题、鸡兔同笼问题 【注意】盈亏法——方法介绍： 1.含义：盈余亏补→多退少补。 2.核心：平衡（把多的量与少的量相平衡）。 3.应用：平均数问题（削峰填谷）、物品分配问题（行测中的一类题，平时 学的比较少）、鸡兔同笼问题（行测中的一类题，平时学的比较少）。 【例1】（2020 上海）有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200 毫升清水，乙瓶 里装了200 毫升纯酒精。第一次把20 毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲 瓶中20 毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶里含有纯酒精的量（ ）乙瓶里含水的量。 2 A.大于 B.小于 C.等于 D.不能确定 【解析】1.甲有200 毫升水，乙有200 毫升酒精，乙倒入20 毫升酒精到甲， 乙变成180 毫升酒精，甲的水与酒精之比为200：20=10：1，再把20 毫升甲倒 入乙，水是20*（10/11）、酒精是20*（1/11），再计算，比较麻烦。考虑盈亏思 维，最初甲有200 毫升水、乙有200 毫升酒精，现在甲还是200 毫升、乙还是 200 毫升，只是“不纯”了，甲变成水+酒精，乙变成酒精+水，甲中多的酒精的 量=乙多的水的量，体积没变，则甲瓶里含有纯酒精的量等于乙瓶里含水的量， 对应C 项。【选C】 【注意】 1.假设甲还剩190 毫升的水，则酒精有10 毫升，那么乙有190 毫升酒精、 10 毫升水，多的量与少的量要平衡。 2.酒精和水没有化学反应。 3.极限思维：20 毫升对结果没有影响，如果把20 毫升改成30 毫升、50 毫 升、200 毫升，结果都不变。假设把乙全部倒入甲，甲变成200 毫升水+200 毫升 酒精，1：1 混合，再倒入200 毫升到乙，甲是100 毫升水+100 毫升酒精，乙也 是100 毫升水+100 毫升酒精。 4.如果继续倒，结果还是“等于”，只要总量不变，倒进来多少酒精，一定 会倒回去多少水，多的酒精=少的水。 5.乙倒入20 毫升酒精到甲，甲的水少了20 毫升、酒精多了20 毫升，乙变 成180 毫升酒精+20 毫升水。 3 02 盈亏法在资料分析中的应用 一、平均数的计算 题型特征：多个数求平均值 解题方法：削峰填谷 第一步：划定基准，找峰找谷 基准：找一个接近平均值、相对好算的数 第二步：计算，用峰填谷 平均数=基准+剩余的和/n 例：求7、10、12、8、18 的平均数。 【注意】平均数的计算： 1.题型特征：多个数求平均值。 2.解题方法：削峰填谷（盈亏思维）。 （1）第一步：划定基准，找峰找谷。基准：找一个接近平均值、相对好算 的数。 （2）第二步：计算，用峰填谷（多的量与少的量相平衡）。平均数=基准+ 剩余的和/n。 3.例：求7、10、12、8、18 的平均数。 答：找基准为10，与10 分别相差：-3、0、+2、-2、+8，所求=10+（-3+0+2-2+8） /5=10+5/5=10+1=11。 4 【例2】（2024 联考）表格所列国家中，2022 年全球创新指数排名前五位国 家的平均创新指数是： A.58.54 B.59.74 C.60.84 D.61.14 【解析】2.平均数问题。 方法一：（64.6+61.8+61.6+59.7+58）/5=61.14，对应D 项。 方法二：削峰填谷。找基准60，与60 分别相差：+4.6、+1.8、+1.6、-0.3、 -2，峰谷抵消，4.6+1.8+1.6-0.3-2=5.7，所求=60+5.7/5=61.14，对应D 项。 方法三：有3 个数大于60，且有1 个数比60 大很多，有2 个数比60 小， 通过观察，平均数大于60，排除A、B 项；把基准定为61，与61 分别相差：3.6、 0.8、0.6、-1.3、-3，峰谷抵消，3.6+0.8+0.6-1.3-3＞0，则平均数大于61， 对应D 项。【选D】 【注意】除法不能用尾数法。 二、平均数进阶应用1 题型特征：给出多个数求总数 5 解题方法：将总数转化为平均数求证 【注意】平均数进阶应用1： 1.题型特征：给出多个数求总数。 2.解题方法：将总数转化为平均数求证。 【例3】（2020 国考）关于中国集成电路产业销售及进出口状况，能够从上 述资料中推出的是： D.2014～2018 年，出口总量超过1 万亿块 【解析】3.D 项：方法一：五年加和/5＞1 万亿块。 方法二：五年加和/5＞1 万亿块→平均每年大于2000 亿块，观察发现，有3 年比2000 少，且少的多，有2 年比2000 多，且多的少，则平均数不到2000， 即出口总量未超过1 万亿块，说法错误，不选。【不选】 6 【例4】（2022 国考）“十三五”（2016～2020 年）期间，中国IC 封装市场 总规模： A.不到1.0 万亿元 B.在1.0～1.1 万亿元之间 C.在1.1～1.2 万亿元之间 D.超过1.2 万亿元 【解析】4.时间是“十三五”（2016～2020 年）期间，算平均数，选项转化 为＜2000、2000～2200、2200～2400、＞2400，以2000 为基准，与2000 分别相 差约-440、-110、+190、+350、+480，通过观察，平均数大于2000，排除A 项； 以2200 为基准，比2200 多的是150、280，2016 年就比2200 少了640，说明平 均数不到2200，对应B 项。【选B】 【注意】 1.可以用高位叠加来计算，但如果年份比较多，就不好计算。 2.可以用尺子或身份证量，以2200 为基准，比2200 多的少，比2200 少的 多，则平均数不到2200。 7 3.以2000 为基准，比2000 多的多，比2000 少的少，则平均数大于2000。 【例5】（2020 国考）能够从上述资料中推出的是： A.2014～2018 年，中国旅游业总收入超过25 万亿元 【解析】5.A 项：5 年＞25 万→每年＞5 万，有3 年小于5 万，且少很多， 则平均数不到5 万，说法错误，不选。【不选】 8 【例6】（2025 国考）2019～2023 年我国厨房小家电全品类零售总量在以下 哪个范围？ A.12 亿台～13 亿台之间 B.不到12 亿台 C.13 亿台～14 亿台之间 D.超过14 亿台 【解析】6.算平均数，选项转化为2.4～2.6 亿、＜2.4 亿、2.6～2.8 亿、 ＞2.8 亿，最大的才2.6 亿，平均数不可能到2.6 亿，排除B、D 项，以2.4 亿 （24000 万）为基准，与24000 万分别相差约2700、3400、-300、-2000、2500 万，比24000 万高的多，说明平均数超过24000 万，对应A 项。【选A】 二、平均数进阶应用2 题型特征：题干给出每一年的值，问超出平均值的年份有几个 解题方法：结合图像，以中间某年的值作为桥梁进行比较 【注意】平均数进阶应用2： 1.题型特征：题干给出每一年的值（图形和表格），问超出平均值的年份有 几个。 2.解题方法：结合图像，以中间某年的值作为桥梁进行比较。 9 【例7】（2020 联考）平均通勤距离超过了四个城市平均值的有： A.一个城市 B.两个城市 C.三个城市 D.四个城市 【解析】7.平均通勤距离对应浅灰色柱子，平均通勤距离最高的是11.1、 最小的是8.1，则平均值介于8.1～11.1 之间，以9.1 为桥梁，与9.1 分别相差 2、-0.4、-1，2-0.4-1＞0，则平均值大于9.1，平均通勤距离超过了四个城市 平均值的有一个城市，对应A 项。【选A】 【注意】四个城市不可能都超过平均值，排除D 项。 10 【例8】（2023 联考）2017～2021 年，我国研究与试验发展经费支出超过年 平均值的年份的个数是： A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【解析】8.2017～2021 年有5 年，假设平均数为19000，比19000 大的多， 平均数肯定大于19000，假设平均数为24000，比24000 小的多，平均数肯定小 于24000，则以22144 为桥梁，与22144 分别相差约-4400、-2400、+2300、+5800， -4400-2400+2300+5800＞0，则平均数大于22144，我国研究与试验发展经费支 出超过年平均值的年份的个数是2 个，对应B 项。【选B】 11 03 盈亏法在数量关系中的应用 一、物品分配问题 题型特征：一类物品分给一批对象+“两个如果” 解题方法：一盈一亏：对象数=（盈数+亏数）/两次分配个数差 例：我有一笔钱，分给班里同学，如果每人分30 元，还差10 元；如果每人 分20 元，还剩50 元。求班里有多少人？ 【注意】物品分配问题： 1.题型特征：一类物品分给一批对象（物品和对象都不变）+“两个如果” （给出两种假设，通常是一种有剩余，一种有缺少）。 2.解题方法：一盈一亏：对象数=（盈数+亏数）/两次分配个数差。 3.例：我有一笔钱，分给班里同学，如果每人分30 元，还差10 元；如果每 人分20 元，还剩50 元。求班里有多少人？ 答：物品分配问题。 方法一：方程法。设班里有x 人，则30x-10=20x+50→10x=60→x=6。 方法二：直接套公式，对象数=（盈数+亏数）/两次分配个数差=（50+10）/ （30-20）=60/10=6。 4.注：盈亏本身就是相对的概念，“盈10”相当于“亏-10”，所以同盈也可 以用这个公式，分子就是用大数减小数。 【例9】（2020 联考）某企业员工组织周末自驾游。集合后发现，如果每辆 小车坐5 人，则空出4 个座位；如果每辆小车少坐1 人，则有8 人没坐上车。那 么，参加自驾游的小车有： A.9 辆 B.10 辆 C.11 辆 D.12 辆 【解析】9.“如果每辆小车坐5 人，则空出4 个座位；如果每辆小车少坐1 人（相当于每辆小车坐4 人），则有8 人没坐上车”→同一类物品（人）分给同 一批对象（小车）+“两个如果”，属于物品分配问题，前者是亏4 人，后者是盈 8 人，对象数=（盈数+亏数）/两次分配个数差=（8+4）/（5-4）=12/1=12，即 总共有12 辆小车，对应D 项。【选D】 12 【例10】（2019 江苏）某机关事务处集中采购了一批打印纸，分发给各职能 部门。如果按每个部门9 包分发，则多6 包；如果按每个部门11 包分发，则有 1 个部门只能分到1 包。这批打印纸的数量是： A.87 包 B.78 包 C.69 包 D.67 包 【解析】10.“如果按每个部门9 包分发，则多6 包；如果按每个部门11 包分发，则有1 个部门只能分到1 包”→同一类物品（打印纸）分给同一批对象 （部门）+“两个如果”，属于物品分配问题，前者是盈6 包，后者是亏10 包， 对象数=（盈数+亏数）/两次分配个数差=（6+10）/（11-9）=16/2=8，即总共有 8 个部门，代入第一个“如果”：打印纸总数=9*8+6=78；代入第二个“如果”： 打印纸总数=8*11-10=78，对应B 项。【选B】 【注意】 1.小技巧：亏数可以转化，“有1 个部门只能分到1 包”→亏10 包。 2.同盈：第一次盈6 包，第二次盈2 包（相当于亏-2 包），则盈数+亏数=6+ （-2）=6-2=4。 【例11】（2019 浙江）某公司组织员工春游，每辆车坐25 人，剩下6 人没 有上车，每辆车坐28 人，最后一辆车只坐了13 人。问每辆车坐26 人，最后一 辆车少坐了几个人？ A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】11.“每辆车坐25 人，剩下6 人没有上车，每辆车坐28 人，最后 一辆车只坐了13 人”→同一类物品（人）分给同一批对象（车）+“两个如果”， 属于物品分配问题，前者是盈6 人，后者是亏15 人（28-13=15），对象数=（盈 数+亏数）/两次分配个数差=（6+15）/（28-25）=21/3=7，即总共有7 辆车。 方法一：总人数=7*25+6=181 人。当每辆车坐26 人时，181/26=6……25， 最后一辆车坐了25 人，所以少坐了1 人，对应A 项。 13 方法二：由于对象数不变，可以根据问题再用一次公式，当每辆车坐26 人 时，设最后一辆车少坐了x 人（亏x 人），对象数=（6+x）/（26-25）=7→x=1， 对应A 项。【选A】 二、鸡兔同笼问题 题型特征：两类物品分给两批对象（A 分给甲乙、B 分给甲乙） 解题方法：对象数=实际总量与假设总量的差/两个单量的差 例：中国古代数学著作《孙子算经》。原文为：“今有雉兔同笼，上有三十五 头，下有九十四足，问雉兔各几何？” 设鸡求兔，设兔求鸡 【注意】鸡兔同笼问题：小学奥数题。 1.题型特征：两类物品分给两批对象（A 分给甲乙、B 分给甲乙）。 2.解题方法：对象数=实际总量与假设总量的差/两个单量的差。 3.例：中国古代数学著作《孙子算经》。原文为：“今有雉兔同笼，上有三十 五头，下有九十四足，问雉兔各几何？” 答：原文的意思是有若干只鸡和兔子关在一个笼子里，一共有35 个头、94 只脚，问鸡和兔子分别有几只。 方法一：方程法。设鸡有x 只、兔子有y 只，1 只鸡有1 个头、2 只脚，1 只兔子有1 个头、4 只脚，则x+y=35①；2x+4y=94②。联立①②解方程即可。 方法二：假设法。假设全是鸡，让兔子都抬起2 只脚，则总共有35*2=70 只脚，现在让兔子把抬起的2 只脚放下，1 只兔子放下会多2 只脚，n 只兔子放 下会多2n 只脚，则70+2n=94→n=24/2=12，兔子有12 只，鸡有35-12=23 只。 方法三：设鸡求兔（求兔子数量，就假设全是鸡）、设兔求鸡（求鸡数量， 就假设全是兔子）。比如现在要求兔子数量，则假设全是鸡，假设总量（假设的 脚数）=35*2=70，实际总量（实际的脚数）=94，两个单量的差（1 只兔子和1 只鸡的脚数之差）=4-2，对象数（兔子数量）=实际总量与假设总量的差/两个单 量的差=（94-70）/（4-2）=24/2=12。 【例12】（2023 深圳）便利店售卖雪糕和饮料，每支雪糕的利润为1 元，每 14 支饮料的利润为1.5 元，夏季某日，便利店卖出雪糕和饮料共150 支，共获得利 润200 元，则当天卖出雪糕（ ）支。 A.65 B.60 C.55 D.50 【解析】12.求雪糕→设饮料，假设150 支全是饮料，假设总量（假设的利 润）=150*1.5=225，实际总量（实际的利润）=200，两个单量的差（1 支饮料和 1 支雪糕的利润之差）=1.5-1，对象数（雪糕数）=实际总量与假设总量的差/两 个单量的差=（225-200）/（1.5-1）=25/0.5=50，对应D 项。【选D】 【例13】（2019 上海）踢毽子有内踢、直踢、外踢、膝击、叉踢、背踢、倒 勾和踹毽八种基本动作。在一次踢毽子比赛中规定：前五种基本动作每次记1 分；后三种基本动作由于难度较高，每次记3 分。方华在1 分钟内完成了35 个 基本动作，总分为69 分。那么方华完成了（ ）个3 分动作。 A.16 B.17 C.18 D.19 【解析】13.求3 分动作→设1 分动作，假设35 个基本动作全是1 分动作， 假设总量（假设的分数）=35*1=35，实际总量（实际的分数）=69，两个单量的 差（1 个3 分动作和1 个1 分动作的分数之差）=3-1，对象数（3 分动作个数）= 实际总量与假设总量的差/两个单量的差=（69-35）/（3-1）=34/2=17，对应B 项。【选B】 【例14】（2023 河北事业单位）一辆卡车运矿石，晴天每天可运16 次，雨 天每天只能运11 次。已知这辆卡车连续运了17 天，共运了222 次，则这些天中 有（ ）天下雨。 A.8 B.9 C.10 D.11 【解析】14.求雨天→设晴天，假设17 天全是晴天，假设总量（假设的运输 次数）=16*17=272，实际总量（实际的运输次数）=222，两个单量的差（1 个晴 天和1 个雨天的运输次数之差）=16-11，对象数（雨天数量）=实际总量与假设 15 总量的差/两个单量的差=（272-222）/（16-11）=50/5=10，对应C 项。【选C】 出门考 【练习1】（2024 国考）2017～2022 年，全国移动数据流量业务收入总额在 以下哪个范围内？ A.不到3.4 万亿元 B.超过3.6 万亿元 C.3.4 万亿～3.5 万亿元之间 D.3.5 万亿～3.6 万亿元之间 【解析】练习1.课堂正确率为54%。问全国移动数据流量业务收入总额，将 总数转化为平均数求证，2017～2022 年总共6 年，观察数据，都在6000 左右， 可以用6000 来衡量一下，大约分别相差-480、-10、+100、+200、+380、+400， 明显比6000 多的部分更多，说明平均数＞6000，故总数＞6*6000=3.6 万，对应 B 项。【选B】 【练习2】（2019 联考）林先生要将从故乡带回的一包泥土分成小包装送给 占其朋友总数30%的老年朋友。在分包过程中发现，如果每包200 克，则少500 克；如果每包150 克，则多250 克。那么，林先生的朋友共有多少人？ A.15 B.30 C.50 D.100 【解析】练习2.课堂正确率为59%。“如果每包200 克，则少500 克；如果 每包150 克，则多250 克”→同一类物品（泥土）分给同一批对象（人）+“两 16 个如果”，属于物品分配问题，前者是亏500 克，后者是盈250 克，对象数=（盈 数+亏数）/两次分配个数差=（250+500）/（200-150）=750/50=15，不要误选A 项，只分给老年朋友，说明老年朋友为15 人，老年朋友只占朋友总数的30%， 则朋友总数=15/30%=50 人，对应C 项。【选C】 【注意】课后答疑渠道：微博/小红书（@粉笔林凡讲数资）。 17 遇见不一样的自己 Be your better self
