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专题04 角平分线模型的三种考法 类型一、角平分线上的点向两边作垂线 例1．已知，△ABC 中，∠BAC＝120°，AD 平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝ 3，则AD 的长是 ． 【答案】5 【分析】过D 作， ， 交 延长线于F，然后根据全等三角形的性质和 角直角三角形的性质即可求解． 【详解】过D 作， ， 交 延长线于F， ∵AD 平分 ， ， ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】此题考查了全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三 角形． 【变式训练1】如图， 、 是四边形 的对角线， 平分 ， ，已知 ，则 ． 【答案】47° 【分析】过D 作 于E， 于F， 于G，依据 平分 ， 平分 ，利用角平分线的性质，即可得到 ，进而得出 平分 ． 再根据三角形外角的性质，即可得到 ，进而得出结论． 【详解】如图所示，过D 作 于E， 于F， 于G， ∵ 平分 ， ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 平分 ， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ 平分 ， ∵ ， ∴ ， ， ∵ 是 的外角， 是 的外角， ∴ 故答案为：47°． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是掌握角平 分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【变式训练2】已知： 是 的角平分线，且 ． （1）如图1，求证： ； （2）如图2， ，点E 在 上，连接 并延长交 于点 ， 交CA 的延 长线于点 ，且 ，连接 ． ①求证： ； ②若 ，且 ，求 的长． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②． 【分析】（1）用 证明 ，即得AB＝AC； （2）①证明 可得 ，再用 证明△FAG≌△FAE，即得 ； ②过 作 于 ，由 ，可得 ， ，而 ，故 ，即得 ，根据 ，可求 ． 【详解】解：（1）证明： 是 的角平分线， ， ， ， 在 和 中， ， ， ； （2）① ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 在 和 中， ， ， ； ②过 作 于 ，如图： 由①知： ， ， ， ， 由①知： ， ， ， ， ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三 角形的相关知识. 【变式训练3】在平面直角坐标系中，点A 的坐标是 ，点B 的坐标 且a，b 满足 ． （1）求A、B 两点的坐标； （2）如图（1），点C 为x 轴负半轴一动点， ， 于D，交y 轴于点E， 求证： 平分 ． （3）如图（2），点F 为 的中点，点G 为x 正半轴点 右侧的一动点，过点F 作 的 垂线 ，交y 轴的负半轴于点H，那么当点G 的位置不断变化时， 的值是 否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果． 【答案】（1） ， ；（2）证明见解析；（3）不变化， ． 【分析】（1）由非负性可求a，b 的值，即可求A、B 两点的坐标； （2）过点O 作 于M， 于N，根据全等三角形的判定和性质解答即可； （3）由于点F 是等腰直角三角形AOB 的斜边的中点，所以连接OF，得出OF=BF． ∠BFO=∠GFH，进而得出∠OFH=∠BFG，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质 以及三角形面积公式解答即可． 【详解】解：（1）∵ ∴ ， ∴ ，即 ． ∴ ， ． （2）如图，过点O 作 于M， 于N， 根据题意可知 ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ， OA ∴ ＝OB＝6． 在 和 中， ， ∴ ． ∴ ， ， ． ∴ ， ∴ ， ∴点O 一定在∠CDB 的角平分线上， 即OD 平分∠CDB． （3）如图，连接OF， ∵ 是等腰直角三角形且点F 为AB 的中点， ∴ ， ，OF 平分∠AOB． ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 在 和 中 ， ∴ ． ∴ ， ∴ ． 故不发生变化，且 ． 【点睛】本题为三角形综合题，考查非负数的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的 性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形 例．已知： 中， 为 的中点， 平分 于 ，连结 ，若 ，求 的长． 【答案】 【分析】延长CG 交AB 于点E. 根据等腰三角形的判定与性质得CG=EG，AE=AC,再根据三角 形中位线的性质得出DG= BE= （AB-AC），从而得出 的长． 【详解】解：延长CG 交AB 于点E． AG 平分 ， 于 ， ， ， ， ∵ ， 为 的中点， ． 故答案为 . 【点睛】本题考查 等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，根据题意作出辅助线， 利用三角形中位线定理求解是解题的关键． 【变式训练1】已知：等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1= 3 ∠；BE AD ⊥ ． 求证：BE= AD． 【答案】见解析. 【分析】延长AC、BE 交于F，首先由ASA 证明△AEF≌△AEB，得到BE= BF，然后再次通过 ASA 证明△ACD≌△BCF，得到AD=BF，问题得解. 【详解】证明：延长AC、BE 交于F， 1= 3 ∵∠ ∠，BE AE ⊥ ， 在△AEF 和△AEB 中， ， ∴△AEF≌△AEB(ASA)， FE=BE ∴ ， BE= ∴ BF， ACD= BED=90° ∵∠ ∠ ，∠ADC= BDE ∠ ， 1= 2 ∴∠ ∠， 在△ACD 和△BCF 中， ， ∴△ACD≌△BCF（ASA）， AD=BF ∴ ， BE= ∴ AD. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，两次证明全等是解 题关键，也考查学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度． 【变式训练2】如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=AC，D 是AC 上一点，AE⊥BD 交BD 的延长 线于E，AE= BD，且DF⊥AB 于F，求证：CD=DF 【答案】见解析 【解析】证明：延长AE、BC 交于点F. 如图所示：∵AE BE ⊥ ，∴∠BEA=90°， 又∠ACF= ACB=90° ∠ ，∴∠DBC+ AFC= FAC+ AFC=90° ∠ ∠ ∠ ，∴∠DBC= FAC ∠ ， 在△ACF 和△BCD 中, ，∴△ACF BCD(ASA) ≌△ ，∴AF=BD. 又AE= BD，∴AE= AF，即点E 是AF 的中点，∴AB=BF，∴BD 是∠ABC 的角平分线， C=90° ∵∠ ，DF AB ⊥ 于F，∴CD=DF. 类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短 例．如图，在 中， ， 平分 交 于 ，求证： . 【答案】详见解析 【分析】可以在AB 上截取AE=AC，构造三角形全等，再结合三角形三边关系可证得结论． 【详解】在AB 上截取AE=AC， 则BE=AB-AC， 在△AED 和△ACD 中， ， AED ACD(SAS) ∴△ △ ≌ ， DE=DC ∴ ， 在△BDE 中，BD-DE＜BE(三角形两边之差小于第三边)， BE>BD-CD ∴ ， 即AB-AC>BD-CD. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，构造三角形全等是解题 的关键． 【变式训练1】如图所示，在 中， ， 是 的角平分线， 交于点 ，求证： ． 【答案】详见解析 【分析】在AB 上截 ，连接FG，根据角平分线的性质、结合三角形内角和定理可 得 ，证明 ，得GD=GF， =60°，可 证得 ，即可得GF=GE=GD. 【详解】证明：在AB 上截 ，连接FG， AE ∵ 平分∠BAC， EAC= EAB ∴∠ ∠ ， 又∵AG=AG， ∴ ， ， ， ∵ ，AE,BD 是ΔABC 的角平分线， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， GD=GE. ∴ 【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，作辅助线是解题的关键． 【变式训练2】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题: 如图一，△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BD 平分∠ABC，猜想线段AD 与DC 数量关系.小明发 现可以用下面方法解决问题:作DE BC ⊥ 交BC 于点E： (1)根据阅读材料可得AD 与DC 的数量关系为__________. (2)如图二，△ABC 中，∠A=120°，AB=AC，BD 平分∠ABC，猜想线段AD 与DC 的数量关系， 并证明你的猜想. (3)如图三，△ABC 中，∠A=100°，AB=AC，BD 平分∠ABC，猜想线段AD 与BD、BC 的数量 关系，并证明你的猜想. 【答案】（1）CD= AD；（2）CD= AD；（3）BC=AD+BD. 【分析】（1）由角平分线的性质可得AD=DE，根据∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，由 DE BC ⊥ 可得△DEC 是等腰直角三角形，可得CD= DE，进而可得答案；（2）在BC 上截取 BE=AB，连接DE，利用SAS 可证明△ABD≌△EBD，可得AD=DE，∠BED= A=120° ∠ ，由等腰三 角形的性质可得∠C=30°，利用三角形外角性质可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形 的性质即可得答案；（3）在BC 上取一点E，使BE=BD，作DF BA ⊥ 于F，DG BC ⊥ 于G，由角 平分线的性质就可以得出DF=DG，利用AAS 可证明△DAF DEG ≌△ ，可得 DA=DE，利用外角 性质可求出∠EDC=40°，进而可得DE=CE，即可得出结论． 【详解】（1）∵∠A=90°，BD 平分∠ABC，DE BC ⊥ ， DE=AD ∴ ， A=90° ∵∠ ，AB=AC， C=45° ∴∠ ， ∴△CDE 是等腰直角三角形， CD= ∴ DE= AD， 故答案为CD= AD （2）如图，在BC 上截取BE=AB，连接DE， BD ∵ 平分∠ABC， ABD= DBE ∴∠ ∠ ， 在△ABD 和△EBD 中， ， ∴△ABD≌△EBD， DE=AD ∴ ，∠BED= A=120° ∠ ， AB=AC ∵ ， C= ABC=30° ∴∠ ∠ ， CDE= BED- C=90° ∴∠ ∠ ∠ ， CD= ∴ DE= AD. （3）如图，在BC 上取一点E，是BE=BD，作DF BA ⊥ 于F，DG BC ⊥ 于G， DFA= DGE=90° ∴∠ ∠ ． BD ∵ 平分∠ABC，DF BA ⊥ ，DG BC ⊥ ， DF=DG ∴ ． BAC=100° ∵∠ ，AB=AC， FAD=80° ∴∠ ，∠ABC= C=40° ∠ ， DBC=20° ∴∠ ， BE=BD ∵ ， BED= BDE=80° ∴∠ ∠ ， FAD= BED ∴∠ ∠ ． 在△DAF 和△DEG 中， ， DAF DEG ∴△ △ ≌ （AAS）， AD=ED ∴ ． BED= C+ EDC ∵∠ ∠ ∠ ， 80°=40+ EDC ∴ ∠ ， EDC=40° ∴∠ ， EDC= C ∴∠ ∠， DE=CE ∴ ， AD=CE ∴ ． BC=BE+CE ∵ ， BC=BD+AD ∴ ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判 定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键． 【变式训练3】如图，已知B（-1，0），C（1，0），A 为y 轴正半轴上一点，点D 为第二 象限一动点，E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于F，且∠BDC= BAC ∠ ． （1）求证：∠ABD= ACD ∠ ； （2）求证：AD 平分∠CDE； （3）若在点D 运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？ 如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，60° 【分析】（1）根据∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，再结合∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝ ∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，即可得出结论； （2）过点A 作AM CD ⊥ 于点M，作AN BE ⊥ 于点N．运用“AAS”证明△ACM ABN ≌△ 得AM＝ AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证； （3）运用截长法在CD 上截取CP＝BD，连接AP．证明△ACP ABD ≌ 得△ADP 为等边三角形， 从而求∠BAC 的度数． 【详解】（1）证明：∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC， 又∵∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°， ABD ∴∠ ＝∠ACD； （2）过点A 作AM CD ⊥ 于点M，作AN BE ⊥ 于点N． 则∠AMC＝∠ANB＝90°， OB ∵ ＝OC，OA BC ⊥ ， AB ∴ ＝AC， ABD ∵∠ ＝∠ACD， ACM ABN ∴△ △ ≌ （AAS）， AM ∴ ＝AN， AD ∴ 平分∠CDE（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）； （3）∠BAC 的度数不变化． 在CD 上截取CP＝BD，连接AP． CD ∵ ＝AD＋BD， AD ∴ ＝PD， AB ∵ ＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP， ABD ACP ∴△ △ ≌ ， AD ∴ ＝AP，∠BAD＝∠CAP， AD ∴ ＝AP＝PD， 即△ADP 是等边三角形， DAP ∴∠ ＝60°， BAC ∴∠ ＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAP＋∠BAD＝60°． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短” 的数学思想方法，综合性较强． 【变式训练4】如图1，点A、D 在y 轴正半轴上，点B、C 分别在x 轴上， 平分 与y 轴交于D 点， ． (1)求证： ； (2)在（1）中点C 的坐标为 ，点E 为 上一点，且 ，如图2，求 的长； (3)在（1）中，过D 作 于F 点，点H 为 上一动点，点G 为 上一动点， （如图3），当点H 在 上移动、点G 在 上移动时，始终满足 ， 试判断 、 、 这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】(1)见解析； (2) ； (3) ，证明见解析． 【分析】（1）结合题意易得 ，从而易证 得到结论； （2）如图所示，过D 作 于N 点，结合（1）易证得 及 ，由全等三角形的性质可求解； （3）如图所示，在x 轴的负半轴上取 ，连接 ，易证得 ，得到 及 ，结合题意易得 ， 再证得 得到 从而得到结论． 【详解】（1）证明：∵ ， ， ∴ ， 平分 ， ， 在 和 中， ， ， ； （2）解：由（1）知 ， ∴ ， 如图所示，过D 作 于N 点， 平分 ， ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3） ． 平分 ， 在x 轴的负半轴上取 ，连接 ，如图所示： 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 在 和 中, ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用；解题的关键 是熟练掌握全等三角形的判定和性质的综合运用． 课后训练 1．如图，在 中， ， 、 分别是 、 的平分线， 、 相交于点 ，试判断 和 之间的数量关系. 【答案】详见解析 【分析】如图，过点F 作 ， ，垂足分别为H、G，根据角平分线，可得 点F 是 的内心，则有 ，继而根据三角形内心的性质可得 ， 从而可得 ，继而可得FE=FD. 【详解】FE=FD，理由如下： 如图，过点F 作 ， ，垂足分别为H、G. 是 ， 的平分线AD、CE 的交点， 为 的内心， . ， ， 又 ； ， ， 又 ， ， . 【点睛】本题考查了三角形的内心的性质，全等三角形的判定与性质解题的关键是注意数 形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 2．如图，在 中， ， 平分 ，交 于 ， 于 ，求 证： . 【答案】详见解析 【分析】延长BD 至N，使DN=BD，易得AD 垂直平分BN，继而证得AE=EN，则可证得结论． 【详解】延长BD 至N，使DN=BD，连接AN． AD BE ∵ ⊥ ， AD ∴ 垂直平分BN， AB=AN ∴ ， N= ABN ∴∠ ∠ ， 又∵BE 平分∠ABC，∠ABC=2 C ∠， ABN= NBC= C ∴∠ ∠ ∠， NBC= C ∴∠ ∠， AN BC ∴ ∥ ， C= NAC ∴∠ ∠ ， NAC= N ∴∠ ∠， AE=EN ∴ ， BE=EC ∵ ， AC=BN=2BD ∴ ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及平行线的判定 与性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 3．如图，在 中， ， ， 是 的平分线，延长 至点 ， ，试求 的度数． 【答案】40° 【分析】在 上截取 ，连接 ，通过证明 ，可得 ，再通过证明 ，即可求得 【详解】解：如图，在 上截取 ，连接 ， 是 的平分线， ， 在 和 中， ， ， ， DE=DF ∴ ， ， 又 ， ， ， ， 在 和 中， ， 故 ． 【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关 键． 4．如图1，在 中， 是 边的中线， 交 延长线于点 ， ． （1）求证 ； （2）如图2， 平分 交 于点 ，交 于点 ，若 ， ， 求 的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）延长 至点 ，使 ，可证 ，由全等三角形的性 质从而得出 ，根据题目已知，可证 ，由全等三角形的性质从而得 出 ，等量代换即可得出答案； （2）如图所示，作 ，可证 ，由全等三角形的性质相等角从而得出 ，进而得出 ，故可证 等量转化即可求出 的值． 【详解】（1）如图1 所示，延长 至点 ，使 ， 在 与 中， ， ， ， ， ， 在 与 中， , ， ， ； （2）如图所示， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ，作 ， 在 与 中， ， ， ， ， 在 与 中， ， ， ， ， ， 设 ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 5．如图，在 中， 为 边上的高， 是 的角平分线，点F 为 上一点， 连接 ， ． (1)求证： 平分 ； (2)连接 交 于点G，若 ，求证： ； (3)在（2）的条件下，当 ， 时，求线段 的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)7.5 【分析】（1）根据 是 的角平分线和 得 ，再 结合 为 边上的高得出 即可证明； （2）过点F 作 于点M， 于点N，证明 ，得出 ，再根据 ，解出 即可证明； （3）根据 及 为 边上的高证明 ，得出 ， 再根据 ，解得 ，结合 即可求出 ； 【详解】（1）证明： 是 的角平分线， . ， . . 为 边上的高， . . 平分 . （2）过点F 作 于点M， 于点N， 平分 ，且 ， ， . ， ， 平分 ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， （3） ， ， ， ， 为 边上的高， ， ， . 在 和 中， . ， ， ， ， . 【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质， 熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键． 6．已知 中， 平分 ， 交 于点 ， 平分 ，交 于点 ， 与 交于点 ． (1)如图，求证： ． (2)如图 ，连接 ，求证： 平分 ． (3)如图，若 ， ， ，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】（1）由角平分线的性质得出 ， ，由三角形的 内角和定理得出 ， ，代入即可 得出结论； （2）过点 作 于 ， 于 ， 于 ，证明 ，则点 在 的平分线上，即可得出结论； （3）过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 平分 交 于点 ， 过点 作 于 ， 于 ，证明 ， ，由角 平分线的性质得出 ， ，由 证得 ， ，由 证得 ， ，求出 ，由 ， ，进行计算即可得出结论． 【详解】（1）证明： 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点 作 于 ， 于 ， 于 ， 平分 ， 平分 ， ， ， ， 点 在 的平分线上， 平分 ； （3）解：如图，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 平分 交 于点 ，过点 作 于 ， 于 ， ， ， ， 平分 ， ， ， ， 平分 ， 平分 ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与 性质、三角形内角和定理、三角形面积的计算等知识，熟练掌握角平分线的性质与判定以 及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 7．已知：在 和 中， ， ， ． (1)如图1，A，C，D 在同一直线上，延长 交 于F，求证： ； (2)如图2， 与 交于F，G 在 上，若 平分 ，求证：点C 在直线 上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先说明 ，根据 证明 ，得出 ，说明 ，即可得出答案； （2）连接 ，过点C 作 于点M， 于点N，根据 证明 得出 ，根据 证明 ，得出 ，说明 平分 ，得出 ，证明 即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵A，C，D 在同一直线上， ， ∴ ， ∵在 和 中 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （2）证明：连接 ，过点C 作 于点M， 于点N，如图所示： ， ∴ ， 即 ， ∵在 和 中 ， ∴ ， ， ∵在 和 中 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ 平分 ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 、F、G 在同一直线上， 即点C 在直线 上． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，垂直的定义，解题 的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
