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专题12 平行线的证明压轴题的三种考法
类型一、三角形折叠问题
例1．我们在小学已经学习了“三角形内角和等于
”．在三角形纸片中，点D，E 分别
在边
上，将
沿
折叠，点C 落在点
的位置．
(1)如图1，当点C 落在边
上时，若
，则
＝ ，可以发现
与
的数量关系是 ；
(2)如图2，当点C 落在
内部时，且
，
，求
的度数；
(3)如图3，当点C 落在
外部时，若设
的度数为x，
的度数为y，请求
出
与x，y 之间的数量关系．
【答案】(1)
，互余
(2)
(3)
【分析】（1）根据平角定义求出
，再利用折叠性质即可求出
，然后利用三角形内角和进行计算即可；
（2）根据平角定义求出
，
，然后利用折叠性质可得
，然后利用三角
形内角和进行计算即可；
（3）根据平角定义求出
，再利用折叠性质即可求出
，然后利用三角形内角和进行计算即可．
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
由折叠得：
.
∴
，
∵
，
∴
与
的数量关系是互余．
（2）解：∵
，
∴
，
由折叠得：
∴
，
∴
的度数为
；
（3）解：如图：
∵
，
∴
，
由折叠得：
，
∴
，
∴
与x，y 之间的数量关系：
．
【点睛】本题考擦汗折叠性质和三角形内角和，灵活运用所学知识是关键．
例2．在
中，
平分
交
于点
，
交
于点
，P 是边
上的动点（不与
重合），连接
，将
沿
翻折得
，记
．
(1)如图1，点
与点
重合时，用含
的式子表示
；
(2)当点
与点
不重合时，
①如图2，若
平分
交
于点
，猜想
之间存在的等量
关系，并说明你的理由；
②若
，请直接写出
的大小（用含
的式子表示）．
【答案】(1)
(2)①
；理由见解析；②
或
【分析】（1）根据角平分线的性质得出
，根据平行线的性质得出
，即可得出
，根据直角三角形性质得出
，根据折叠得出
，根据
求出结果即可；
（1）①在
上截取
，连接
，证明
，得出
，证明
为等腰直角三角形，得出
，证明
，得出
，求出
即可；
②分两种情况，当点P 在点E 的左侧时，当点P 在点E 的右侧时，分别画出图形，求出结
果即可．
【详解】（1）解：∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
根据折叠可知，
，
∴
．
（2）解：①
；理由如下：
在
上截取
，连接
，如图所示：
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
根据折叠可知，
，
，
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
即
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
②当点P 在点E 的左侧时，如图所示：
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
，
∵
，
∴
，
根据折叠可知，
，
，
∴
；
当点P 在点E 的右侧时，如图所示：
∵
，
，
∴
，
根据折叠可知，
，
，
∴
；
综上分析可知，
或
．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，折叠的性质，直角三角形两锐角互余，
角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线，构造全等
三角形，注意分类讨论．
【变式训练1】（1）如图1，把三角形纸片
折叠，使个顶点重合于点
．这时，
__________ ；
（2）如果三角形纸片
折叠后，个顶点并不重合于同一点，如图
，那么(1)中的结
论是否仍然成立？请说明理由；
（3）折叠后如图所示，直接写出
、
、
、
、
、
之间的数量关系
_______；
（4）折叠后如图
，直接写出
、
、
、
、
、
之间的数量关系：_______；
【答案】（1）
；（2）成立，详见解析；（3）
；
（4）
．
【分析】（1）根据折叠性质和三角形内角和即可；
（2）根据折叠性质和三角形内角和即可；
（3）根据折叠性质和三角形内角和外角性质计算即可；
（4）根据折叠性质和三角形内角和外角性质计算即可．
【详解】（1）由折叠性质可知：
，
，
，
∴
，
，
，
∵
∴
，
∴
，
故答案为：
，
（2）由由折叠性质可知：
，
，
，
∴
，
，
，
∵
，
，
，
，
∴
，
同理：
，
，
∴
，
（3）根据(2)可知：
，
，
如图3，∵
，
，
∴
，
∴
，
故答案为：
，
（4）根据（2）（3）可知：
，
，
，
∴
，
∴
，
故答案为：
【点睛】此题考查了翻折、角的计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【变式训练2】（1）如图，把
沿
折叠，使点
落在点
处，试探究
、
与
的关系；
（2）如图2，若
，
，作
的平分线
，与
的外角平分线
交于点
，求
的度数；
（3）如图3，若点
落在
内部，作
，
的平分线交于点
，此时
，
，
满足怎样的数量关系？并给出证明过程．
【答案】（1）
（2）
（3）
，证明见解析
【分析】（1）由折叠的性质可知
，
，再根据平角的定义
得到
，
，根据三角形外角的性
质可得
，即可得出结论；
（2）根据（1）的结论求出
，再由角平分线的定义和三角形外角的性质推出
即可；
（3）先推出
，
，再由三角形外角的性质推出
，
利用角平分线的定义和三角形内角和定理推出
，即可得到结论．
【详解】（1）解：
，理由如下：
由折叠的性质可知
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：
，
，
，
，
的平分线
，与
的外角平分线
交于点
，
，
，
，
，
又
，
，
；
（3）解：
，理由如下；
由折叠的性质可知
，
，
，
，
，
，
，
，
的平分线交于点
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角
的性质，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键．
【变式训练3】有一张正方形纸片ABCD，点E 是边AB 上一定点，在边AD 上取点F，沿
着EF 折叠，点A 落在点A′处，在边BC 上取一点G，沿EG 折叠，点B 落在点B′处．
(1)如图1，当点B 落在直线A′E 上时，猜想两折痕的夹角∠FEG 的度数并说明理由．
(2)当∠A′EB′=
∠B′EB 时，设∠A′EB′=x．
①试用含x 的代数式表示∠FEG 的度数．
②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG 的度数；若不可能，请说明理
由．
【答案】(1)
，理由见解析
(2)①当点B′落在∠A′EG 内部时，∠FEG=90°+
；当点B′落在∠A′EF 内部时，∠FEG=90°
−
；②EB′可能平分∠FEG，当点B′落在∠A′EG 内部时，∠FEG=108°；
当点B′落在∠A′EF 内部时，∠FEG=(
)°．
【分析】（1）由折叠的性质结合平角的性质即可求解；
（2）①分当点B′落在∠A′EG 内部和点B′落在∠A′EF 内部时两种情况讨论求解即可；
②分点B′落在∠A′EG 内部和点B′落在∠A′EF 内部时两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∠FEG=90°．
由折叠可知∠AEF=∠A′EF，∠BEG=∠B′EG．
又∵∠AEF+∠A′EF+∠BEG+∠B′EG=180°，
∴∠A′EF+∠B′EG=90°，∠FEG=90°；
（2）解：由折叠可知∠AEF=∠A′EF，∠BEG=∠B′EG．
①（i）如图，当点B′落在∠A′EG 内部时，
∵∠A′EB′=x，∠A′EB′=
∠B′EB，
∴∠B′EB=3x．
∴∠AEA′=180°−∠A′EB=180°−(∠B′EB+∠A′EB′)=180°−4x，
∴∠BEG=
∠BEB′=
，∠AEF=
∠AEA′=90°−2x，
∴∠FEG=180°−∠BEG−∠AEF=90°+
．
（ⅱ）如图2，当点B′落在∠A′EF 内部时，
∵∠A′EB′=x，∠A′EB′=
∠B′EB，
∴∠B′EB=3x，
∴∠AEA′=180°−∠A′EB=180°−(∠B′EB−∠A′EB′)=180°−2x，
∴∠BEG=
∠BEB′=
，∠AEF=
∠AEA′=90°−x．
∴∠FEG=180°−∠BEG−∠AEF=90°−
．
综上所述，当点B′落在∠A′EG 内部时，∠FEG=90°+
；
当点B′落在∠A′EF 内部时，∠FEG=90°−
．
②EB′可能平分∠FEG，理由如下：
（i）当点B′落在∠A′EG 内部时，∠FEG=90°+
．
∵EB′平分∠FEG，∴∠B′EG=
∠FEG=45°+
．
又∵∠B′EG=
∠BEB′=
，
45°+
∴
=
，解得x=36°．
此时∠FEG=90°+
=108°．
（ⅱ）当点B′落在∠A′EF 内部时，∠FEG=90°−
．
∵EB′平分∠FEG，∴∠B′EG=
∠FEG=45°−
．
又∵∠B′EG=
∠BEB′=
，∴45°−
=
，解得x=(
)°．
此时∠FEG=90°−
=(
)°．
综上所述，当点B′落在∠A′EG 内部时，∠FEG=108°；
当点B′落在∠A′EF 内部时，∠FEG=(
)°．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题．
类型二、三角形内角和定理与外角和定理
例．在
中，
，
平分
，点F 为射线
上一点（不与点E 重合），
且
于点D．
(1)如图1，如果点F 在线段
上，且
，
，则
______．
(2)如果点F 在
的外部，分别作出
和
的角平分线，交于点K，请在图2
中补全图形，探究
、
、
三者之间的数量关系，并说明理由：
(3)如图3，若点
与点
重合，
、
分别平分
和
的外角
，连接
，过点
作
交
延长线于点
，
交
的延长线于点
，若
，且
，求
的度数．
【答案】(1)
(2)画图见解析，
，理由见解析
(3)
【分析】（1）先求出
，进而得到
，
，根据
得
到
，即可求出
；
（2）根据题意先画出图形，根据三角形内角和定理和角平分线的定义得到
，再由三角形内角和定理
得到
，则
，据此即
可得到答案；
（3）根据
得到
，得到
，从而求出
，进而求出
，结合
，得到
．根据
，得到
，求出
．从
而分别求出
，
，
，再求出
，根据
四边形内角和为
即可求出
．
【详解】（1）解：∵
，
，
∴
，
∵
是
的角平分线，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
故答案为：
；
（2）解：
，理由如下：
在
中，
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
和
的角平分线交于点K，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
（3）解：设
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∵
∴
，
∴
，
，
∴
，
∵
、
分别平分
和
的外角
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
即
，∴
．
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴在四边形
中，
（四边形内角和可以看做
是两个三角形的内角和）．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角定理，三角形角平分线，综合性较强，
第（3）步难度较大．熟知相关定理，并根据题意进行角的表示与代换是解题关键．
【变式训练1】如图1，
是
中
边上的高，点D 是
上一点，连接
交
于
点F，
．
(1)求证：
；
(2)若
，求证：
；
(3)如图2，在（2）的条件下，延长
至点G，连接
，
，若
，
，求线段
的长．（注：不能应用等腰三角形的相关性质和判定）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）首先根据
高的意义得出，
，再结合已知条件可得到
，据此得出结论；
（2）首先根据
高的意义及（1）的结论可得出
，然后再结合已知条
件可得出
，据此可证明
和
全等，进而可得出结论；
（3）首先根据四边形
的面积
的面积
面积可得出
，过点
作
交
的延长线于点
，再证
和
全等，从而得
，由
（2）可知
，据此可得
，然后根据
可求出
的长，进而可得
出
的长．
【详解】（1）证明：
是
中
边上的高，
，
，
，
，
，
即：
；
（2）证明：由（1）知：
，
，
，
，
，
又∵
，
，
即：
，
，
即：
，
∵
，
，
在
和
中，
，
，
；
（3）解：∵
是
中
边上的高，
，
，
，
∵
，
，
，
即：
，
，
由（2）知：
，
，
，
过点
作
交
的延长线于点
，
则
，
由（1）知：
，
，
，
由（2）知：
，
即：
，
在
和
中，
，
，
，
由（2）知：
，
，
，
∵
，
，
即：
，
，
．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积计算公式等，解答此题
的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与技巧，理解全等三角形的性质，难点是在解答
（3）时，过点
作
交
的延长线于点
，从而构成全等三角形．
【变式训练2】综合与探究：
(1)如图1，
，
分别是
的两个内角
，
的平分线，说明
的理由．
【深入探究】
(2)①如图2，
，
分别是
的两个外角
，
的平分线，
与
之
间的等量关系是 ；
②如图3，
，
分别是
的一个内角
和一个外角
的平分线，
，
交于点
，探究
与
之间的等量关系，并说明理由．
【拓展应用】
(3)请用以上结论解决下列问题：如图4，在
中，
，
分别平分
，
，
，
，
分别在
，
，
的延长线上，
，
分别平分
，
，
，
分别平分
，
．若
，则
的度数是 ．
【答案】(1)见解析
(2)①
；②
，理由见解析
(3)
．
【分析】（1）利用角平分线的定义得出
，再利用三角形内角
和定理即可求解；
（2）①利用三角形内角和定理可得
，
，利用角平分线的定义可得
，
，
从而得到
，化简即可求解；
②利用三角形的外角性质可得
，
，从而得到
，化简即可求解；
（3）由（1）知：
，即可求出
，利用三角形内角和定理可得
，再利用角平分线的性质可得
，利用三角形内角和定理可得
，再由（2）②可知
，求解即可．
【详解】（1）解：
、
分别是
、
的平分线，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①
与
之间的等量关系是：
，理由如下：
、
分别是
的两个外角
、
的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②
与
之间的等量关系是：
，理由如下：
、
分别是
的一个内角
和一个外角
的平分线，
，
，
，
，
．
（3）解：由（1）知：
，
，
，
，
，
、
分别平分
、
，
，
．
由（2）②知：
，
，
【点睛】本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关
键是熟记三角形外角性质，内角和定理，角平分线的定义．
类型三、平行线性质与判定
例．如图①，已知
，一条直线分别交
、
于点E、F，
，
，点Q 在
上，连接
．
(1)已知
，求
的度数；
(2)求证：
平分
．
(3)在（1）的条件下，若
，将
绕着点F 顺时针旋转，如图②，若当边
转至线段
上时停止转动，记旋转角为
，请求出当
为多少度时，
与
某一边平行？
(4)在（3）的条件下，直接写出
与
之间的关系．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
或
或
或
(4)
与
相差
．
【分析】（1）由
，得
，又
，得证
；
（2）由（1）
，由
，得
，
，
由等角的余角相等，得
，命题得证；
（3）由
分别与
的三边分别平行，分情况讨论处理；
（4）在（3）的各种情况下，分别计算
与
的度数，可得结论
与
相差
．
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
；
（2）解：∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
平分
．
（3）解：①
与
的边
平行时，如下图1 及图4，
如图1，∵
,
∴
,
又
,
∴
,
；
如图4，
,
；
②
与
的边
平行时，如下图2，
，
，
∴
；
③
与
的边
平行时，如下图3，
,
∴
，
综上，旋转角为
或
或
或
．
（4）解：
时，
，
；
时，
，
；
时，
，
；
时，
，
；
综上，
与
相差
．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，周角的定义，熟
练掌握平行线的性质是解题的关键．
【变式训练1】如图，
，点P 在直线
上，作
，交
于点M，点
F 是直线
上的一个动点，连接
，
于点E，
平分
．
(1)若点F 在点E 左侧且
，求
的度数；
(2)当点
在线段
（不与点M，E 重合）上时，设
，直接写出
的度数
（用含
的代数式表示）；
(3)将射线
从（1）中的位置开始以每秒
的速度绕点P 逆时针旋转至
的位置，转
动的时间为t 秒，求当t 为何值时，
为直角三角形．
【答案】(1)9°
(2)
(3) 为
秒或
秒
【分析】（1）平行线的性质得到
，三角形内角和，得到
，角平分线得到
，垂直得到
，进而求出
的度数，利用
，进行求解即可；
（2）根据题意，画出图形，同法（1）求出
，
的度数，利用
，进行求解即可；
（3）分
和
，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：
，
．
在
中，
，
．
平分
，
．
，
，
，
．
（2）解：如图，
，
．
在
中，
，
．
平分
，
．
，
，
，
．
（3）
，
当
为直角三角形时，存在两种情况：
情况一：当
时，
初始状态时
，
旋转过的度数为
．
转动的时间为
（秒）．
情况二：当
时，
．
初始状态时
，
旋转过的度数为
．
转动的时间为
（秒）．
综上：当为
秒或
秒时，
为直角三角形．
【点睛】本题考查平行线的性质，与角平分线和高线有关的三角形的内角和．解题的关键
时熟练掌握相关性质和定义，利用数形结合的思想进行求解．
【变式训练2】【基础巩固】（1）如图1，已知
，求证：
；
【尝试应用】（2）如图2，在四边形
中，
，点E 是线段
上一点．
，
，求
的度数；
【拓展提高】（3）如图3，在四边形
中，
，点E 是线段
上一点，若
平分
，
．
①试求出
的度数；
②已知
，
，点G 是直线
上的一个动点，连接
并延长．
2.1 若
恰好平分
，当
与四边形
中一边所在直线垂直时，
________；
2.2 如图4，若
是
的平分线，与
的延长线交于点F，与
交于点P，且
，则
________ （用含
的代数式表示）．
【答案】（1）见解析（2）40°（3）①90°②2.1：15°或60°或120°，2.2：
【分析】（1）由
，再结合两直线平行内错角相等即可证明；
（2）过点
作
，交
于点
，再结合（1）证明计算求值即可；
（3）①设
，
，根据两直线平行同旁内角互补可得
，求得
即可；②第一问根据三角
形内角和，求得
，由
得到
，进而可得
，再分
和
所在直线垂直、
和
所在直线垂直于、
和
所在直线垂直三种情况计算求值即可；第二问利用三角形外角的性质求得
，进而可得
，再由
计算角度差即可解答；
【详解】解：（1）∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
（2）如下图过点
作
，交
于点
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
；
（3）①设
，
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
；
②2.1 ：∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
如图
和
所在直线垂直于点M 时：
，
如图
和
所在直线垂直于点G 时：
∵
，
∴
，
，
如图
和
所在直线垂直于点C 时：
，
∴
或
或
；
2.2：由2.1 可知
，
，
∵
，
∴
，
∵
是
的平分线，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识；掌握
相关性质和定理是解题关键．
课后训练
1．如图，长方形纸片
，点
，
分别在
，
边上，将纸片沿
折叠，使点
落在边
上的点
处，然后再次折叠纸片使点
与点
重合，点
落在点
，折痕为
，若
，则
度．
【答案】
【分析】根据将纸片沿
折叠，使点
落在边
上的点
处，得出
，
，可得
，根据四边形
为长方形，得出
，
可得
，可求
，根据
为对
称轴，可得
，可得
，根据
，列方程
，解方程即可．
【详解】解：∵纸片沿
折叠，使点
落在边
上的点
处，
，
，
，
∵四边形
为长方形，
，
，
，
∵再次折叠纸片使点
与点
重合，点
落在点
，折痕为
，
四边形
与四边形
关于
对称，
，
∵
，
，
∵
，
，
，
，
，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平行线的性质，三角形的内角和定理及其推论，恰
当应用折叠的性质是解题的关键．
2．如图，
中沿
将四边形
翻折，使点
、点
分别落在点
和点
处，再
将
沿
翻折，使点
落在点
处，若
，
，则
的度数为
．
【答案】
【分析】根据折叠，得到对应角相等，利用平角是
和对顶角相等，求出
，利用
三角形内角和为
，求出
，进而求出
，再利用外角的性质，即可求出
．
【详解】解：如图，
由题意得：
，
，
，
；
故答案为：
．
【点睛】本题考查折叠的性质，平角的定义，三角形的内角和为
，以及外角的性质．
熟练掌握折叠后，对应角相等，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解
题的关键．
3．在
中，
，点D 是
下方一点，连接
，
，过点D 作
，
连接
，分别过点B、D 作直线
、
，使得
，
平分
，
平分
，则
．
【答案】
【分析】过点
作
，根据角平分线的定义，设
，则
，
，再根据平行
线的性质及三角形的内角和定理，即可得出结果．
【详解】解：过点
作
，
平分
，
平分
，
设
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质及三角形的内角和定理，作出正确的
辅助线是本题的关键．
4．（1）如图1，将
纸片沿
折叠，使点
落在四边形
内点
的位置．则
之间的数量关系为：_______；
（2）如图2，若将（1）中“点
落在四边形
内点
的位置”变为“点
落在四边
形
外点
的位置”，则此时
之间的数量关系为：_________；
（3）如图3，将四边形纸片
（
，
与
不平行）沿
折叠成图3 的形
状，若
，
，求
的度数；
（4）在图3 中作出
的平分线
，试判断射线
的位置关系，
当点
在
边上向点
移动时（不与点
重合），
的大小随之改变（其
它条件不变），上述
，
的位置关系改变吗？为什么？
【答案】（1）
，（2）
；（3）
；（4）位置不改变，
．
【分析】（1）连接
，证明
，结合
，
，再利用角的和差关系可得答案；
（2）连接
，证明
，结合
，
，再利用角的和差关系可得答案；
（3）如图，延长
，
交于点Q，延长
，
交于点
，则对折后
与
重合，由（2）的结论可得：
，可得
，再利用三角
形的内角和定理可得答案；
（4）如图，
平分
，
平分
，可得
，
，由对折可得：
，
，
由（2）的结论可得：
，即
，证明
，可得
．
【详解】（1）结论：
理由：连接
，
沿
折叠A 和
重合，
∴
∵
，
∴
．
（2）
理由：连接
，
沿
折叠A 和
重合，∴
∵
，
∴
；
（3）如图，延长
，
交于点Q，延长
，
交于点
，
则对折后
与
重合，
由（2）的结论可得：
，而
，
，
∴
，∴
，
∵
，∴
；
（4）
，理由见解析
如图，
平分
，
平分
，
∴
，
，
由对折可得：
，
，
由（2）的结论可得：
，即
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，
熟记轴对称的性质并进行解题是关键．
5．如图1 至图2，在
中，
，点
在边
所在直线上，作
垂直于直线
，垂足为点
；
为
的角平分线，
的平分线交直线
于点
．
(1)如图1，延长
交
于点
，若
，
．
①
________；
②求证：
；
(2)如图2，当
，
与
反向延长线交于点
，用含
的代数式表示
；
(3)当点
在直线
上移动时，若射线
与射线
相交，设交点为
，直接写出
与
的关系式．
【答案】(1)①
；②见解析
(2)
(3)
＝
或
【分析】（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可得答案；
②根据平行线的性质得
＝
＝
，再根据垂直的定义和角平分线的定义可得
结论；
（2）由八字模型可得，
和
中，
，再利用四边
形内角和整理可得答案；
（3）分情况讨论，分别画出对应图形，再根据四边形内角和及三角形内角和定理整理即可．
【详解】（1）解：①∵
，
∴
，
∵
为
的角平分线，
∴
，
故答案为：
；
②证明：由①得，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
．
（2）解：由八字模型可得，
和
中，
，
．
故答案为：
．
（3）解：①如图，当点
在
延长线上时，
由八字模型可得，
和
中，
，
；
②如图，当点
在线段
上时，
由四边形的内角和得，
；
③如图，当点
在
延长线上时，
由八字模型可得，
，
∴
；
综上分析可知，
＝
或
．
【点睛】本题主要考查四边形内角和及三角形的内角和定理和平行线的性质，熟练掌握平
行线的性质和三角形的内角和是解题关键．
