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专题12 平行线的证明压轴题的三种考法
类型一、三角形折叠问题
例1．我们在小学已经学习了“三角形内角和等于
”．在三角形纸片中，点D，E 分别
在边
上，将
沿
折叠，点C 落在点
的位置．
(1)如图1，当点C 落在边
上时，若
，则
＝ ，可以发现
与
的数量关系是 ；
(2)如图2，当点C 落在
内部时，且
，
，求
的度数；
(3)如图3，当点C 落在
外部时，若设
的度数为x，
的度数为y，请求
出
与x，y 之间的数量关系．
例2．在
中，
平分
交
于点
，
交
于点
，P 是边
上的动点（不与
重合），连接
，将
沿
翻折得
，记
．
(1)如图1，点
与点
重合时，用含
的式子表示
；
(2)当点
与点
不重合时，
①如图2，若
平分
交
于点
，猜想
之间存在的等量
关系，并说明你的理由；
②若
，请直接写出
的大小（用含
的式子表示）．
【变式训练1】（1）如图1，把三角形纸片
折叠，使个顶点重合于点
．这时，
__________ ；
（2）如果三角形纸片
折叠后，个顶点并不重合于同一点，如图
，那么(1)中的结
论是否仍然成立？请说明理由；
（3）折叠后如图所示，直接写出
、
、
、
、
、
之间的数量关系
_______；
（4）折叠后如图
，直接写出
、
、
、
、
、
之间的数量关系：_______；
【变式训练2】（1）如图，把
沿
折叠，使点
落在点
处，试探究
、
与
的关系；
（2）如图2，若
，
，作
的平分线
，与
的外角平分线
交于点
，求
的度数；
（3）如图3，若点
落在
内部，作
，
的平分线交于点
，此时
，
，
满足怎样的数量关系？并给出证明过程．
【变式训练3】有一张正方形纸片ABCD，点E 是边AB 上一定点，在边AD 上取点F，沿
着EF 折叠，点A 落在点A′处，在边BC 上取一点G，沿EG 折叠，点B 落在点B′处．
(1)如图1，当点B 落在直线A′E 上时，猜想两折痕的夹角∠FEG 的度数并说明理由．
(2)当∠A′EB′=
∠B′EB 时，设∠A′EB′=x．
①试用含x 的代数式表示∠FEG 的度数．
②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG 的度数；若不可能，请说明理
由．
类型二、三角形内角和定理与外角和定理
例．在
中，
，
平分
，点F 为射线
上一点（不与点E 重合），
且
于点D．
(1)如图1，如果点F 在线段
上，且
，
，则
______．
(2)如果点F 在
的外部，分别作出
和
的角平分线，交于点K，请在图2
中补全图形，探究
、
、
三者之间的数量关系，并说明理由：
(3)如图3，若点
与点
重合，
、
分别平分
和
的外角
，连接
，过点
作
交
延长线于点
，
交
的延长线于点
，若
，且
，求
的度数．
【变式训练1】如图1，
是
中
边上的高，点D 是
上一点，连接
交
于
点F，
．
(1)求证：
；
(2)若
，求证：
；
(3)如图2，在（2）的条件下，延长
至点G，连接
，
，若
，
，求线段
的长．（注：不能应用等腰三角形的相关性质和判定）
【变式训练2】综合与探究：
(1)如图1，
，
分别是
的两个内角
，
的平分线，说明
的理由．
【深入探究】
(2)①如图2，
，
分别是
的两个外角
，
的平分线，
与
之
间的等量关系是 ；
②如图3，
，
分别是
的一个内角
和一个外角
的平分线，
，
交于点
，探究
与
之间的等量关系，并说明理由．
【拓展应用】
(3)请用以上结论解决下列问题：如图4，在
中，
，
分别平分
，
，
，
，
分别在
，
，
的延长线上，
，
分别平分
，
，
，
分别平分
，
．若
，则
的度数是 ．
类型三、平行线性质与判定
例．如图①，已知
，一条直线分别交
、
于点E、F，
，
，点Q 在
上，连接
．
(1)已知
，求
的度数；
(2)求证：
平分
．
(3)在（1）的条件下，若
，将
绕着点F 顺时针旋转，如图②，若当边
转至线段
上时停止转动，记旋转角为
，请求出当
为多少度时，
与
某一边平行？
(4)在（3）的条件下，直接写出
与
之间的关系．
【变式训练1】如图，
，点P 在直线
上，作
，交
于点M，点
F 是直线
上的一个动点，连接
，
于点E，
平分
．
(1)若点F 在点E 左侧且
，求
的度数；
(2)当点
在线段
（不与点M，E 重合）上时，设
，直接写出
的度数
（用含
的代数式表示）；
(3)将射线
从（1）中的位置开始以每秒
的速度绕点P 逆时针旋转至
的位置，转
动的时间为t 秒，求当t 为何值时，
为直角三角形．
【变式训练2】【基础巩固】（1）如图1，已知
，求证：
；
【尝试应用】（2）如图2，在四边形
中，
，点E 是线段
上一点．
，
，求
的度数；
【拓展提高】（3）如图3，在四边形
中，
，点E 是线段
上一点，若
平分
，
．
①试求出
的度数；
②已知
，
，点G 是直线
上的一个动点，连接
并延长．
2.1 若
恰好平分
，当
与四边形
中一边所在直线垂直时，
________；
2.2 如图4，若
是
的平分线，与
的延长线交于点F，与
交于点P，且
，则
________ （用含
的代数式表示）．
课后训练
1．如图，长方形纸片
，点
，
分别在
，
边上，将纸片沿
折叠，使点
落在边
上的点
处，然后再次折叠纸片使点
与点
重合，点
落在点
，折痕为
，若
，则
度．
2．如图，
中沿
将四边形
翻折，使点
、点
分别落在点
和点
处，再
将
沿
翻折，使点
落在点
处，若
，
，则
的度数为
．
3．在
中，
，点D 是
下方一点，连接
，
，过点D 作
，
连接
，分别过点B、D 作直线
、
，使得
，
平分
，
平分
，则
．
4．（1）如图1，将
纸片沿
折叠，使点
落在四边形
内点
的位置．则
之间的数量关系为：_______；
（2）如图2，若将（1）中“点
落在四边形
内点
的位置”变为“点
落在四边
形
外点
的位置”，则此时
之间的数量关系为：_________；
（3）如图3，将四边形纸片
（
，
与
不平行）沿
折叠成图3 的形
状，若
，
，求
的度数；
（4）在图3 中作出
的平分线
，试判断射线
的位置关系，
当点
在
边上向点
移动时（不与点
重合），
的大小随之改变（其
它条件不变），上述
，
的位置关系改变吗？为什么？
5．如图1 至图2，在
中，
，点
在边
所在直线上，作
垂直于直线
，垂足为点
；
为
的角平分线，
的平分线交直线
于点
．
(1)如图1，延长
交
于点
，若
，
．
①
________；
②求证：
；
(2)如图2，当
，
与
反向延长线交于点
，用含
的代数式表示
；
