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期中测试压轴题考点训练（1-3 章）
一、单选题
1．在平面直角坐标系
中，点
，
，
，若
平分
，
轴，
轴，且
，则
的值为（ ）
A．9
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意可知
在一、三象限或二、四象限的平分线上即
，则有
或
（不合题意，舍去），
在第一象限，结合
轴得
即可求解．
【详解】解：由题意可知，
平分
，
轴，
轴，且
，
可知
在一、三象限或二、四象限的平分线上，
，
即
或
（不合题意，舍去），
解得：
，
，
故：
在第一象限，
轴，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标系内点的特点；解题的关键是结合题意得到
在一、三象
限或二、四象限的平分线上，从而求解．
2．如图有一圆柱，高为8cm，底面直径为4cm，在圆柱下底面A 点有一只蚂蚁，它想吃上
底面与A 相对的B 点处的食物，需爬行的最短路程大约为(取
)( )
A．10cm
B．12cm
C．14cm
D．20cm
【答案】A
【分析】首先将此圆柱展成平面图，根据两点间线段最短，可得AB 最短，由勾股定理即可
求得需要爬行的最短路程．
【详解】将此圆柱展成平面图得：
∵圆柱的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），
AC=8cm
∴
，BC=
=
4π=6(cm)
AB=
∴
=10（cm）．
答：它需要爬行的最短路程为10cm．
故选A
【点睛】本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段
最短，运用勾股定理解答是解题关键．
3．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5 和2
，则斜边长为（ ）
A．10
B．4
C．
D．2
【答案】D
【分析】根据已知设AC＝x，BC＝y，在Rt
ACD
△
和Rt
BCE
△
中，根据勾股定理分别列等式，
从而求得AC，BC 的长，最后根据勾股定理即可求得AB 的长．
【详解】如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD、BE 为△ABC 的两条中线，且AD＝2
，BE
＝5，求AB 的长．
设AC＝x，BC＝y，
根据勾股定理得：
在Rt
ACD
△
中，x2+（
y）
2＝（2
）
2，
在Rt
BCE
△
中，（
x）
2+y2＝52，解之得，x＝6，y＝4，
∴在Rt
ABC
△
中，
，
故选：D．
【点睛】此题考查勾股定理的运用，在直角三角形中，已知两条边长时，可利用勾股定理
求第三条边的长度.
4．化简二次根式
的结果是（ ）
A．
B．－
C．
D．－
【答案】B
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b 的取值范围，然后再利用二次根式的性
质进行化简即可
【详解】
，
故选B
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判
断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．
5．如图，已知直线l1⊥l2，且在某平面直角坐标系中， x 轴∥l1，y 轴∥l2，若点A 的坐标为
(-1，2)，点B 的坐标为(2，-1)，则点C 在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】根据题意作出平面直角坐标系，根据图象可以直接得到答案．
【详解】解：∵点A 的坐标为
，点B 的坐标为
，依题意可画出直角坐标系，
∴点A 位于第四象限，点B 位于第二象限，∴点C 位于第三象限．故选：C．
【点睛】考查了坐标与图形性质，解题时，利用了“数形结合”的数学思想，比较直观，
应用“数形结合”的数学思想是解题的关键．
6．设a，b 是实数，定义一种新运算：
．下面有四个推断：
①
，②
，③
，④
，
其中所有正确推断的序号是（ ）
A．①②③④
B．①③④
C．①③
D．①②
【答案】C
【分析】各式利用题中的新定义判断即可．
【详解】解：根据题中的新定义得：
①∵
，
，
∴
，故正确；
②∵
，
，
∴
，故错误；
③∵
，
，
∴
，故正确；
④∵
，
，
∴
，故错误．
综上，正确的是①③．
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的运算，以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关
键．
7．如图，四边形ABCD 中，AC BD
⊥
于O，AB＝3，BC＝4，CD＝5，则AD 的长为（ ）
A．1
B．3
C．4
D．2
【答案】B
【分析】设OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，根据勾股定理求出a2+b2＝AB2＝9，c2+b2＝
BC2＝16，c2+d2＝CD2＝25，即可证得a2+d2＝18，由此得到答案.
【详解】设OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，
由勾股定理得，a2+b2＝AB2＝9，c2+b2＝BC2＝16，c2+d2＝CD2＝25，
则a2+b2+c2+b2+c2+d2＝50，
a
∴
2+d2+2（b2+c2）＝50，
a
∴
2+d2＝50
16×2
﹣
＝18，
AD
∴
＝
，
故选：B．
【点睛】此题考查勾股定理的运用，根据题中的已知条件得到直角三角形，再利用勾股定
理求出未知的边长，解题中注意直角边与斜边.
8．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向右，向上，
向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1 次移动到A1，
第2 次移动到A2，…第n 次移动到An．则△OA6A2020的面积是（ ）
A．505m2
B．504.5 m2
C．505.5m2
D．1010 m2
【答案】A
【分析】由题意结合图形可得OA4n＝2n，由2020÷4＝505，推出OA2020＝2020÷2＝1010，
A6到x 轴距离为1，由此即可解决问题．
【详解】解：由题意知OA4n＝2n，
2020÷4
∵
＝505，
∴OA2020＝2020÷2＝1010，A6到x 轴距离为1，
则△OA6A2020的面积是
×1010×1＝505（m2）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查点的坐标的变化规律，发现图形得出下标为4 的倍数时对应长度即
为下标的一半是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD，∠D=∠C=90°，CD=2，点E 在边AB，且AD=AE，BE=BC，则
AE•BE 的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】过A 作AF⊥BC 于F，推出四边形AFCD 是矩形，得到AF=CD=2，CF=AD，设
AD=AE=x，BE=BC=y，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过A 作AF⊥BC 于F，
∵∠D=∠C=90°，∴四边形AFCD 是矩形，∴AF=CD=2，CF=AD，
设AD=AE=x，BE=BC=y，∴AB=x+y，BF=y-x，
∵AB2=AF2+BF2，∴（x+y）
2=（y-x）
2+22，∴xy=1，∴AE•BE=1，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是
解题的关键．
10．在平面直角坐标系xOy 中，点A（0，2），B（a，0），C（m，n），其中m＞a，a＜
1，n＞0，若△ABC 是等腰直角三角形，且AB＝BC，则m 的取值范围是（ ）
A．0＜m＜2
B．2＜m＜3
C．m＜3
D．m＞3
【答案】B
【分析】过点C 作CD⊥x 轴于D，由“AAS”可证△AOB≌△BDC，可得AO＝BD＝2，BO＝
CD＝n＝a，即可求解．
【详解】解：如图，过点C 作CD⊥x 轴于D，
∵点A（0，2），
∴AO＝2，
∵△ABC 是等腰直角三角形，且AB＝BC，
∴∠ABC＝90°＝∠AOB＝∠BDC，
∴∠ABO+∠CBD＝90°
∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBD，
在△AOB 和△BDC 中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，
0
∴＜a＜1，
∵OD＝OB+BD＝2+a＝m，
2
∴＜m＜3，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、不等式和坐标等
知识，解题关键是树立数形结合思想，把坐标与线段长联系起来，确定取值范围．
二、填空题
11．x 为任何实数，则
的最小值是 .
【答案】5
【分析】首先构造直角三角形，根据
的最小值即为线段 PC 和线段 PD
长度之和的最小值，最小值利用勾股定理求出即可.
【详解】作线段AB=3，分别过点A、B，作CA AB
⊥
，DB AB
⊥
，使得CA=1，BD=3，
在AB 上取一点P，可设AP=x，BP=3-x，
的最小值即为线段 PC 和线段 PD 长度之和的最小值，
作C 点对称点C′，连接C′D，过C′点作C′E DB
⊥
，交于点E，
AC=BE=1
∵
，DB=3，AB=C′E=3，
DE=4
∴
，
C′D=
=5，
∴最小值为5．
故答案为5．
【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路线问题，结合已知画出图象利用数形结合以
及勾股定理得出是解题关键．
12．如图，已知
，
，第四象限的点
到
轴的距离为，若
，
满足
，则
点坐标为 ；
与
轴的交点坐标为
．
【答案】
【分析】根据
和二次根式有意义的条件，得到c 的值，
再根据第四象限的点
到
轴的距离为得到C 点的坐标；再把BC 直线方程求解出
来，即可得到答案．
【详解】解：∵
，
根据二次根式的定义得到：
，
∴c=2，
∴
并且
，
即
，
∴
，
又∵第四象限的点
到
轴的距离为，
∴
，
故
点坐标为
，
又∵
，
∴B 点坐标为
，
点坐标为
，
设BC 直线方程为：y=kx+b，
把B、C 代入直线方程得到
，
当x=0 时，
，
故
与
轴的交点坐标为
．
故答案为：
，
．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件、直角坐标系的应用，解题的关键是正确
求解c 的值和m 的值，解题时应灵活运用所学知识．
13．如图，长方形
中，
，
，点
为射线
上的一个动点，
若
与
关于直线
对称，若
为直角三角形，则
的长为 ．
【答案】2 或18
【分析】分点
在线段
上，点
在线段
的延长线上两种情况讨论，由题意可得
，
，
，
，根据勾股定理和全等三角形的性质，可
求
的长．
【详解】解：若点
在线段
上，
若
与△
关于直线
对称，
，
，
，
△
为直角三角形，
，
，
，
，
，
点
，点
，点
共线，
在
中，
．
，
，
若点
在线段
的延长线上，且点
在
上，
若
与△
关于直线
对称，
，
，
在
△
中，
，
，
，
，且
，
，
△
，
，
，
故答案为：2 或18．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，
熟练运用这些性质解决问题是本题的关键
14．已知
，则
．
【答案】3
【详解】设
，则
可化为：
，
∴
，
两边同时平方得：
，即：
，∴
，解得：
，
∴
.
故答案为
.
点睛：本题的解题要点是：设原式中的
，从而使原式结构变得简单，这样应用二
次根式的相关运算法则化简变形即可求得
的值，使问题得到解决.
15．四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x 为正实数），用它们拼成两个直角三角形，
且AB 与CD 是其中的两条线段（如图），则x 可取值得个数共有 个．
【答案】6
【分析】首先过B 作BE CD
∥
交AD 的延长线于E，根据题意即可得BE＝CD，DE＝BC，∠E＝
90°，可得AB 是最长边，长为9 或x，然后由勾股定理可得AB2＝（AD+DE）
2+BE2＝
（AD+BC）
2+CD2，，然后分别从AB＝x，CD＝9 或5 或1；AB＝9，CD＝x 或5 或1 去分析求
解，即可求得答案．
【详解】解：过B 作BE CD
∥
交AD 的延长线于E，
根据题意得：BE＝CD，DE＝BC，∠E＝90°，
AB
∴
2＝（AD+DE）
2+BE2＝（AD+BC）
2+CD2，
ADC
∵∠
＝∠C＝90°，
AB
∴
是最长边，长为9 或x，
若AB＝x，CD＝9，则x
3
；
若AB＝x，CD＝5，则x
5
；
若AB＝x，CD＝1，则x
；
若AB＝9，CD＝x，则x
3
；
若AB＝9，CD＝5，则x
1＝2
1；
若AB＝9，CD＝1，则x
5＝4
5．
故答案为6．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用的知识，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想
与分类讨论思想的应用，不要漏掉．
16．如图，已知△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线
l1，l2，l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC 的长是 ；
【答案】
【分析】首先作AD l
⊥3于D,作CE l
⊥3于E,再证明△ABD
BCE
≌△
，因此可得BE=AD=3，再结合
勾股定理可得AC 的长.
【详解】作AD l
⊥3于D,作CE l
⊥3于E,
ABC=90°,
ABD+ CBE=90°,
∵∠
∴∠
∠
又∠DAB+ ABD=90°,
∠
BAD= CBE,
∴∠
∠
又AB=BC, ADB= BEC.
∠
∠
ABD
BCE,∴BE=AD=3,
∴
∴
△
△
≌
在Rt△BCE 中,根据勾股定理,得BC=
,
在Rt△ABC 中,根据勾股定理,
得AC=
故答案为
【点睛】本题主要考查直角三角形的综合问题，关键在于证明三角形的全等，这类题目是
固定的解法，一定要熟练掌握.
17．如图，矩形
中，
，
，点
为
上一个动点，把
沿
折叠，
当点
的对应点
落在
的角平分线上时，
的长为 ．
【答案】
或
【分析】连接
，过
作
，交
于点
，
于点
，作
交
于点
，先利用勾股定理求出
，再分两种情况利用勾股定理求出
．
【详解】解：如图，连接
，过
作
，交
于点
，
于点
，作
交
于点
点
的对应点
落在
的角平分线上，
，
设
，则
，
，
又折叠图形可得
，
，解得
或
，即
或
．
在
中，设
，
当
时，
，
，
，
，
解得
，即
，
当
时，
，
，
，
，解得
，即
．故答案为：
或
．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相
等的．
18．如图，
，
，C 为线段
上一动点，将点C 绕点A 逆时针旋转60°得
到
，连接
，当
最小时，点D 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题通过动点C、D 的运动轨迹可以确定BD 的最小值，然后利用勾股定理、含
30°角的直角三角形、相似三角形等性质即可求解．
【详解】由于
，故以A 为圆心，
长为半径作
，连接
，交
为
，
见下图．
∵
，即
，又
，
∴
．
使点C 在x 轴上滑动，直到D 与D′重合，
此时点A、点D、点B 在同一条直线上，
最短，如下图．
自C 作
，垂足为G；自D 作
，垂足为H．
在直角三角形
中，
，
∴
．
设
的半径
，由已知
，
为直角三角形，
∴
，
，
∴
．
在直角△OAB 与直角△GCB 中，
，
∴
．
∴
，即
，
解得：
．
设D 点的坐标为
，则
，
，
即
，
解得：
．
由
得，
，
即：
，
∴
．
因此，D 点的坐标为
．
【点睛】本题考查最值问题、解直角三角形、相似三角形等相关知识点，利用相似三角形
的性质将已知量与未知量集中在一起是解题的关键．
19．如图，在等边△ABC 中，AB＝6，AN＝2，∠BAC 的平分线交BC 于点D，M 是AD 上
的动点，则BM+MN 的最小值是 ．
【答案】2
【分析】通过作辅助线转化BM，MN 的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：连接CN，与AD 交于点M．则CN 就是BM+MN 的最小值．取BN 中点E，连
接DE，如图所示：
∵等边△ABC 的边长为6，AN＝2，
∴BN＝AC﹣AN＝6
2
﹣＝4，
∴BE＝EN＝AN＝2，
又∵AD 是BC 边上的中线，
∴DE 是△BCN 的中位线，
∴CN＝2DE，CN∥DE，
又∵N 为AE 的中点，
∴M 为AD 的中点，
∴MN 是△ADE 的中位线，
∴DE＝2MN，
∴CN＝2DE＝4MN，
∴CM＝
CN．
在直角△CDM 中，CD＝
BC＝3，DM＝
AD＝
，
∴CM＝
，
∴CN＝
．
∵BM+MN＝CN，
∴BM+MN 的最小值为2
．
故答案是：2
．
【点睛】考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
20．若
，
，是实数，且
，则
．
【答案】21
【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得
，
，的值，
从而得到答案．
【详解】∵
∴
∴
∴
∴
，∴
∴
，∴
．
【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、
完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解．
21．如图，已知点
在
轴正半轴上，点
在
轴的正半轴上，
为等腰直角
三角形，
为斜边
上的中点.若
，则
.
【答案】2
【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得AP 与BC 的关系，根据垂线的性质，可得答案
【详解】如图：作CP⊥x 轴于点P，由余角的性质，得∠
=
OBA ∠PAC，
在Rt
OBA
△
和Rt
PAC
△
中，
，
Rt
OBA Rt
PAC
△
△
≌
（AAS），
AP=OB=b
∴
，PC=OA=a．
由线段的和差，得OP=OA+AP=a+b，即C 点坐标是（a+b，a），
由B（0，b），C（a+b，a），D 是BC 的中点，得D（
，
），
∴
=
OD
∴
=
，∴a+b=2.
故答案为2.
【点睛】本题解题主要①利用了等腰直角三角形的性质；②利用了全等三角形的判定与性
质；③利用了线段中点的性质.
22．如图中的螺旋形由一系列含30°的直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、
⑤…，则第7 个直角三角形的斜边长为 .
【答案】
【详解】如图，由题意根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”结合“勾
股定理”进行计算可得：
第1 个直角三角形的斜边长为2；
第2 个直角三角形的斜边长为
；
第3 个直角三角形的斜边长为
；
第4 个直角三角形的斜边长为
；
……；
由此可知：若第1 个直角三角形的斜边长为
，则第n 个直角三角形的斜边长为：
，
∴第7 个直角三角形的斜边长为：
.
故答案为
.
点睛：本题的解题要点是：由已知确定第1 个直角三角形的斜边长为2 后，观察图形可知，
后面每一个直角三角形的斜边刚好是前一个直角三角形中与30°角相邻的直角边，由此即可
推得第n 个直角三角形的斜边为：
.
23．已知数轴上
，
两点，且这两点间的距离为
，若点
在数轴上表示的数为
，
则点
表示的数为 ．
【答案】
或
【分析】设点
表示的数为
，由
、
两点之间的距离为
，根据两点间的距离公式
列出方程
，解方程即可．
【详解】解：设点
表示的数为
，由题意，得
，
则
，或
，
所以
或
．
故答案为：
或
．
【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上两点间的距离计算公式是解题的关键．
24．如图，
度，
，
，且
，AF 平分
交BC 于
F，若
，
，则线段AD 的长为 ．
【答案】
【分析】由“SAS”可证
≌
，
≌
可得
，
，
，由勾股定理可求EF 的长，即可求BC 的长，由勾股定理可求AD 的长．
【详解】解：如图，连接EF，过点A 作
于点G，
，
，
又
，
，
在
和
中
，
≌
．
，
，
，
∴
，
，
，
，
平分
，
，
在
和
中
，
≌
．
．
．
，
∴
，
，
，
，
，
∴
故答案为
【点睛】考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
25．如图，在
中，
，点
为
的中点，点
为
上一点，把
沿
折叠得到
，连接
．若
，则
的长为
．
【答案】
【分析】过点A 作AF DE
⊥
于点F，由直角三角形的性质可得AF=1，AE=
，即可求A'E，
EC 的长，由勾股定理可求A'C 的长．
【详解】解：如图，过点A 作AF DE
⊥
于点F，
AB=4
∵
，点D 为AB 的中点，
AD=2
∴
ADE=30°
∵∠
，AF DE
⊥
AF=1
∴
，∠FAD=60°
BAC=105°
∵∠
FAE=45°
∴∠
，AF DE
⊥
AEF=45°= EAF
∴∠
∠
AF=EF=1
∴
AE=
∴
EC=AC-AE=
∴
=2
∵把△ADE 沿DE 折叠得到△A'DE，
AEA'=2 AEF=90°
∴∠
∠
，A'E=AE=
,
故答案为：
【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理，求出AE 的长是本题的关键．
三、解答题
26．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2 个单位长度到达点B，点A 表示
，设点
B 所表示的数为m.
(1)
______.
(2)求
的值；
(3)在数轴上还有C、D 两点分别表示实数c 和d，且有
与
互为相反数，求
的平方跟.
【答案】(1)
(2)2
(3)
【分析】（1）根据两点间的距离公式计算即可；
（2）由（1）可得
、
，再利用绝对值的性质化简绝对值号，最后合并同类
项即可解答；
（3）根据绝对值和算术平方根的非负性质求出、
的值，再代入
，进而求其平方
根即可．
【详解】（1）解：∵蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了
个单位长度到达点
，点
表示
∴点
表示
∴
．
故答案为：
．
（2）解：∵
∴
，
∴
．
（3）解：∵
与
互为相反数
∴
∴
，
∴
，
∴
∴
，
即
的平方根是
．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求
一个数的平方根等知识点，掌握并灵活运用相关性质是解题的关键．
27．如图1，在坐标平面中，A(－6，0)、B(6，0)，点 C 在 y 轴正半轴上，且∠ACB＝
90º．
⑴求点 C 的坐标；
⑵如图2，点 P 为线段 BC 上一点，连接 PA，设点 P 的横坐标为 m，△PAC 的面积为
S，用含 m 的代数式来表示 S；
⑶如图3，在⑵的条件下，过点 B 向 PA 引垂线，垂足为 E，延长 BE、AC 相交于点 F，
连接PF，若 PF＝3，求 m 的值．
【答案】（1）（0，6）；（2）S
，（3）
.
【分析】(1)由A(－6，0)、B(6，0)，得：OA=OB=6，进而得到∠CAO= ACO=45°
∠
，
OC=OA=6，即可求解；
(2)过点P 作PM y
⊥轴，垂足为M，如图1，易证∆PCM 是等腰直角三角形，即：CP=
，由∆AOC 是等腰三角形，得AC=
，根据三角形得面积公
式，即可求解；
(3)易证∆BCF≅∆ACP，从而可得∆PCF 是等腰直角三角形，过点P 作PM y
⊥轴，垂足为M，如
图2，可知：∆PCM 是等腰直角三角形，进而可求出m 的值.
【详解】（1）∵在坐标平面中，A(－6，0)、B(6，0)，
OA=OB=6
∴
，
OC
∴
垂直平分AB，
AC=BC
∴
，
ACB
∵∠
＝90º，
CAO= ACO=45°
∴∠
∠
（等腰三角形三线合一），
OC=OA=6
∴
，
∵点 C 在 y 轴正半轴上，
∴点 C 的坐标是（0，6）
（2）过点P 作PM y
⊥轴，垂足为M，如图1，
由（1）可知：∠BCO= ACO=45°
∠
，
PM
y
∵
⊥轴，
∴∆PCM 是等腰直角三角形，
∵点 P 为线段 BC 上一点，点 P 的横坐标为 m，
MP=m
∴
，
CP=
∴
，
∵∆AOC 是等腰三角形，
AC=
∴
ACB
∵∠
＝90º，
S=
∴
，
（3）∵BE AP
⊥
，∠ACB＝90º，
CBF+ BFC=90°
∴∠
∠
，∠CAP+ BFC=90°
∠
，
CBF= CAP
∴∠
∠
在∆BCF 和∆ACP 中，
∵
∴∆BCF≅∆ACP（ASA），
CF=CP
∴
，
∴∆PCF 是等腰直角三角形，
PF=3
∵
，
PC=PF
∴
÷
=3÷
=
，
过点P 作PM y
⊥轴，垂足为M，如图2，
由（2）可知：∆PCM 是等腰直角三角形，
∴
PM=PC，即：
m=
，
m=
∴
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理和等腰直角三角形的性质定理的综合
应用，添加合适的辅助线，构造等腰直角三角形是解题的关键.
28．如图，已知
，
，
，
（1）求三角形
的面积；
（2）设
为坐标轴上一点，若
，求
点的坐标．
【答案】（1）12；（2）（-5，0）或（1，0）或（0，-1）或（0，5）
【分析】（1）先计算出AB=6，然后根据三角形面积公式计算△ABC 的面积；
（2）分两种情况：当P 在x 轴上时，设P 点坐标为（m，0），则AC=|m+2|，再根据
得到关于m 的方程，解方程求出m，当P 在y 轴上时，设P 点坐标为（0，
n），则PD=|n-2|，再根据
得到关于n 的方程，解方程求出n，即可得到P 点
坐标．
【详解】（1）作
于点E，
A
∵（-2，0），B（4，0），∴AB=4-（-2）=6.
C
∵（2，4），∴CE=4.
∴
；
（2）当P 在x 轴上时，设P 点坐标为（m，0），
∵
，解得m1=1，m2=-5，
当P 在y 轴上时，设P 点坐标为（0，n），
D
∵（0，2），∴PD=|n-2|，
∴
，
解得n1=-1，n2=5
P
∴点坐标为（-5，0）或（1，0）或（0，-1）或（0，5）．
【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即
．
29．如图1 所示，等边△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特
性，AD 平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=
AB．于是可得出结论“直角三
角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半”．
请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：
（1）如图2 所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线交AB 于点D，垂足为E，当
BD=5cm，∠B=30°时，△ACD 的周长= ．
（2）如图3 所示，在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，D 是BC 的中点，DE⊥AB，垂足为E，那
么BE：EA= ．
（3）如图4 所示，在等边△ABC 中，D、E 分别是BC、AC 上的点，且AE=DC，AD、BE 交于
点P，作BQ⊥AD 于Q，若BP=2，求BQ 的长．
【答案】（1）15cm；（2）3：1；（3）BQ=
．
【详解】整体分析：
(1)由“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”求AC 的长；(2)连接AD，由
“三线合一”得∠BAD=60°，利用直角三角形中的30°角所对的直角边的性质，分别把BE，
EA 用BD 表示；(3)证明△BAE
ACD
≌△
，得∠BPQ=60°，结合勾股定理求解.
解：(1) DE
∵
是线段BC 的垂直平分线，∠ACB=90°，
CD=BD
∴
，AD=BD．
又∵在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，
AC=
∴
AB，
ACD
∴△
的周长=AC+AB=3BD=15cm．
故答案为15cm；
(2)连接AD，如图所示．
∵在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，D 是BC 的中点，
BAD=60°
∴∠
．
又∵DE AB
⊥
，
B= ADE=30°
∴∠
∠
，∴BE=
BD，EA=
AD，
BD=
∵
AD，∴EA=
AD=
BD.
BE:EA=
∴
BD:
AD，
BE:AE=3:1
∴
．
故答案为3:1．
(3)
ABC
∵△
为等边三角形．
AB=AC
∴
，∠BAC= ACB=60°
∠
，
在△BAE 和△ACD 中，
AE=CD，∠BAC= ACB
∠
，AB=AC，
BAE
ACD(SAS)
∴△
△
≌
，∴∠ABE= CAD
∠
．
BPQ
∵∠
为△ABP 外角，
BPQ= ABE+ BAD
∴∠
∠
∠
．∴∠BPQ= CAD+ BAD= BAC=60°
∠
∠
∠
，
BQ
AD
∵
⊥
，
PBQ=30°
∴∠
，∴BP=2PQ=2，∴PQ=1，
BQ=
∴
=
=
．
30．综合与实践：
观察发现：①
；
②
；
③
；
…
解决问题：
（1）利用你观察到的规律，化简
；
（2）计算：
．
拓广探索：
定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个
非零代数式互为有理化因式.例如，上面计算中
和
、
和
等都是互为有理化因式.通过上面的观察，我们还可以发现：如果二次根式的分母原来为无
理数，那么把分子、分母同乘以分母的互为有理化因式，可以将该二次根式的分母化为有
理数．
（3）根据阅读，将
的分母化为有理数．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
．
【分析】（1）观察发现，形如
和
的积为1，据此即可得出结果；
（2）利用（1）中得出的规律计算即可；
（3）通过把分子、分母同乘以分母的互为有理化因式，计算得出答案．
【详解】解：（1）
．
（2）
=
（3）
．
【点睛】本题考查的知识点是分母有理化，掌握分母有理化的过程是解此题的关键．
