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专题12 反比例函数与几何综合压轴题的五种考法
类型一、平行四边形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系
中，直线
与
轴交于点A，与
轴交于点
，分别过点
作
轴、
轴的垂线，两垂线交于点
，函数
的图像与线段
交于点
交
于点
．
(1)求线段
的长度；
(2)试判断点
是否在函数
的图像上，并说明理由；
(3)已知
，点
在
轴上，点
在函数
的图像上，当四边形
为平行四边形时，
求点
的坐标．
【答案】(1)
(2)点
在函数
的图像上．理由见解析
(3)
点坐标为
【分析】（1）先求得C 的坐标可得
，然后再说明四边形
为矩形即可解答；
（2）由题意可得点
坐标为
，设直线
的函数表达式为
，进而得到
；再确
定点
的横坐标为
，然后代入即可解答；
（3）如图：过点
作
于点
，先根据坐标求得
，设点
坐标为
，则
，由平行四边形的性质可得
，进而证明
≌
可得
，
最后结合
即可解答．
【详解】（1）解：
当
时，
，
坐标为
，即
，
轴，
轴，
，
，
四边形
为矩形，
．
（2）解：点
在函数
的图像上．理由如下：
点
在函数
的图像上，
点
坐标为
，
，
可设直线
的函数表达式为
，
，
点A 坐标为
点
的横坐标为
，
当
时，
，即
，
点
在函数
的图像上．
（3）解：如图：过点
作
于点
，
由（2）得
，
，
，
，即
设点
坐标为
，则
四边形
是平行四边形，
，
，
在
与
中，
，
≌
，即
，
，即
点坐标为
．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、矩形的判定与性质、平行四边形的性质、反比例函数图像的性质等
知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．
【变式训练1】如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，与反比例函数的图象交于点
，
．
(1)求一次函数和反比例函数表达式；
(2)点
为
轴正半轴上一点，当
的面积为9 时，求点
的坐标；
(3)在（2）的条件下，将直线
向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点
，交
轴于点
，
点
为平面直角坐标系内一点，若以点
、
、
、
为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件
的点
的坐标；并写出求解点
的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
点坐标为
或
或
，见解析
【分析】（1）先确定
点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设
，
，则
，再由
，求出的值即可求
点坐标；
（3）先求平移后的直线解析式为
，则
，设
，根据平行四边形对角线的情况分三种
情况讨论即可．
【详解】（1）
点
，
在反比例函数图象上，
，
解得
，
，
反比例函数的解析式为
；
设一次函数的解析式为
，
，
解得
，
一次函数的解析式为
；
（2）直线
与
轴的交点
，
设
，
，
，
，
，
解得
，
；
（3）设直线
向上平移后的函数解析式为
，
在反比例函数图象上，
，
，
将
点代入
，则
，
平移后的直线解析式为
，
，
设
，
①当
为平行四边形的对角线时，
，
，
；
②当
为平行四边形的对角线时，
，
，
；
③当
为平行四边形的对角线时，
，
，
；
综上所述：
点坐标为
或
或
．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，
平行四边形的性质，待定系数法求函数的解析式的方法是解题的关键．
【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数
（k 为常数，且
，
）的图像经过
点
两点．
(1)m 与n 的数量关系是( )
A．
B．
C．
D．
(2)如图2，若点A 绕x 轴上的点P 顺时针旋转
，恰好与点B 重合．
①求点P 的坐标及反比例函数的表达式；
②连接
、
，则
的面积为_____；
(3)若点M 在反比例函数
的图像上，点N 在y 轴上，在（2）的条件下，是否存在以A、B、
M、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)B
(2)①
，反比例函数的表达式为
，②8
(3)存在，
或
【分析】（1）把
分别代入
得：
，即可解答；
（2）①过点A 作
轴于点C，过点B 作
轴于点D，证明
，得出
，
，
，
，根据
，
， 即可求出m 和n
的值，进而得到点P 坐标，用待定系数法可求出反比例函数的表达式； ②设
所在直线函数表达式为
，直线
交x 轴于点C，
求出
所在直线函数表达式为
，再求出
，则
，最后根据
即可求解；
（3）根据M 在反比例函数的图像上，点N 在y 轴上，设
，
根据平行四
边形的性质和中点坐标公式，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：把
分别代入
得：
，
∴
，整理得：
，
故选：B．
（2）解：①过点A 作
轴于点C，过点B 作
轴于点D，
∴
，
∴
，
∵点A 绕x 轴上的点P 顺时针旋转90°，恰好与点B 重合
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵在
和
中
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵反比例函数的表达式为
过
，
∴
，
∴反比例函数的表达式为
；
②设
所在直线函数表达式为
，直线
交x 轴于点C，
将
代入得：
，解得：
，
∴
所在直线函数表达式为
，
把
代入得
，
解得：
，
∴
，则
，
∴
，
故答案为：8．
（3）解：∵M 在反比例函数的图象上，点N 在y 轴上，
∴设
，
∵以A、B、M、N 为顶点的四边形为平行四边形，
∴以A、B、M、N 为顶点的四边形对角线互相平分，
①当
为对角线时，
，解得：
，
∴
；
②当
为对角线时，
，解得：
，
∴
；
∵
，
∴
不符合题意，舍去
③当
为对角线时，
，解得：
，
∴
综上：存在，
或
．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，割补法求面积，平行四边形的存在性问题，解决本题的关键
在于各知识的综合应用，熟练掌握反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数
的图象经过点
，交反比例函
数
的图象于点
，点E 是反比例函数图象上的一动点，横坐标为
，
轴
交直线
于点F，D 是y 轴上任意一点，连接
、
．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)当t 为何值时，
为等腰直角三角形；
(3)点M 是一次函数图像上一动点，点N 是反比例函数图像上一动点，当四边形
为平行四边形时，
求出点M 的坐标．
【答案】(1)
，
(2)
或
(3)
【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式；
（2）分
是以
为斜边和以
为直角边的等腰直角三角形，两种情况进行讨论求解即可．
（3）根据四边形
为平行四边形，得到
，
，列式计算即可．
【详解】（1）解：把点A、B 的坐标代入一次函数表达式得：
，
解得：
，
∴一次函数表达式为：
；
把点C 的坐标代入上式得：
，
故点C 的坐标为
，
将点C 的坐标代入反比例函数表达式得：
，
∴反比例函数表达式为
；
（2）解：①当
是以
为斜边的等腰直角三角形，
∴
为直角，
过点D 作
于点H，如下图所示：
设点E 的坐标为
，则点
，
∵
为等腰直角三角形，
，
∴
，
∴
，
解得
（舍去），
．
经检验
是原方程的解；
②当
是以
为直角边的等腰直角三角形时，如图，
∵点E 的坐标为
，则点
，
∴
，
∴
，
解得：
（负值已舍去），
经检验
是原方程的解；
综上：当
或
时，
是等腰直角三角形．
（3）∵四边形
为平行四边形，
∴
，
∵点M 是一次函数图像上一动点，点N 是反比例函数图像上一动点，
设
，则：
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
解得：
（负值已舍去），
经检验：
是原方程的解，
∴
．
【点睛】本题主要考查了求一次函数和反比例函数解析式，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，
解分式方程，解题的关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．
类型二、菱形存在性问题
例．如图1，四边形
为正方形，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，且
，反比例函数
在
第一象限的图象经过正方形的顶点C．
(1)求点C 的坐标；
(2)如图2，将正方形
沿x 轴向右平移得到正方形
，点
恰好落在反比例函数的图象上，求
此时点
的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P 为y 轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、
、P、Q 为顶点的四边形
为菱形，若存在，请直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)点Q 的坐标为
或
或
或
．
【分析】（1）过点C 作
轴，交于点H，设
，则
，根据正方形的性质及各角之间的
关系得出
，利用全等三角形的判定和性质得出
，
，即可确定点
C 的坐标；
（2）利用（1）中方法确定
，由点
恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得
出点
的坐标；
（3）根据题意进行分类讨论：当
时；当
时；当
为对角线时；分别利用菱
形的性质及等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：过点C 作
轴，交于点H，
∵
，∴设
，则
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵反比例函数
在第一象限的图象经过正方形的顶点C，
∴
，
∴
；
∴
；
（2）解：如图所示，过点D 作
轴，
，
，
同（1）方法可得：
，
∵
，
∴四边形
为矩形，
∴
，
∴
，
∵点
恰好落在反比例函数
的图象上，
∴当
时，
，即点A 向右平移
个单位得到点
，
∴
即
；
（3）解：分三种情况讨论，
由（2）得点A 向右平移
个单位得到点
，
∴
，
∴
，
当
时，则
且
，
∴
，
，即
，
；
当
时，此时点
与点Q 关于y 轴对称，
；
当
为对角线时，此时
，
设
，
∴
，
解得
，即
，且
，
∴
，即
，
综上可得：点Q 的坐标为
或
或
或
．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形
的性质，勾股定理等，理解题意，（3）中根据菱形的性质进行分类讨论是解题关键．
【变式训练1】如图，直线
与反比例函数
的图象相交于点A、点
，与
轴交于点
，其中
点A 的坐标为
，点
的横坐标为
．
(1)试确定反比例函数的关系式；
(2)直接写出不等式
的解集．
(3)点
是
轴上一点，点
是坐标平面内一点，以点
，
，
，
为顶点的四边形是菱形，请直接写出
点
的坐标．
【答案】(1)
(2)
或
(3)点
的坐标为
或
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）求得点
坐标，观察图象，一次函数图象在反比例函数图象上的部分即为符合题意部分，对照图象直
接写出即可；
（3）利用分类讨论的方法分当以
为一边时和当以
为一条对角线时两种情况，分别画出图形，依据
菱形的性质和对称性直接写出即可．
【详解】（1）解：将点A 的坐标
代入反比例函数
中得：
，
反比例函数的关系式为
；
（2）解：∵点
的横坐标为
，
，
，
由图象可知，不等式
的解集为
或
；
（3）解：
当以
为一边时，如图所示：
把
，
分别代入
得：
，解得：
，
∴
，
把
代入得：
，
∴直线
与y 轴交点坐标为：
，
设点
，
则
，
，
∵
，
∴
，
即
，
解得：
或
（舍去），
∴点
，
∴
轴，
∵菱形的对角线垂直平分，
∴
，
∴
轴，
∴
；
当以
为一条对角线时，如图，
设点
，
则
，
，
∵
，
∴
，
即
，
解得：
，
∴
，
菱形的对角线
与
互相平分，
∴根据中点坐标公式可得，
与
交点
的坐标为：
，
∴点
的坐标为：
；
综上，以点
，
，
，
为顶点的四边形是菱形，点
的坐标为
或
．
【点睛】本题主要考查了待定系数法，数形结合法，双曲线上点的坐标的特征，菱形的性质，利用数形结
合法解答是解题的关键．
【变式训练2】如图，矩形
的顶点
、
分别在
、
轴的正半轴上，点
在反比例函数
的第一象限内的图像上，
，
，动点
在
轴的上方，且满足
．
(1)
_________．
(2)若点
在这个反比例函数的图像上，求点
的坐标；
(3)连接
、
，求
的最小值；
(4)若点
是平面内一点，使得以
、
、
、
为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有
点P 的坐标．
【答案】(1)12
(2)
(3)
(4)
，
．
【分析】（1）先确定B 的坐标，再把B 的坐标代入函数解析式，即可得到答案；
（2）设点P 的纵坐标为
，根据
，构建方程即可解决问题；
（3）过点
，作直线
轴．由（1）知，点P 的纵坐标为2，推出点P 在直线l 上作点O 关于直线l
的对称点
，则
，连接
交直线l 于点P，此时
的值最小；
（4）分四种情形分别画出图形，再利用勾股定理列方程求解即可解决问题；
【详解】（1）解：∵矩形
，
，
，
∴
，
∴
（2）由（1）得：
，
动点
在
轴的上方，且满足
，
设点P 的纵坐标为
，
∴
，
∴
，
而点P 在这个反比例函数图象上时，则
，
∴
，
∴点P 的坐标为
．
（3）由（2）得：
的纵坐标为
，则
在直线
上，
过点
，作直线
轴．
∴点P 在直线l 上 作点O 关于直线l 的对称点
，则
，
连接
交直线l 于点P，此时
的值最小，
则
的最小值
．
（4）①如图2 中，当四边形
是菱形时，
∴
，
设
∴
，
解得：
，
∴
，
②如图3 中，当四边形
是菱形时，
∴
，
设
∴
，
解得：
，
∴
，
综上所述，点P 的坐标为
，
．
【点睛】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理的应用，
轴对称最短问题及解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会理由轴对称解
决最短问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．
【变式训练3】如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x+2 与x 轴交于点A，将直线l 绕着点A 顺时针
旋转45°后，与y 轴交于点B，过点B 作BC⊥AB，交直线l 于点C．
(1)求点A 和点C 的坐标；
(2)如图2，将△ABC 以每秒3 个单位的速度沿y 轴向上平移t 秒，若存在某一时刻t，使A、C 两点的对应点
D、F 恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B 对应点E，求出此时t 的值；
(3)在（2）的情况下，若点P 是x 轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F 四个点为顶点的
四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A（1，0），C（3，-4）
(2)t=2s
(3)存在，点Q 的坐标为（2，-1）或（4，-1）或（
，1）或（
，1）或Q（
，5）．
【分析】（1）过点C 作CH⊥y 轴于点H，利用AAS 证明△AOB≌△BHC，得BH=AO=1，CH=BO，设
OB=a，则OH=a+1，从而得出点C 的坐标，代入直线解析式即可；
（2）根据平移的性质表示出D、F 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标的特征得出方程即可；
（3）由（2）知E（0，3），F（3，2），设P（b，0），根据对角线进行分类，利用两点之间的距离公式
列出方程，解方程可得答案．
【详解】（1）解：∵y=-2x+2 与x 轴交于点A，∴0=-2x+2，得x=1，∴点A（1，0）；
过点C 作CH⊥y 轴于点H，
∴∠CHB=∠BOA=90°，
∵将直线l 绕着点A 顺时针旋转45°后，与y 轴交于点B，∴∠BAC=45°，
又∵BC⊥AB，∴∠BAC=∠ACB=45°，∴AB=BC，
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠CBH=90°，∴∠OAB=∠CBH，
在△AOB 和△BHC 中
，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴BH=AO=1，CH=BO，
设OB=a，则OH=a+1，∴点C（a，-a-1），
∵点C 在直线l 上，∴-a-1=-2a+2，∴a=3，∴C（3，-4）；
（2）解：将△ABC 以每秒3 个单位的速度沿y 轴向上平移t 秒，
A（1，0），B（0，-3），C（3，-4），
∴点D（1，3t），点E（0，-3+3t），点F（3，-4+3t），
∵点A、C 两点的对应点D、F 正好落在某反比例函数的图象上，
1×3
∴
t=3×（-4+3t），∴t=2；
（3）解：由（2）知E（0，3），F（3，2），设P（b，0），
则
，
，
，
当EF 为对角线时，则PE=PF，即
，
∴
，解得：b=
，∴P（
，0），
点P（
，0）向左平移
个单位、向上平移3 个单位到E（0，3），
∴点F（3，2）向左平移
个单位、向上平移3 个单位到Q（3-
，2+3），∴Q（
，5）；
当EP 为对角线时，则EF=PF，即
，
∴
，解得：b=
+3 或
+3，∴P（
+3，0）或（
+3，0），
当P（
+3，0）时，同理得Q（
，1）；
当P（
+3，0）时，同理得Q（
，1）；
当EQ 为对角线时，则EF=PF，即
，
∴
，
解得：b=1 或-1，
∴P（1，0）或（-1，0），
当P（1，0）时，同理得Q（4，-1）；
当P（-1，0）时，同理得Q（2，-1）；
综上所述：点Q 的坐标为（2，-1）或（4，-1）或（
，1）或（
，1）或Q（
，5）．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，全
等三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理，菱形的性质等知识，运用方程思想是解题的关键．
类型三、矩形存在性问题
例．在平面直角坐标系
中，已知反比例函数
的图像与正比例函数
的图像交
于点
、点
，与正比例函数
的图像交于点
、点
，设点
、
的横坐标分别为，(
)．
(1)如图1，若点
坐标为
．
①求
，
的值；
②若点
的横坐标为
，连接
，求
的面积．
(2)如图2，依次连接
，
，
，
，若四边形
为矩形，求
的值．
【答案】(1)①
，
；②
(2)
【分析】（1）①将点
代入解析式，求得
；
②根据反比例函数解析式可得
，分别过点
、
作
轴的垂线交
轴于点
、
，根据
，
，
，可得
；
（2）直线
，
经过原点且与反比例函数
分别交于点
，
，
，
，反比例函数
的图
像关于原点中心对称，则点
，
关于原点对称，点
、
关于原点对称，则四边形
为平行四边形．
点
的坐标为
，点
的坐标为
，根据
，得出
，根据
在
上，
得出
，
，
在
上，得出
，进而即可求解．
【详解】（1）解：①
点
在
上，
，
；
点
在
上，
，
②
点
的横坐标为
，
当
时，
，
；
分别过点
、
作
轴的垂线交
轴于点
、
，
，
，
；
（2）解：
直线
，
经过原点且与反比例函数
分别交于点
，
，
，
，反比例函数
的图像关于原点中心对称，
点
，
关于原点对称，点
、
关于原点对称，
，
，
四边形
为平行四边形．
当
时，四边形
是矩形．
点
，
的横坐标分别为，
，
点
的坐标为
，点
的坐标为
，
，
，
，
，
又
在
上，
，
，
在
上，
，
．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，
的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关
键．
【变式训练1】如图，在直角坐标系中，直线
与反比例函数
的图像交于
、B 两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将直线
向上平移后与y 轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果
的面
积为16，求直线向上平移的距离；
(3)E 是y 轴正半轴上的一点，F 是平面内任意一点，使以点A，B，E，F 为顶点的四边形是矩形，请求出所
有符合条件的点E 的坐标．
【答案】(1)
(2)4
(3)
，
【分析】（1）用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）连接
、
，设平移后直线
的解析式为
，得出点
，
根据直线
平行直线
，得出
，根据点A、点B 关于原点对称，得出点
，根据
，列出关于b 的方程，解方程即可；
（3）设
，
，
，得出
，
，
，分两种情况，当
为
边时，当
为对角线时，分别求出m 的值即可．
【详解】（1）解：令一次函数
中
，则
解得：
，即点A 的坐标为
，
∵点
在反比例函数的图像
上，
∴
，
∴反比例函数的表达式为
；
（2）解：连接
、
，如图所示：
设平移后直线
的解析式为
，
∴点
，
∵直线
平行直线
，
∴
，
∵
的面积为16，
∵点A、点B 关于原点对称，
∴点
，
∴
，
∴
，
∴
，∴
，
∴直线向上平移的距离为4．
（3）解：设
，
，
，
则
，
，
，
①如图，当
为边时，此时满足
，
即：
，解得
，∴
；
②如图，当
为对角线时，此时满足
，
即
，解得
（
舍去），∴
；
【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，一次函数平移，三角形面积的计
算，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
【变式训练2】如图，直线
分别与x 轴交于B，C 两点，与y 轴交于A，D 两点，且
，线段
的长分别是方程
的两根，并且
．
(1)求点D 的坐标；
(2)求过点E 的反比例函数解析式；
(3)若点M 在坐标轴上，平面是否存在点N，使得以A，E，M，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请写出
满足条件的点N 的个数，并任意写3 个满足条件的点N 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，N 点坐标为
，
，
，
，
，
【分析】（1）解方程求出
，
，再根据数量关系得出
，利用三角函数求出
，即可确定
点的
坐标；
（2）用待定系数法求出直线
和直线
的解析式，联立两解析式求出
点坐标，即可得出过
点的反
比例函数的解析式；
（3）根据
在坐标轴上，分情况讨论求出
的坐标即可．
【详解】（1）
，
解得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）设直线
的解析式为
，
分别把
，
代入，
得
解得
直线
的解析式为
，
同理直线
的解析式
，
联立
解得
的坐标
，
过点
的反比例函数解析式为
；
（3）存在，根据题意要使得以
，
，
，
为顶点的四边形为矩形分以下几种情况：
①点
在
轴正半轴，且
为边时，
，
，
，
，
即
，
，
，
即
，
过
点作
轴于
，
，
，
，
，
，
设
，则
，
，
解得
或
（舍去），
，
，
此时
；
②当
点在
轴负半轴时，且
为边时，
同理①可得
，
作
轴于点
，
同理①可得
；
③
点在
轴，且
为对角线时，
此时
点和
点都在
轴上，且
，
此时
点的坐标为
，
或
，
；
④
点在
轴上，且
为对角线时，
此时
，
，
⑤
点在
轴上，且
为边时，
，
，
，
，
，
，
作
于
，
，
，
，
，
设
，则
，
，
，
，
解得
或
（舍去），
，
，
即此时
，
综上所述，符合条件的
点坐标为
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，矩形的性质，勾股定理，两点间距离公式，三角函数，全等三
角形的判定和性质等知识，熟练掌握这些基础知识并能灵活运用是解题的关键．
【变式训练3】如图，已知点B 坐标为
，点C 与点B 关于原点对称，过点B 作
轴，交反比例函
数
的图象于点A，若
的面积为1．
(1)求k 的值；
(2)如图2，点D 在第二象限，
是直角三角形，
，
，求点D 的坐标；
(3)在（2）的条件下，点M 为x 轴上一点，点N 为坐标平面内一点，若以A，D，M，N 为顶点的四边形是
矩形，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
或
或
．
【分析】（1）根据关于原点对称的点的性质，得到
，进而得到
，再根据三角形面积求出
，得到
，最后利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k 的值；
（2）过点D 作
轴于点E，先证明
，得到
，再根据角的正切值，得到
，进而得到
，
，最后根据第二象限点的坐标特征即可得到答案；
（3）分三种情况讨论：①四边形
是矩形；②四边形
是矩形；③四边形
是矩形，先
得到点M 的坐标，利用坐标中点公式求出中点P 的坐标，设点
，再利用中点坐标即可求出点N 的
坐标．
【详解】（1）解：
点B 坐标为
，点C 与点B 关于原点对称，
，
，
的面积为1，
，
，
轴，
，
点A 在反比例函数
上，
，
；
（2）解：过点D 作
轴于点E，
，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点D 在第二象限，
点D 的坐标为
；
（3）解：①四边形
是矩形，对角线
、
相交于点P，此时点M 于点C 重合，
矩形
，
对角线
、
互相平分，
点P 为
、
的中点，
、
，
点
的坐标为
，
设点N 的坐标为
，
，
，
，
点N 的坐标为
；
②四边形
是矩形，对角线
、
相交于点P，
设
，则
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
四边形
是矩形，
，
、
互相平分，
在
中，
，
，
解得：
，
，
点P 是
的中点，
点P 的横坐标为
，纵坐标为
，
设点
，
点P 是
的中点，
，
解得：
，
；
③四边形
是矩形，对角线
、
相交于点P，此时点M 与原点O 重合，
矩形
，
对角线
、
互相平分，
、
，点P 是
的中点，
点P 的横坐标为
，纵坐标为
，
设点
，
点P 是
中点，
，
，
解得：
，
，
综上可知，点N 的坐标为
或
或
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数
的意义，相似三角形的判定和性质，三角函数值，勾股定
理，坐标中点公式等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
类型四、正方形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系
中，直线
与反比例函数
的图象交于点
，与y
轴交于点
，点P 是反比例函数
的图象上一动点，过点P 作直线
轴交直线
于点Q，设点P 的横坐标为t，且
，连接
(1)求k，b 的值.
(2)当
的面积为3 时，求点P 的坐标.
(3)设
的中点为C，点D 为x 轴上一点，点E 为坐标平面内一点，当以B，C，D，E 为顶点的四边形为
正方形时，求出点P 的坐标.
【答案】(1)
(2)
(3)
或
，
【分析】（1）将点B 代入
求得
进而求得
将A 点坐标代入求得n；
（2）表示出
的长，根据
求得
进而得出点P 的坐标；
（3）分为
是边，点D 在x 轴正半轴上和在负半轴上，以及
为对角线．当
为边时，点D 在x 轴
正半轴上时，过点C 作
轴，作
，证明
，进而得出
，从而求得t 的
值，另外两种情况类似方法求得．
【详解】（1）∵直线
过点
，
∴
，
∴
，
∵直线
过点
，
∴
，
∴
，
∵
过点
，
∴
；
（2）∵点P 的横坐标为t，
∴
，
∴
∴
，
∵
，
又
，
∴
，
∴
，
∴
；
（3）如图1，
∵
，
，
∴
当
是边，点D 在x 轴正半轴上，
作
于F，作
于G，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
（舍去），
∴
如图2，
当点D 在x 轴的负半轴上时，
由上知：
，
∴
，
∴
，
当
是对角线时，
当
是对角线时，点D 在x 轴负半轴上时，
可得：
，
∴
，
∴
，
∴
，
如图4，
，
∴
，
∴
，
（舍去），
当
时，
，∴
，
综上所述：
或
，
.
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定
和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系．
【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系
中，直线
与反比例函数
的图象交于点
，与
轴交于点
，点
是反比例函数
的图象上一动点，过点
作直线
轴
交直线
于点
，设点
的横坐标为，且
，连接
，
．
(1)求
，
的值．
(2)当
的面积为3 时，求点
的坐标．
(3)设
的中点为
，点
为
轴上一点，点
为坐标平面内一点，当以
，
，
，
为顶点的四边形
为正方形时，求出点
的坐标．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
或
，
【分析】（1）将点
代入
，求得
，进而求得
，将
代入可求得
，再把点
的坐标代入
，即可求得
；
（2）用含的代数式表示
的长，根据铅锤定理，解得，进而求得点
的坐标；
（3）分情况讨论，当
是边，点
在
轴正半轴上和点
在
轴的负半轴上；当
是对角线，点
在
轴负半轴上和点
在
轴正半轴上，证明
，进而得出
，从而求得的值．
【详解】（1）解：
直线
过点
，
，
，
直线
过点
，
，
，
过点
，
；
（2）解：
，
，
，
，
，
，
、
、
分别表示
、
、
三点的横坐标，
，
解得
，经检验
是原方程的解，
；
（3）解：如图1，
，
，
，
当
是边，点
在
轴正半轴上，
作
于
，作
于
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（舍去），
，
如图2，
当点
在
轴的负半轴上时，
由上知：
，
，
，
当
是对角线时，
当
是对角线时，点
在
轴负半轴上时，
可得：
，
，
，
，
，
如图4，
，
，
，
，
（舍去），
当
时，
，
，
综上所述：
或
，
．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合问题，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，全等三角形
的判定和性质，解题的关键是运用分类讨论的思想，画出图形，根据线段之间的和差关系列方程求解．
【变式训练2】如图，直线
分别与反比例函数
和
的图像交于A，B 两点，点B 横
坐标为2．
(1)求n 的值．
(2)若点C 为
图像上一点，过点C 作直线
轴，交反比例函数
于点D，当
时，求C
点横坐标．
(3)若点E 在直线AB 上，请在坐标平面内找一点F，使得以C，D，E，F 四点为顶点的四边形是正方形，
并求出点F 的坐标．
【答案】(1)8
(2)
或
(3)
或
或
或
【分析】（1）先求出B 的坐标，然后把B 的坐标代入
求解即可；
（2）设
，则可求
，然后根据三角形面积公式列出方程求解即可；
（3）分以
为边，
为对角线讨论即可．
【详解】（1）解：∵点B 横坐标为2，且B 在直线
上，
∴
，
∴
，
把
代入
，得
，
解得
；
（2）解：由（1）知
，
设
，
∵
轴，
∴D 的横坐标为c，
又D 在
的图像上，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
解得
或
；
（3）解：设
，则
一、以
为边时，
①如图，四边形
为正方形，
则
，C 和E 的纵坐标相同，
把
代入
，得
，解得
，
∴
，
∴
，
解得
，
（舍去），
（舍去），
∴
，
，
∴
；
②如图，四边形
为正方形，
则
，D 和E 的纵坐标相同，
把
代入
，得
，解得
，
∴
，
∴
，
解得
，
（舍去），
∴
，
，
∴
；
二、以
为对角线时，
如图，四边形
为正方形，
则
是
中点，
，M 和E 的纵坐标相同
∴
，
把
代入
，得
，解得
，
∴
，
∴
，
解得
，
（舍去），
，
（舍去）
∴
，
，或
，
∴
或
综上，点F 的坐标为
或
或
或
．
【点睛】本题考查了反比例函数，正方形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列
方程的等量关系．
类型五、相似存在性问题
例．如图，直线
与双曲线
交于
，
两点，已知点
的坐标为
，点
的坐标为
，直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
．
(1)求双曲线和直线
的解析式；
(2)若点
是双曲线上的一点，
的面积是
的面积的倍，求点
的坐标；
(3)若点
在
轴的负半轴上，是否存在以点
，
，
为顶点构成的三角形与
相似？若存在，求出
点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
，
(2)
或
(3)存在，
点坐标为
或
【分析】（1）由
得
，则
点为
，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据一次函数得出
、
，得出
，设
点的坐标为
，根据
的面积
是
的面积的倍，建立方程，解方程即可求解；
（3）根据题意得出
是等腰直角三角形，因此，若
存在，显然
只能在
的左边，勾股定理得出
，设
的坐标为
，
根据相似三角形的性质得出
或
，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）由
得
从而
，
∴
点为
由此得
解得
所以双曲线的解析式为
，直线的解析式为
（2）如图，
、
是直线
与坐标轴的交点，
∴
、
则
，
由于
在双曲线上，
设
点的坐标为
，
则
据题意有
，
得
所求P 点的坐标为(
或
（3）存在，
点坐标为
，
或
如图
，
，
，
是等腰直角三角形，且
，
∴
因此，若
存在，显然
只能在
的左边，
设
的坐标为
，
要
与
相似，
则要
或
即
或
解之得
或
所以
点坐标为
，
或
，
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是
解题的关键．
【变式训练1】
在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数
在第一象限内的图象
与
边交于点D
，与
边交于点E
，
的面积为2．
(1)求m 与n 的数量关系及线段
的长；
(2)当
时，求m，n 的值和直线
的解析式；
(3)设P 是线段
上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B、C、P 为顶点的三角形与
相似？
若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
；
(2)
，
，直线
的函数解析式为：
；
(3)点P 的坐标为
；
．
【分析】（1）将D
、E
代入反比例函数
解析式，进而得出n，m 的关系；利用
的面积为2，可求得
；
（2）利用
的面积为2，得出m 的值，进而得出D，E，B 的坐标，利用待定系数法求出一次函数与
反比例函数关系式即可；
（3）分
和
两种情况，分别利用图形分析得出即可．
【详解】（1）解：如图1，过点E 作
，垂足为H．
∵D
、E
在反比例函数
的图象上，
∴
，
∴
；
∵
的面积为2，
∴
，
∴
；
（2）解：∵D
，
，
∴B
，
∵
即
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴D
，E
，B
．
设直线
的解析式为
，代入B
、E
，
得
，解得：
，
∴直线
的函数解析式为：
；
（3）解：①如图2，作
于F，
于H，
当
时，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，可得
，
∴
，
∴点P 的坐标为
；
②如图3，当
时，
，
∵
，由勾股定理，
，
∴
，
，
∴
，
，
，
∴
，可得
，
∴
，
∴点P 的坐标为
综上，点P 的坐标为
；
．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查的是反比例函数的性质，待定系数法求出一次函数解析式，
相似三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
【变式训练2】直线
与x 轴交于点C（4,0），与y 轴交于点B，并与双曲线
交于点A
（-1，n）．
(1)求直线与双曲线的解析式．
(2)连接OA，若点D 在
轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B 构成的三角形与△OAB 相似？若存在，求
出D 点的坐标，若不存在， 请说明理由．
【答案】(1)y=x-4， y=
(2)存在，点D 的坐标是（20，0）或（6，0）
【分析】（1）将点C 代入一次函数解析式确定b 的值及点A 的坐标，将点A 代入反比例函数解析式即可
得；
（2）过点A 作AM⊥y 轴，垂足为点M，利用勾股定理及相似三角形的判定和性质求解即可得出结果．
【详解】（1）解：将C 点带入y=x+b 中得到b=-4，
∴y=x-4，
再将A 点带入y=x-4 得到n=-5，
∴A（-1，-5） 再将A 点带入y=
中得到 m=5，
∴y=
；
（2）存在；
过点A 作AM⊥y 轴，垂足为点M，
∵B 点经过y 轴，
∴x=0，
∴y=-4，
∴B（0,-4）
∵A（-1，-5）
则AM=1，BM=1，
则AB=
，
∵OB=OC=4，
∴BC=
，∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠OBA=∠BCD=135°，
∴△OBA∽△BCD 或△OBA∽△DCB
∴
或
∴
或
∴CD=2 或CD=16，
∵点C（4,0），
∴点D 的坐标是（20， 0）或 （6， 0）．
【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数与反比例函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定
和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
【变式训练3】如图，直线
与双曲线
交于A，B 两点，已知点A 的横坐标为
，点B 的纵
坐标为
，直线
与x 轴交于点C，与y 轴交于点
．
(1)求双曲线和直线
的解析式；
(2)若点P 是第二象限内反比例函数图象上的一点，
的面积是
的面积的3 倍，求点P 的坐标．
(3)若点E 在x 轴的负半轴上，是否存在以点E，C，D 为顶点构成的三角形与
相似？若存在，求出
点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)双曲线的解析式为
，直线
的解析式为
；
(2)
(3)
或
【分析】（1）过点A 作AE⊥x 轴于点E，先根据
和点A 的横坐标为
求出点A 的坐标，再利用
待定系数法求解析式即可；
（2）根据题意先得出OC、OD 和点B 的坐标，再根据
的面积是
的面积的3 倍得出等式，即
可求出P 点坐标；
（3）由（2）得
，根据等边对等角得到
，再由等角的补角相等得到
，故以点E，C，D 为顶点构成的三角形与
相似有两种情况，分类讨论求解即可．
【详解】（1）如图，过点A 作AF⊥x 轴于点F
且点A 的横坐标为
双曲线
过A 点
解得
双曲线的解析式为
将
，
代入直线
得
解得
直线
的解析式为：
（2）如图，连接OB、PO、PC
当
时，
点B 的纵坐标为
的面积是
的面积的3 倍
即
解得
即
（3）由（2）得
，
，
，
与
相似有两种情况讨论如下：
①
即
②
即
综上，点E 的坐标为
或
．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数与几何图形的综合应用，涉及待定系数法求函数的解析式、相似
三角形的判定与性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．
