文档文本内容
2019 年河南省信阳市淮滨县中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3 分，共30 分）
1．﹣5 的相反数是（ ）
A．
B．5
C．﹣
D．﹣5
2．生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032 用科学记数法表示正确的
是（ ）
A．3.2×107
B．3.2×108
C．3.2×10﹣7
D．3.2×10﹣8
3．如图是按1：10 的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）
A．200 cm2
B．600 cm2
C．100πcm2
D．200πcm2
4．为了响应学校“书香校园”建设，阳光班的同学们积极捐书，其中宏志学习小组的同学捐书册数
分别是：5，7，x，3，4，6．已知他们平均每人捐5 本，则这组数据的众数、中位数和方差分别是
（ ）
A．5，5，
B．5，5，10
C．6，5.5，
D．5，5，
5．下列二次根式中，与
是同类二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A 在反比例函数y＝
的图象上．若点B
在反比例函数y＝
的图象上，则k 的值为（ ）
A．﹣4
B．4
C．﹣2
D．2
7．若关于x 的一元一次不等式组
的解集是x＜5，则m 的取值范围是（ ）
A．m≥5
B．m＞5
C．m≤5
D．m＜5
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y＝
x 的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣
）x+c＝0
（a≠0）的两根之和（ ）
A．小于0
B．等于0
C．大于0
D．不能确定
9．如图．在直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩
形沿对角线AC 翻折，B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E．那么点D 的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，已知A，B 是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x 轴，交y 轴于点C，动点P
从坐标原点O 出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P 作PM⊥x
轴，垂足为M．设三角形OMP 的面积为S，P 点运动时间为t，则S 关于t 的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题3 分，共15 分）
11．计算
的结果是 ．
12．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE 的度数是 ．
13．三名运动员参加定点投篮比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场．
由于某种原因，要求这三名运动员用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个运动员的出场顺
序都发生变化的概率为 ．
14．如图，AC 是半圆O 的一条弦，以弦AC 为折线将弧AC 折叠后过圆心O，⊙O 的半径为2，则圆中
阴影部分的面积为 ．
15．如图，在R△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点M 为边AC 的中点，点N 为边BC 上任意一
点，若点C 关于直线MN 的对称点C′恰好落在△ABC 的中位线上，则CN 的长为 ．
三、解答题（共75 分）
16．先化简，再求值：（a+1﹣
）÷（
﹣
），其中a＝2+
．
17．如图，⊙O 的直径AB＝4，点C 为⊙O 上的一个动点，连接OC，过点A 作⊙O 的切线，与BC 的延
长线交于点D，点E 为AD 的中点，连接CE．
（1）求证：CE 是⊙O 的切线；
（2）填空：①当CE＝ 时，四边形AOCE 为正方形；
②当CE＝ 时，△CDE 为等边三角形．
18．家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市
民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调査．
（1）下列选取样本的方法最合理的一种是 ．（只需填上正确答案的序号）
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；
③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
（2）本次抽样调査发现，接受调査的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：
①m＝ ，n＝ ；
②补全条形统计图；
③根据调査数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是什么？
④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有180 万户家庭，请估计大约有多少户家庭
处理过期药品的方式是送回收点．
19．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小
强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°
（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G，E 在同一直线上）．（cos80°≈0.018，
sin80°≈0.98，
≈1.414）
（1）此时小强头部E 点与地面DK 相距多少？
（2）小强希望他的头部E 恰好在洗漱盆AB 的中点O 的正上方，他应向前或后退多少？
20．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，菱形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点C 的
坐标为（1，
）．
（1）求图象过点B 的反比例函数的解析式；
（2）求图象过点A，B 的一次函数的解析式；
（3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变
量x 的取值范围．
21．某物流公司承接A、B 两种货物运输业务，已知5 月份A 货物运费单价为50 元/吨，B 货物运费单
价为30 元/吨，共收取运费9500 元；6 月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A 货物70 元/吨，B 货
物40 元/吨；该物流公司6 月承接的A 种货物和B 种数量与5 月份相同，6 月份共收取运费13000
元．
（1）该物流公司5 月份运输两种货物各多少吨？
（2）该物流公司预计7 月份运输这两种货物330 吨，且A 货物的数量不大于B 货物的2 倍，在运费
单价与6 月份相同的情况下，该物流公司7 月份最多将收到多少运输费？
22．如图1，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E 分别在边AB，AC 上，AD＝AE，连接DC，点
M，P，N 分别为DE，DC，BC 的中点．
（1）观察猜想：
图1 中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：
把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2 的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN 的形状，
并说明理由；
（3）拓展延伸：
把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN 面积的最大
值．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c 过A，B，C 三点，点A 的坐标是（3，0），点C
的坐标是（0，﹣3），动点P 在抛物线上．
（1）b＝ ，c＝ ，点B 的坐标为 ；（直接填写结果）
（2）是否存在点P，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点
P 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P 作PE 垂直y 轴于点E，交直线AC 于点D，过点D 作x 轴的垂线．垂足为F，连接EF，
当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．
2019 年河南省信阳市淮滨县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3 分，共30 分）
1．【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣5 的相反数是5，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的
相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混
淆．
2．【分析】绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记
数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所
决定．
【解答】解：0.00000032＝3.2×10﹣7；
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左
边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定．
3．【分析】首先判断出该几何体，然后计算其面积即可．
【解答】解：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为2，底面直径为1，
侧面积为：πdh＝2×π＝2π，
∵是按1：10 的比例画出的一个几何体的三视图，
∴原几何体的侧面积＝100×2π＝200π，
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体及圆柱的计算，解题的关键是首先判断出该几何体．
4．【分析】根据平均数，可得x 的值，根据众数的定义、中位数的定义、方差的定义，可得答案．
【解答】解：由5，7，x，3，4，6．已知他们平均每人捐5 本，得
x＝5．
众数是5，中位数是5，
方差
＝
，
故选：D．
【点评】本题考查了方差，利用方差的公式计算是解题关键．
5．【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．
【解答】解：A、
＝3
，与
不是同类二次根式，故此选项错误；
B、
＝
，与
，是同类二次根式，故此选项正确；
C、
＝2
，与
不是同类二次根式，故此选项错误；
D、
＝
＝
，与
不是同类二次根式，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．
6．【分析】要求函数的解析式只要求出B 点的坐标就可以，过点A，B 作AC⊥x 轴，BD⊥x 轴，分别于
C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：
＝
＝
＝2，然后用待定系数法即可．
【解答】解：过点A，B 作AC⊥x 轴，BD⊥x 轴，分别于C，D．
设点A 的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠DBO+∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∵∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA，
∴
＝
＝
，
∵OB＝2OA，
∴BD＝2m，OD＝2n，
因为点A 在反比例函数y＝
的图象上，则mn＝1，
∵点B 在反比例函数y＝
的图象上，B 点的坐标是（﹣2n，2m），
∴k＝﹣2n•2m＝﹣4mn＝﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式
的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数
的解析式．
7．
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解
了即可确定m 的范围．
【解答】解：解不等式2x﹣1＞3（x﹣2），得：x＜5，
∵不等式组的解集为x＜5，
∴m≥5，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．【分析】设ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，设方程ax2+
（b﹣
）x+c＝0（a≠0）的两根为m，n 再根据根与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：设ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，
∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，
∴﹣
＞0．
设方程ax2+（b﹣
）x+c＝0（a≠0）的两根为m，n，则m+n＝﹣
＝﹣
+
，
∵a＞0，
∴
＞0，
∴m+n＞0．
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，熟知抛物线与x 轴的交点与一元二次方程根的关系是
解答此题的关键．
9．【分析】如图，过D 作DF⊥AF 于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性
质得到OE＝DE，OA＝CD＝1，设OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，利用勾股定理即可求出OE 的长
度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝3，接着利用相似三角形的性质即可求
出DF、AF 的长度，也就求出了D 的坐标．
【解答】解：如图，过D 作DF⊥AF 于F，
∵点B 的坐标为（1，3），
∴AO＝1，AB＝3，
根据折叠可知：CD＝OA，
而∠D＝∠AOE＝90°，∠DEC＝∠AEO，
∴△CDE≌△AOE，
∴OE＝DE，OA＝CD＝1，
设OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，
∴在Rt△DCE 中，CE2＝DE2+CD2，
∴（3﹣x）2＝x2+12，
∴x＝
，
又DF⊥AF，
∴DF∥EO，
∴△AEO∽△ADF，
而AD＝AB＝3，
∴AE＝CE＝3﹣
＝
，
∴
，
即
，
∴DF＝
，AF＝
，
∴OF＝
﹣1＝
，
∴D 的坐标为（﹣
，
）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的
隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．
10．【分析】结合点P 的运动，将点P 的运动路线分成O→A、A→B、B→C 三段位置来进行分析三角形
OMP 面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．
【解答】解：设∠AOM＝α，点P 运动的速度为a，
当点P 从点O 运动到点A 的过程中，S＝
＝
a2•cosα•sinα•t2，
由于α 及a 均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S 随着t 的增大而增大；
当点P 从A 运动到B 时，由反比例函数性质可知△OPM 的面积为
k，保持不变，
故本段图象应为与横轴平行的线段；
当点P 从B 运动到C 过程中，OM 的长在减少，△OPM 的高与在B 点时相同，
故本段图象应该为一段下降的线段；
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象性质、锐角三角函数性质，解题的关键是明确点P 在O→A、
A→B、B→C 三段位置时三角形OMP 的面积计算方式．
二、填空题（每小题3 分，共15 分）
11．【分析】首先化简
，然后根据实数的运算法则计算．
【解答】解：
＝2
﹣
＝
．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查算术平方根的开方及平方根的运算，属于基础题．
12．【分析】求出∠ABD，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAE＝∠ABD，然后根据∠CAE＝
∠BAC+∠BAE 代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵∠DBC＝20°，
∴∠ABD＝60°﹣∠DBC＝60°﹣20°＝40°，
∵BD∥AE，
∴∠BAE＝∠ABD＝40°，
∴∠CAE＝∠BAC+∠BAE＝30°+40°＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，熟记性质以及三角板的度数是解题的关键．
13．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽签后每个运动员的
出场顺序都发生变化的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6 种等可能的结果，抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化有2 种情况，
∴抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率＝
，
故答案为：
．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之
比．
14．【分析】过点O 作OE⊥AC，交AC 于D，连接OC，BC，证明弓形OC 的面积＝弓形BC 的面积，这
样图中阴影部分的面积＝△OBC 的面积．
【解答】解：过点O 作OE⊥AC，交AC 于D，连接OC，BC，
∵OD＝DE＝
OE＝
OA，
∴∠A＝30°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，
∵OB＝OC＝2，
∴△OBC 是等边三角形，
∴OC＝BC，
∴弓形OC 面积＝弓形BC 面积，
∴阴影部分面积＝S△OBC＝
×2×
＝
．
故答案为：
【点评】本题考查了折叠问题、扇形的面积．解决本题的关键是把阴影部分的面积转化为△OBC 的
面积．
15．【分析】取BC、AB 的中点H、G，理解MH、HG、MG．分三种情形：①如图1 中，当点C′落在MH
上时；②如图2 中，当点C′落在GH 上时；③如图3 中，当点C′落在直线GM 上时，分别求解即
可解决问题；
【解答】解：取BC、AB 的中点H、G，理解MH、HG、MG．
如图1 中，当点C′落在MH 上时，设NC＝NC′＝x，
由题意可知：MC＝MC′＝2，MH＝
，HC′＝
，HN＝
﹣x，
在Rt△HNC 中，∵HN2＝HC′2+NC′2，
∴（
﹣x）2＝x2+（
）2，
解得x＝
．
如图2 中，当点C′落在GH 上时，设NC＝NC′＝x，
在Rt△GMC′中，MG＝CH＝
，MC＝MC′＝2，
∴GC′＝
，
∵△HNC′∽△GC′M，
∴
＝
，
∴
＝
，
∴x＝
．
如图3 中，当点C′落在直线GM 上时，易证四边形MCNC′是正方形，可得CN＝CM＝2．
此时点C′在中位线GM 的延长线上，不符合题意舍弃．
综上所述，满足条件的线段CN 的长为
或
．
故答案为为
或
．
【点评】本题考查轴对称、三角形的中位线、勾股定理、相似三角形的判定和性质、正方形的判定和
性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的扇形思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共75 分）
16．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得
到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝
÷
＝
•
＝a（a﹣2）＝a2﹣2a，
当a＝2+
时，原式＝7+4
﹣4﹣2
＝3﹣2
．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．【分析】（1）连接AC、OE，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据斜边上的中线性质得到EA＝
EC，则可证明△OCE≌△OAE，得到∠OCE＝∠OAE＝90°，于是可根据切线的判定定理得到CE
是⊙O 的切线；
（2）①由C 为边BD 的中点，而E 为AD 的中点，则CE 为△BAD 的中位线，得到CE∥AB，CE＝
AB＝OA，则可先判定四边形OAEC 为平行四边形，加上∠OAE＝90°，OA＝OC，于是可判断四边
形OCEA 是正方形，易得CE＝OA＝2；
②连接AC，根据等边三角形的性质得∠D＝60°，∠ABD＝30°，在Rt△ABC 中，利用含30 度的直
角三角形三边的关系得AC＝
AB＝2，然后在Rt△ACD 中，利用∠D 的正切函数可计算出CD，即
可得出CE 的长．
【解答】（1）证明：连接AC、OE，如图（1），
∵AB 为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴△ACD 为直角三角形，
又∵E 为AD 的中点，
∴EA＝EC，
在△OCE 和△OAE 中，
，
∴△OCE≌△OAE（SSS），
∴∠OCE＝∠OAE＝90°，
∴CE⊥OC，
∴CE 是⊙O 的切线；
（2）解：①C 在线段BD 的中点时，四边形AOCE 为正方形．理由如下：
当C 为边BD 的中点，而E 为AD 的中点，
∴CE 为△BAD 的中位线，
∴CE∥AB，CE＝
AB＝OA，
∴四边形OAEC 为平行四边形，
∵∠OAE＝90°，
∴平行四边形OCEA 是矩形，
又∵OA＝OC，
∴矩形OCEA 是正方形，
∴CE＝OA＝2，
故答案为：2；
②连接AC，如图（2），
∵△CDE 为等边三角形，
∴∠D＝60°，∠ABD＝30°，CE＝CD，
在Rt△ABC 中，AC＝
AB＝2，
在Rt△ACD 中，∵tan∠D＝
，
∴CD＝
＝
＝
，
∴CE＝
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了圆的综合题：考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、切线的判定定理、
平行四边形的判定、正方形的判定、等边三角形的性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定
难度．
18．【分析】（1）根据抽样调查时选取的样本需具有代表性即可求解；
（2）①首先根据A 类有80 户，占8%，求出抽样调査的家庭总户数，再用D 类户数除以总户数求出
m，用E 类户数除以总户数求出n；
②用总户数分别减去A、B、D、E、F 类户数，得到C 类户数，即可补全条形统计图；
③根据调査数据，即可知道该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是B 类；
④用180 万户乘以样本中送回收点的户数所占百分比即可．
【解答】解：（1）根据抽样调查时选取的样本需具有代表性，可知下列选取样本的方法最合理的一
种是③．
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；
③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
（2）①抽样调査的家庭总户数为：80÷8%＝1000（户），
m%＝
＝20%，m＝20，
n%＝
＝6%，n＝6．
故答案为20，6；
②C 类户数为：1000﹣（80+510+200+60+50）＝100，
条形统计图补充如下：
③根据调査数据，即可知道该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是B 类；
④180×10%＝18（万户）．
若该市有180 万户家庭，估计大约有18 万户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到
必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反
映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体以及抽样调查的可靠性．
19．【分析】（1）过点F 作FN⊥DK 于N，过点E 作EM⊥FN 于M．求出MF、FN 的值即可解决问题；
（2）求出OH、PH 的值即可判断；
【解答】解：（1）过点F 作FN⊥DK 于N，过点E 作EM⊥FN 于M．
∵EF+FG＝166，FG＝100，
∴EF＝66，
∵∠FGK＝80°，
∴FN＝100•sin80°≈98，
∵∠EFG＝125°，
∴∠EFM＝180°﹣125°﹣10°＝45°，
∴FM＝66•cos45°＝33
≈46.53，
∴MN＝FN+FM≈144.5，
∴此时小强头部E 点与地面DK 相距约为144.5cm．
（2）过点E 作EP⊥AB 于点P，延长OB 交MN 于H．
∵AB＝48，O 为AB 中点，
∴AO＝BO＝24，
∵EM＝66•sin45°≈46.53，
∴PH≈46.53，
∵GN＝100•cos80°≈17，CG＝15，
∴OH＝24+15+17＝56，OP＝OH﹣PH＝56﹣46.53＝9.47≈9.5，
∴他应向前9.5cm．
【点评】本题考查直角三角形的应用，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．【分析】（1）由C 的坐标求出菱形的边长，利用平移规律确定出B 的坐标，利用待定系数法求出反
比例函数解析式即可；
（2）由菱形的边长确定出A 坐标，利用待定系数法求出直线AB 解析式即可；
（3）联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标，由图象确定出满足题意x 的范围即可．
【解答】解：（1）由C 的坐标为（1，
），得到OC＝2，
∵菱形OABC，
∴BC＝OC＝OA＝2，BC∥x 轴，
∴B（3，
），
设反比例函数解析式为y＝
，
把B 坐标代入得：k＝3
，
则反比例解析式为y＝
；
（2）设直线AB 解析式为y＝mx+n，
把A（2，0），B（3，
）代入得：
，
解得：
，
则直线AB 解析式为y＝
x﹣2
；
（3）联立得：
，
解得：
或
，即一次函数与反比例函数交点坐标为（3，
）或（﹣1，﹣3
），
则在第一象限内，当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，自变量x 的取值范围为2＜x＜
3．
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的
性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21．
【分析】
（1）设A 种货物运输了x 吨，设B 种货物运输了y 吨，根据题意可得到一个关于x 的不等式
组，解方程组求解即可；
（2）运费可以表示为x 的函数，根据函数的性质，即可求解．
【解答】解：（1）设A 种货物运输了x 吨，设B 种货物运输了y 吨，
依题意得：
，
解之得：
．
答：物流公司月运输A 种货物100 吨，B 种货物150 吨．
（2）设A 种货物为a 吨，则B 种货物为（330﹣a）吨，
依题意得：a≤（330﹣a）×2，
解得：a≤220，
设获得的利润为W 元，则W＝70a+40（330﹣a）＝30a+13200，
根据一次函数的性质，可知W 随着a 的增大而增大
当W 取最大值时a＝220，
即W＝19800 元．
所以该物流公司7 月份最多将收到19800 元运输费．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式组以及一次函数性质的应用，将现实生
活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出方程组和不等式即可求解．
22．【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM＝
CE，PN＝
BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结
论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE 得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝
BD，PN＝
BD，即可得出
PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论；
（3）方法1：先判断出MN 最大时，△PMN 的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN 最大＝
AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，△PMN 的面积最大，而BD
最大是AB+AD＝14，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点P，N 是BC，CD 的中点，
∴PN∥BD，PN＝
BD，
∵点P，M 是CD，DE 的中点，
∴PM∥CE，PM＝
CE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；
（2）△PMN 是等腰直角三角形．
由旋转知，∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
利用三角形的中位线得，PN＝
BD，PM＝
CE，
∴PM＝PN，
∴△PMN 是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC＝∠DBC，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC
＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC
＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN 是等腰直角三角形；
（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，△PMN 是等腰直角三角形，
∴MN 最大时，△PMN 的面积最大，
∴DE∥BC 且DE 在顶点A 上面，
∴MN 最大＝AM+AN，
连接AM，AN，
在△ADE 中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，
∴AM＝2
，
在Rt△ABC 中，AB＝AC＝10，AN＝5
，
∴MN 最大＝2
+5
＝7
，
∴S△PMN 最大＝
PM2＝
×
MN2＝
×（7
）2＝
．
方法2：由（2）知，△PMN 是等腰直角三角形，PM＝PN＝
BD，
∴PM 最大时，△PMN 面积最大，
∴点D 在BA 的延长线上，
∴BD＝AB+AD＝14，
∴PM＝7，
∴S△PMN 最大＝
PM2＝
×72＝
．
【点评】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性
质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出PM＝
CE，
PN＝
BD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出MN 最大时，△PMN 的
面积最大．
23．【分析】（1）将点A 和点C 的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c 的值，然后令y＝0 可求得点B
的坐标；
（2）分别过点C 和点A 作AC 的垂线，将抛物线与P1，P2两点先求得AC 的解析式，然后可求得P1C
和P2A 的解析式，最后再求得P1C 和P2A 与抛物线的交点坐标即可；
（3）连接OD．先证明四边形OEDF 为矩形，从而得到OD＝EF，然后根据垂线段最短可求得点D
的纵坐标，从而得到点P 的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点P 的坐标．
【解答】解：（1）∵将点A 和点C 的坐标代入抛物线的解析式得：
，解得：b＝﹣2，c＝﹣
3．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
∵令x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3．
∴点B 的坐标为（﹣1，0）．
故答案为：﹣2；﹣3；（﹣1，0）．
（2）存在．
理由：如图所示：
①当∠ACP1＝90°．
由（1）可知点A 的坐标为（3，0）．
设AC 的解析式为y＝kx﹣3．
∵将点A 的坐标代入得3k﹣3＝0，解得k＝1，
∴直线AC 的解析式为y＝x﹣3．
∴直线CP1的解析式为y＝﹣x﹣3．
∵将y＝﹣x﹣3 与y＝x2﹣2x﹣3 联立解得x1＝1，x2＝0（舍去），
∴点P1的坐标为（1，﹣4）．
②当∠P2AC＝90°时．
设AP2的解析式为y＝﹣x+b．
∵将x＝3，y＝0 代入得：﹣3+b＝0，解得b＝3．
∴直线AP2的解析式为y＝﹣x+3．
∵将y＝﹣x+3 与y＝x2﹣2x﹣3 联立解得x1＝﹣2，x2＝3（舍去），
∴点P2的坐标为（﹣2，5）．
综上所述，P 的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）．
（3）如图2 所示：连接OD．
由题意可知，四边形OFDE 是矩形，则OD＝EF．
根据垂线段最短，可得当OD⊥AC 时，OD 最短，即EF 最短．
由（1）可知，在Rt△AOC 中，
∵OC＝OA＝3，OD⊥AC，
∴D 是AC 的中点．
又∵DF∥OC，
∴
．
∴点P 的纵坐标是
．
∴
，解得：
．
∴当EF 最短时，点P 的坐标是：（
，
）或（
，
）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二
次函数的解析式、矩形的性质、垂线的性质，求得P1C 和P2A 的解析式是解答问题（2）的关键，求
得点P 的纵坐标是解答问题（3）的关键．
