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第一章 勾股定理压轴题考点训练
评卷人
得分
一、单选题
1．在△ABC 中，AB＝13 cm，AC＝20 cm，BC 边上的高为12 cm，则△ABC 的面积是
A．126 cm2 或66 cm2
B．66 cm2
C．120 cm2
D．
126cm2
【答案】A
【分析】此题分两种情况：∠B 为锐角或∠B 为钝角已知AB、AC 的值，利用勾股定理即
可求出BC 的长，利用三角形的面积公式得结果．
【详解】当∠B 为锐角时（如图1），
在Rt△ABD 中，
cm，
在Rt△ADC 中，
cm，
∴BC=21，
∴S△ABC=
BC•AD=
×21×12=126cm2；
当∠B 为钝角时（如图2），
在Rt△ABD 中，
cm，
在Rt△ADC 中，
cm，
∴BC=CD-BD=16-5=11cm，
∴S△ABC=
BC•AD=
×11×12=66cm2；
故答案为：126 或66．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式，画出图形，分类讨论是解答此题
的关键．
2．如图所示，在
中，
，
，
.分别以
，
，
为直
径作半圆（以
为直径的半圆恰好经过点
，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4
B．5
C．7
D．6
【答案】D
【分析】先利用勾股定理计算BC 的长度，然后阴影部分的面积=以AB 为直径的半圆面积
+以BC 为直径的半圆面积+
-以AC 为直径的半圆面积.
【详解】解：在
中
∵
，
,
∴
,
∴BC=3,
∴阴影部分的面积=以AB 为直径的半圆面积+以BC 为直径的半圆面积+
-以AC 为直
径的半圆面积
=6.故选D.
【点睛】本题考查扇形面积的计算和勾股定理.在本题中解题关键是用重叠法去表示阴影部
分的面积.
3．刘徽是我国三国时期杰出的数学大师，他的一生是为数学刻苦探究的一生，在数学理论
上的贡献与成就十分突出，被称为“中国数学史上的牛顿”．刘徽精编了九个测量问题，
都是利用测量的方法来计算高、深、广、远问题的，这本著作是（ ）．
A．《周髀算经》B．《九章算术》
C．《孙子算经》
D．《海岛算经》
【答案】D
【分析】运用《九章算术注》相关知识即可直接解答．
【详解】解：由于《九章算术注》是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，该书第一
卷的第一个问题是求海岛上的山峰的高度，故本书的名称是《海岛算经》．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了数学常识，了解一定的数学史以及数学著作是解答本题的关键．
4．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，
以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继
续下去，则S2016的值为（ ）
A．（
）
2013
B．（
）
2014
C．（
）
2013
D．（
）
2014
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分Sn的值，根据数的变化找
出变化规律“Sn=(
)n−3”，依此规律即可得出结论．
【详解】解：在图中标上字母E，如图所示．
∵正方形ABCD 的边长为2，△CDE 为等腰直角三角形，
∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，
∴S2+S2=S1．
观察，发现规律：S1=22=4，S2=
S1=2，S3=
S2=1，S4=
S3=
，…，
∴Sn=(
)n−3．
当n=2016 时，S2016=(
)2016−3=(
)2013．
故选C．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题
的关键是找出规律“Sn=(
)n−3”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部
分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．
5．如图，是一长、宽都是3 cm，高BC＝9 cm 的长方体纸箱，BC 上有一点P，PC＝
BC，一只蚂蚁从点A 出发沿纸箱表面爬行到点P 的最短距离是( )
A．6
cm
B．3
cm
C．10 cm
D．12 cm
【答案】A
【分析】将图形展开，可得到安排AP 较短的展法两种，通过计算，得到较短的即可．
【详解】解：(1)如图1，AD=3cm，DP=3+6=9cm，
在Rt△ADP 中，AP=
＝3
cm
((2)如图2， AC=6cm，CP=6cm，Rt△ADP 中，AP=
=
cm
综上，蚂蚁从点A 出发沿纸箱表面爬行到点P 的最短距离是
cm．
故选A．
【点睛】题考查了平面展开--最短路径问题，熟悉平面展开图是解题的关键．
6．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦
图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形
ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，则下列
关于S1、S2、S3的说法正确的是（ ）
A．S1＝2
B．S2＝3
C．S3＝6
D．S1+S3＝8
【答案】D
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT 是正方形，得出
，
，再根据三个正方形面积公式列式相加：
，求出
的值，从而可以计算结论即可．
【详解】解：
八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT 是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角
形的性质，根据已知得出
是解决问题的关键．
7．如图，四个全等的直角三角形围成一个正方形ABCD 和正方形EFGH，即赵爽弦图，连
接AC，FN 交EF，GH 分别于点M，N 已知AH=3DH，且S 正方形ABCD
，则图中阴影部
分的面积之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理求出DH 和AH，根据全等三角形的性质可得AE=DH=CG=
，
CG：FG=AE：EH=1:2，根据全等三角形的判定可证
AEM≌
CGN，
AHN≌
CFM，
从而得出S△AEM= S△CGN，S△AHN = S△CFM，即可求出S 四边形MFGN，最后根据S 阴影=S△MNF＋S△AEM
＋S△CGN即可求出结论．
【详解】解：∵AH=3DH，且S 正方形ABCD
，
∴AH2＋DH2=AD2=21
即（3DH）
2＋DH2=21
解得：DH=
，
∴AH=
由全等三角形的性质可得AE=DH=CG=
，CG：FG=AE：EH=1:2
∴正方形EFGH 的边长EH=AH－AE=
，S△FGN=2S△CGN
∵AH∥CF，∴∠HEN=∠FCM
∵∠AEM=∠CGN=90°，AE=CG，∠AHN=∠CFM=90°，AH=CF
∴
AEM≌
CGN，
AHN≌
CFM，∴S△AEM= S△CGN，S△AHN = S△CFM
∴S 四边形MFGN= S△CFM－S△CGN= S△AHN－S△AEM=S 四边形EMNH=
S 正方形EFGH=
×
=
∵S△FGN=2S△CGN，∴S 阴影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN= S△MNF＋2S△CGN= S△MNF＋S△FGN= S 四边形MFGN=
故选B．
【点睛】此题考查的是勾股定理和全等三角形的判定及性质，掌握勾股定理、全等三角形
的判定及性质和各图形的面积公式是解决此题的关键．
8．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我
国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图
2），连接
，并延长
交
于点K，连接
．若
，则
的
长为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】过点K 作
，与
的延长线交于点M，由图形关系求得
，再求得
，
，求得
与
，
进而由勾股定理求得结果．
【详解】解：过点K 作
，与
的延长线交于点M，
∵
，
，
∴
，
∵
是正方形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
中，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，关键是构造直角三角形．
9．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离
为
米，顶端距离地面
米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距
离地面
米，则小巷的宽度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度．
【详解】解：如图，由题意可得：
AD2=0.72+2.42=6.25，
在Rt△ABC 中，∵∠ABC=90°，BC=1.5 米，BC2+AB2=AC2，AD=AC，
∴AB2+1.52=6.25，∴AB=±2，
∵AB＞0，∴AB=2 米，∴小巷的宽度为：0.7+2=2.7（米）．故选：D.
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程
的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准
确的示意图．
10．如图，正方形ABCO 和正方形DEFO 的顶点A，O，E 在同一直线l 上，且EF＝
，
AB＝3，下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD＝
；④△COF 的面积是
．
其中正确的结论为（ ）
A．①②④
B．①④
C．②③
D．①③④
【答案】A
【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求得∠COD；
②根据正方形的性质求得OE 的长，再根据线段的和差解得AE 的长；
③作
于H，作
交CO 的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可
求FG 的长，根据勾股定理可求得CF，BD 的长，据此解答；
④根据三角形面积公式即可解答．
【详解】解：①
故①正确；
②
故②正确；
③作
于H，作
交CO 的延长线于G，则FG=1
故③错误；
④
，
故④正确，
即正确的结论为：①②④
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质、含45°的直角三角形的性质、三角形面积、勾股定理、
平角的定义等知识，综合性较强，掌握相关知识是解题关键．
评卷人
得分
二、填空题
11．如图，矩形ABCD 中，AD＝6，AB＝8．点E 为边DC 上的一个动点，△AD'E 与
△ADE 关于直线AE 对称，当△CD'E 为直角三角形时，DE 的长为 ．
【答案】3 或6
【分析】分两种情况分别求解，（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），根据轴对称的性质
得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝6；
（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE
＝D′E，得A、D′、C 在同一直线上，根据勾股定理得AC＝10，设DE＝D′E＝x，则EC＝
CD−DE＝8−x，根据勾股定理得，D′E2＋D′C2＝EC2，代入相关的值，计算即可．
【详解】解：当∠CED′＝90°时，如图（1），
∵∠CED′＝90°，
根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝
×90°＝45°，
∵∠D＝90°，
∴△ADE 是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝6；
（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），
根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，△CD′E 为直角三角形，
即∠CD′E＝90°，
∴∠AD′E＋∠CD′E＝180°，
∴A、D′、C 在同一直线上，
根据勾股定理得
，
∴CD′＝10−6＝4，
设DE＝D′E＝x，则EC＝CD−DE＝8−x，
在Rt△D′EC 中，D′E2＋D′C2＝EC2，
即x2＋16＝(8−x)2，
解得x＝3，
即DE＝3；
综上所述：DE 的长为3 或6；
故答案为：3 或6．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股
定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，作出图形是解题关键．
12．折纸飞机是我们儿时快乐的回忆，现有一张长为290mm，宽为200mm 的白纸，如图
所示，以下面几个步骤折出纸飞机：（说明：第一步：白纸沿着EF 折叠，AB 边的对应边
A′B′与边CD 平行，将它们的距离记为x；第二步：将EM，MF 分别沿着MH，MG 折叠，
使EM 与MF 重合，从而获得边HG 与A′B′的距离也为x），则PD= mm．
【答案】
【分析】延长ME′交CD 于T，在TM 上截取TW=TP，设DP=m．构建方程可求得x=30，
TW=TP 可知∠PWT=45°，∠PMW=22.5°，进而∠WMP=∠WPM=22.5°，可求得MW=PW=
（100-m）可构建方程
（100-m）+100-m=16，解得m=（260-160
）mm，即可解
决问题．
【详解】解：延长ME′交CD 于T，在TM 上截取TW=TP，设DP=m．
由题意MW=WM=100，MT=160
3x=290-200
x=30
∵TW=TP
∴∠PWT=45°
∵∠PWT=∠PMT+∠MPW，∠PMW=22.5°
∴∠WMP=∠WPM=22.5°
∴MW=PW=
（100-m）
∴
（100-m）+100-m=160
解得m=（260-160
）mm
∴PD=（260-160
）mm
故答案为260-160
【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会
利用参数构建方程解决问题，属于中考创新题型．
13．如图，点
在直线
上，
，
．
为射线
上的动点，连接
，
将线段
绕点
逆时针旋转
至
，以
为斜边作等腰
．若点
在直线
上，则
的长是 ．
【答案】5 或
【分析】本题按照题意合理画图，尽可能想到各种情况，然后根据等腰直角三角形的性质
以及以此构造全等三角形，结合正切函数的概念，即可求解．
【详解】分两种情况：
第一种情况：如图，延长
交
于
，
∵
是等腰直角三角形，
∴
．
又
，
∴
．由已知
，且点C、点A、点
在同一条直线上，
∴A 与
是同一点（或重合）．
又∵
，且
为直角三角形．
∴
，又由
得，
，
解得：
．
第二种情况：如下图，分别自C、D 作
的垂线，垂足为点O、点F，过D 作
延长线
的垂线，与
的延长线交于点N．设
与
交于R．
∵
，
∴
，
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
．
同理可证，
，则
．
由
得四边形
是矩形，
∴
．
由
、
为直角三角形，可得
．
设
，则
．
由于
为等腰直角三角形，且
，设
，
则
．
在直角
与直角
中，由勾股定理得：
，
即：
，
消去x，得
，
即
．
考虑到a 为正值，两边开方得，
，
∴
．
∴
，
故答案为：5 或
．
【点睛】本题考查旋转的相关知识点，涉及等腰直角三角形性质、正切函数的计算等，利
用90°旋转的特点构造全等三角形是解题的关键．
14．如图，已知
中，
，D 是
的中点，
于点E；连接
，则
下列结论正确的是 ．(写出所有正确结论的序号)
①
； ②当E 为
中点时，
﹔
③若
，则
； ④若
，则
面积的最大值为2．
【答案】①②③④
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，三角形的外角的性质以及等角的余角相等即可
判断①正确；证得△ACD 是等边三角形，得出∠BAC=60°，解得BC=
AC，即可判断②
正确；证得△ADE≌△BDM 即可求得DE=DM，解直角三角形即可得到BE=2EM=4DE，即
可判断③正确；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的可得
，则
，则
面积的最大值为2，即可判断④正确．
【详解】解：△ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 的中点，
∴CD=BD=AD，
∴∠DCB=∠DBC，
∴∠ADC=2∠DCB，
∵AE⊥CD 于点E，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∵∠ACE+∠DCB=90°，
∴∠CAE=∠DCB，
∴∠ADC=2∠CAE，故①正确；
当E 为CD 中点时，∵AE⊥CD，
∴AC=AD，
∴△ACD 是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴BC=
AC，故②正确；
作BM⊥CD，交CD 的延长线于点M，则AE∥BM，
∴∠DAE=∠DBM，
∵∠ADE=∠BDM，AD=BD，
∴△ADE≌△BDM（AAS），
∴DE=DM，
若∠BED=60°，则BE=2EM=4DE，故③正确；
∵△ADE≌△BDM，
∴AE=BM，DE=DM，
∴S△ABE=S△BEM=
•BM•EM=
•AE•2DE=AE•DE，
若AB=4，则AD=2，
在Rt△ADE 中，AD2=AE2+DE2，
即
的最大值值为1，
∴△ABE 面积的最大值为2，故④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的性质，等边三角形的判断和性质，解直角三角形，
三角形的全等的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积，综合运用以上知识是解题
的关键．
15．如图，在四边形
中，
，
是
上一点，
，
，
．
【答案】
【分析】通过等腰直角三角形构建一线三等角模型求解即可．
【详解】
解：如图所示，分别过A、D 作
于E，
于F
∴
∴
,
∵
∴
∴
,
在
与
中
∴
∴
，
在
中，
∴
同理可得：
∴
故答案为：
．
【点睛】本题考查特殊的直角三角形，灵活运用一线三等角模型及特殊直角三角形三边关
系是解题的关键．
16．在一个长为2 米，宽为1 米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长
和场地宽AD 平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2 米的正方形，一只蚂蚁从点A 处，
到达C 处需要走的最短路程是 米．（精确到0.1 米）
【答案】2.6
【分析】将木块展开，根据两点之间线段最短及勾股定理即可求出答案．
【详解】如图，将木块展开，
可知蚂蚁从A 点到达C 点时，在横向上移动的距离为：
（米），
在纵向上移动的距离为：
（米），
由两点之间线段最短可知，从点A 处到达C 处需要走的最短路程为：
（米）．
故答案为：2.6
【点睛】本题考查两点间最短距离，需要想象着将木块展开再进行计算，对空间想象能力
要求较高，有一定难度．
17．如图，在
中，
，点E 是
的中点，动点P
从A 点出发以每秒
的速度沿A→C→B 运动，设点P 运动的时间是t 秒，那么当
，△APE 的面积等于12．
【答案】3 或18 或22
【分析】分当点P 在线段
上运动时，当点P 在线段
上运动且在点E 的右边时和当点
P 在线段
上运动且在点E 的左边时三种情况讨论，即可求出t 的值．
【详解】解：∵
，
，
，
∴
，
∵点E 是
的中点，
∴
，
．
当点P 在线段
上运动时，
∵
的面积等于12，即
，
∴
，
∴
秒；
当点P 在线段
运动时上且在点E 的右边时，，如图2 所示，
同理可知
，
∴
秒；
当点P 在线段
上运动且在点E 的左边时，如图3 所示，
同理可知
，
∴
秒；
故答案为∶3 或18 或22．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式的运用，勾股定理，以及中线的性质，分类讨论的
数学思想，解答时分类讨论是是关键．
18．如图，一个长方体纸箱，长是6，宽和高都是4，一只蚂蚁从顶点A 沿纸箱表面爬到顶
点B，它所走的最短路线的长是 ．
【答案】10
【分析】根据题意画出图形，求出AC、BC 的长，根据勾股定理求出AB 即可.
【详解】有两种情况，如图所示：
（1）如图1，由题意知AC=4，BC=6+4=10
由勾股定理得：
（2）如图2，由题意知：AC=4+4=8，BC=6
由勾股定理得：
（3）如图3，由题意知：AC=4+4=8，BC=6
由勾股定理得：
∵
∴最短是10
故答案为10
【点睛】本题考查利用勾股定理解决最短路径问题，画出平面展开图，分类讨论是解题关
键.
评卷人
得分
三、解答题
19．图1，图2 中的每个小正方形的边长都是1，
（1）在图1 中画出一个面积是2 的钝角三角形，并写出它的三边的长．
（2）在图2 中画出一个面积是5 的正方形，并写出它的边长．
【答案】（1）钝角三角形见解析；三边长分别为
；（2）正方形见解析；边长
为
【分析】（1）面积是2 的钝角三角形，底和高要是整数的话，应分别是1，4；
（2）面积是5 的正方形，边长则为
，应是直角边长为1,2 的直角三角形的斜边长.
【详解】（1）如图（1）即为所求，三边长分别为
（2）如图（2）即为所求，正方形的边长为
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键.
20．有一个如图所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深
AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G 处有一鱼饵，G 在水面线EF 上，且EG＝60 cm.一小虫
想从鱼缸外的点A 处沿缸壁爬到鱼缸内G 处吃鱼饵．
(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注；
(2)试求小虫爬行的最短路程．
【答案】(1)如图所示见解析，AQ→QG 为最短路线；(2)小虫爬行的最短路程为100 cm.
【分析】(1)根据轴对称性质,通过作对称点将折线转化成两点之间线段距离最短.
(2)根据AE＝40cm,AA′＝120cm,可得:A′E＝120－40＝80(cm),再根据EG＝60cm,可得:A′G2＝
A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,A′G＝100cm,进而可得:AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm.
【详解】(1)如图所示,AQ→QG 为最短路线,
(2)因为AE＝40cm,AA′＝120cm,所以A′E＝120－40＝80(cm),
因为EG＝60cm,所以A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,
所以A′G＝100cm,所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm,
所以小虫爬行的最短路程为100cm.
【点睛】本题主要对称性质和勾股定理的应用,解决本题的关键是要熟练掌握利用轴对称性
质和勾股定理解决实际问题的方法.
21．已知：
与
之间有一点
，点
在
上，点
在
上，连接
．
（1）如图1，求证：
；
（2）如图2，在
上点
的右边有点
，连接
，且
平分
，
在
的延长线上有点
，连接
，其中
，求
的度数；
（3）在（2）的条件下，如图3，
与
交于点
与
交于点
，连接
，
其中
，点
在
上，连接
，过点
作
于点
，延长
交
于点
，试求
的
面积．
【答案】（1）见解析；（2）70°；（3）
【分析】（1）根据平行线的判定和性质即可写出结论；
（2）过点E 作EJ//AB，证明∠GFC=∠GEJ=60°，得出∠FGN=∠GFC-∠GNC=60°-
25°=35°，由
平分∠MGF 得∠MGH=∠FGN=35°，故可得结论；
（3）由
可得出
，再证明△PGN 为等腰直角三角形，根据三角
形面积公式求解即可．
【详解】解：（1）证明：如图，
过点G 作GH∥AB，因为AB∥CD，所以GH∥CD，
所以∠AMG＝∠MGH，∠CFG＝∠FGH，
∴∠MGF═∠AMG+∠CFG
∴∠AMG、∠CFG 与∠MGF 之间的数量关系为∠G＝∠AMG+∠CFG．
（2）∵
，
而∠AMG+∠GME+∠EMB=180°，
∴∠GME=∠EMG
过点E 作EJ//AB，如图，
∴∠MEJ=∠EMB=∠GME
∵
∴∠MEG-∠E=60°=∠GEJ
∵EJ//AB，AB//CD，
∴EJ//CD
∴∠GFC=∠GEJ=60°
而∠GFC=∠FGN+∠GNC
∴∠FGN=∠GFC-∠GNC=60°-25°=35°
∵
平分∠MGF
∴∠MGH=∠FGN=35°
∴∠MGE=∠MGN+∠FGN=35°+35°=70°
（3）∵
，
又
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴△PGN 为等腰直角三角形，
∴
又∵
∴
∴
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理的应
用，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键．
22．在
和
中，
，
，
，点E 在
内
部，直线AD 与BE 交于点F．
(1)如图（1），当点D、F 重合时，则AF，BF，CF 之间的数量关系为______；
(2)如图（2），当点D、F 不重合时，证明（1）中的结论仍然成立；
(3)如图（3），在
和
中，
，
，
（k 是
常数），则线段AF，BF，CF 之间满足什么数量关系，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
，理由见解析
【分析】（1）先证得△ACD≌△BCE（SAS），得BE＝AD，∠EBC＝∠CAD，再证
△CDE 为等腰直角三角形，得DE＝EF＝
CF，即可得出结果；
（2）过点C 作CG⊥CF 交BF 于点G，证△BCG≌△ACF（ASA），得GC＝FC，BG＝
AF，则△GCF 为等腰直角三角形，GF＝
CF，即可得出结论；
（3）先证△BCE∽△ACD，得∠CAD＝∠CBE，过点C 作CG⊥CF 交BF 于点G，再证
△BGC∽△AFC，得BG＝kAF，GC＝kFC，然后由勾股定理求出GF＝
，即可
得出结论．
【详解】（1）解：∵∠ACD＋∠ACE＝90°，∠ACE＋∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵BC＝AC，EC＝DC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠EBC＝∠CAD，
∵点D、F 重合，
∴BE＝AD＝AF，
∵∠DCE＝90°，EC＝DC，
∴△CDE 为等腰直角三角形，
∴DE＝EF＝
CF，
∴BF＝BD＝BE＋ED＝AF＋
CF，
∴线段AF、BF、CF 之间的数量关系为：BF＝AF＋
CF；
（2）过点C 作
，交BF 于点G，如图所示，
∴
，
∴
即
，
由（1）得
，
∴
，
在
和
中，
∵
∴
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
．
（3）
，
理由如下：过点C 作
，交BF 于点G，如图所示，
由（2）得，∴
而
，
（k 是常数）
∴
，
∴
，
∴
，
由（2）
，
∴
∴
，
∴
，
在
中，
∵
，
∴
【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性
质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判
定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
23．已知△ABD 与△GDF 都是等腰直角三角形，BD 与DF 均为斜边（BD＜DF）．
（1）如图1，B，D，F 在同一直线上，过F 作MF⊥GF 于点F，取MF=AB，连结AM 交
BF 于点H，连结GA，GM．
①求证：AH=HM；
②请判断△GAM 的形状，并给予证明；
③请用等式表示线段AM，BD，DF 的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，GD⊥BD，连结BF，取BF 的中点H，连结AH 并延长交DF 于点M，请用
等式直接写出线段AM，BD，DF 的数量关系．
【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）AM2=BD2+DF2﹣
DF•BD．
【分析】（1）①易证∠ABD=∠HFM=45°，从而根据“AAS”可证△AHB≌△MHF，由全
等三角形的对应边相等可得AH=HM；
②根据“SAS”可证△GAD≌△GMF，从而AG=GM，∠AGD=∠MGF，进而可证
∠AGM=90°,所以△GAM 是等腰直角三角形；
③根据勾股定理即可得出线段AM，BD，DF 的数量关系；
（2）易证∠ADM=90°，根据“AAS”可证△ABH≌△HFM，从而FM=AB，然后根据
AM2=AD2+DM2整理即可.
【详解】（1）①证明：如图1，∵MF⊥GF，
∴∠GFM=90°，
∵△ABD 与△GDF 都是等腰直角三角形，
∴∠DFG=∠ABD=45°，
∴∠HFM=90°
45°=45°
﹣
，
∴∠ABD=∠HFM，
∵AB=MF，∠AHB=∠MHF，
∴△AHB≌△MHF，
∴AH=HM；
②如图1，△GAM 是等腰直角三角形，理由是：
∵△ABD 与△GDF 都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，DG=FG，
∠ADB=∠GDF=45°，
∴∠ADG=∠GFM=90°，
∵AB=FM，
∴AD=FM，
∴△GAD≌△GMF，
∴AG=GM，∠AGD=∠MGF，
∴∠ADG+∠DGM=∠MGF+∠DGM=90°，
∴△GAM 是等腰直角三角形；
③如图1，AM2=BD2+DF2，理由是：
∵△AGM 是等腰直角三角形，
∴AM2=2MG2，
Rt△GMF 中，MG2=FG2+FM2=AB2+FG2，
∵△ABD 与△GDF 都是等腰直角三角形，
∴AB=
，FG=
，
∴AM2=2MG2=2（
+
）=BD2+DF2；
（2）如图2，∵GD⊥BD，∠ADB=45°，
∴∠ADG=45°，
∴∠ADM=45°+45°=90°，
∵∠HMF=∠ADM+∠DAM=90°+∠DAM=∠BAH，
∵H 是BF 的中点，
∴BH=HF，
∵∠AHB=∠MHF，
∴△ABH≌△HFM，
∴FM=AB，
在Rt△ADM 中，由勾股定理得：AM2=AD2+DM2，
=AD2+（DF
FM
﹣
）
2，
=AD2+DF2
2DF•FM+FM
﹣
2，
=BD2+DF2
2DF
﹣
，
=BD2+DF2﹣
DF•BD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，
掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS 和HL）和全等三角形的性质（即
全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
24．如果一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，那么称这个三角形为“和谐三角
形”．
（1）请用直尺和圆规在图1 中画一个以线段AB 为一边的“和谐三角形”；
（2）如图2，在△ABC 中，∠C=90°，AB=
，BC=
，请你判断△ABC 是否是“和谐
三角形”？证明你的结论；
（3）如图3，已知正方形ABCD 的边长为1，动点M，N 从点A 同时出发，以相同速度分
别沿折线AB
BC
﹣
和AD
DC
﹣
向终点C 运动，记点M 经过的路程为S，当△AMN 为“和
谐三角形”时，求S 的值．
【答案】（1）作图见解析；
（2）△ABC 是“和谐三角形”，理由见解析；
（3）当△AMN 为“和谐三角形”时，S 的值为
或
.
【详解】解：（1）如图1，
作线段AB 的中点O，
②以点O 为圆心，AB 长为半径画圆，
③在圆O 上取一点C（点E、F 除外），连接AC、BC．
∴△ABC 是所求作的三角形．
（2）如图2，∠C=90°，AB=
,BC=
，CD=1，在Rt△BCD 中，
，∴中线BD=边AC,
∴△ABC 是“和谐三角形”；
（3）易知，点M 在AB 上时，△AMN 是等腰直角三角形，不可能是“和谐三角形”，
当M 在BC 上时，连接AC 交MN 于点E，
（Ⅰ）当底边MN 的中线AE=MN 时，如图，
有题知AC=
,MC=2-S，∴MN=
(2-s)，CE=
(2-S),
∵AE=MN，∴
，S=
，
（Ⅱ）当腰Am 与它的中线NG 相等，即AM=GN=AN 时，
作NH⊥AM 于H，如图
∵NG=NA, NH⊥AM, ∴GH=AH=
GN=
,在Rt△NHA 中，
在Rt△NHM 中，tan∠HMN=
;
在Rt△AME 中, tan∠AME
;
;
．
综上，S=
或
时
25．如图1，已知△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D 在AB 边的延长线上，且
CD＝AB．
（1）求BD 的长度；
（2）如图2，将△ACD 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．
①若α＝30°，A'D'与CD 相交于点E，求DE 的长度；
②连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α 的度数．
（3）如图3，将△ACD 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M 为AC
的中点，点N 为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN 长度的取值范围．
【答案】（1）3
3
﹣
；（2）①6
2
﹣
；②45°或225°；（3）3
3≤MN≤6
﹣
＋3
【分析】（1）过点C 作CH⊥AB 于H，由等腰直角三角形的性质可得CH＝BH＝
AB，
由勾股定理求出DH，则可求出答案；
（2）①由旋转的性质可得CD＝CD'＝
，∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，由等腰三
角形的性质和直角三角形的性质可得CF＝D'F＝3
，EF＝
，CE＝2EF＝2
，即可
求解；
②分两种情况讨论，由“SSS”可证△A'CD≌△BCD'，可得∠A'CD＝∠BCD'，即可求解；
（3）当A'D'⊥AC 时，N 是AC 与A'D'的交点时，MN 的长度最小，当A'D'⊥AC 时，N 是
AC 与A'D'的交点时，MN 的长度最小，即可求解．
【详解】解：（1）如图1，过点C 作CH⊥AB 于H，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH⊥AB，
∴AB＝CD＝6
，CH＝BH＝
AB＝3
，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴DH＝
，
∴BD＝DH
BH
﹣
＝3
3
﹣
；
（2）①如图2，过点E 作EF⊥CD'于F，
∵将△ACD 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，
∴CD＝CD'＝6
，
∵图1 中CD=2CH，
∴∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，
∴CE＝D'E，
又∵EF⊥CD'，
∴CF＝D'F＝3
，EF＝
，CE＝2EF＝2
，
∴DE＝DC
CE
﹣
＝6
2
﹣
；
②如图2
1
﹣，
∵∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，
∴∠BCD＝15°，
∴∠ACD＝105°，
∵将△ACD 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，
∴AC＝A'C，CD＝CD'，∠ACA'＝∠DCD'＝α，
∴CB＝CA'，
又∵A′D＝BD′，
∴△A'CD≌△BCD'（SSS），
∴∠A'CD＝∠BCD'，
∴105°
α
﹣＝15°＋α，
∴α＝45°；
如图2
2
﹣，
同理可证：△A'CD≌△BCD'，
∴∠A'CD＝∠BCD'，
∴α
105°
﹣
＝360°
α
15°
﹣﹣
，
∴α＝225°，
综上所述：满足条件的α 的度数为45°或225°；
（3）如图3，当A'D'⊥AC 时，N 是AC 与A'D'的交点时，MN 的长度最小，
∵∠A'＝45°，A'D'⊥AC，
∴∠A'＝∠NCA'＝45°，
∴CN＝A'N＝3
，
∵点M 为AC 的中点，
∴CM＝
AC＝3，
∴MN 的最小值＝NC
CM
﹣
＝3
3
﹣；
如图4，当点A，点C，点D'共线，且点N 与点D'重合时，MN 有最大值，
此时MN＝CM＋CN＝6
＋3，
∴线段MN 的取值范围是3
3≤MN≤6
﹣
＋3．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、旋
转的性质及二次根式的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三
角形的性质、旋转的性质及二次根式的性质是解题的关键．
26．如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90° ，∠ACB=30° ，AD 平分∠BAC， BD=
，点
P 为线段AC 上的一个动点
(1)求AC 的长
(2)作△ABC 中∠ACB 的角平分线CH，求BH 的长
(3)若点E 在直线1 上，且在C 点的左侧，PE=PC， AP 为多少时，△ACE 为等腰三角形?
【答案】（1）6；（2）
；（3）
或0 或4.
【分析】（1）易得∠BAD=30°，∴AD=2BD，再由勾股定理求出AB，最后再由30°的直
角边是斜边的一半可得AC=2AB.
（2）过H 点作HG⊥AC 于点G，设BH=x，在Rt△AHG 中用勾股定理建立方程求解；
（3）分三种情况讨论：①AC=EC，②AC=AE，③AE=EC，分别根据题意找出P 点的位
置，采用（2）的方法建立方程求解.
【详解】解：（1）∵∠ABC=90° ，∠ACB=30°
∴∠BAC=60°，
又∵AD 平分∠BAC
∴∠BAD=30°，
在Rt△ABD 中，BD=
∴AD=2BD=
在Rt△ABC 中，∠ACB=30°，∴AC=2AB=6
（2）如图所示，过H 点作HG⊥AC 于点G，
在Rt△ABC 中，
∵CH 平分∠BCA，∴∠HCB=∠HCG
在△HCB 和△HCG 中
∴△HCB≌△HCG（AAS）
∴BH=HG，CG=BC
设BH=x，则HG=x，AH=3-x，AG=
在Rt△AHG 中，
AG²+HG²=AH²，即
解得
∴BH 的长为
（3）△ACE 为等腰三角形，①若AC=EC，如图所示，由PE=PC 可知P 点在EC 的中垂线
上，则作EC 的中垂线与AC 的交点即为P 点，
∵PF 为EC 的中垂线，∴FC=
，
在Rt△PCF 中，∵∠C=30°，∴PC=2PF
设PF=a，则PC=2a，
有勾股定理得
，解得
∴PC=
，∴
②若AC=AE，如图所示，此时P 点与A 重合，∴AP=0
③若AE=EC，如图所示，由PE=PC 可知P 点在CE 的中垂线上，所以作EC 的中垂线与
AC 的交点即为P 点，
设AE=EC=x，则BE=
在Rt△ABE 中，由勾股定理得，
，解得
∴EC=
又∵PM 垂直平分EC，∴MC=
在Rt△PMC 中，∠C=30°，
设PM=y，则PC=2y，由勾股定理得
，解得
∴PC=2，此时AP=6-2=4
综上，当AP 为
或0 或4 时，△ACE 为等腰三角形
【点睛】本题考查角平分线，中垂线以及勾股定理，（3）问进行分类讨论，根据勾股定理
建立方程是关键.
