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专题03 勾股定理压轴（三大模型）
“勾股树”
勾股定理:
.
勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长
,
满足
或
或
,那么这个三角
形是直角三角形
在直角三角形外，分别以三边作同样图形，可得下面结论
作等边三角形
作半圆
作等腰直角三角形
作正方形（毕达哥
拉斯树的起始图
形）
结论：
【典例1】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．
在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽
为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至
今．
(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边
三角形，面积分别为
，
，
，利用勾股定理，判断这3 个图形中面积关系满足
的有________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部
分）的面积分别为
，
，直角三角形面积为
，也满足
吗？若满足，请证明；
若不满足，请求出
，
，
的数量关系．
(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作
正方形，重复这一过程就可以得到如图6 所示的“勾股树”．在如图7 所示的“勾股树”
的某部分图形中，设大正方形M 的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D 的边长分别
为a，b，c，d，则
__________．
【答案】(1)①3；②满足，证明见解析
(2)
【分析】（1）设两直角边分别为
，
，斜边为，用
，
，分别表示正方形、圆、等
边三角形的面积，根据
，求解
之间的关系，进而可得结果；②根据
，
，
，可得
；
（2）由题意知，
，
，
，
，
，
代入求解即可．
【详解】（1）①解：设两直角边分别为
，
，斜边为，
则图2 中，
，
∵
，
∴
，故图2 符合题意；
图3 中，
，
，
，
∵
，
∴
，故图3 符合题意；
图4 中，
，
，
，
∵
，
∴
，故图4 符合题意；
∴这3 个图形中面积关系满足
的有3 个，
故答案为：3；
②解：满足，证明如下：
由题意知
，
，
，
∴
；
（2）解：由题意知，
，
，
，
，
，
∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股树．解题的关键在于正确的表示各部分的面积．
【变式1-1】如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是
直角三角形，若正方形A、B、C、D 的边长是3、5、2、3，则最大正方形的面积是（ ）
A．13
B．47
C．
D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长
的平方，故可得到以斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的面积之和．
【详解】由勾股定理得：正方形F 的面积=正方形A 的面积+正方形B 的面积
，
同理，正方形G 的面积=正方形C 的面积+正方形D 的面积
，
∴正方形E 的面积=正方形F 的面积+正方形G 的面积
．
故选B．
【点睛】此题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个
以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键．
【变式1-2】如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：
经观察可以发现：图（1）中共有3 个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4 个正方
形，图（3）在图（2）的基础上增加了8 个正方形，……，照此规律“生长”下去，图
（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（ ）
A．12
B．32
C．64
D．128
【答案】C
【分析】通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4 个正方形，图（3）比图
（2）多出8 个正方形，图（4）比图（3）多出16 个正方形，……，以此类推可得图形的
变换规律．
【详解】解：由题可得，
图（2）比图（1）多出4 个正方形，
图（3）比图（2）多出8 个正方形，
；
图（4）比图（3）多出16 个正方形，
；
图（5）比图（4）多出32 个正方形，
；
照此规律，图（n）比图（n-1）多出正方形的个数为：
故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：
；
故答案为：C．
【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先
应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规
律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
【变式1-3】勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在
我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为
了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)勾股定理的证明，人们已经找到了400 多种方法，请你从图1，图2，图3 中任选一个图
形来证明该定理；
(2)①如图4，图5，图6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、
等边三角形，这三个图形中面积关系满足
的有 个；
②如图7 所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)
的面积分别为
，直角三角形面积为
，请判断
的关系并证明．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
．见解析
【分析】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；
（1）根据面积法即可证明勾股定理；
（2）①设面积为
的正方形边长为
，面积为
的正方形边长为
，面积为
的正方形
边长为；根据题意得：
，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，
即可完成求解；
②结合题意，首先分别以
为直径的半圆面积、以
为直径的半圆面积、非阴影部分去除
三角形后的面积，再根据阴影部分面积（
）
以
为直径的半圆面积
以
为直径
的半圆面积非阴影部分去除三角形后的面积，结合勾股定理，即可得到答案．
【详解】（1）证明：在图1 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间
小正形面积的和．
即
，
化简得：
．
在图2 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
大正方形面积为：
小正方形面积为：
四个直角三角形面积之和为：
∵大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积之和
∴
∴
，满足直角三角形勾股定理；
在图3 中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即
，
化简得：
．
（2）①三个图形中面积关系满足
的有3 个；
设面积为
的正方形边长为
，面积为
的正方形边长为
，面积为
的正方形边长为；
根据题意得：
如图4：
，
，
∴
；
如图5：
，
，
∵
∴
；
如图6：
，
，
∵
∴
；
∴三个图形中面积关系满足
的有3 个
故答案为：3；
②
；
以
为直径的半圆面积为：
以
为直径的半圆面积为：
非阴影部分去除三角形后的面积为：
∵阴影部分面积
以
为直径的半圆面积
以
为直径的半圆面积非阴影部分
去除三角形后的面积
∴
结合（1）的结论：
∴
∴
．
赵爽弦图
在正方形ABCD 中,分别在边AB，BC，CD，DA 上取点E，F，G，H，使得BE = CF =
GD=AH，过点E，F，G，H 作EJ//AD，FK//AB，GL//BC，HI//CD
结论1：四边形EFGH 是正方形；
结论2: 四边形IJKL 是正方形；
结论3：
；
结论4：正方形IJKL 的边长为
；
结论5：
【典例2】我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与
中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
(1)利用图2 正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示：
；
(2)用图1 这样的两个直角三角形构造图3 的图形，满足
，
，
，
，求证（1）中的定理结论；
(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设
，
，求正方形BDFA 的
面积．（用m，n 表示）
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由大正方形的面积的两种表示列出等式，可求解；
（2）由四边形
的面积两种计算方式列出等式，即可求解；
（3）分别求出a，b，由勾股定理可求解．
【详解】（1）解：∵大正方形的面积
，大正方形的面积
，
∴
，
∴
，
故答案为：
；
（2）证明：如图：连接
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
；
（3）解：由题意可得：
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∴正方形
的面积为
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些
性质解决问题是解题的关键．
【变式2-1】如图，是我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”，由四个全等的直角三角形拼
成大的正方形
和中间小的正方形
．若直角
的面积是
，且
，则小正方形
的面积是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，
，则
，由四个直角三角形全等可知
，故根据三角形面积公式可得
，整理得
，然后利用
计算小正方形
的面积即可．
【详解】解：由题意，可设
，
，则
，
∵四个直角三角形全等，
∴
，
∴
，
即
，整理得
，
∴
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质以及三角形面积公式，理解并掌握三角形全等
的性质是解题的关键．
【变式2-2】大约在公元222 年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，
亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：
为等
边三角形，
、
、
围成的
也是等边三角形．已知点
、
、
分别是
、
、
的中点，若
的面积为14，则
的面积是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】连接
，由题意知
，再由点
、
、
分别是
、
、
的中点，可得
，
，即可得出
即可求解．
【详解】解：连接
，如图所示：
点
、
、
分别是
、
、
的中点，
，
，
为等边三角形，
也是等边三角形，
，
，
是
的一个外角，
，
是
的一个外角，
，
，
在
和
中，
，
，
同理，可得
，
，
，
，
，
，解得
，
故选：B．
【点睛】本题考查求三角形面积，涉及等边三角形的性质，中点性质，全等三角形的判定
与性质，三角形外角性质，正确作出辅助线，得出
是解题的关键．
【变式2-3】如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记
图中正方形
、正方形
、正方形
的面积分别为
，
，
．若
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】已知八个全等的直角三角形，则设出三边，根据勾股定理可知三边的关系，然后
用三边分别将三个正方形的面积表示出来，直接求和即可．
【详解】设
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
故选：D
【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是找到三个正方形边长之间的关系，直接列方程求
解．
【变式2-4】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形．中间是个小正方形．这个图
形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分
别连接大、小正方形的四组顶点得到图2 的“风车”图案（阴影部分）．若图1 中的四个
直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，则图2 中的“风车”图案的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理中的弦图模型，由图可知中间小正方形的边长为
，再利用
勾股定理求出边长即可求解；
【详解】解：如图，
由题意知：
，
，
∴
在
中，
，
∴图2 中的“风车”图案的周长为：
故选：C
【变式2-5】如图是用4 个全等的直角三角形与1 个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知
大正方形的面积为49，小正方形的面积为4．若用x，y 表示直角三角形的两直角边（x＞
y），则下列四个说法：①
，②
，③
，④
，其中正
确的是（ ）
A．①③④
B．②④
C．①②③
D．①②③④
【答案】C
【分析】利用大正方形面积和勾股定理可判断①，利用小正方形面积可求出小正方形边长，
再利用线段和差可判断②，利用大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之
和可判断③，利用①③可判断④．
【详解】解：如图，
∵
是直角三角形，
∴根据勾股定理得
，故①正确；
由图可知
，故②正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得
，即
，故③正确；
由
可得
．
∵
，
∴
，整理得
，
∴
，故④错误．
正确的是①②③．
故选：C．
【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算题，解题的关键是利用大正方形面积和小正方形
面积得出大正方形和小正方形的边长．
【变式2-6】三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3 世纪）在《勾股圆方图注》一书
中用割补的方法构造了“弦图”（如图1，并给出了勾股定理的证明．已知，图2 中涂色
部分是直角边长为
，斜边长为的
个直角三角形，请根据图2 利用割补的方法验证勾
股定理．
【答案】见解析
【分析】根据总面积=以c 为边的正方形的面积+2 个直角边长为
的三角形的面积=以b
为上底、(a+b)为下底、高为b 的梯形的面积+以a 为上底、(a+b)为下底、高为a 的梯形的面
积，据此列式求解．
【详解】证明：总面积
【点睛】此题考查的是勾股定理的证明，用两种方法表示同一图形的面积是解题关键．
【变式2-7】阅读下列材料并完成任务：
中国古代三国时期吴国的数学家赵爽最早对勾股定理作出理论证明.他创制了一幅“勾股圆
方图”(如图l)，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”中，
以弦为边长得到的正方形
是由
个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组
成的.每个直角三角形的面积为
；中间的小正方形边长为
，面积为
.于是便
得到式子：
.赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的截、
割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证
数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.如图2，是
“赵爽弦图”，其中
、
、
和
是四个全等的直角三角形，四边形
和
都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理.设
，
，
，取
，
.
任务：
(1)填空：正方形
的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；
(2)求
的值.
【答案】(1)4，96；(2)196.
【分析】（1）根据题意得图中的四个直角三角形都全等，可得正方形
的边长为2，
即可得正方形
的面积；再利用正方形ABCD 的面积-正方形EFGH 的面积即可得四个
直角三角形的面积和；
（2）易求得ab 的值，和a2+b2的值，根据完全平方公式即可求得（a+b）
2的值，即可解题．
【详解】(1)根据题意得，图中的四个直角三角形都全等，
AB=c=10
∴
，AE-AH=b-a=2，
∴正方形
的面积为22=4，正方形ABCD 的面积为102=100，
∴四个直角三角形的面积和=正方形ABCD 的面积-正方形EFGH 的面积=100-4=96；
(2)由(1)可知四个直角三角形的面积和为
，
，即
.
，
.
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，求得ab
的值是解题的关键．
蚂蚁爬行(最短路径问题)
基础模型1
已知:在一个长、宽、高分别为a、b、c 的长方体中,一只蚂蚁沿着长方体的表面爬行,求蚂蚁
从点P 到点Q 的最短路径
结论1:长方体中，蚂蚁爬行的最短路径为PQ=√长边
2+(较长边+ 最短边)
2.
正方体中，若棱长为a,蚂蚁爬行的最短路径为PQ =
模型3
已知:一个底面半径为r ，高为h 的圆柱形木桶，外壁点P 处有一只小妈蚁，内壁Q 处有一
滴蜂蜜，求小蚂蚁沿外壁爬行再沿着内壁爬行到点Q 的最短路径
基础模型2
已知:在底面半径为r,高为h 圆柱中，求蚂蚁从点P 沿圆柱
表面螺旋爬行到点Q 的最短路径
结论2：最短路径为PQ=
结论3：最短路径为PQ=
简记口诀：“展平面、连两点、勾股算”
结论4：最短路径为
(注：高度
不是圆柱的高)
【典例3】如图是一个长方体包装盒，高为
，底面是正方形，边长为
，现需用绳
子装饰，绳子从
出发，沿长方体表面绕到
处，则绳子的最短长度是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】此题考查了平面展开——最短路径问题，把长方体右边的表面展开，连接
，
则
就是绳子的最短时经过的路径，然后根据勾股定理求解，利用两点之间线段最短的
性质，将长方体右边的表面展开是解题的关键．
【详解】如图，
将长方体右边的表面翻折
（展开），连接
，显然两点之间线段最短，
为点
到
点
的最短距离，由勾股定理知：
，
∴
，即绳子最短为
，
故选：
．
【变式3-1】如图，长方体的长为4cm，宽为4cm，高为3cm，
cm，一只蚂蚁要沿
着长方体的表面从点A 爬到点C，则需要爬行的最短路程为（ ）
A．
B．
C．
D．6cm
【答案】C
【分析】本题考查平面展开—最短路线问题，勾股定理，无理数的大小比较．要求长方体
中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短
解答即可．
【详解】解：按照正面和右面展开，如下，
∴
，
∴
；
按照上面和左面展开，如下，
∴
，
∴
；
按照正面和上面展开，如图3，
∴
，
，
∴
∵
，
∴需要爬行的最短距离是
，
故选：C．
【变式3-2】如图，长方形的长
，宽
，高
，点M 在CH 上，
且
，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点
爬到点
，需要爬行的最短距离
是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先将长方体沿
、
、
剪开，向右翻折，使面
和面
在同一
个平面内，连接
；或将长方体沿
、
、
剪开，向上翻折，使面
和面
在同一个平面内，连接
，或将长方体沿
、
、
剪开，向下翻折，使面
和下面在同一个平面内，连接
，然后分别在
与
与
，
利用勾股定理求得
的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程．
【详解】解：
将长方体沿
、
、
剪开，向右翻折，使面
和面
在同
一个平面内，连接
，如图，
由题意可得：
，
，
在
中，根据勾股定理得：
；
将长方体沿
、
、
剪开，向上翻折，使面
和面
在同一个平面内，
连接
，如图
，
由题意得：
，
，
在
中，根据勾股定理得：
，
将长方体沿
、
、
剪开，向下翻折，使面
和下面在同一个平面内，连接
，如图，
由题意得：
，
，
在
中，根据勾股定理得：
，
∵
，则需要爬行的最短距离是
．
故选：
．
【点睛】此题考查了最短路径问题，利用了转化的思想，解题的关键是将立体图形展为平
面图形，利用勾股定理的知识求解．
【变式3-3】如图，正方体的棱长为
，
是正方体的一个顶点，
是侧面正方形对角线
的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点
爬到点
的最短路径是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】如图所示，过点
作
于点
，在
中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意，如图所示，过点
作
于点
，正方体的棱长
，
∵立体几何是正方体，每个面都是正方形，对角线的交点
为对角线的中点，根据正方形
的性质可得
为等腰直角三角形，且
，
∴
是
的垂直平分线，
，
∴在
中，
，
，
∴
，
∴从点
爬到点
的最短路径是
，
故选：
．
【点睛】本题主要考查立体几何图形的展开图与勾股定理的运用，理解立体几何图形的展
开图，掌握最短路径的计算方法，勾股定理等知识解题的关键．
【典例4】现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为
，高为
，在杯子内壁离容器底部
的点
处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正
好在杯子外壁，离容器上沿
的点
处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理，将容器侧面展开，建立A 关于
的对称点
，根据两点之间线段最短可知
的长度即为所求．
【详解】解：如图：是侧面展开图的一半，
高为
，底面周长为
，在容器内壁离容器底部
的点B 处有一滴蜂蜜，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿
与一滴蜂蜜相对的点A 处，
，
，
将容器侧面展开，作A 关于
的对称点
，
连接
，则
即为最短距离，
．
故选：A．
【变式4-1】葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的
树干沿最短路线盘旋而上．如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是
，当一段
葛藤绕树干盘旋1 圈升高为
时，这段葛藤的长为
．
【答案】2.6
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结
合勾股定理求出即可．
【详解】解：如图所示：
，
∴这段葛藤的长
．
故答案为：
．
【变式4-2】如图，圆柱形玻璃杯，高为
，底面周长为
，在杯内离杯底
的点
C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿
与蜂蜜相对的点A 处，则蚂
蚁到达蜂蜜的最短距离为
．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，轴对称
最短路线问题的应用，过
作
于
，作
A 关于
的对称点
，连接
交
于
，连接
，则
就是蚂蚁到达蜂蜜的
最短距离，求出
，
，根据勾股定理求出
即可， 解题的关键是找出最短路线．
【详解】解：沿过A 的圆柱的高剪开，得出矩形
，
过
作
于
，作A 关于
的对称点
，连接
交
于
，连接
，
则
就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
，
，
，
，
，
在
中，由勾股定理得：
，
故答案为：
．
【典例5】如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是
、长是
、宽是
，一只蚂蚁沿台阶从点
出发爬到点
，其爬行的最短线路的长度是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是把平面展开，在根据勾股定理，即可．
【详解】平面展开，如下：
∴在
中，
（
），
∴蚂蚁沿台阶从点
出发爬到点
，其爬行的最短线路的长度为：
．
故选：C．
【变式5-1】如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为
、
、
，台
阶左下角A 处有一只蚂蚁要爬到右上角B 处搬运食物，则它爬行的最短路程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点
之间线段最短进行解答．
【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为
，宽为
，
则蚂蚁沿A 爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：
，
故答案为：
【变式5-2】如图，在一个长方形草坪
上，放着一根长方体的木块，已知
米，
米，该木块的较长边与
平行，横截面是边长为2 米的正方形，一只蚂蚁从点A
爬过木块到达
处需要走的最短路程是 米．
【答案】10
【分析】本题主要考查两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力，解
答此题的关键是将木块展开，得出展开后长方形的长．
【详解】解：由题意可知，将木块展开，如图所示：
展开后长方形的长相当于是
个正方形的宽，
∴长为
（米），宽为6 米，
∴最短路径为：
（米），
故答案为：10．
1．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如
图所示的弦图中，其中四边形
和四边形
都是正方形，
、
、
、
是四个直角三角形，当
，
时，则正方形
的边长是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】在
中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：依题意可得，
∴
，
在
中，由勾股定理得，
，
∴正方形
的边长是
，
故选：A
【点睛】此题考查了勾股弦图，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．如图中左图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围
成的，若
，
，将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别向外延长一倍，得
到如图2 中右图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．74
B．76
C．78
D．80
【答案】B
【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．
【详解】如图，根据题意，
，
∵
，
∴
，即
，
∴
，
∴
，
∴这个风车的外围周长是
，
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
3．如图，正方体
的棱长为2，E 是
的中点．已知一只蚂蚁沿正方体的
表面从点A 出发，到达点E，则它运动的最短路程为（ ）
A．
B．4
C．
D．5
【答案】C
【解析】略
4．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，
则弦五”的记载．如图1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关
系验证勾股定理．图2 是由图1 放入长方形内得到的，
，
点D，E，F，G，H，I 都在长方形
的边上，则长方形
的面积为（ ）
A．420
B．440
C．430
D．410
【答案】B
【分析】延长
交
于P，延长
交
于Q，可得
全等，根据全
等三角形对应边相等可得
，然后求出
和
的长，再根据长方形的
面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：如图，延长
交
于P，延长
交
于Q，
由题意得，
，
∴
，
∴
，
∴
，
同理可证
，
∴
，
∵图2 是由图1 放入长方形内得到，
∴
，
，
∴长方形
的面积
．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质与判定，作辅助线构造出全等三
角形并得到长方形的邻边的长是解题的关键，也是本题的难点
5．如图，有一个圆柱，它的高等于
，底面上圆的周长等于
，在圆柱下底面的点
处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点
相对的点
处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的
最短路程是
．
【答案】
/25 厘米
【分析】本题主要考查利用勾股定理求最短路径，如图把圆柱体展开，连接
，然后可
知
，
，进而可由两点之间，线段最短可知
即为所求，熟练掌握利
用勾股定理求最短路径是解题的关键．
【详解】解：如图所示：
∵圆柱的高等于
，底面上圆的周长等于
，
∴
，
，
∴
，
∴蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是
，
故答案为：
．
6．如图所示的长方体中，
，一只蚂蚁从点
处，沿长方体表面
爬行到点
处吃食，蚂蚁需要爬行的最短路程为
．
【答案】10
【分析】本题考查了平面展开图，利用勾股定理求最短路径问题，要求长方体中两点之间
的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答，解答
时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．
【详解】①展开正面和右面，如图，连接
，
∵长
，高
，
∴
，
②展开正面和上面，
如图，连接
，
∴
，
③展开左面和上面，
∴
，
∴爬行的最短距离为
，
故答案为：10．
7．有一个圆柱体礼盒，高
，底面周长为
．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，
若彩带一端粘在
处，另一端绕礼盒侧面
周后粘贴在
处（
为
的中点），则彩带最
短为
．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理和平面展开-最短路线问题，将圆柱侧面展开后，可得绕礼盒
侧面
周后彩带最短为
，根据图形找到最短的线段是解题的关键．
【详解】解：圆柱侧面展开后图形是：
∵底面周长为
，高
，
∴
，
∴绕礼盒侧面
周后彩带最短为
，
故答案为：
．
8．如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图1，一个边长为a 的正方形，经过第一
次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，面积分别为6 和8，且三个正方形所围成的
三角形是直角三角形，则a 的值为 ；再经过一次“生长”后变成了图2．如此继续
“生长”下去，第2024 次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积之和为
（填数字）．
【答案】
【分析】本题主要考查的是勾股定理、图形的变化规律等知识，熟知在任何一个直角三角
形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
根据正方形的面积公式求出第一个正方形的面积，即可求得a 的值；再根据勾股定理求出
经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和，总结规律，然后按照规律
解答即可．
【详解】解：如图：
∵第一个正方形的边长为a,
∴第一个正方形的面积为
，
由勾股定理得，
，
∴
，即经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积
和为
，
∴
，即
，“生长”第1 次后所有正方形的面积和为
，
同理：“生长”第2 次后所有正方形的面积和为
，
……
则“生长”第2024 次后所有正方形的面积和为
，
故答案为：
，
．
9．阅读材料，解答问题：
(1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”，这句
话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3 和4 时，那么斜边的长为5．”上述记载说
明：在
中，如果
，
，
，
，那么a，b，c 三者之间
的数量关系是：______．
(2)如图①，它是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形ABDE，中间部分是一个小
正方形CFGH，请结合图①，证明（1）中的数量关系．
(3)如图②，以
的三条边分别作三个等边三角形，若
，
，
，求
出
的值．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)22
【分析】（1）根据勾股定理可得
；
（2）分别计算出小正方形的面积、直角三角形的面积和大正方形的面积，根据大正方形等
于小正方形加四个直角三角形建立等式即可得到
；
（3）分别计算出三个等边三角形的面积，根据
建立等
式，利用
进行化简即可得到答案．
【详解】（1）解：，如果
，
，
，
，
那么
；
（2）证明：如下图所示，
由题意得
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
；
（3）解：如下图所示，设
，
，
，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形、等边三角形和正方形的性质，解题的关键是根
据图形中的面积关系建立等式．
10.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国
古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证
明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如
图2，直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c．
(1)如图3，以直角三角形的三边a，b，c 为边，分别向外部作正方形，直接写出
，
，
满足的关系： ．
(2)如图4，以
的三边为直径，分别向外部作半圆，请判断
，
，
的关系并证
明．
(3)如图5，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长
为
，
，直接写出该飞镖状图案的面积．
【答案】(1)
；
(2)
，证明详见解析；
(3)120
【分析】本题考查了勾股定理的运用，正方形的面积公式，圆面积公式，关键是掌握勾股
定理的灵活运用．
（1）根据正方形的面积公式：边长乘边长，结合直角三角形的三边a，b，c 为边，即
，即可作答；
（2）根据半圆的面积公式：
乘π 乘半径乘半径，然后进行化简，结合直角三角形的三边
a，b，c 为边，即
，即可作答；
（3）易知
，设
为x，则
，
，根据勾股定理建立
，即可作答．
【详解】（1）解：依题意：
，
，
，
由勾股定理得，
，
∴
，
故答案为：
；
（2）解：依题意，
，
，
由勾股定理得，
，
则
∴
；
（3）解：由题意知，外围轮廓（实线）的周长为80，且四个直角三角形是全等的，
∴
，
∵
，
∴
，
设
为x，则
，
，
在
中，由勾股定理可得，
，
解得：
，
∴
，
的面积
，
∵该飞镖状图案的面积由四个直角三角形面积组成，
∴该飞镖状图案的面积
．
