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专题02 一元二次方程实际应用的四种考法 【知识点精讲】 应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用. ①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a 表示基数，x 表示平均增长率（降低率），n 表示变 化的次数，b 表示变化n 次后的量； ②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%； ③传播、比赛问题： ④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运 用面积之间的关系列方程. 注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义. 类型一、增长率问题 例．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人 民的追捧，第一天票房约3 亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10 亿元，若 把增长率记作x，则方程可以列为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平均每天票房的增长率为 ，根据三天后累计票房收入达10 亿元，即可得出关于 的一元二次 方程，此题得解． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为 ， 根据题意得： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关 键． 【变式训练1】在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周 作业时长为 分钟，经过去年下半年和今年上半年两次调整后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少 了 ，设每半年平均每周作业时长的下降率为 ，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每半年平均每周作业时长的下降率为x,根据现在平均每周作业时长比去年上半年减少了 ， 列方程即可得到结论． 【详解】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x， 可列方程为 ， 即 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关 键． 【变式训练2】某药店一月份销售口罩500 包，一至三月份共销售口罩1820 包，设该店二、三月份销售口 罩的月平均增长率为 ，则根据题意可列出方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出方程即可作答． 【详解】解：根据题意得： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关 键． 【变式训练3】某市政府决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间绿化面积增加 ，这两年平 均每年绿化面积的增长率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加 ，则有 ，解这个方程即可求出答案． 【详解】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得， ， 解得 （舍去）， ． 所以，这两年平均每年绿地面积的增长率为 ． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答此类题目中的关键是明确题意，列出相应的方程，注意增长 的百分率是正值． 类型二、利润问题 例1.某水果商场经销一种高档水果，原售价每千克50 元． (1)连续两次降价后每千克32 元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10 元，每天可售出500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取 适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8 元，若每千克涨价1 元，日销售量将减少20 千克，现 该商场要保证每天盈利6000 元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为 ； (2)每千克水果应涨价5 元，盈利6000 元． 【分析】（1）设每次降价的百分率为 ，列出方程求解即可； （2）设每千克涨价 元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设每次下降百分率为 ， 根据题意，得 ， 解得： ， (不合题意，舍去)． 答：每次下降的百分率为 ； （2）设每千克涨价x 元， 由题意得： 解得： 或 ， ∵商场规定每千克涨价不能超过8 元，且要尽快减少库存， ∴ ， 答：每千克水果应涨价5 元，盈利6000 元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 例2.今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售A、B 两种优质农产品礼包． (1)已知今年7 月份销售A 种农产品礼包256 包，8、9 月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的 基础上，9 月份的销售量达到400 包．若设8、9 两个月销售量的月平均增长率为x，求x 的值； (2)若B 种农产品礼包每包成本价为16 元，当售价为每包30 元时，每月销量为200 包．为了尽快减少库存， 该村准备在10 月进行降价促销，经调查发现，若B 种农产品礼包每包每降价1 元，月销售量可增加20 包， 当B 种农产品礼包每包降价多少元时，该村销售B 种农产品礼包在10 月份可获利2860 元? 【答案】(1) 的值为25% (2)当B 种农产品礼包每包降价3 元时，该村销售B 种农产品礼包在10 月份可获利2860 元 【分析】（1）利用9 月份的销售量=7 月份的销售量 月平均增长率 ，即可得出关于x 的一元二次方 程，解之取其正值即可得出x 的值； （2）设B 种农产品礼包每包降价m 元，则每包的销售利润为 元，月销售量为 包， 利用总利润=每包的销售利润×月销售量，即可得出关于m 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得： ， 解得： ， （不合题意，舍去）． 答： 的值为25%． （2）设B 种农产品礼包每包降价m 元，则每包的销售利润为 元，月销售量为 包， 依题意得： ， 整理得： ， 解得： ， . ∵为了尽快减少库存， ∴ ． 答：当B 种农产品礼包每包降价3 元时，该村销售B 种农产品礼包在10 月份可获利2860 元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式训练1】第19 届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品 的成本是30 元，如果销售单价定为每件40 元，那么日销售量将达到100 件．据市场调查，销售单价每提 高1 元，日销售量将减少2 件． (1)若销售单价定为每件45 元，求每天的销售利润； (2)要使每天销售这种纪念品盈利1600 元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多 少元？ 【答案】(1)1350 元 (2)50 元 【分析】（1）根据 ，计算求解即可； （2）设该纪念品的售价单价应定为每件 元，则销售量为 件，由题意得， ，计算求解，然后判断即可． 【详解】（1）解：由题意知， （元）， ∴当销售单价定为每件45 元，每天的销售利润为1350 元； （2）解：设该纪念品的售价单价应定为每件 元，则销售量为 件， 由题意得， ，解得 ， ， ∵ ，∴该纪念品的售价单价应定为每件50 元． 【点睛】本题考查了实数运算的应用，一元二次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运 用． 【变式训练2】服装店购进一批甲、乙两种款型的时尚T 恤衫，甲种款型共用了10400 元，乙种款型共用 了6400 元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2 倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30 元. (1)甲、乙两种款型的T 恤衫各购进多少件？ (2)该服装店第一个月甲种款型的T 恤衫以200 元/件的价格售出20 件、乙种款型的T 恤衫以250 元/件的价 格售出10 件；为了促销，第二个月决定对甲、乙两种款式的T 恤衫都进行降价a 元销售，其中甲种款型的 T 恤衫的销售量增加4a 件、乙种款型的T 恤衫的销售增加a 件，结果第二个月的销售总额比第一个月的销 售总额增加了1000a 元，求第二个月的销售利润． 【答案】(1)甲种款型的T 恤衫购进80 件，乙种款型的T 恤衫购进40 件；(2)3580 【分析】(1)设乙种款型的T 恤衫购进x 件，则甲种款型的T 恤衫购进 件，根据甲种款型每件的进价比乙 种款型每件的进价少30 元列出分式方程，解方程即可； (2)根据第二个月的销售总额比第一个月的销售总额增加了1000a 元，列出一元二次方程，解方程，即可解 决问题． 【详解】（1）设乙种款型的T 恤衫购进x 件，则甲种款型的T 恤衫购进 件， 依题意得 解得 ， 经检验， 是原方程的解，且符合题意， ∴ ， 答：甲种款型的T 恤衫购进80 件，乙种款型的T 恤衫购进40 件； （2）乙种款型每件的进价为 (元) 则甲种款型每件的进价为 (元)， 由题意得： 整理得 ， 解得 (不符合题意，舍去)， ∴ 答：第二个月的销售利润为3580 元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列 出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程． 类型三、工程问题 例．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2020 年投入资金1000 万元，2022 年投入资金1440 万元，现假定 每年投入资金的增长率相同． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率． (2)2022 年老旧小区改造的平均费用约为每个80 万元．2023 年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增 加10%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2023 年最多可以改造多少个老旧小区？ 【答案】(1)该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%； (2)该市在2023 年最多可以改造19 个老旧小区 【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x,利用2022 年投入资金金额=2020 年投入 资金金额×（1+年平均增长率），即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该市在2023 年可以改造y 个老旧小区，根据2023 年改造老旧小区所需资金不多于2023 年投入资 金金额，即可得出关于y 的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x, 依题意得： ， 解得： ， （不合题意，舍去）． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ． （2）解：设该市在2023 年可以改造y 个老旧小区， 依题意得： ， 解得： ， 又∵y 为整数， ∴y 的最大值为19． 答：该市在2023 年最多可以改造19 个老旧小区． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关 系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【变式训练1】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5 至7 月份统计，某品牌头盔5 月份销售2250 个，7 月份销售3240 个，且从5 月份到7 月份销售量的月增长 率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能 是900 个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30 个/天，现该厂要保证每天生产 头盔3900 个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20% (2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4 条生产线 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x 条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得： ， 解得： ， （不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． （2）解：设增加x 条生产线． ， 解得 ， （不符合题意，舍去）， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4 条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． 【变式训练2】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200 袋粽子的订单，决 定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3 天加工的粽子数比乙组2 天加工的粽子数多300 袋．两组同时开工， 甲组原计划加工10 天、乙组原计划加工8 天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2 天后，临时又增加了500 袋的任务，甲组人员从第3 天起提高了工作效率，乙组的 工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100 袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1 天完成 任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200 袋、150 袋粽子 (2)400 【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工 袋、 袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一 次方程组，从而解决问题． （2）根据“甲组平均每天每多加工100 袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1 天完成任务”，考虑设 “甲组平均每天比原计划平均每天多加工 袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之 和，列出方程． 【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工 袋、 袋粽子 由题意得： 解得： 答：甲、乙两组平均每天各能加工200 袋、150 袋粽子． （2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工 袋粽子 由题意得： 整理得： 解得： ， ， 又∵甲、乙两组加工的天数均为整数 ∴ ∴200+100×2=400（袋） 答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400 袋粽子． 【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关 键． 【变式训练3】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000 米．甲，乙分别从桥梁两端 向中间施工．计划每天各施工5 米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1 米桥梁施工所需成本不一样． 甲每合格完成1 米桥梁施工成本为10 万元，乙每合格完成1 米桥梁施工成本为12 万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每 合格完成1 米隧道施工成本增加a 万元时，则每天可多挖 米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天 少挖 米．若最终每天实际总成本在少于150 万的情况下比计划多 万元．求a 的值． 【答案】(1)甲最多施工2500 米 (2)a 的值为6 【分析】（1）设甲工程队施工x 米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲 总施工成本的 ，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1 米隧道施工成本增加a 万元时，则 每天可多挖 米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 米，即可得出关于a 的一元二次方程， 解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲工程队施工x 米，则乙工程队施工（5000-x）米， 依题意，得：12（5000-x）≥ ×10x， 解得：x≤2500， 答：甲最多施工2500 米． （2）依题意，得： ， 整理，得： ， 解得： ， ， 当 时，总成本为： （万元）， ∵ ， ∴ 不符合题意舍去； 当 时，总成本为： （万元）， ∵ ， ∴ 符合题意； 答：a 的值为6． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各 数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 类型四、几何图形问题 例．在平面直角坐标系 中，过原点 及点 、 作矩形 ， 的平分线交 于点 ．点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线 方向移动；同时点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 轴正方向移动．设移动时间为秒． (1)填空： _______， _______（用含的代数式表示） (2)设 的面积为 ， 的面积为 ，当为何值时， 的值为 ． (3)求当为何值时， 为直角三角形． 【答案】(1) ； (2) (3) 或 或 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，即可表达 ， ； （2）连接 ，过点 作 于点 ，根据 ，得 ，又根据 ，则 ，根据勾股定理得 ，推出 是等腰直角三角形，得 ； 是直角三角形， 当 在 左侧时 ，根据三角形面积公式得： ；当 在 右侧时 ，面积为： ，分类讨论 ，即可求出 时的值； （3）当 为直角三角形时， 或 或 ，根据 是等腰直角三角形， 则 ；根据勾股定理，即可求出的值． 【详解】（1）∵点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线 方向移动；同时点 从点 出 发，以每秒 个单位长度的速度沿 轴正方向移动 ∴ ； ． （2）连接 ，过点 作 于点 ∵四边形 是矩形，点 ，点 ∴ ， ∵ ∴ ∴在直角三角形 中， ∴ ∵ ∴ ∴在直角三角形 中， ∴ ∴ 是等腰直角三角形 ∴ ∵ 当 在 左侧时，即 时， ∴ ∴ ∴当 时 ∴解得 ， （舍） 不满足 ； 在 右侧时， 时， ∴ ∴ ∴当 时，解得 ， （舍） ∴当 ， ． （3）连接 ， ， 由（2）得 ， ∵ 是直角三角形， ∴ ∵ ∴ ， ∴在 ， ∴ ∵ 为直角三角形时 ∴ 或 或 ∵ 是等腰直角三角形，则 ∴ 或 时， ∴ 整理得： 解得： （舍）， ∴ 时， ∴ 解得： ， ∴ 或 ∴综上所述，当 或 或 时， 为直角三角形时． 【点睛】本题考查动点问题，直角三角形和一元二次方程的知识，解题的关键是掌握动点的运动轨迹，勾 股定理和解一元二次方程的解法． 【变式训练1】等边 ，边长为 ，点P 从点C 出发以 向点B 运动，同时点Q 以 向点A 运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为， (1)求当 为直角三角形时的时间； (2) 的面积能否为 ，若存在求时间，若不存在请说明理由． 【答案】(1) 或者 (2)存在，2 【分析】（1）根据题意有 ， ，即 ，即可得 ，分当 为直角 三角形,且 时和当 为直角三角形,且 时，两种情况讨论，根据含 角的直角 三角形的性质列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）过Q 点作 于点M，先求出 ，即有 ，进而有 ，即 ，令 ，可得 ，解方程即可求解． 【详解】（1）根据题意有 ， ，即 ， ∵ ， ∴ ， 当 为直角三角形,且 时，如图， ∵等边 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得： ； 当 为直角三角形,且 时，如图， ∵等边 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得： ； 即t 的值为 或者； （2）存在，理由如下： 过Q 点作 于点M，如图， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 令 ， ∴ ， 整理得： ， 解得： ，或者 ， ∵ ， ∴ ， 即t 的值为2． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含 角的直角三角形的性质，一元一次方程的应用，一元二次 方程的应用等知识，明确题意，根据含 角的直角三角形的性质正确列式，是解答本题的关键． 【变式训练2】如图，在直角梯形 中， ， ．动点P 从点D 出发，沿射线 的方向以每秒2 个单位的速度运动，动点Q 从点C 出发，沿射线 的方向以每 秒1 个单位的速度向点B 运动，点P，Q 分别从点D，C 同时出发，当点P 运动到点A 时，点Q 随之停止 运动．设运动的时间为t（秒），当t 为何值时，以B，P，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？ 【答案】 或 【详解】以B，P，Q 为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当 时，当 时，当 时，由等腰三角形的性质就可以得出结论． 【分析】解：如图1，当 时，过点P 作 于E， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ． 解得： ； 如图2，当 时，过点Q 作 于E， 同理可证四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴ ， 在 中，由勾股定理，得 ， ∴ ， 解得： ； 如图3，当 时，过点P 作 于E， 同理可证明四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故方程无解． 综上所述， 或 时，以B，P，Q 三点为顶点的三角形为等腰三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，矩形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解 法的运用，解答时根据等腰三角形的性质建立方程是关键． 【变式训练3】如图，在 中， ， ， 点 从 开始沿边 向点 以 的速度移动，与此同时，点 从点 开始沿边 向点 以 的速度移动．点 ， 同时出发， 当点 运动到点 时，两点停止运动，设运动时间为秒． (1)填空： ______ ， ______ ；用含的代数式表示； (2)当为几秒时， 的长度等于 ； (3)是否存在某一时刻，使四边形 的面积等于 面积的 ？如果存在，求出的值，如果不存在， 请说明理由． 【答案】(1) ， (2)t 为 秒或 秒 (3)存在时刻，使四边形 的面积等于 面积的 ，的值为 【分析】（1）由路程=速度×时间，可直接求解； （2）由勾股定理建立方程，解一元二次方程可求解； （3）由题意可得 的面积等于 面积的 ，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1） 点 从 开始沿边 向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿边 向点 以 的速度移动， ， ， ， 故答案为： ， ； （2）由题意得 ， 即 ， 解得： ， ， 当t 为 秒或 秒时， 的长度等于 ； （3）存在，理由如下： 若四边形 的面积等于 面积的 ， 的面积等于 面积的 ， ， ， 解得： 或 ， 当 时， 当 时， ，四边形 变为三角形，不合题意，舍去， 存在时刻，使四边形 的面积等于 面积的 ，的值为 ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用，灵活运用这 些性质解决问题是解题的关键． 课后训练 1.如图1，在矩形 中， ，点E 和F 同时从点A 出发，点E 以 的速度沿 的方向 运动，点F 以 的速度沿 的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为 ， 的面 积为 ，y 关于x 的函数图象如图2，图象经过点 ，则n 的值为 ． 【答案】 【分析】分析图形可知，图2 中的图象分为三段：当点 在 上时；当点 在 上，且点 在 上时； 当点 在 上，且点 在 上时．图2 中的最高点是当点 与点 重合时， 的值为4；当点 和点 相遇时，即到达点 时，用时6 秒．由此可求出 ，由此可求出当点 运动3 秒后 的 值，即可求出 的值，进而可求出 的取值． 【详解】解：由图2 可知，当点 运动到点 时， ，即 ， 当点 和点 相遇时，即到达点 时，运动了6 秒，即 ， 解得： ， 当 时，如图， ， ∴ ； 当 时，点 在 上，点 在 上，如图， 此时， ∴ ； 解得 ，或 （舍）． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系是 解决问题的关键． 2．2022 北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B 两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注： 利润=销售价-进货价） 类别价格 A 款钥匙扣 B 款钥匙扣 进货价（元／件） 30 25 销售价（元／件） 45 37 (1)网店第一次用850 元购进A、B 两款钥匙扣共30 件，求两款钥匙扣分别购进的件数？ (2)冬奥会临近结束时，网店打算把B 款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4 件．经调查 发现，每降价1 元，平均每天可多售2 件，将销售价定为每件多少元时，才能使B 款钥匙扣平均每天销售 利润为90 元？ 【答案】(1)购进A 款钥匙扣20 件，购进B 款钥匙扣 件 (2)30 元或34 元 【分析】（1）设购进A 款钥匙扣x 件，购进B 款钥匙扣 件，根据等量关系：两款钥匙扣共花费850 元，建立一元一次方程即可求解； （2）设将B 款钥匙扣销售价定为每件y 元时，才能使B 款钥匙扣平均每天销售利润为90 元；由题意列出 关于y 的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设购进A 款钥匙扣x 件，购进B 款钥匙扣 件， 由题意得： ， 解得： ， 则 （件）； 答：购进A 款钥匙扣20 件，购进B 款钥匙扣 件． （2）解：设将B 款钥匙扣销售价定为每件y 元时，才能使B 款钥匙扣平均每天销售利润为90 元， 由题意得： ， 整理得： ， 解得： ， ， 答：将B 款钥匙扣销售价定为每件30 元或34 元时，才能使B 款钥匙扣平均每天销售利润为90 元． 【点睛】本题是方程的综合，考查了一元一次方程与一元二次方程在实际中的应用，正确理解题意，找到 等量关系并列出方程是钥匙的关键． 3．某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批80 千克，每千克16 元出售；第二批60 千克，每千克18 元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960 元． (1)求樱桃的进价是每千克多少元？ (2)该水果店一相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20 元出售，结果仅售出40 千 克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上 每降价1 元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加10 千克．到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销售 第三批樱桃获得的利润为850 元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？ 【答案】(1)樱桃的进价是每千克10 元 (2)第二天樱桃的售价是每千克15 元或19 元 【分析】（1）设樱桃的进价是每千克x 元，根据“第一批80 千克，每千克16 元出售；第二批60 千克， 每千克18 元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960 元”，再列方程求解即可； （2）设第二天的售价为每千克y 元，则第二天的销量为 千克，再根据总利润为850 元列 方程解答即可． 【详解】（1）解：设樱桃的进价是每千克x 元， 依题意得： ， 解得： ， 答：樱桃的进价是每千克10 元； （2）设第二天的售价为每千克y 元，则第二天的销量为 千克， 依题意得： ， 整理得： ， 解得： ， ， 答：第二天樱桃的售价是每千克15 元或19 元． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，熟练的确定相等关系是解本题的关键． 4．某旅行社推出“跟团游”和“定制游”两种旅行方式供客户选择．已知6 月份该旅行社“跟团游”的销 售额为 万元，“定制游”的销售额为 万元，“跟团游”平均每单的费用比“定制游”平均每单的费 用少 万元，“跟团游”的订单数是“定制游”订单数的4 倍，订单按一人一单计算． (1)求“定制游”的单数为多少？ (2)由于暑期是旅游旺季，消费水平整体升高，该旅行社预计7 月份“跟团游”和“定制游”的订单数分别 比上月对应订单数多 和 ，“跟团游”和“定制游”平均每单的费用分别比上月对应每单多 和 ，这样预计7 月份该旅行社总销售额比上个月总销售额的 还多 万元，且 ，求a 的值． 【答案】(1)50 (2)100 【分析】（1）设“定制游”的单数为x，则“跟团游”的订单数为 ，根据“6 月份该旅行社跟团游的销 售额为 万元”列出分式方程，解方程并检验即可得到答案； （2）由（1）可知，6 月份“跟团游”平均每单的费用为 万元，6 月份“定制游”平均每单的 费用为 万元，根据“7 月份该旅行社总销售额比上个月总销售额的 还多 万元”列出方 程，解方程并取符合题意的答案即可． 【详解】（1）解：设“定制游”的单数为x，则“跟团游”的订单数为 ， 根据题意得 解得： ， 经检验， 是原方程的解，也符合问题的实际意义 答：“定制游”的单数为50． （2）由（1）可知，6 月份“跟团游”平均每单的费用为 万元，6 月份“定制游”平均每单的 费用为 万元，“跟团游”的订单数为 ，由题意得： 则 ， 化简得： ， 解得： ， ∵ ，∴ ． 【点睛】此题考查了分式方程和一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程和解方程是解题的关键． 5．由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9 月7 日，医院派出13 名医护人员到一个大型小区 设置了 、 两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220 份，已知 点平均每人采样720 份， 点平均每 人采样700 份． (1)求 、 两点各有多少名医护人员？ (2)9 月8 日，医院继续派出这13 名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商 户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从 点抽调部分医护人员到 点经调查发现， 点每减 少1 名医护人员，人均采样量增加10 份， 点人均采样量不变，最后当天共采样9360 份，求从 点抽调 了多少名医护人员到 点？ 【答案】(1)A 检测队有6 人，B 检测队有7 人 (2)从B 检测队中抽调了2 人到A 检测队 【分析】（1）设A 点有x 名医护人员，B 点有y 名医护人员，根据“A、B 两个采样点共13 名医护人员， 且当天共采样9220 份”，即可得出关于x，y 的且当天共采样9220 份，即可得出关于x， y 的二元一次方 程组，解之即可得出结论； （2）设从B 点抽调了m 名医护人员到A 点，则B 点平均每人采样 份,根据重新规划后当天共采 样9360 份，即可得出关于m 的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A 检测队有 人，B 检测队有 人， 依题意得： ，分解得： 答：A 检测队有6 人，B 检测队有7 人； （2）解：设从B 检测队中抽调了 人到A 检测队，则B 检测队人均采样 人， 依题意得： ， 解得： ，解得： ， ， 由于从B 对抽调部分人到A 检测队，则 故 ， 答：从B 检测队中抽调了2 人到A 检测队． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系， 正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 6．2022 年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种 绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50 棵进行栽种．其中小叶榕每棵680 元，香樟每棵1000 元，经测算， 购买两种树共需38800 元． (1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ (2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降 元（ ），且两种 树的售价每降低10 元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2 棵，香樟1 棵．物业管理公司实 际购买的费用比原计划多3600 元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 【答案】(1)原计划购买小叶榕35 棵、香樟15 棵 (2)物业管理公司实际购买两种树共56 棵 【分析】（1）设原计划购买小叶榕 棵，则购买香樟 棵，根据题意列出方程 即可得出答案． （2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为 元每棵， 元每棵， 再列出实际购买棵树的表达式，得到 方程式求 出满足条件 的值，即可得出答案． 【详解】（1）设原计划购买小叶榕 棵，则购买香樟 棵， 根据题意，可得 ， 解得， ． 答：原计划购买小叶榕35 棵、香樟15 棵． （2）根据题意，可得 ， 整理得， ， 解得： ， ， ∵ ，∴ ， ∴购买了39 棵小叶榕，17 棵香樟， 答：物业管理公司实际购买两种树共56 棵． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中的等量关系列 出正确的方程解决本题的关键．
