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专题04 平方根与立方根压轴四大类型
考点一：平方根的非负性
考点二：探究性规律问题
考点三：平方根与立方根的综合应用
考点四：平方根与立方根的实际应用
【考点一：平方根的非负性】
【典例1】（2023 秋•道县期末）若a，b 为实数，且
，则（ab）2024 的
值为（ ）
A．0
B．1
C．﹣1
D．±1
【答案】B
【解答】解：由题可知，
，
则a+2＝0，b﹣
＝0，
即a＝﹣2．b＝
，
所以（ab）2024＝（﹣1）2024＝1．
故选：B．
【变式1-1】（2023 秋•麻阳县期末）已知实数x，y 满足
+（y+1）2＝0，则x+y 等于
1
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得，x﹣2＝0，y+1＝0，
解得x＝2，y＝﹣1，
所以，x+y＝2+（﹣1）＝1．
故答案为：1．
【变式1-2】（2023 秋•渠县期末）已知|x+5|+
＝0，则x+y＝ ﹣
2
．
【答案】﹣2．
【解答】解：∵|x+5|+
＝0，
又∵|x+5|≥0，
，
∴x+5＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣5，y＝3，
∴x+y＝﹣5＝3＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【变式1-3】（2023 秋•简阳市期末）若（x+4）2+
＝0，则x+y＝ ﹣
1
．
【答案】﹣1．
【解答】解：∵（x+4）2+
＝0，
∴x+4＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣4，y＝3，
∴x+y＝﹣4+3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【考点二：探究性规律问题】、
【典例2】（2023•东兴区校级开学）按要求填空：（1）填表：
a
0.0004
0.04
4
400
0.02
0.2
2
20
（2）根据你发现规律填空：
已知：
，则
＝
26.83
，
＝
0.02683
；
已知：
，
，则x＝
3800
．
【答案】（1）0.02，0.2，2，20；
（2）26.38，0.02638，3800．
【解答】解：（1）根据题意填表如下：
a
0.0004
0.04
4
400
0.02
0.2
2
20
故答案为：0.02，0.2，2，20；
（2）∵
，
∴
＝26.83，
＝0.02683；
∵
，
∴
，则x＝3800；
故答案为：26.83，0.02683，3800．
【变式2-1】（2022 秋•南海区校级月考）观察等式2
；3
；4
；…；根据规律写出第（n﹣1）个等式为
n
（n 为自然数，且n≥2）．
【答案】n
．
【解答】解：∵2
；3
；4
；…；
∴第（n﹣1）个等式为 n
（n 为自然数，且n≥2），
故答案为：n
．
【变式2-2】（2023 春•通辽期末）观察下表规律，
a
0.008
8
8000
8000000
0.2
2
20
200
利用规律如果
＝1.333，
＝2.872，则
＝
0.2872
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：23.7×0.001＝0.0237，
∴
＝0.1×
＝0.2872．
故答案为：0.2872．
【变式2-3】（2023 春•民勤县校级期中）有一组按规律排列的数：
，
，
，2，
…则第n 个数是
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：观察数据可知，这组数据的规律是：
，
，
，
，…，则第n 个数是
．
故答案为：
．
【考点三：平方根与立方根的综合应用】
【典例3】（2023 秋•都昌县期末）已知6a+34 的立方根是4，5a+b﹣2 的算术平方根是5，
c 是9 的算术平方根．
（1）求a，b，c 的值；
（2）求3a﹣b+c 的平方根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵43＝64，
∴6a+34＝64，
∴a＝5；
∵52＝25，
∴5a+b﹣2＝25，
又∵a＝5，
∴b＝2；
∵32＝9，
∴c＝3；
（2）把：a＝5，b＝2，c＝3 代入3a﹣b+c 得：
3×5﹣2+3＝16，
∵（±4）2＝16，
∴3a﹣b+c 的平方根是：±4．
【变式3-1】（2023 秋•沐川县期末）已知正数a 的两个不同平方根分别是2x﹣2 和6﹣
3x，a﹣4b 的算术平方根是4．
（1）求a 和b 的值；
（2）求2a﹣b2+17 的立方根．
【答案】（1）a 的值为36，b 的值为5；
（2）4．
【解答】解：（1）由题意得，2x﹣2+6﹣3x＝0，
解得x＝4，
∴2x﹣2＝6，
∴a＝62＝36，
∵a﹣4b 的算术平方根是4，
∴a﹣4b＝16，
∴b＝5；
（2）∵2a﹣b2+17＝2×36﹣52+17＝64，
而64 的立方根是4，
∴2a﹣b2+17 的立方根为4．
【变式3-2】（2023 秋•仪征市期末）已知3m+1 的平方根是±5，5n﹣m 的立方根是3．
（1）求m﹣n 的平方根；
（2）若4a+m 的算术平方根是4，求3a﹣2n 的立方根．
【答案】（1）m﹣n 的平方根为±1；
（2）3a﹣2n 的立方根﹣2．
【解答】解：（1）由题意得，3m+1＝52，5n﹣m＝33，
解得m＝8，n＝7，
∴m﹣n＝8﹣7＝1，
∵（±1）2＝1，
∴m﹣n 的平方根为±1；
（2）∵16 的算术平方根4，
∴4a+m＝16，
即4a+8＝16，
解得a＝2；
∴3a﹣2n＝3×2﹣2×7＝﹣8，
∵﹣8 的立方根为﹣2，
∴3a﹣2n 的立方根﹣2．
【变式3-3】（2023 秋•宿城区期末）已知实数a+9 的一个平方根是﹣5，2b﹣a 的立方根是
﹣2．
（1）求a、b 的值．
（2）求2a+b 的算术平方根．
【答案】（1）a＝16，b＝4；
（2）6．
【解答】解：（1）∵实数a+9 的一个平方根是﹣5，
∴a+9＝（﹣5）2＝25，
解得a＝16，
∵2b﹣a 的立方根是﹣2，
∴2b﹣a＝（﹣2）3＝﹣8，即2b﹣16＝﹣8，
解得b＝4，
∴a＝16，b＝4；
（2）解：
，
即2a+b 的算术平方根是6．
【考点四：平方根与立方根的实际应用】
【典例4】（2023 春•云梦县期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700 平方米的长
方形空地，长方形长宽之比为7：4．
（1）求该长方形的长宽各为多少？
（2）农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正
方形的边长比为4：3，面积之和为600 平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部
用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果
能，原来的铁栅栏围墙够用吗？
【答案】（1）长方形的长35 米，宽20 米；
（2）能改造出这样的两块不相连的正方形试验田；原来的铁栅栏围墙不够用．
【解答】解：（1）设该长方形花坛长为7x 米，宽为4x 米，
依题意得：7x×4x＝700，
x2＝25，
∴x＝5（﹣5 不合题意舍去）
∴7x＝35，4x＝20，
答：该长方形的长35 米，宽20 米；
（2）设大正方形的边长为4y 米，则小正方形的边长为3y 米，依题意有
（4y）2+（3y）2＝600，
25y2＝600，
y2＝24，
y＝
，
4y＝
，
，
∵
＜35，
，
∴能改造出这样的两块不相连的正方形试验田；
，（35+20）×2＝110，
∵
，
∴原来的铁栅栏围墙不够用．
【变式4-1】（2023 秋•汝州市期中）如图，用两个边长为
cm 的小正方形纸片拼成一
个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的
长方形纸片的长是宽的2 倍，且面积为30cm2？请说明理由．
【答案】见解答过程．
【解答】解：因为大正方形纸片的面积为
+
＝36cm2，
所以大正方形的边长为6cm，
设裁出的长方形的宽为a cm，则长为2a cm，由面积为30cm2得，
2a•a＝30，
解得a1＝
，a2＝﹣
（舍去），
所以2a＝2
＞6，
所以不能使截得的长方形纸片的长是宽的2 倍，且面积为30cm2．
【变式4-2】（2023 秋•内乡县校级月考）如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为
2：2：4，其体积为16 000cm3．
（1）求长方体的水池长、宽、高为多少？
（2）当有一个半径为r 的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积
的
，求该小球的半径为多少（π 取3，结果精确到0.01cm）？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16
000cm3，
∴设长方体的水池长、宽、高为2x，2x，4x，
∴2x•2x•4x＝16000，
∴16x3＝16000，
∴x3＝1000，
解得：x＝10，
∴长方体的水池长、宽、高为：20cm，20cm，40cm；
（2）设该小球的半径为rcm，则：
πr3＝
×16 000，
∴r3＝
×16 000×
，
∴r≈4.05，
答：该小球的半径为4.05cm．
【变式4-3】（2022 春•嘉祥县月考）如图，把两个底面直径分别为12cm 和16cm，高为
20cm 的圆柱形钢锭熔化后做成一个正方体的钢锭，求这个正方体钢锭的棱长．（精确
到1cm，π 取3.14，
≈18.45，
≈14.64）
【答案】18cm．
【解答】解：设这个正方体钢锭的棱长为x cm．
由题意得，
．
∴x3＝2000π．
∴x＝
≈
≈18（cm）．
∴这个正方体钢锭的棱长为18cm．
1．设S1＝1+
，
，
，…，
，
则
+
+…+
的值为（ ）
A．
B．
C．24
D．23
【答案】C
【解答】解：
＝1+1﹣
，
＝1+
﹣
，
＝1+
﹣
，
＝
＝1+
﹣
，…，
，
∴
＝1+1
…+1+
﹣
＝24+1﹣
＝
＝24
．
故选：C．
2．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v＝
16
，其中v 表示车速（单位：千米/时，d 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），
f 表示摩擦因数，在某次交通事故调查中，测得d＝20 米，f＝1.2，肇事汽车的车速大约
为
78.38
千米/时．（结果精确到0.01 千米/时）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得：v＝16
≈78.38（千米/时）．
3．已知实数2a﹣1 的平方根是±3，
＝5，求a+b 的平方根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由已知2a﹣1 的平方根是±3，则2a﹣1＝32＝9，则a＝5；
由
＝5，则2b+3＝52＝25，则b＝11，则a+b＝16．
所以a+b 的平方根为±4．
4．已知a、b、c 满足
，求以a、b、c 为三边长的三角
形周长．
【答案】5+5
．
【解答】解：（1）由题意得：
，
∴a＝2
，b＝5，c＝3
；
2
+5+3
＝5+5
．
答：三角形的周长为：5+5
．
5．求下列各式中x 的值：
（1）（x+2）2﹣36＝0；
（2）64（x+1）3＝27．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵（x+2）2﹣36＝0
∴（x+2）2＝36
∴x+2＝±6
解得，x1＝﹣8，x2＝4；
（2）∵64（x+1）3＝27
∴（x+1）3＝
∴x+1＝
∴x＝﹣
．
6．如图，长方形ABCD 的面积为360cm2，长和宽的比为3：2，在此长方形内沿着边的方
向能否并排截出两个面积均为147cm2的圆（π 取3），请通过计算说明理由．
【答案】不能，理由见详解．
【解答】解：设长方形的长DC 为3x cm，宽AD 为2x cm．
由题意，得 3x•2x＝360，解得：x2＝60，
∵x＞0，
∴
，
∴AB＝3
cm，BC＝2
cm．
∵圆的面积为147cm2，设圆的半径为rcm，
∴πr2＝147，解得：r＝7．
∴两个圆的直径总长为28cm．
∵3
＜3
＝3×8＝24，
∴不能并排裁出两个面积均为147cm2的圆．
7．小丽想用一块面积为400 平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300 平
方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明
见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明
的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：正方形的边长＝
＝20（cm）．
设长方形的边长为3x cm，2x cm．
根据题意得：3x•2x＝300，
解得：x2＝50，解得：x＝5
或x＝﹣5
（舍去）．
∴矩形的长为3×5
＝15
＞20，
∴小丽不能用这款纸片才裁出符合要求的纸片．
8．某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t（h）可以用公式t2＝
来估计，其中d
（km）是雷雨区域的直径，如果雷雨区域的直径为9km，那么这场雷雨大约能持续多长
时间？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵t2＝
，
∴t＝
．
将d＝9 代入得：t＝
＝0.9．
∴那么这场雷雨大约能持续0.9h 时间．
9．阅读下列解题过程：
＝
＝
＝
；
＝
＝
＝
；
＝
＝
＝
；…
（1）
＝
，
＝
．
（2）观察上面的解题过程，则
＝
（n 为自然数）
（3）利用这一规律计算：
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）
＝
，
＝
，故答案为：
，
．
（2）观察上面的解题过程，则
＝
＝
，
故答案为：
；
（3）原式＝
＝
＝
．
10．如图是一块面积为900cm2 的正方形纸片，小明想沿着边的方向用它裁出一块面积为
560cm2的长方形纸片．且使它的长、宽之比为2：1，不知能否裁出来，正在发愁，小
华看见了说：“肯定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片呀！”你同意小华的
观点吗？小明能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片吗？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设长方形的宽为xcm，则长方形的长为2xcm，
根据题意，得：2x2＝560，
解得：x＝2
（负值舍去），
则长为4
，
∵70＞64，
∴4
＞4
，即4
＞32，
又∵正方形的边长为
cm，即30cm，
∴4
＞32＞30，
∴小华的观点错误，小明不能用这块正方形的纸片裁剪出符合条件的长方形纸片．
11．请阅读材料：一般地，如果一个正数x 的平方等于a，即x2＝a，那么正数就叫做a 的
算术平方根，记作
（即
＝
＝x），如32＝9，3 叫做9 的算术平方根．
（1）计算下列各式的值：
＝
2
，
＝
5
，
＝
10
（2）观察（1）中的结果，
，
之间存在怎样的关系？
•
＝
（3）由（2）的猜想：
＝
（a≥0，b≥0）
（4）根据（3）计算：
＝
4
，
＝
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）
＝2，
＝5，
＝10
（2）观察（1）中的结果，
，
之间存在：
•
＝
，
（3）由（2）的猜想：
＝
（a≥0，b≥0）
（4）根据（3）计算：
＝
＝
＝4，
＝
＝
＝
．
故答案为：2，5，10，
•
＝
，
．
12．一物体从高处自由落下，落到地面所用的时间（单位：秒）与开始落下时的高度h
（单位：米）有下面的关系式：
．
（1）已知h＝100 米，求落下所用的时间；（结果精确到0.01）
（2）一人手持一物体从五楼让它自由落到地面，约需多少时间？（无地下室，每层楼
高约3.5 米，手拿物体高为1.5 米）（结果精确到0.01）
（3）如果一物体落地的时间为3.6 秒，求物体开始下落时的高度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）把h＝100 代入得：t＝
＝
＝2
≈4.47（秒）；
（2）根据题意得：3.5×4+1.5＝15.5（米），
则t＝
＝
≈1.76（秒）；
（3）把t＝3.6 代入得：3.6＝
，
解得：h＝64.8，
则物体开始下落的高度为64.8 米．
